Föreagsekonomiska Magiseruppsas Insiuionen Höserminen 2004 Opimal prissäkringssraegi i e råvaruinensiv föreag Kan de ge förbärad lönsamhe? Förfaare: Marin Olsvenne Tobias Björklund Handledare: Hossein Asgharian
Sammanfaning Nyckelord: Hedging, Opion, Aluminium, Rexam, Tidsserieanalys. Absrac: Uppsasen undersöker om vi genom saisisk och ekonomisk analys kan förbära de briiska Aluminiumföreage Rexams prissäkringssraegi vid inköp av råvaran aluminium, genom användning av olika konrakuella aval. Rexams nuvarande sraegi innebär a de e år innan en viss period säkrar hela de näskommande åres aluminiuminköp med hjälp av erminer. På så sä har Rexam eliminera en sor del av osäkerheen i föreages varuinköp. Rexam är mer inresserade av a kunna leverera e säkrare esima av kommande års resula än av a göra korsikiga kosnadsredukioner. Vår förslag innebär a Rexam lämnar den rygga illvaron med erminer som enda prissäkringsalernaiv. Genom vår analys kan de med användningen av flera prissäkringsalernaiv köpa aluminium ill lägre priser och därmed göra sig en bäre vins. Riskerna siger givevis någo i och med a yerligare insrumen med sörre risk används, men på de sora hela finns de möjlighe ill ökad ekonomisk vins genom lägre inköpspriser av aluminium. Genomförande av förslage innebär a Rexam ansäller en ansvarig person som arbear akiv med inköpe av Aluminium. Vår modellerande in denna uppsas visar a genom a se på hisoriken, så finns de sora möjligheer ill en prisbild av aluminiuminköpen som oal se skulle kunna generera lägre omkosnader i nivå med 2,5-3 miljoner USD årligen. Med en sraegi för a köpa ill spopris fann vi ännu sörre möjligheer ill a sänka kosnaderna, ill prise av en högre risk. 2
Innehåll 1 Inledning...5 1.1 Bakgrund...5 1.2 Problemformulering...6 1.3 Syfe...7 1.4 Målgrupp...7 1.5 Avgränsningar...7 2 Meod...8 2.1 Kvaniaiv respekive kvaliaiv meod...8 2.2 Indukiv respekive dedukiv meod...8 2.3 Insamling och beskrivning av daa...9 2.3.1 Primärdaa och sekundärdaa...9 2.3.2 Daainsamling...9 2.4 Källgranskning...9 2.4.1 Observaion...10 2.4.2 Ursprung...10 2.4.3 Tolkning...11 2.4.4 Användbarhe...11 2.5 Reliabilie...11 2.6 Validie...12 3 Rexam: Omvärld och förusäningar...14 3.1 Aluminium...14 3.1.1 Karakerisika...14 3.1.2 Produkionsprocessen...15 3.1.3 Marknaden...16 3.2 Rexam...17 3.2.1 Hisorik & Föreagsfaka...17 3.2.2 Inköpssraegi för Aluminium...18 4 Teori...20 4.1 Hedging...20 4.1.1 Vad innebär hedging och varför använder man de?...20 4.2 Deriva...21 4.2.1 Fuures & Forwards...21 4.2.2 Opioner...22 4.3 Riskfakorn...23 4.3.1 Volailie...23 4.3.2 Säkring av kassaflöde...24 4.4 Risk Managemen...25 4.5 Riskanalys...25 4.6 Payoff...26 4.7 Sharpekvoen som insrumen för uvärdering av placeringsalernaiv...26 5 Empiriska meoder...28 5.1 Regressionsanalys med OLS-meoden...28 5.2 Regressionsanalys med Maximum Likelihood-modellen...28 3
5.3 Tidsserieanalys med ARMA-modellen...29 5.3.1 AR Den auoregressiva processen...30 5.3.2 MA Moving average-processen...30 5.3.3 Auokorrelaion och icke-saionärie i idsserier...31 5.3.4 Problem med Random Walk, enhesro och spurious regression, och lösning på dea problem med differeniering...32 5.3.5 Dickey-Fuller-es för enhesro...34 5.4 ARCH/GARCH-modellerna och beingad varians i idsserier...34 5.5 Prakisk specificering av opimala ARMA och ARCH/GARCH...35 5.5.1 Akaike informaion crierion och Scwarz crierion...36 5.5.2 Likelihood Raio-es, Naive guess och Maringale-process...36 5.6 Whies es för heeroskedasicie...37 5.7 Prognosicering/forecas uifrån en given ARMA-modell...38 5.8 Modell för beräkning av förvänad kosnad vid hedging med opioner...39 5.9 Implikaioner av prognoser på val av hedgingssraegi Åerkoppling ill eori39 5.10 Saisisk säkersällning av medelvärden med -es...40 5.11 Daabehandling och empirisk illvägagångsmeod...40 5.11.1 Specifiering av opionsvärderingsmodell med Black-Scholes med anagande om icke-konsan volailie (heeroskedasicie)...40 5.12 Prakisk illvägagångssä...41 6 Resula...44 6.1 Tes av enhesro...44 6.2 Specificering av valda ugångsdaum...44 6.3 Specificering av ARMA-modeller...45 6.4 Specificering av GARCH-modell...47 6.5 Prognosisering av vänevärde och jämförelse med fakiska daa...47 6.6 Valda sraegier och fakisk ufall, opioner...48 6.7 Valda sraegier och fakisk ufall, spokurs...49 6.8 Saisisk säkersällning med -es...50 7 Resuladiskussion...51 7.1 Sammanfaning...51 7.2 Kommenar...51 7.2.1 Tänkbara briser i modellen...51 7.2.2 Övriga funderingar...52 7.3 Rekommendaion ill Rexam...53 7.4 Förslag på framida forskning...53 Källor...54 Appendix 1...56 Diagram 1: Avisa- och 15 månaders erminspriser, USD per on rå aluminium från 1988.o.m. 2004...56 4
1 Inledning 1.1 Bakgrund A vara säker på vad man får beala för en vara idag, även om man får den levererad i framiden, är för många föreag en nödvändighe för a kunna hanera volaila priser och därav undvika e krafig svängande kassaflöde. A redan idag vea de pris som skall bealas i framiden för en vara är inge ny, de har använs inom bl.a. jordbruke i många år. A avala e pris idag för e i framiden oviss reell pris, även om man ine säker känner ill de reella prise på leveransdagen, (de kan både vara lägre och högre), skapar en rygghe för både köpare och säljare, även om den ena av parerna anagligen skulle kunna gjor en bäre affär om man hade handla varan ill reell marknadspris. Olja, koppar och aluminium är exempel på råvaror där handel med framida priser är ofa förekommande. De finns e anal olika illvägagångssä, s.k. insrumen, för a idag avala e pris på e framida köp av en vara. De mes använda, och illika de som används i vår analysarbee, är erminer och opioner. Många föreag köper även varor ill marknadspris (avisapris/spopris), de vill säga de bealar dagspris för en vara för omgående leverans. Vi kommer låa vår analys omfaa även dea riskabla alernaiv. A välja någo av ovansående köpsä är ingen självklarhe. Köpsäen, och då framförall erminer och opioner, kommer i olika uföranden och med olika karakerisika, de påverkas dock i grund och boen av en klassisk ubud/eferfråge- relaion av råvaran. A undersöka vilke insrumen som passar e föreag bäs i en specifik posiion är en kompeens- och idskrävande process. De gäller a välja rä under rådande förusäningar för de specifika föreage när avale om e framida köp skall ingås. Många mindre föreag ägnar ine id och pengar ill a genomföra en grundlig analys av marknaden för a avgöra om de finns bäre och sämre illfällen a välja sraegi för råvaruköpe. Därav väljer man ofa en prissäkringssraegi baserad på relaiv banala analyser, men där de framida prise är kän. De kan även för sörre föreag vara fresande a a de säkra framför de osäkra och köpa på ermin. Föreage Rexam i London ägnar sig å behandling av rå aluminium som de illverkar olika produker av. Föreage köper varje år in mycke sora kvanieer av rå aluminium. 5
