LEDNINAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4 LP 4.3 Tyngdkraften, normalkraften och friktionskraften verkar på lådan. Antag att normalkraftens angreppspunkt är på avståndet x från lådans nedre vänstra hörn. Kraftekvationen F = ma och momentekvationen M = H i komponentform ger : f = ma : N mg = 0 () : h f N b x = 0 (3) Lådan har ju ingen vinkelacceleration. ätt in och () i (3)! ma h mg b x = 0 x = b ha g ränsfall glidning f = µ N a= µ g ränsfall balans x = 0 a = b h g
LP 4.4 De yttre krafterna på skottkärran är tyngdkraften mg, kraften P samt normalkraften N vid hjulet. Problemtexten kan kanske ge intrycket av att kraften P är given. Tanken är att den ska bestämmas, så att skottkärran utan rotation får accelerationen a. Kraftekvationen F = ma : Pcosθ = ma : Psinθ mg+ N = 0 () Momentekvationen med avseende på masscentrum M = H : Nc Psinθ b Pcosθ ( d h)= I 0 (3) Högerledet i ekv (3) är noll eftersom skottkärrans vinkelacceleration är noll. Lös nu ut Pcosθ och Psinθ ur ekv och () och sätt in i ekv (3)! = 0 Nc mg N b ma d N( b + c)= ma( d h)+ mgb N = ma( d h)+ mgb b+ c [ ] Nu när normalkraften är känd kan vinkeln θ bestämmas ur ekv och (). Psinθ Pcosθ = mg N ma tanθ = tanθ = g ad ( h)+ gb b + c a gc a( d h) ab+ c [ ] --------------------------------------------------------------------------------------- Alternativ lösning: Momentekvationen med avseende på en rörlig punkt A skrivs allmänt M = H + r ma A A I detta fall fås normalkraften direkt ur ekvationen A : N( b + c) mgb = I 0 + ( d h) ma täll nu upp momentekvationen med avseende på punkten C, som är skärningspunkt mellan verkningslinjerna för krafterna P och N. C : mgc = I 0 + [( d h)+ ( b + c) tanθ] ma Ekvationen ger direkt vinkeln θ.
LP 4.8 Förutom tyngdkraften mg finns det en kontaktkraft vid P. nabbaste lösningen ges av momentekvationen M = H + r ma P : P Prel P P + mg b mb h = h θ ma 3 ätt a = g/3! h b mb h mg = + 6 3 θ θ = ( h 3b) g b + h Testa också en lösning med kraftekvationen F = ma och momentekvationen M = H! ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- LP 4.5 Kontaktpunkten är momentancentrum så att om punkten O har hastigheten v, så har kroppen vinkelhastigheten ω = vr / och stången hastigheten 3 7 R+ R ω = v 4 4 Rörelsemängdsmomentet är i detta ögonblick H = H + H tot cyl stång O O O O är cylinderns masscentrum, som kan kallas : H = H = H cyl cyl cyl O rel Det är alltså bara cylinderns rotation som bidrar till rörelsemängdsmomentet. I mr v mrv R cyl cyl ( H O ) z = O ω = = 3R m 4 7v 4 stång ( H O ) = = z mrv 3 tot ( H O ) z = 37 mrv 3 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
LP 4. De yttre krafterna på rullen är trådkraften c, tyngdkraften mg samt en reaktionskraft vid axeln. Dessutom verkar friktionen vid axeln som motsvaras av kraftparsmomentet M. På den hängande kroppen verkar trådkraften och tyngdkraften mg. Momentekvationen för trådrullen med avseende på centrum O, som är en fix punkt M O = H O O : r M I = θ Kraftekvationen för den hängande kroppen F = ma : mg = mx () De obekanta är, x och θ. Vi behöver alltså en till ekvation. Den ges av kinematiken och motsvaras av rullningsvillkoret. Den hängande kroppens hastighet måste vara densamma som hastigheten i den punkt på rullen där tråden löper ut. x = rθ x = r θ (3) Dividera ekv med r och addera sedan ekv och ()! Inför också det givna tröghetsmomentet I = md! M md mg = θ + mx r r Om rullningsvillkoret insättes fås M md mg = + m x r r x mgr Mr = mr + md Denna acceleration är konstant. Vi kan bestämma hastighet som funktion av fallsträcka på samma sätt som vi gör för fritt fall. ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Det är naturligtvis också möjligt att skriva upp momentekvationen med avseende på den fixa axeln för hela systemet. Då blir trådkraften en inre kraft och den hängande kroppen bidrar till rörelsemängdsmomentet: d O : mgr M t I rm x = ( θ + ) d Ekvationen överensstämmer med ekv!
LP 4.3 mg f N r P R Frilägg trådrullen! Verkande krafter är dragkraften P, tyngdkraften mg och kontaktkraftens komponenter f och N. Men åt vilket håll är friktionskraften riktad? Antag först att planet är glatt. Om verkningslinjen för P då går nära masscentrum skulle trådrullen få en translation. Med friktion skulle då friktionskraften vara riktad åt vänster. Om verkningslinjen för P i stället går högt upp skulle trådrullen på ett glatt plan få en rotationsrörelse och vinkelhastigheten skulle kunna bli för stor jämfört med rullning utan glidning. Trådrullens kontaktpunkt skulle få en hastighet åt vänster. Friktionskraften skulle då vara riktad åt höger. Vi antar rullning utan glidning och bestämmer f med dynamikens ekvationer Antag en friktionskraft åt vänster. täll upp komponenterna av kraftekvationen och momentekvationen: F = ma : P f = mx : N mg = 0 () M = H : r P+ R f = I θ (3) Rullningsvillkor: x = R θ Tröghetsmomentet är I = md. Dragkraften P är given. ätt in ekv i ekv. Multiplicera ekv med d / R och addera sedan ekvationerna och (3). Man får: Resultatet är P r d R + f R+ d R d Rr f = R + d P = 0 Friktionskraften f kan alltså bli negativ och då är den riktad åt höger.
LP 4.5 45 A a A O b e x e y b Kroppen påverkas av trådkraften och tyngdkraften mg. I det första ögonblicket efter trådbrottet har kroppen acceleration men ingen hastighet. Hörnet A startar en cirkelrörelse och har en acceleration i y-riktningen. Punkten har en acceleration som ges av sambandsformeln, alltså samma acceleration som punkten A i y-riktningen och dessutom en acceleration i x-riktningen för att skivan börjar vrida sig. a x mg a y kivans vinkelacceleration bestäms av momentekvationen. Trådkraften kan sedan bestämmas med kraftekvationen. Om skivans vinkelacceleration antas b vara α, så är a = x α Tröghetsmomentet med avseende på A fås med teiners sats: I I m b mb m b mb A = + = + = 6 3 F = ma e : + mg = x ma x M Ekv (3) ger : = H A : mg b mb a x = 3 b/ a x = 3g 4 () (3) Ekv () ger : mg 3 = m g 4 Resultatet är mg = 4
LP 4.30 De yttre krafterna på hjulet är tyngdkraften mg, friktionskraften f, normalkraften N samt en kraft vid axeln från stången. Vi antar att denna kraft är horisontell. Då är normalkraften lika med tyngdkraften och friktionskraften är vid glidning f = µ N f = µ mg Momentekvationen för hjulet med avseende på masscentrum, M = H : f r = I θ () Från början är vinkelhastigheten noll. Hjulet slirar men har en vinkelacceleration ända tills det rullar utan att glida. Vinkelhastigheten ökar under denna tid från noll till det värde som ges av rullningsvillkoret: v = rθ (3) Tidsintegrering av ekvation () under det tidsintervall i vilket hjulet slirar ger µ mgr t = I θ 0 Men bilen går med konstant hastighet under denna tid. Förflyttningen för den och för hjulet är ätt nu in (3) och (5) i! d = vt (5) µmgr d v = I v r µ = Iv mgdr
LP 4.78 Betrakta det första läget! Masscentrum bestäms först. Låt origo ligga i hjulets centrum! Inför en vertikal y-axel! y m 0 m 0 m r/ r 4m 8 = + + = Tröghetsmomentet bestäms med teiners sats. Låt A vara kontaktpunkten! mr I = O mr + = 3 mr () 3 I = mr m r 3 4 = mr 8 6 I I m r 9 3 8 A = + 4 = mr + mr = 7mr 8 6 6 a) Kinetiska energin 7 T = IAωA = mr ω A (5) b). Låt B vara den nya kontaktpunkten! (3) 65 96 IB = I + 4m r = mr 64 6 (6) Kinetiska energin T = IBωB = 3mr ωb
LP 4.00 Kraftmomentet och tyngdkraften gör arbeten så att den kinetiska energin ökar. Lagen om arbetet U = T T 0 ger M mg b π π θ θ + mb θ 4 4 = sin sin 3 Mθ mg b θ θ mb + θ sin cos = 3 3 θ = θ ( sinθ + cosθ ) M mg b mb
LP 4.40 A För stöten gäller stötimpulslagen = mv mv e f b ω v och stötimpulsmomentlagen r = H e H f b/3 B Index e och f står för efter och före stöt. Komponentekvationerna blir : = mv : b m b = 3 ω () Alltså är v = m (3) ω = mb ambandsformeln för hastigheter ger nu hastigheten i A Komponentekvationen blir v = v + ω r (5) A A v A = m b mb (6) Resultatet är v = A m Hastigheten för A är m och den är riktad åt vänster
LP 4.43 ω 0 β 0 ω v β För stöten gäller stötimpulslagen = mv mv e och stötimpulsmomentlagen f v 0 V r = H e H f H Index e och f står för efter och före stöt. Komponentekvationerna blir : V = mvsin β mv0sin β0 : H = mvcosβ mv0cosβ0 () : R H = Iω Iω 0 (3) tudstalet vsin β 0 e = v sin β 0 0 0 Friktionsvillkoret ger = µ (5) H V Ekv och ger = V mv + 0sin β 0 e (6) Då ger ekv (5) = µ H mv β + 0sin 0 e (7) Vi skriver ekv () och ekv en gång till, med utnyttjande av (7): vsin β = ev0sin β0 (8) vcosβ = v cosβ µ v sin β 0 0 0 0 + e (9) Division ger eller esin β0 tan β = cosβ µ sin β + e 0 0 e tan β0 tan β = µ tan β + e 0 tan β 0 om µ tan β 0 ( + e)