Integrlll Anls6 (Grundurs) Instuderingsuppgifter Dess övningr är det tänt du s gör i nslutning till tt du läser huvudteten. De flest v övningrn hr, om inte lösningr, så i vrje fll nvisningr till hur uppgiften n löss. H doc inte för bråttom tt titt på lösningrn det är inte så mn lär sig. Du måste först nog funder ut vd det du inte förstår. Glöm inte tt hel tiden refleter ring vd du lär dig. Ser som är svår tt förstå räver iblnd tt mn täner under en längre period. Iblnd måste mn br lär sig hur mn gör, för tt förstå lite senre (när hjärnn fått mer tt rbet med). Den bestämd integrlen Att berän en bestämd integrl är mcet lätt om mn br n hitt en primitiv funtion till integrnden. I de följnde övningrn s du öv på tt sriv lösningen så tt den endst innehåller bestämd integrler. Mn n lterntivt lös dem genom tt först bestämm en primitiv funtion och sedn nvänd insättningsformeln. Övning Berän följnde integrler + + 5 + 6, b) e ln( + e ), c) d) e (ln ), e) ln( + ) +, f ) cos( / ). Övning Motiver vrför oliheten ( + e ) 6 är snn. I en bestämd integrl b f () måste integrnden f vr begränsd på hel intervllet [, b] som måste vr ändligt. Men mn n vilj rän ut integrler där så inte är fllet. Sådn integrler lls generliserde integrler. Att berän dem innebär tt vi behöver gör en gränsövergång. Övning Berän följnde generliserde integrler +, b) +, c) e e. Vi ser här tt det mellerst gränsvärdet blev oändligt. Mn säger då tt integrlen är divergent. Om gränsvärdet är ändligt säger mn tt den onvergerr. Så länge integrnden är är det br de två fllen som n inträff: ntingen onvergerr integrlen, eller så är den oändlig. För integrnder som välr tecen är det lltjämt så tt den är onvergent om gränsvärdet finns, men dett n den misslcs med på mång oli sätt. Vi väntr doc med det. I näst eempel är det integrnden som blir obegränsd, inte gränsern. Övning Är följnde integrler onvergent eller divergent? ln, b) ln, c) / ln. Är en integrl generliserd på fler än ett sätt måste mn först del upp den (eller vr noggrnn med två gränsövergångr, men det n iblnd vr lite svårre). Övning 5 Berän följnde integrler +, b), c) ( ) ln( ). Övning 6 Motiver vrför X X + ln för ll X >. Hur n mn nvänd dett till tt vis tt integrlen är onvergent? + ln b) Använd ett resonemng linnde det i för tt vis tt integrlen är divergent. ln Övning 7 Konvergerr eller divergerr integrlen Vd gäller för integrlen + 5? + 5? Om Mclurinutveclingr Dett vsnitt är mest ett bevis för en formel som vi redn disutert. Men för tt förstå innehållet, gör följnde övning: Övning 8 Härled, genom prtilintegrtion, Mclurinutveclingen v :e ordningen v f () = ln( + ). Vis ocså hur mn får resttermen på Lgrnges form. Näst övning är till för tt du s förstå integrlllens medelvärdessts. Den hndlr om en enlre vrint som ingår i beviset för nlsens huvudsts i näst vsnitt. Övning Förlr vrför det gäller tt om m f () M då b, så är m b f () M. b b) Förlr vrför innebär tt det finns ett ξ melln och b sådnt tt f (ξ) = b f (), b förutstt tt f är ontinuerlig. c) Formuler en sts, vrs bevis utgörs v och b). Integrlen mäter en re Övning Låt f vr den s.. trppfuntionen (en funtion som är onstnt på delintervll) som ses i figuren nedn