Aluminium ugör därmed en beydande del av Rexams kosnadssrukur, och är de följakligen av mycke sor inresse a hålla kosnaden för dea på en låg nivå. Tros dea har föreage en mycke passiv prissäkringssraegi; Man köper i princip all si råaluminium på ermin. Vi har få i uppdrag av Rexam a undersöka om de finns lönsamma alernaiv ill denna sraegi. Den europeiska meallmarknaden är likvid och man handlar i avisa, erminer och opioner via London Meal Exchange. Kan användning av dessa köpsä medföra a Rexam kan sänka sina kosnader? 1.2 Problemformulering Vår problemformulering grundar sig i ron av a en akiv prissäkringssraegi för inköp av en specifik råvara kan vara lönsam ur e cos/benefi-perspekiv för e specifik föreag. Kosnaderna förenade med a exempelvis ansälla en person, som akiv sonderar och analyserar marknaden för en opimal och kosnadseffekiv prissäkringssraegi, är lägre än de vinser som kan uppnås med a köpa varorna ill rä pris med hjälp av rä finansiell köpsä. E bäre pris på en råvara kan möjligen idenifieras om man via hisoriska fakorer får möjlighe ill a sudera dessa fakorers relaion ill prissäningen av den specifika råvaran. Applicera på föreage Rexam leder denna problemaik ill frågesällningen om huruvida föreages inköpssraegi för aluminium vari hisorisk opimal ur e cos/benefi-perspekiv. Valdes de räa finansiella köpsäen av råvaran om man gör en åerblick i hisoriken? Vilka val bör göras i framiden baserade på hisoriken, dvs. vilke köpsä bör väljas vid e specifik illfälle om en sudie av de fakorer som har påverkan på råvaran genomförs? Vi vill allså i denna uppsas undersöka Rexams nuvarande prissäkringssraegi och se om de finns någon idé för dem a arbea mer akiv med den för a på så sä möjliggöra en sänkning av inköpspriserna av aluminium och därav en ökning av de operaiva resulae. Vi vill se om de kan finnas e samband mellan en akiv prissäkringssraegi och lägre råvarukosnader. Vi vill dessuom ge förslag ill föreage hur de bör arbea med sin prissäkringssraegi i framiden, givevis basera på hisoriken, för a kunna uppnå ökade marginaler. 6
1.3 Syfe Syfe med uppsasen är a undersöka om de går a uforma en modell för val av prissäkringssraegi för aluminiumföreage Rexam, som överräffar deras idigare prissäkringssraegier i kosnadseffekivie för inköp av rå aluminium. 1.4 Målgrupp Uppsasen rikar sig framförall mo kommande, blivande och nuvarande sudener inom de ekonomiska område vid ekonomiska insiuioner vid högre lärosäen i Sverige. Uppsasen rikar sig naurligvis även mo de suderade föreage för a ge dem en idé om möjligheerna som finns med e mer akiv analysarbee av inköpsprissraegierna. Vi har som uppgif a presenera resulae av analysen för Rexams Hedging Commiee. 1.5 Avgränsningar Vi suderar endas en yp av råvara, aluminium, och endas e föreags nuvarande inköpssraegi jämförs med den opimala inköpssraegin under e anal premisser. E val av finansiella insrumen har gjors med femon månaders löpid, där urvale baseras på europeiska opioner och erminer som är illgängliga på marknaden. Vidare görs analysen med e begränsa anal fakorer som bas för a försöka föruspå rörelser i aluminiumprise. Dea är självfalle e godycklig elemen i arbee, men ine deso mindre nödvändig för a kunna genomföra en analys överhuvudage. Vi lägger därför särskild noggrannhe och vik vid a de variabler vi väljer är relevana för analysen. Föreage vi har val a avgränsa oss ill, Rexam, är engelsk och är en av världens sörsa illverkare av bland anna aluminiumburkar. Rexam säljer vidare sin sluproduk ill dryckesillverkare, ex. Coca Cola Company. De använder näsan uesluande erminskonrak vid köp av aluminium. Vi har i vår eoreiska del val a begränsa oss ill definiioner av forwards, fuures och köpopioner, då de är prissäkringsmekanismen vi efersrävar a analysera. 7
2 Meod 2.1 Kvaniaiv respekive kvaliaiv meod I denna uppsas har en kvaliaiv meod vals, där vale ligger vid e föreags prissäkringssraegi som jämförs med en opimal, enlig de förusäningar som besäms av analysen, prissäkringssraegi av råvaruinköpen. Den kvaliaiva meoden fokuserar på e fåal undersöka objek, men illika en mer djupgående analys 1. Dea är e medvee val då vi arbear med e specifik föreag som enskil forskningsobjek. Den kvaniaiva meoden har ine vals. Dock finns de kvaniaiva elemen, såsom den saisiska analysen, vilken baseras på aluminiumprise i e finansiell perspekiv och änkbara fakorer som kan påverka dea. Tros a denna analys förvisso kan vara av inresse för andra akörer, är dea endas e redskap för a ureda huruvida föreage har en opimal prissäkringssraegi eller ine. Dea är någo som ej nödvändigvis går a generalisera ill andra föreag eller organisaioner. Med andra ord går analysen på djupe, och ine på bredden dvs. analysen är kvaliaiv, ros a kvaniaiva arbesmeoder används i sor usräckning. 2.2 Indukiv respekive dedukiv meod Den veenskapliga eorin kan beskrivas uifrån vå huvudspår: Den indukiva meoden ar sin ugång i forskningsobjeke varav man efer sudier av dea objek kan bilda en eori 2. Den dedukiva meoden avser a förs suderas en eori varefer observaionerna kan a vid 3. Man brukar säga a undersökningar där man använder sig av hypoeser har e dedukiv drag, efersom man med hjälp av eorin och den applicerbara empirin vill visa hur de fakiska förhållandena ser u 4. Då dea är en uppsas som bygger vidare på eoreisk grund, och vill esa dess rikighe, är de lämplig a använda sig av den dedukiva ansasen. 1 Halvorsen, Samhällsveenskaplig meod, Sudenlieraur 1992, sid. 82 2 ibid sid 15 3 ibid 4 ibid sid 45 8
