GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet [,] Definition Om minst en v ovnstående villkor V, V inte är uppfylld säger vi tt integrlen är en generliserd integrl med oändligt integrtionsintervll:, och * Vi definierr När vi eräknr med hjälp v gränsvärdet lim lim kn tre fll förekomm: i) lim A, där A är ett reellt tl I dett fll säger vi tt integrlen konvergerr, hr värdet A, och skriver A ii) iii) lim (eller ) Vi säger tt integrlen divergerr lim eisterr inte Vi säger tt integrlen divergerr ** På liknnde sätt definiers smt konvergensen / divergensen v denn integrl *** Vi säger tt konvergerr om och endst om åde konvergerr och Uppgift Undersök om följnde integrler är konvergent och nge i så fll ders värden v 8
) e ) c) d) cos( ) ) e e e e lim + + Integrlen konvergerr och hr värdet e ) + Integrlen konvergerr och hr värdet c) 8 8 lim Integrlen divergerr d) sin() sin( ) cos() sin( ) lim eisterr inte Därmed integrlen cos( ) divergerr Uppgift Undersök om följnde integrler är konvergent och nge i så fll ders värden ) Lösning ), c) 8 v 8
) 5 5 + 5 5 Integrlen är konvergent och hr värdet 5 ) [ ln ] ln( ) ln Integrlen är divergent c) 8 5 [ ] 5 5 integrlen divergerr Anmärkning Mn kn generliser ovnstående uppgift till följnde viktig resultt (som vi oft nvänder i smnd med nednstående jämförelsests) konvergerr om p > p divergerr om p --------------------------------------------------------------------------------------- Om funktionen för är ren v det oändlig området R {(, :, y < } lik med Uppgift Beräkn ren v området R {(, : <, y < } ) R {(, : <, y < } + ) R {(, : < <, y < } + rctn c) R {(, : <, y < } + d) R {(, : <, y < } v 8
Svr: ) Aren [ rctn ] lim[ rctn rctn ] ) + π π Aren π + π + + + c) Ledning : Med hjälp v sustitutionen rctn t dt + rctn får vi + (rctn ) rctn Aren [(rctn ) ] + d) Aren [ ln ] π 4 4 v 8
med en oegränsd integrnd: * Vi etrktr där f () är oegränsd i ändpunkten ( mer precis, f () oegränsd i vrje omgivning till ) är Vidre ntr vi tt integrlen Vi definierr eisterr för ll där < < med hjälp v gränsvärdet lim När vi eräknr lim kn tre fll förekomm: i) A lim, där A är ett reellt tl I dett fll säger vi tt integrlen konvergerr, hr värdet A, och skriver A ii) iii) lim (eller ) Vi säger tt integrlen divergerr lim eisterr inte Vi säger tt integrlen divergerr ** På liknnde sätt, med hjälp v + lim, definiers konvergensen / divergensen v denn integrl om integrnden f () ändpunkten *** Om f () smt är oegränsd i är oegränsd i en punkt c som ligger melln och är c konvergent om och endst om åde och konvergerr; i dett fll c 5 v 8
c + c Uppgift 4 i) Förklr vrför följnde integrler är generliserde och ii) estäm om integrlern är konvergent ) / ) c) ( ) / d) / Lösning: ) i) / är en generliserd integrl eftersom integrnden är oegränsd inom intervllet [,] { Integrnden om / + } ii) / / / / [ ] [ ] / / om + Därmed konvergerr integrlen och hr värde / / ) i) är en generliserd integrl eftersom integrnden [,] { Integrnden om + } är oegränsd i intervllet 6 v 8
ii) [ ] [ + ] 8 om + Integrlen divergerr c) i) ( ) / intervllet [,] { Integrnden är en generliserd integrl eftersom integrnden är oegränsd i ( ) / om } ii) Svr: Integrlen konvergerr, / ( ) d) / intervllet [,] { Integrnden är en generliserd integrl eftersom integrnden är oegränsd i / om } ii) Från / ( ) ( ) / / < < hr vi 7 v 8
/ [ ( ) ] / / ( ) / [ ( ) ] / / ( ) Alltså, åd integrler hr värdet, konvergerr, därmed konvergerr och + 4 8 v 8