Övning Vis genom tt jämför med en integrl tt 5 =. och sätt Sisser S() för 6. 5 6 S() = f (t) dt. Övning Betrt den ontinuerlig funtion f vrs grf är ritd i figuren nedn för 6. Här är ett eempel på vd vi n nvänd denn tp v resonemng till. Övning 5 Vis tt Serien n ln(n + ). = = lls den hrmonis serien. Är den onvergent eller divergent? Övning 6 Hur ser beviset för Anlsens huvudsts ut, om vi refererr till Integrlllens medelvärdessts i det? Övning 7 Hur ser mn tt insättningsformeln följer v nlsens huvudsts? Övning 8 Bestäm derivtn v följnde två funtioner 5 6 cos(t ) dt, b) cos(t ) dt. För vilet [, 6] blir miml? S() = f (t) dt Övning Hur n mn inse värdet på integrlen utn tt genomför någr räningr? De följnde två övningrn är till för tt illustrer betdelsen v en integrl som en re och hur en sådn är relterd till pproimtioner med retnglr. Övning Rit en figur som motiverr vrför 8 = och berän integrlen i högerledet. b) Rit nu en figur som motiverr vrför = c) Använd och b) till tt uppstt. Följnde uppgift är värd tt omm ihåg, även om principen är enel. Övning Vis tt den ontinuerlig funtionen () löser integrlevtionen () = + f (t, (t))dt om och endst om den är deriverbr och löser problemet () = f (, ()), () =. Anmärning Det tt omm ihåg är tt mn löser en integrlevtion som linr den i övningen helt enelt genom tt deriver evtionen. Som eempel på dett n vi lös näst övning. Övning Bestäm ll ontinuerlig funtioner () som löser integrlevtionen (t)dt () = 5 + + t Om numeris beräning v integrler Integrlen är en oändlig summ Vi börjr med följnde Övning En bils hstighetsmätre visr 6(t t ) m/h vid tiden t timmr. Hur långt ommer bilen under den först vrten? Eemplet i dett vsnitt innehåller mcet informtion. Följnde övningr n förhoppningsvis sprid lite ljus över det. Övning Låt K vr en tredimensionell ropp (tän t.e. på en vnlig limp sådn tt ren är änd på vrje särning v roppen med ett pln som är vinelrätt mot en given linje. Låt linjen vr -el och låt V vr roppens volm. Förlr då vrför både uppåt och nedåt. = b A(), där A() är tvärsnittsren v snittet genom punten med oordinten. Vd är och b?
Anmärning Formeln i denn övning lls llmänt för sivformeln. Den ligger till grund för mång tillämpningr v integrler och även till hur mn beränr dubbelintegrler med hjälp v upprepd integrtion. Övning Om mn låter urvn =,, roter ett vrv ring -eln, så bilds en strut med höjd. Berän ren v struten. Övning Ett tält hr höjden m och vdrtis golvt med sidn m. Vrje horisontellt pln på höjden m ( ) sär ut en vdrt med sidn m. Berän tältets volm. b) Berän luftens volm i den delen v tältet som är högst m över mren. Övning Ytn melln -eln och urvn = e,, roterr ett vrv ring -eln. Berän volmen v den så uppomn rottionsroppen. I näst uppgift s vi berän volmen efter tt h rotert runt -eln istället. Rit en figur, så frmgår det nog vd du s gör! Övning 5 Berän volmen v den ropp som uppommer då tn melln -eln och urvn = e,, roterr ring -eln. Övning 6 En glssål uppommer genom tt mn tr området melln de rät linjern = / + och = i först vdrnten (enhet dm ) och roterr det runt -eln. Låt glsets densitet (täthet) vr ρ g/dm. Gör en siss v sålen. b) Hur mcet vtten rmmer den? c) Hur mcet väger vsen? Integrtion längs en urv Övning 7 Bestäm längden v följnde två urvor { = t, = t, t, b) { = cos t, = sin t, t π. Övning 8 Bestäm längden v urvn = ln( ), /. Övning Berän integrlen där γ är urvn γ ds som prmetrisers v c(t) = (t, t ), t, b) är den del v enhetscireln som ligger i först vdrnten i ritning från (, ) till (, ). Övning En clnde turist sll t sig från Megård till Olser längs vägen { = u, = ( ( u ) / ) u. (Enheten för och är m.) Hns dålig ondition gör tt frten hel tiden minsr så tt den efter s m är 6/( + s) m/h. Hur lång är vägen och hur lång tid tr celturen? Kort om någr tterligre tillämpningr v integrler Övning Använd rörformeln för tt berän volmen v den ropp som uppommer då tn melln -eln och urvn = e,, roterr runt -eln.