2.3 Insamling och beskrivning av daa 2.3.1 Primärdaa och sekundärdaa Skillnaden mellan primärdaa och sekundärdaa ligger i definiionen av var/när/hur analyserad daa har illkommi. Primärdaan kan beskrivas som en försahandskälla, insamlad direk för en specifik analys, medan sekundärdaan beskrivs som källmaerial i form av böcker eller daabaser, s.k. andrahandskällor 5. I vår undersökning använder vi oss ine av några nya kvaniaiv daa, den daa vi analyserar finns redan idag illgänglig och dokumenerad. De rör sig framförall om variabla fakorer som har en direk påverkan på prise av aluminium, hämad från London Meal Exchange (LME), sam hisoriska beslu vidrörande e föreags råvaruinköp. Vi har dock genom vår inervju med Alex Jennings en försahandskälla av kvaliaiv daa. 2.3.2 Daainsamling Vi var ämligen säkra på vilken yp av daa vi skulle behöva, för a möjliggöra de analyser som krävs av hisoriska daa och för a på så sä fassälla opimala prissäkringssraegier. För a kunna jämföra daan över en idsperiod, soreras maeriale i daumordning de är daum som är den gemensamma nämnaren i idsserie-analysen. Nödvändig daainformaion kunde hias med hjälp av London Meal Exchange, Amerikanska Federal Reserve, en välkänd invesmenbank (som föredrar a ine nämnas här av konfidenialiesskäl) för implicia volailieer, sam hos inköpsavdelningen på Rexam. 2.4 Källgranskning När man granskar källor skall daan granskas med följande aspeker på kvalieen: Ursprung, Observaion, Användbarhe och Tolkning 6. 5 Holme Solvang, Forskningsmeodik, Sudenlieraur 1997, sid 132. 6 Holme, Solvang, Forskningsmeodik, Sudenlieraur 1997, sid 130 9
2.4.1 Observaion A observera innebär a granska en mängd daa. Vid granskningsprocessen kan de hända a fel har uppså, a daa har förbises och relevansen av en specifik yp av daa ine kan karakäriseras. Då de daa som används i dea arbee ill sor del är agna från LME:s daabaser vilke är en erkänd källa ill hisorisk informaion måse man säga a daan är illförlilig, och idenifierbar ine enbar hos LME, men även hos.ex. Bloomberg, som också hanerar global finansiell informaion. Rexams egna informaion är väl dokumenerad vad gäller köp av råvaran aluminium. Ur e observaionsperspekiv är daan illförlilig och pålilig, dock förmedlad i inervjuform med Rexams inköpschef. De daa vi erhålli från en välkänd invesmen bank (kan ej nämna den som en följd av konfidenialie) får även den sägas vara illförlilig då informaionen används av invesmen banken själv och de är lagrade och levererade i Excel-forma. 2.4.2 Ursprung En analys av daas ursprung genomförs för a få svar på varför daan har samlas in på de sä som den har och hur de i sin ur har skapa rovärdighe och pålilighe för daans kvalie. Självklar har LME:s e srukurera illvägagångssä för a sammansälla sora mängder daa vilke innebär en säker hanering för a säkra daas ursprung. Den daa vi har använ oss av i denna uppsas är ine i riskzonen för a vara av dålig kvalie eller parisk insamlad. LME lever på a förmedla affärer i meall, och har således försahandskällor för dessa ransakioner. Därmed kan LME:s uppgifer förvänas vara illförliliga. LME:s säkra hanering av daa vad gäller ursprung, gäller även för den invesmen bank som leverera informaion om de volailieer vi använder oss av i analysarbee. Rexams informaion, å andra sidan, om hur de hanerar sina inköp är relaerad ill ansvarig för inköp. Ursprunge för dessa daa behöver ine ifrågasäas då man genom viss olkning av offenliga presenaioner kan uläsa dess rikighe, den är så a säga illgänglig för alla. 10
2.4.3 Tolkning Den daa som olkas i källorna ill uppsasen är område för a olkas under de omsändigheer som gjorde sig gällande vid daans uppkoms och insamling. Den daa som använs i denna uppsas ligger ine i farozonen för a olkas på e mer eller mindre felakig sä ur e olkningsperspekiv från en daainsamlare. För Rexams del vad gäller olkningen av daan kan de givevis förekomma en del felakigheer beroende på vad som anses som en Purchase Managers konroll över e föreags fakiska sraegier. Vi får ugå från a vår olkning av hans informaion är rä. 2.4.4 Användbarhe Lagring av informaion i daabaser, där en mänsklig fakor har e finger med i spele, kan innehålla felakigheer. De finns dock e förroende ill LME och den informaion de erbjuder i sina daabaser bl.a. basera på deras långa hisorik inom område. Den mänskliga fakorn finns givevis med här också, men vi måse hålla oss illförliliga ill rådande informaion. Finns de.ex. ouliers i daamaeriale kan de vara akuell a undersöka och validera dessa. Vi ugår ifrån a daan är illförlilig. Givevis gäller ovan nämnda möjlighe ill felakigheer även för den invesmenbank där vi erhålli informaion angående volailieer. Vi ror dock a även den informaion vi erhålli härifrån är användbar och illförlilig. 2.5 Reliabilie Genomförande av en sudie och genomförandes illförlilighe/påaglighe, kan även definieras som reliabilie. Kvalieen på noggrannheen i analysen och bearbeningen av daa är vikiga för reliabilieen i sudien. Noggrannhe och a vara uppmärksam på möjliga fel i analysarbee är vikig för den veenskapliga processen och därav uppnå en hög reliabilie. Flera oberoende meoder för mäning, flera källor ill informaion, är sä a minska risken för a göra fel. Reliabilieen kan då beskrivas som högre i den genomförda sudien 7. 7 Halvarson, sid. 41-42 11
I denna uppsas använder vi oss av regressionsanalys som är e erkän sä a bland anna jämföra daas idsserier och sudera hur variabler korrelerar. Olika idsperioder, löpider, används också för a yerligare höja reliabilieen på sudien. Kan man uppnå en hög reliabilie i analysarbee, får slusaserna som kan dras av analysen ökad kvalie och pålilighe. Tesmeoderna anses fullgoda ur e reliabiliesperspekiv, esvariablerna är de fakorer som kan ifrågasäas om någo. De är även vikig med konsekvens med andra es som genomförs. Inga slusaser skall dras om de är inkonsekvena med andra es. Meodfel skall undvikas genom noggrannhe och på så sä särka reliabilieen. Saisiska analyser kräver sora mängder behandlade urval av daa, för a få fram mer eller mindre rikiga observaioner. Den saisiska analys vi genomför i denna uppsas uppfyller kraven för a uppnå hög reliabilie. Vi har i analysen använ oss esimeringar av opionspriser, som vi beräkna uifrån hisoriska uppgifer om implicia volailieer. Dea innebär a reliabilieen i våra beräkningar sjunker någo, och man bör som läsare ha dea i åanke. Vi menar dock a denna lägre reliabilie ine är av sådan magniud a den sör de generella slusaser vi drar kring nyan av a använda en specifik sraegi, och är därmed accepabel. 2.6 Validie E möjlig problem i en undersökning kan vara a den undersökande personen befinner sig på vå olika plan vad gäller eori och empiri. Validiesproblemaiken kan då uppså. De skall finnas relevans mellan de vå planen, en s.k. definiionsmässig validie, dvs. daa skall insamlas som är relevan för problemsällningen och inge anna. Validieen kan förklaras som hur väl de som man vill mäa egenligen mäs. Vad är relevansen med den den undersöka daan och har den någon beydelse för sudien? Dea är vikiga begrepp vad gäller validieen av undersökningen 8. Vi redogör i vår uppsas, under eoriavsnie, för eorier som kan relaeras ill värdering av finansiella insrumen. Problemaiken för vår del i den sudie vi genomför ligger ine i så sor del den eoreiska delen, uan framför all den empiriska. Vi använder oss av de mes roliga 8 Halvarson, sid. 41-42 12
variablerna för a särka de eoreiska resulaes kvalie. På så sä kan vi uppnå en ökad validie i resulae av vår sudie. 13
3 Rexam: Omvärld och förusäningar 3.1 Aluminium 9 3.1.1 Karakerisika Aluminium har e anal känneecken som gör de unik. De är lä (2,7g/cm3, 3 gånger läare än sål), ålig, åervinningsbar, korrosionsmosåndig, uhållig, mjuk och formbar. Tack vare sina många fördelar kan aluminiume användas inom många illämpningsområden. De är ack vare aluminiume vi kan flyga med flygplan, åka med höghasighesåg eller korsa e sund med en snabbfärja. Vi använder också aluminiume ill a förvara ma och medicin och vi använder de ill elekroniska komponener ill daorer. I dagens moderna samhälle hade vi hel enkel ine klara oss uan aluminiume. Aluminium är liksom sål, koppar och zink en meall. Den kan smälas och formas precis som de andra meallerna och ofa är de samma yp av produkionsmeoder som används för.ex. sål. Då vi lever i en värld där vi konsumerar sora mängder energi är aluminiume e ämne som ofa är inressan a använda. Bland anna aluminiumes vikfördelar ger vid ransporer självklar sora ekonomiska och miljömässiga fördelar, men man skall ine glömma a de är en mycke energikrävande process a illverka aluminiume. Vad som då skall begrundas är aluminiumes åeranvändningsbarhe. Energimässig, a förvandla åervunne aluminium ill ny aluminium, ågår de ca 5 % jämför med a illverka hel ny aluminium. De är endas 160 år sedan aluminiume uppäckes och endas 100 år sedan en fungerande produkionsprocess var eablerad. Aluminiume kommer på redje plas vad gäller illgången i jordskorpan. Ca 8 % av jordskorpan besår av aluminium. Man kan då fråga sig varför denna meall som finns i så sor rikedom ine uppäckes idigare än för 160 år sedan. Anledningen är a aluminium ine framräder naurlig i meallisk form. Meallen gömmer sig i bergrunden där den finns kombinerad med syre och andra grundämnen. Aluminiumes sorhe och värdefulla beydelse som råvara innebar en gång i iden a förmögna människor hellre illverkade besick och allrikar av aluminium isälle för guld. 9 www.eaa.com 14
Idag har effekivisering av uvinning och produkion av aluminiume möjliggjor e sörre ubredning än någon annan non-ferrous meall. 3.1.2 Produkionsprocessen Aluminium kan produceras på vå olika sä, aningen genom primär aluminium produkion från järn, eller genom åervinning av åervunne aluminium. Processen för framsällning av primär aluminium beskrivs, mycke korfaa, som: 1) Bauxi-bryning i Gruva 2) Alumina Produkion (aluminium oxid) 3) Elekrolys (illverkningen av aluminiume som sluproduk) Fyra on bauxi är nödvändig för a framsälla vå on alumina (aluminium oxid) som blir ill e on ren aluminium. 1998 illverkades 45 miljoner on alumina global se. De sörsa produkionsländerna är: 1.1 Diagram över sörsa produkionsländerna av alumina (aluminiumoxid) Aluminaraffinanderier ligger ofas nära gruvbryningen av bauxi av logisiska skäl. Härav kan man ur ovansående uläsa vilka länder som även är sörs inom gruvbryning av bauxi. Den globala renden vad gäller produkionen av aluminium visas i nedansående graf. Produkionen av aluminium har öka med en fakor 13 sedan 1950 och är nu den mes använda non-ferrous meallen på e global plan. 1998 illverkades 22.7 miljoner on aluminium uav en oal kapacie på 24,8 miljoner on. 15
1.5 Global illverkad volym i miljoner on av Aluminium (1900-1998) & i usen on 2000-2003 forecas De sörsa illverkningsländerna är Nordamerika (6 miljoner on), Europa (3.6 miljoner on) och därefer Afrika, Ausralien, CIS, Cenral/Syd Amerika och Mellanösern. I Europa är de sörsa illverkningsländerna Frankrike, Tyskland och Norge. Global produkion är ofa placerad där illräcklig elekrisk energi finns illgänglig p.g.a. aluminiumes mycke energikrävande produkionsprocess (elekrolys). 3.1.3 Marknaden Globala indusriländer (I-länderna) använder srax över 20 miljoner on aluminium om åre. Väseuropa sår för ca 1/3 av den primära aluminiumanvändningen. Diagram 1.6 Årlig produkion av Aluminium och dess uveckling 16
Tillverkande indusrier, som.ex. Rexam, använder oal i Europa ca 3.4 miljoner on rullad aluminium (en unnare yp av aluminium lämplig för illverkning av.ex. läskburkar). De 3.4 miljoner onnen används för a bl.a. illverka en del av de 210 miljarder läskburkar som illverkas om åre. Diagram 1.2 Global konsumion av Dryckesburkar oal 210 miljarder. De sörsa applikaionsområdena för aluminium finns inom ranspor, byggkonsrukion och förpackningsindusrierna där effekerna av aluminiumes många egenskaper är mycke påagliga. Den europeiska aluminiumindusrin sysselsäer för närvarande ca 240 000 personer (år 2000). 3.2 Rexam 10 3.2.1 Hisorik & Föreagsfaka Rexams hisoria ar sin början år 1881 då William Vansiar Bowaer grundar e föreag som arbear som agen för papper i London. Härefer sker e anal uppköp och avyringar under årens lopp. 1995 dvs. ca 100 år efer grundande av nuvarande Rexam, besod porföljen av e anal föreag inom många vi skilda områden såsom förpackning, byggnadsmaeriel, pappersillverkning, möbler och frak. 1999 förvärvades de svenska PLM varpå e ydlig fokus saes för Rexam. Konsumenförpackningar blev kärnfokus och dea försärkes i Juli år 2000 då yerligare e förvärv gjorden inom aluminiumburksillverkningen, de amerikanska American Naional Can. Rexam producerar mer än 40 miljarder burkar varje år (uav en oal produkion på 210 miljarder burkar global, vilke idigare nämns) på sina 19 fabriker i Europa, 17 i USA och join venures med 54 andra föreag i andra delar av världen. 22.000 personer arbear på 10 www.rexam.com 17