Svr och nvisningr Övning b) c) d) e) f) [ ln + ln + ] e ln( + e ) = + ( + )( + ) = ( + + ) = = 5 ln ln = ln 7. ln( + e )d(e ) = e ln( + t)dt = e [( + t) ln( + t)] e dt = ( + e) ln( + e) ln e +. e ln( + ) = [ ln( + )] = ln + ( + ) = ln + [rctn ] = ln + π. e (ln ) = [(ln ) ] e e e. (ln ) = e e ln = e ([ ln ] e ) = e (e (e )) = + = d + ( d( ) ) = [rctn ] = π = π. cos( / ) = cos td(t ) = t cos tdt = ([t sin t] t sin tdt) = sin + 6([t cos t] cos tdt) = sin + 6(cos sin ) = 6 cos sin t Övning Vi hr lltid tt e, vrför ( + e ) Övning Denn är rättfrm: ( + ) = 6. + = [rctn ] = lim X (rctn X rctn ) = π. b) Här måste vi först gör ett vribelbte: + = = lim Y [ln ] Integrlen är lltså divergent. = + d = () = ( ) = d = lim ln Y =. Y c) Denn är mer omplicerd med mång steg: e e = e e e = = e d = e () = e ( ) = ( t t + )dt = [ln(t ) ln(t + )] e e dt t = lim [ln( t T t + )]T e = e (ln ln e + ) = ln e + e. Övning Problemet är tt logritmen inte är definierd i origo. Vi löser integrlen genom tt prtilintegrerr: ln = lim ln = lim([ ln ] ɛ ) ɛ ɛ ɛ ɛ = lim ɛ (ln ɛ ln ɛ) = eftersom ln då +. Integrlen är onvergent. b) Problemet här ligger ocså i noll. En br idé är tt först gör vribelbtet =. Då är nämligen = och = d, så vi hr ln ln = d = ln d =. Sist liheten följer v -delen. Integrlen är onvergent. c) Här är problemet tt ln =, och vi får inte divider med noll. Vi börjr med tt gör vribelbtet = ln : / ln = Integrlen är därför divergent. = ln d = / (/) = ln () = = lim ] ɛ ɛ +[ln ln =. Övning 5 Vi delr upp integrlen i två: + = + + ln + = lim [rctn ] X + lim [rctn X Y ]Y = ( π ) + ( π ) = π. Här hr vi nvänt två oli vribler vid gränsövergången för tt poängter tt det är två seprt gränsövergångr. b) Här ser vi tt vi dividerr med noll i båd integrtionsgränsern. Vi s därför del upp integrlen i en från till och en från till, där är något tl melln och. Det är doc enlst tt först bestämm en primitiv funtion till integrnden genom tt gör vribelbtet = : = ( ) d d = rcsin + C = rcsin + C. Är tr vi C = (eftersom vi n t vilen primitiv funtion vi vill) och får då = lim ( ) ɛ ɛ + lim ( ) b b lim ɛ [ rcsin ] ɛ + lim b [ rcsin ] b ( ) = rcsin rcsin + rcsin rcsin = rcsin = π. c) Även nu hr vi problem i båd ändpuntern v integrtionsområdet så vi väljer tt först bestämm en primitiv funtion. Det gör vi genom tt prtilintegrer: ln( ) = + ln( ) = ln( ) = + ( ln( )d( ) ( ) ) = ln( ) + ln + C. Lisom tidigre väljer vi tt t C =. Vi delr nu upp integrlen (vi väljer tt del upp vid, men vi unde vlt vilet tl som helst större än ): ln( ) ln( ) ln( ) = +
[ ln( ) lim + + ln ] [ ln( ) + lim X + ln ] X Övning 7 Den först integrlen är generliserd i =. Då < < gäller tt den störst v termern och 5 är den först. Vi hr tt ln(x ) lim [ X X + ln X X ] lim ln( ) [ + ln ]. Det först gränsvärdet här är gns enelt, eftersom vi vet tt potensfuntioner väer fortre än logritmer. Vi får därför ln(x ) lim [ X X + ln X ] = ln =. X Det ndr gränsvärdet är mer besvärligt. Vi sriver = + ɛ och s då berän ln ɛ lim[ ɛ + ɛ + ln ɛ + ɛ ] = lim [ln ɛ( ) ln( + ɛ)] ɛ + ɛ lim ( ɛ ln ɛ ɛ + ɛ ) = eftersom ln då +. Båd delintegrlern är lltså noll, och därmed även den ursprunglig integrlen. Övning 6 Då gäller tt ln och då gäller tt + ln. Det i sin tur betder tt + ln och ur en v integrlens egensper följer då det först påståendet. Men X = [ ]X = X då X. Dett betder tt den generliserde integrlen i uppgiften är onvergent. Argumentet är följnde. Vi tr det i steg: ( (b) (c) (d) Integrnden /( + ln ) är, vilet betder tt funtionen X X + ln är en vände funtion. Denn vände funtion är uppåt begränsd v tlet En vände och uppåt begränsd följd v reell tl måste onverger mot något. Alltså eisterr gränsvärdet X lim X + ln, vilet är detsmm som tt den generliserde integrlen eisterr. Om värdet på integrlen vet vi doc inte mer än tt det ligger melln och. b) Nu hr vi istället tt ln då och lltså tt Det betder tt X ln, >. X ln = ln X då X. Det följer tt integrlen är divergent. + 5 och ju närmre vi ommer, desto mindre är sillnden. Eftersom integrnden är positiv väer värdet på ɛ + 5 ju närmre ɛ ommer (vi integrerr över ett större och större område). Men värdet är begränst v =, så / + 5 måste vr onvergent. Den ndr integrlen är generliserd både i origo och oändligheten, men i ljuset v vd vi vet räcer det tt t red på om integrlen + 5 är onvergent eller divergent. Men eftersom och vi hr tt = 5 + 5 5 5/ = [ / ] = så måste även integrlen / + 5 vr onvergent. Alltså är även integrlen / + 5 onvergent. Dess värde ligger någonstns melln och + / = 8/. (Det snn värdet är ungefär.58.) Övning 8 Genom en prtilintegrtion, där vi nvänder t som primitiv funtion till, får vi ln( + ) = [ dt + t = (t ) + t ] (t ) = + ( + t) dt. (t ) + ( + t) dt För tt berän integrlen här gör vi nu en n prtilintegrtion och får då [ (t )dt (t ) ( + t) = ] ( + t) Vi hr lltså tt = + (t ) ( + t) dt. (t ) ln( + ) = + (t ) ( + t) dt. ( ( + t) )dt Dett är Mclurinutveclingen v : ordningen. För tt få den v :e ordningen gör vi tterligre en prtilintegrtion: (t ) [ (t ) ( + t) dt = ] ( + t) = + (t ) ( + t) dt. (t ) ( + t) )dt
Alltså hr vi tt Mclurinutveclingen v :e ordningen v ln( + ) ges v ln( + ) = + + (t ) ( + t) dt. 8 6 Här är resttermen given på integrlform, inte på Lgrnges form. För tt få den på den formen noterr vi tt integrlllens medelvärdessts ger tt (t ) ( + t) dt = [ ( + ξ) (t ) (t ) dt = ( + ξ) ] 5 6 = ( + ξ). Dett ger oss Mclurinutveclingen v :e ordnngen med restterm på Lgrnges form som ln( + ) = + ( + ξ). Övning Om m f () M då b så gäller tt b m b Dett är evivlent med tt m(b b f () b M. f () M(b och dividerr vi med b fås resulttet. b) Om vi väljer m som det minst värdet f ntr melln och b och M som det störst så är lltså c = b b f () ett tl melln dess. Om f är ontinuerlig gäller enligt stsen om mellnliggnde värden tt det finns ett ξ i intervllet sådnt tt f (ξ) = c. Dett är påståendet. c) Om f är ontinuerlig på intervllet [, b] så finns ett ξ sådnt tt b f () = f (ξ)(b. Övning Det finns ett enlre och ett rångligre sätt tt lös dett. Låt oss först titt på det rånglig sättet, som bgger på tt mn bestämmer funtionen i vrje delintervll: Snbbvägen till grfen är tt inse tt den börjr i (, ) och sedn består v stcvis rät linjer. Ändpuntern bestäms v reorn (med tecen) v retnglrn i figuren. Areorn är i tur och ordning, 8,,. Eftersom vi s dder reorn successivt s vi dr en stcvis linjär genom puntern Som sns i figuren. (, ) (, ) (, ) (, 8) (6, ). Övning Aren med tecen blir som störst då =, så den punten ger därför funtionens störst värde. Den är vände frm till = och sedn vtgnde, eftersom ren efter = räns med negtivt tecen. Övning Integrlen ger ren melln -eln och urvn = över intervllet. Men den urvn är övre hlvn v enhetscireln, så ren vi s berän är ren v en hlv enhetscirelsiv, och är därför π/. Övning Figuren nedn illustrerr.8 Vi s rän ut ren v den retngel som hr bs [, ] och höjd. Den är. Vi s nu rän ut ren under urvn från [, ] och den dels upp som ren v den först retngeln, som är plus ren v den retngel som hr som bs [, ] och höjd. Det blir + ( ) =.6. 6 8 Med smm rgument som just genomfördes får vi här ren + + ( )( ) = 6 6 Här får vi istället + + ( ) = + Det betder tt funtionen ges v S() = 6 + 6 Den smmnlgd ren v de röd retnglrn är 8 = och ren under den blå urvn är = [ ] =. Det är lrt tt den förr är minst li stor som den senre. Noter tt dett följer v tt funtionen / är en vtgnde funtion. b) Nu hr vi istället följnde figur:
.8.6 Integrlllens medelvärdessts säger nu tt det finns ett ξ melln och sådnt tt +h Med dett ξ gäller lltså tt f (t)dt = f (ξ)( + h ) = h f (ξ). S( + h) S() h = h f (ξ) = f (ξ). h. 6 8 I det här fllet är ren v retnglrn li med = och den är nu mindre än ren under den blå urvn. Det visr oliheten. c) Från b) hr vi tt = = + = medn vi från får tt = = 8 = + + Smmnfttningsvis får vi tt 5. = = + = 5 + = + =. Övning Vi n generliser resulttet i föregående övning till tt n där integrlen är + n n Med n = ger dett tt n = n = ( n ). 8 +, = +. vilet ocså innebär tt oliheten i uppgiften gäller. Noter tt vi inte behöver få precis de gränser som nges i uppgiften, så länge vår är bättre. Övning 5 Vi ritr en figur som i föregående övning (gör det!) och ser då tt n n+ = ln(n + ). = Men här gäller tt högerledet går mot oändligheten då n. vilet betder tt serien är divergent. Serien lls den hrmonis serien och väer med n ungefär som ln n. Övning 6 Vi börjr med tt observer tt S( + h) S() h = h +h f (t)dt. Men när h gäller tt ξ och eftersom f är ontinuerlig följer tt S( + h) S() lim = f (). h h Dett visr tt S är deriverbr i och tt dess derivt där är f (). Övning 7 En primitiv funtion till f på intervllet [, b] ges v S() = f (t)dt, b. Om F är en nnn primitiv funtion till f, så är F() = S() + C för någon onstnt C. Men C = F( eftersom S( =. Alltså gäller tt b f (t)dt = S(b) = F(b) C = F(b) F(. Övning 8 Dett är en diret tillämpning v nlsens huvudsts, så svret är cos( ). Lägg märe till tt rgumentet i funtionen är, inte t! b) Nu är det lite mer omplicert, t det står