Rexam över hela världen och föreage omsäer ca 3.2 miljarder GBP (2003) inom de olika divisionerna: 1) Beverage Can Americas 2) Beverage Can Europe/Asia 3) Glass 4) Beauy & Closure 5) Plasic Conainers Dryckesburkar global (1 & 2 i ovansående) omsae 2.5 miljarder GBP med en Operaing Profi på ca 11 %. Råvaran aluminium kosade Rexam oal 900 miljoner GBP år 2003 för illverkningen av aluminiumburkar. I Nordamerika var Rexam under 2003 ine påverkade av några svängningar i aluminiumprise medan den europeiska delen av råvaruinköpe är hedgad. Valuan är även den hedgad för råvaruköpe men enbar för den europeiska delen. 3.2.2 Inköpssraegi för Aluminium Rexam använder ca 200 000 on aluminium per år i sin Europaillverkning av aluminiumburkar för dryckesindusrin. Rexam har även illverkning av aluminiumburkar i USA dock med e förbehåll vad gäller ansvare för prissäkringssraegin. När Rexam illverkar aluminiumburkar på konrak för.ex. Coca Cola Company, är överenskommelsen full pass hrough av råvarukosnaden för aluminiume, dvs. Coca Cola Company är själv ansvarig för prissäkringen av dess behov av råvaran. 100 % av all illverkning i USA sker på konrak dvs. Rexam har full pass hrough av råvarukosnaden för aluminiume. 50 % av illverkningen i Europa ugör full pass hrough och de reserande 50 % (100 000 on) är Rexam själva yers ansvariga för vad gäller prissäkring. Denna oala volym skulle, om så var syfe, kunna påverka de globala marknadsprise aningen upp eller ner, särskil om man ponerar a köpeillfälle är e enda. Så är dock ine falle. Rexam har ine som syfe med sin prissäkring a skapa en volail marknad för a på så sä kunna hia bäre radeoffs vad gäller aluminiumprise. Isälle är syfe a skapa en förusägbar marknad och en sabil prisbild. Dea görs ill 99 % med hjälp av erminsköp av aluminiume. 90 % av näskommande års aluminium är reda köp, dvs. prise är avala genom erminskonrak. 18
För a säkra de reserande 10% använder man även här erminer, sam e fåal opionsköp, för a säkra priserna 11. Rexams hedgingsraegi är mycke riskaver. Sor volailie i prisbilden påverkar marginalerna mycke krafig. Rexam bealar hellre e överpris än a riskerna några ovänade svängningar som påverkar råvarupriserna. E sabil aluminiumpris och en ujämning av prisbilden genom hedging är Rexams ualade risksraegi. Den vikigase orsaken ill Rexams riskaversion är den försäkring man vill göra ill akiemarkanden om en sabil illväx och sabila avkasningsnivåer. Akiemarknaden eferfrågar hellre en sabilie och långsikighe än en krafig svängning i resulae. Genom a redan idag ha säkra 90% av näskommande års råvarupriser ges en möjlighe a lägga en budge inför åre som gör a planering och förvänad avkasning läare kan esimeras. De re vikigase kommenarerna ill Rexams prissäkringssraegi är: 1. Exrem riskavera 2. Säkra långsikiga avkasningskrav 3. Ine vinsmaximerande vad gäller råvaruinköpen av aluminium Den vikigase enskilda fakorn som påverkar aluminiumprise är för närvarande växelkursen Dollar/Euro. Även om aluminiume har haf e sigande pris har dollarns försvagning give en mosa effek och jämna u pris volailieen, dea då aluminium uesluande handlas i USD på London Meal Exchange (LME). Rexam genomför samliga av sina köp av aluminium genom LME. 11 Alex Jennings, Purchase Manager Rexam Ld, Luon, GB 19
4 Teori 4.1 Hedging 4.1.1 Vad innebär hedging och varför använder man de? A skydda sig mo oförusedda händelser, som ill exempel krafiga prissvängningar pga. ubude av en råvara, kallas för hedging. Hedging är e inernaionell begrepp där man som föreag kan använda sig av olika finansiella insrumen, s.k. derivainsrumen för a säkra e framida pris. De olika insrumenen kan vara.ex. fuures, swappar eller opioner som används för a minska och/eller eliminera risken med e framida köp av.ex. en råvara. Derivae är e finansiell insrumen vilkes värde direk är beroende av den underliggande illgångens användning och variabler 12. Hedging kan även definieras som a en risk as för a en annan skall undvikas. Genom deriva och försäkringar skyddar man den underliggande illgången mo oförvänade prissvängningar. För a erhålla dea skydd ugår en premie, där en mosående par erhåller premiebealningen för a vilja erbjuda de framida och okända prise (opioner). De flesa föreag inom illverkade sekorer med behov av illgång ill en eller flera råvaror, hedgar ine för a göra vinser, uan isälle för a minska risken. Hedging underläar e föreags finansiella planering, som.ex. budgeering, och minskar problemen med krafiga svängningar i likvidieen. Isälle för a en föreagsledning skall oroa sig för risker uanför deras kärnkompeensområde, kan de fokusera på mer väsenliga kosnadsdrivare som ine kan säkras för framida osäkerhe. När möjlighe ges a kunna esimera framida resula med någo ökad säkerhe är en föreagsledning ofa benägen a göra så 13. De val av hedgingsraegier e föreag gör måse baseras på en övervägning om vilka risker föreage vill hanera och därav säkra. Föreages val av hedgingsraegi kommer i sor usräckning a påverka den riskprofil man vill följa. Föreages ledning är i si val av riskprofil också ydlig i de förvänningar de har på den marknad föreage verkar inom och hur siuaionen kommer a uvecklas i framiden. En definiion av sraegin bakom e hedging alernaiv kan säas i relaion ill den realism och de förvänningar e specifik föreag har på marknaden 14. 12 Hull, sid. 1 13 Brealey, R. & Myers, S. 14 Shapiro, A., Mulinaional Financial Managemen. Prenice-Hall Inernaional, 1996, New Jersey, sid. 268 20
De är vikig a komma ihåg a många föreag ine är ue efer a förbära de finansiella resulae, i.e. a köpa råvaran ill lägsa möjliga pris, uan isälle minska de finansiella riskerna och öka kvalieen på förusägelser genom a göra de önskade finansiella resulae mera sannolik 15. För a använda hedging som en prissäkringssraegi krävs de e inresse för den underliggande illgången på konanmarknaden, dvs. a varan är av fysisk inresse för köparen/säljaren. Är så ine falle, sker hedgingen enbar i spekulaiv syfe, vilke är de mes förekommande inom dagens handel med deriva 16. Endas 1 % av ingångna konrak leder ill en fakisk leverans av den fysiska varan 17. 4.2 Deriva A prissäkra en råvara kan göras på e fleral sä. De finansiella insrumen som sår ill rådighe och som diskueras vid aluminiumköp är erminskonrak (forwards), fuures sam köpopioner. Fuures och forwards är i sig mycke lika varandra och klumpas idag många gånger illsammans under begreppe erminer 18. De finns dock e anal skillnader mellan de vå vilke definieras nedan. Fuures, forwards och köpopioner är samliga prissäkringsmekanismer där kosnaden för säkringen kan liknas vid en försäkringspremie 19. 4.2.1 Fuures & Forwards På samma sä som en forward är en överenskommelse mellan vå parer av försäljning och köp av en underliggande illgång vid en viss idpunk i framiden ill e besäm pris, är även e fuures-konrak en sådan överenskommelse. Den underliggande illgången kan.ex. vara guld, aluminium eller socker. Till skillnad från forwardkonrakerna som handlas over-he-couner, mellan finansiella insiuioner, föreag och fondförvalare 20, så handlas fuures vanligen på börsen. Börsen har för a underläa handeln specificera och sandardisera konraken. Då moparerna 15 Hull, 2000 s. 35 16 Hull sid. 50 17 www.sparbankenfinn.se 18 Forwards, Dag Michelsen 19 www.sparbankenfinn.se 20 Hull, sid 667 21
vid handeln med fuures ofa ine är kända för varandra, säkersäller börsen a båda parer i de ingångna avale kan fullfölja avale, dvs. a leverans och bealning kan ske 21. Fuures kan även karakäriseras som a lösendaume, dvs. den dag då handeln skall avsluas, ine är specificerad. Den börs där konrake handlas besämmer under vilken idsperiod konrake måse uppfyllas. Dessuom är de enbar möjlig a ingå fuurekonrak för e begränsa anal underliggande illgångar, vilke beyder a fuurekonrak ine kan handlas med vilka underliggande illgångar som hels. Därför krävs de a köparen och säljaren håller sig inom gränserna för de specifika fuures som är lisade på exiserande börser som.ex. London Meal Exchange 22. Med forwardkonrak kan parerna som ingår handeln förhandla om avales villkor. Parerna kommer överens om vilken underliggande illgång konrake avser, om vad prise på forwarden är och om idpunken då forwardkonraken når maurieen 23. När den riskfria ränenivån är konsan och likvärdig för samliga löpider, är också prise på forwardkonrake med e viss lösendaum de samma som prise för en fuure med de samma lösendaume. Men när ränenivån varierar (som den gör i den verkliga världen) är prisen på forward- och fuurekonrakerna i eorin ine längre de samma. Speciell när livsiden för forwards och fuures ökar, ökar också skillnaderna på prisen mellan de vå konraken. De skulle vara riskabel a ana a prise på forward- och fuurekonrakerna är perfeka subsiu för varandra då ränan har en direk avgörande roll från e idsperspekiv 24. 4.2.2 Opioner En opion används också som e finansiell insrumen. Köparen av opionen äger räigheen a köpa eller sälja den underliggande varan ill e fas pris under en fassälld period. De finns en skillnad på periodbegreppe då en amerikansk opion kan unyjas när som hels fram ill sludaum för konrake medan en europeisk opion endas kan unyjas på de 21 Hull, sid 5 22 Goone, 2000, s. 1 23 Goone, 2000, s.1 24 Hull, 2000, s.61 22
sludaum som avalas i konrake 25. En köpopion ger köparen fördelen a köpa en underliggande vara ill e förubesäm pris, lösenprise, och säljaren skyldigheen a sälja samma vara ill e i konrake avala pris om köparen väljer a lösa in sin opion. För a köparen skall få möjlighe a få köpa ill e i förväg avala pris i framiden bealar denne en premie, opionsprise, vilke kan liknas vid en försäkringsavgif. Uryck i formler: För a köparen skall unyja sin köpopion är de e krav a: Lösenprise är lägre än Marknadsprise, X < S + 1. För a opionens fulla kosnad skall äckas krävs de a Lösenprise är lägre än (Marknadsprise + opionspris), X < S +1 + c. Är opionsprise lägre än marknadsprise men ine lägre än marknadsprise + premiebealning, används opionen där den då äcker en del av premiebealningen. Är opionprise högre än marknadsprise förkasas opionen, dvs. den unyjas ine då de är billigare a köpa den underliggande varan ill marknadsprise 26. De är vikig a beona skillnaden av en köpopion jämför med forwards respekive fuures. I köpopionsillfälle behöver ine köparen unyja sin rä ill a få köpa den underliggande illgången. För forwards och fuures konrak är parerna skyldiga a respekive köpa och sälja den underliggande illgången även om de ine har beala någo för räen a få göra så. Opionsköparen bealar som idigare nämn en premie för a få möjligheen a köpa illgången 27. 4.3 Riskfakorn 4.3.1 Volailie Volailieen är e må på hur mycke en underliggande illgångs pris varierar under en viss idsperiod. Mer akademisk kan sägas a ermen volailie åskådliggör hur sor illgångens prissspridning är, give en viss idsperiod. Volailieen ingår i Black & Scholes formel och påverkar opionsprise posiiv, de vill säga a när volailieen ökar gör opionsprise också 25 Hull, sid 6 26 Hull, sid. 7-8 27 Hull, sid. 6 23
de. En högre volailie i den underliggande illgången innebär a möjligheerna för opionen a bli in-he-money ökar, vilke moiverar e högre opionspris. 28 För a beräkna volailieen kan olika må användas, dock används ofas sandardavvikelsen. Sandardavvikelsen har si ursprung i saisiken och beräknas enlig följande: S 2 = v = σ / ( Pi P) n 1 P 2 P i = genomsnilig pris för alla P i P = dags-pris n = anal observaioner v = volailie Volailieen används i värderingar om osäkerheen i de realiserade värde i.ex. en köpopion 29. Osäkerhe är i sig själv den risk en riskaver köpare av erminskonrak eller opioner vill eliminera ill så sor del som möjlig. 4.3.2 Säkring av kassaflöde I grafen nedan visas fördelningen av e neokassaflöde run e förväna framida värde E(V) på kassaflöde. De riskavera föreage med hjälp av finansiella insrumen (säkringar), minska riskerna ill avvikelser från E(V). Spridningen är mindre hos de säkrade föreage och sannolikheen a sora förluser uppsår är begränsade, samidig som möjlighe ill sora vinser också begränsas. 30 Säkringens effek på förväna kassaflöde 31 28 Hull, Opions, Fuures & Oher Derivaives, 2000,sid 169 29 Hull, Opions, Fuures & Oher Derivaives, 2000,sid 671 30 Eieman D.K, SonehillA I, Moffe M H, Mulinaional Business Finance, 1998, sid 189 31 Eieman,e al., sid 189. 24
4.4 Risk Managemen Risk Managemen är e sysemaisk sä a idenifiera och ill en rimlig kosnad hanera e föreags risker. De är även e verkyg a i förväg planera en forlevnad under och efer svåra sörningar. Dea gör a de ine finns någon klar och enydig definiion för Risk Managemen, ofa har olika länder olika definiioner. Risk Managemen bör a hänsyn ill den oala risksiuaionen och har en funkion före, under och efer de a en skada evenuell inräffa 32. Måle med Risk Managemen är a skydda liv och egendom och föreages forbesånd sam a hålla föreages kosnader för skador och skydd på en rimlig nivå. Inom Risk Managemen ugör följande sex punker en lämplig arbesmodell 33 : Idenifiering av risker Värdering av risker Riskbehandling Genomföra besluen Följa upp och konrollera Koninuiesplanering 4.5 Riskanalys Riskanalysen skall idenifiera all som kan uveckla sig negaiv i e föreags verksamhe, hur sor sannolikheen är a de inräffar, vilka konsekvenser och om möjlig en kosnadskalkyl. För a genomföra en riskanalys krävs a kärnverksamheen har idenifieras. I kärnverksamheen ingår resurser som personal, urusningar och maskiner, program, service och underhåll, exerna beroenden som leveranörer, råvaror, jänser och ransporer. Varje del i kärnverksamheen måse idenifieras och därefer analyseras ur risksynpunk. Riskanalys köp om a definiera de ho som en verksamhe möer. Efersom hoen ine själva kan påverka verksamheen behövs hål i verksamheen, dessa hål kallas sårbarhe. De är förs när en kombinaion av ho och sårbarhe som man erhåller en sörre eller mindre påverkan på de illgångar som man försöker skydda. En risk exiserar om ingen lyckas idenifiera den. De är bara de ågärder som vidagis för a komma ill räa med risken, 32 Sandin, Alf. 33 Ibid. 25
förebyggande eller skadereducerande, som moverkar a den blir e problem. Oavse hur risken bedöms kan den ändra sin beydelse all efersom iden går. Dea medför också a riskanalysen som ine är en engångsföreeelse uan en cyklisk process som hels bör åerkomma mins en gång per år eller när förändringar sker i processer eller på andra sä. Ågärderna reducerar riskerna och moverkar hoen. En mycke vikig del inom riskanalysområde är a balansera kosnaden för ågärderna mo de risker som finns. E skydd eller en ågärd mo en speciell risk skall allså ine vara sarkare än nödvändig, men ine heller kosa för mycke i förhållande ill vad skadan hade kosa om den fakisk inräffa 34. 4.6 Payoff Payoff eller ufall definieras i denna analys som den fördel den finns med a använda opion eller spo mo a hedga med ermin. Anledningen a vi jämför med ermin är a dea är Rexams ypiska prissäkringssraegiska insrumen. Vi definierar allså Payoff som: Opion: F min ( S ; K ) c,där F är erminspris, S är marknadspris vid idpunken, c är prise på köpopionen och K är lösenpris. Avisa: F S, där F är erminspris, S är marknadspris vid idpunken. 4.7 Sharpekvoen som insrumen för uvärdering av placeringsalernaiv Den så kallade Sharpe-kvoen är e vanlig redskap för a uvärdera och välja mellan olika finansiella placeringsalernaiv. Principen är enkel och ugår från porföljvalseorin. Kor sag mäer indexe kvoen mellan en placerings förvänade eller hisoriska överavkasning (jämför med den riskfria ränan) och dess risk, mä i sandardavvikelse. Dea kan skrivas uryckas genom ekvaionen 35 S i = E( r ) r i σ r i f 34 hp://www.sis.se/projek/lis/pdf-filer/riskanalys.pdf 35 Haugen, sid 280 26
där r f är den riskfria ränan, E(r i ) är förvänad avkasning på en placering, och σ ri är sandardavvikelse för placeringens avkasning. Man kan säga a dea må säger hur effekiv en placering är i avseende förvänad avkasning konra risk. Dea må har nå sor spridning och är e väleablera sä a jämföra placeringsalernaiv med olika förvänad avkasning och risk. En jämförelse med de placeringsproblem vi har i vår analys ligger nära ill hands. Analogin här är a opionen är en riskabel illgång, medan erminen är en riskfri illgång. Den riskabla illgång, opion, som är mes effekiv i hänseende kan med fördel kombineras med den riskfria illgången, erminen. Se avsni 27
5 Empiriska meoder 5.1 Regressionsanalys med OLS-meoden Regressionsanalys är den vanligase meoden för a esa samband mellan variabler, och den vanligase modellen för regressionsanalys är OLS-modellen, Ordinary Leas Squares. Den ugår ifrån e linjär samband mellan variabler, och dea undersöks sedan. De är dock vikig a vara klar över a modellen ine kan säga någo om kausalie, uan snarare kan den bara säga någo om saisisk samband. De är därför egenligen bara lämplig a använda modellen för a syrka eller mobevisa en hypoes som i förväg formuleras uifrån eoreiska resonemang. De är också de vi använder modellen ill i denna sudie. Maemaisk kan man beskriva modellens specificering som följer 36 : y = Xθ 0 + ε(θ 0 ) där y är en (Tx1)-vekor med T anal observaioner av y, X är en (TxN x )-maris med T observaioner av N x oberoende variabler, θ 0 är en (N x x1)-vekor av paramerar för X (vanligvis kallade β-värdena) 37, och ε(θ 0 ) är en (Tx1)-vekor med T observaioner av felermen ε, här skriven som en funkion av paramerarna θ 0. Dea är inuiiv, då värdena på y och X är givna. 5.2 Regressionsanalys med Maximum Likelihood-modellen En annan meod för a esimera linjära samband är Maximum Likelihood-modellen, eller ML som den vanligvis kallas. Den är e slags komplemen ill OLS, och används då man ine på förhand känner ill hela marisen X, de oberoende variablerna. E exempel på när dea kan vara falle är när man försöker esimera en ARMA(1,1)-modell 38 : y = y 1 + θε 1 φ + ε 36 Campbell, e al, sid. 527. 37 För a infoga e inercep i ekvaionen, säs alla värden i en rad i marisen X (förslagsvis den försa) ill 1. 38 Hamilon. 28
Här har vi probleme a vi ine känner residualerna ε -1 och ε innan esimering, och kan följakligen ine skapa X. Dea kan även definieras som 39. y = y 1 + θ ( y 1 φy 2 θε 2 ) φ + ε Med ML-meoden går man då illväga på följande sä: Förs väljs vå sarvärden på θ och φ, uifrån vilka man kan beräkna residualer och varians. Därefer upprepar man a a fram nya värden på θ och φ ills variansen anses minimerad enlig någon form av konvergenskrierium. Ren prakisk så räknar ML-meoden u sannolikheen för a värden från den fördelning vi hia på skall åerfinnas bland värdena i den verkliga fördelningen, som vi ine känner ill. Dea kan skrivas I 1 = A B A B där A är den empiriska daan, och B är vår gissning. Vi vill nu maximera A B. 40 Nackdelen jämför med OLS är a den kräver mer beräkningar, och har sämre egenskaper vid små urval. Fördelen är bland anna a man kan esimera många icke-linjära modeller. I de flesa fall, inklusive vår sudie, används ML för a esimera bäsa ARCH/GARCHmodell. 5.3 Tidsserieanalys med ARMA-modellen ARMA-modellen försöker fånga åerkommande mönser bland rörelserna i idsseriedaa. De är den modell som allmän associeras med esimering och prognosisering i idsserieanalys. Den besår egenligen av vå modeller: Den auoregressiva processen, eller AR, och MAprocessen, som sår för Moving Average. 39 Hamilon 40 Ibid. 29
5.3.1 AR Den auoregressiva processen Man änker sig a värde på många idsserier, ine mins finansiella sådana, vanligen följer e idsmönser som innebär a värde på en idsserievariabel y vid idpunken har e regressiv samband med värde på y vid idpunken k, där k är e helal > 1. Variabeln k kallas för lag. Enkel uryck så är värde beroende i viss usräckning av idigare värden. Vi änker oss exempelvis ine a prise på aluminium hel plöslig skulle redubblas, för a dagen efer sjunka ill näsan noll, och så vidare. De flesa serier är beydlig jämnare, och därför kan man ureda om denna yp av samband föreligger. Maemaisk kan man beskriva en ARprocess med en periods lag, eller AR(1), som 41 y = y 1 φ + ε därφ är en koefficien, vanligvis 0 < φ < 1. ε är en felerm. Givevis kan dea uföras för fler laggar, en så kallad AR(p), som kan generaliseras 42 y = 1 y 1 +... + φ p y p φ + ε 5.3.2 MA Moving average-processen Moving average säger a de föreligger e samband mellan residualer, dvs. a förra periodens avvikelse från medelvärde (eller mosvarande) delvis ligger kvar, eller åminsone påverkar värde idag. Dea är också vanlig i finansiella idsserier. Man kan skriva en försa ordningens Moving Average-process, MA(1), maemaisk som 43 y = ε + θε = ε + q i= 1 q 1 θ ε q De går även a urycka en AR(1)-process som en MA( )-process genom 44 41 Campbell, e al 42 Ibid. 43 Ibid 44 Campbell, e al 30
y = φ( φy = = φy j= 0 1 2 j φ ε + ε + ε j 1 ) + ε. Där vi för enkelhes skull anar a y 0 = 0. Vidare kan AR- och MA-processer dessuom kombineras för a få fram en så kallad ARMA(p,q)-process, som har useende 45 y = φ y... θ ε 1 1 +... + φ p y p + ε + θ1ε 1 + + q q Dessuom kan de kombineras med konsan och sedvanlig regressionsanalys med andra sorers (idsserie-)variabler för a få fram bäsa möjliga regression, dvs. prognosmodell. I vår sudie kommer vi a fram lämplig ARMA-modell med hjälp av OLS-modellen. 5.3.3 Auokorrelaion och icke-saionärie i idsserier En vikig komponen bland segen i denna analys är a räkna u auokorrelaionen mellan observerade variabler. ARMA-modellen är speciell, såillvida a den har egenskapen a den lämplighe med vilken en ARMA-process beskriver en idsserie, kan känneecknas av särskilda egenskaper i denna empiriska daa. Bäre uryck så urycker sig dessa egenskaper i så kallad auokorrelaion. Auokorrelaion är analog med vanlig korrelaion, men kovariansermen avser kovarians mellan värden på en serie, fas över olika idsinervall (laggar). Maemaisk kan dea uryckas 46 ρ = k Cov Var [ y, y k ] γ k = [ y ] Var[ y ] γ 0 k där γ 1 = E[ ( y µ )( y 1 µ )] = E[ φ1 ( y 1 µ )( y 1 µ )] + E[ ε ( y 1 µ )] = φ1γ 0 a för en AR(1)-process har vi 47 φ1γ 0 ρ = = φ1 γ k. 0, vilke innebär 45 Ibid 46 Franses, sid 42-43 47 Franses, sid 43. 31
Sark auokorrelaion bland residualer kan få allvarliga konsekvenser för en ARMA-modells implemenering och prognosisering. Vi har dessuom idigare visa a AR(p)-process ofa kan uryckas som en MA(p)-process. Varför dea kan vara e problem diskueras i avsni 5.3.4. Vid regressionsanalys vilar mycke på anagande a de serier man använder är saionära. Dea innebär a seriens medelvärde och varians är konsana över iden, sam a auokovariansen mellan vå värden endas beror på avsånde i id mellan dem, ine på idpunken. Dea kan maemaisk skrivas 48 E ( y ) = µ 2 ( y ) = σ ( y, y+ s ) = cov( y, y s ) = γ s var cov där de sisa urycke implicerar a kovariansen beror på s, men ine på. Dessa krav kan dock sällan uppfyllas i finansiella idsserier, vilke ydlig framgår av exempelvis vår egen idsserie för spoprise på aluminium, som preseneras i bilaga 1. Den visar inga ecken på konsan medelvärde. Konsan medelvärde innebär a serien skall vara mean-revering, dvs. serien kresar kring medelvärde. De kan också uryckas som a φ < 1 i MA(1)- processen 49 y = + φε 1 α + ε Om φ = 1, innebär dea a vi har en s.k. random walk. Omφ > 1 har vi en explosiv uveckling på serien, men dea är mycke sällsyn och förekommer i prakiken ine. 5.3.4 Problem med Random Walk, enhesro och spurious regression, och lösning på dea problem med differeniering Ibland när man uför en esimering av en ARMA-modell, kan man få väldig hög förklaringsgrad, vilke i andra sammanhang brukar vara posiiv, e ecken a man är på rä 48 Hill, e al sid 336. 49 Hill, e al sid 338. 32
spår och har specificera en bra modell. Inom idsserieanalys är de dock e varningsecken a få ovanlig hög R2 (fakum är a en enkel ARMA-process ofas bara har R2 run några procen). De är nämligen e ecken på a serien har enhesro, vilke beyder a den följer en s.k. Random walk -process. De är läas a beskriva en sådan process maemaisk. De finns några olika versioner. Random Walk 1 kan skrivas 50 P 2 = µ + 1 + ε ε ~ IID(0, σ ) P Där IID beyder independenly and idenically disribued, dvs. idenisk och oberoende fördelade. Så kallad spurious regression uppsår efersom vå långsam skifande serier relaeras ill varandra 51. De innebär a en prognosisering uifrån dessa daa roligvis ine skulle sämma särskil väl med verkligheen - ros den höga signifikansen för regressionen - och följakligen vara oanvändbar. Dea är mycke vanlig inom finansiella idsserier. De finns dock sä a lösa dea problem. Om en idsserievariabel y, som har enhesro, skall användas som beroende variabel med en annan variabel x, som också har enhesro, är de rolig a spurious regression kommer uppså. Men om man differenierar de båda serierna genom a definiera 52 z = y y 1 kommer dea i de flesa fall innebära a enhesroen försvinner (annars kan man differeniera en gång ill). Nu kan man uföra regressionsanalysen på z -serierna i sälle, därför a den MA-process man kan passa ill respekive serie har θ < 1. Sedan använder man dessa daa för a göra en prognos på dela y-serien, och differenierar illbaka för a få en prognos för originalserien. I vissa fall måse man differeniera en gång ill för a bli av med enhesroen. Dea kan gälla vissa yper av idsserier, exempelvis är de ine ovanlig för inflaion. 50 Campbell, e al. 51 Hill, sid. 340 52 Franses, sid. 45 33