inte i den övre integrtionsgränsen, utn. Men det fir vi i två steg. Först sätter vi S() = cos(t ) dt. För den gäller (det vr det vi gjorde i tt S () = cos( ). Vi n nu sriv (tän igenom dett, det är god träning på vd som mens med en funtion) cos(t ) dt = S( ). Enligt edjeregeln är derivtn v dett li med S ( )( ) = cos(( ) ) = cos. Övning Om vi deriverr integrlevtionen rt över får vi tt () = + d f (t, (t)) dt = f (, ()), där sist liheten följer v nlsens huvudsts. Vidre, om vi sätter = så är både övre och nedre gränsen i integlen, vilet betder tt integrlen är. Det betder tt () =. Omvänt, om uppfller differentilevtionen hr vi tt () () = (t)dt = f (t, (t)) dt, vilet betder tt () är en lösning till integrlevtionen. Övning Deriverr vi evtionen får vi tt () = () +
och sätter vi in = ser vi tt () = 5. Evtionen är en seprbel differentilevtion som vi n sriv som d = + ln = rctn + C. När = s vi h ln = ln 5, så C = ln 5. Det följer tt () = 5e rctn. Övning Situtionen är uppritd i figuren nedn. Övning Låt v(t) = 6(t t ) vr hstigheten i m/h vid tiden t timmr. Om vi vid tiden t åer en liten tidsenhet dt så ommer vi sträcn ds = v(t)dt....6.8 Den totl sträcn får vi genom tt summer dess små bidrg, vilet betder tt den totl sträcn vi åt efter T timmr är T 6(t t )dt = 6( T T ) m. En vrt svrr mot T = /, vilet ger oss svret 5/ m. Övning Låt K vr den ropp som begränss v tn i figuren nedn. Aeln hr en oordint sådn tt roppen begränss v b. Den blå retngeln hr bsen och höjden e. När vi roterr den ett vrv runt -eln så genererr den en liten clinder som hr cirulär bs och höjden. Bsren är π(e ) = π e. Clinderns volm är därför d π e och för tt få den totl volmen s vi summer dess delvolmer: π e = π (e ). (Integrlen räns ut med hjälp v två prtilintegrtioner.) Övning 5 Den här gången hr vi följnde figur (hlv problemet är tt rit rätt figur!):.8.6 Låt A() vr tvärsnittsren för snittet vinelrät mot eln där oordinten är. Om tvärsnittet hr tjocleen så ges dess volm v dv() = A(). Om vi delr in eln i delintervll som är väldigt små, och ll v bredden, så får vi då en uppstcning (som sivorn i en brödlimp v K i sådn snitt, och summn v ll dess snitts volmer är roppens volm. Det motiverr vrför b A() om vi tolr integrlen som en oändlig summ. Denn formel lls lltså sivformeln. Övning Volmen beräns med hjälp v sivformel A(), där A() är ren v tvärsnittet på höjden. Men det tvärsnittet är en vdrt med sidn, så dess re är. Vi s med ndr ord berän ( ) = b) Nu s vi istället berän integrlen A() = ] [ = 6. ] [ =....5.5 När vi roterr retngeln, som ligger på höjden och hr tjocleen d, så får vi ocså en cirulär clinder v tjocle d. Dess rdie får vi genom tt lös evtionen Volmen v clinder är därför e = = ln. d π d = π( ln )d och genom tt summer sådn volmer inser vi tt den volm vi söer är π( ln ) d = π. Noter tt integrlen är en generliserd integrl! Att så måste vr fllet inser vi genom tt området i figuren ovn sträcer sig längs hel positiv -eln. Övning 6 Den här gången är det området nedn som s roters runt -eln:
Roterr vi figuren runt -eln får vi tt sålen ser ut något som Sålen består lltså v två delr. Den nedre, som bsers på retnglr v den röd tpen, beräns lätt till V = π( + ) d = 7π. Den ndr delen är rångligre: vår retngel börjr i = ( )/ och slutr i = +. När vi roterr den får vi en ring v tpen nedn b) För tt berän hur mcet vtten sålen rmmer s vi berän den volm vi får då vi roterr den blå ren runt - eln i figuren nedn där den inre rdien är ( ) och den ttre +. Aren v ringen på höjden är därför A() = π( + ) π( ) = π( + ) Enligt sivformeln blir därför motsvrnde volm V = π ( + )d = 8π. Den totl volmen är lltså V + V = 7 π π + 8π = och för tt få viten multiplicerr vi det med ρ. Viten är lltså πρ g. Dett är gns enelt: på höjden roterr vi en siv v tjocle d och rdie = ( ). Vttenvolmen är därför Övning 7 Vi hr c(t) = (t, t ), så c (t) = (t, 8t) = t(, ) och lltså ds = c (t) dt = t (, ) dt = ( 5)tdt. Längden v urvn är därför [ ( ) π( ) d = π ] = π. L = ( 5)tdt = ( 5)[t ] = 5( ) = 5. b) Med c(t) = (cos t, sin t) hr vi c (t) = ( cos t( sin tt), sin t cos t) = cos t sin t( cos t, sin t), c) För tt berän sålens vit, beränr vi först dess volm. Det är lite småomplicert, så vi får börj med tt tän ut hur den uppommer. Studer figuren nedn. vilet betder tt c (t) = cos t sin t ( cos t, sin t) = sin(t).
Men denn funtion hr perioden π/ (tän efter), så vi får tt längden v urvn är L = π längdenheter. sin(t) dt = π/ sin(t)dt = [ cos(t)] π/ = 6 Övning 8 Grfen n prmetrisers som c(t) = (t, ln( t )), t /. Vi får då c t (t) = (, t ) och lltså c (t) = + ( ) t ( t t = ) + t ( + t t = ) t = + t t = + t = + t + + t. Det följer tt längden v urvn är L = / c (t) dt = / ( + t + [ + t )dt = t + ln + t ] / t = + ln längdenheter. lltså timmr och en vrt. Övning Rörformeln bgger på tt d π = πe. Dett s integrers från till så vi hr en generliserd integrl tt berän: πe = π e d( ) = π lim X [ e ] X = π lim X ( e X ) = π. Övning Vi hr tt da = πds. För tt berän ds prmetriserr vi urvn med c(t) = (t, t ), t. Vi hr då c (t) = (, t ) och lltså ds = + (t ) dt. Det följer tt vi hr tt så ren är da = πds = πt + t dt, A = π t + t dt = π t + t 6 d( + t ) = π 8 [ ( + t ) / ] / = π 7 ( ). Övning Vi hr tt c (t) = (, t ) och lltså c (t) = + 6t 6. Det betder tt ds = t t + 6t 6 dt. Integrlen blir därför t 5 + 6t 6 dt. För tt berän den sätter vi u = + 6t 6. Då gäller tt du = 5 t 5 dt så t 5 + 6t 6 dt = 5 5 u du = [u/ ] 5 =. b) Här måste vi först välj ett sätt tt prmetriser urvstcet. Det n vi gör på fler sätt. Vi väljer tt nvänd de trigonometris funtionern: Då får vi tt och integrlen blir c(t) = (cos t, sin t), t π. ds = cos t sin t c (t) dt = sin(t) dt π/ sin(t) dt = [ cos(t)]π/ =. Övning Vi börjr med hur lång vägen är. Där hr vi c(u) = (u, ( u ) / ), så c (u) = 6(u, ( u ) / u) och lltså ds = c (u) du = 6u u + ( u )du = 6u du. Det följer tt sträcn är L = 6u du = [u ] = m. För tt berän den totl tiden nvänder vi tt ds = vdt, där v är frten, d.v.s. dt = ds/v. Den totl tiden ges då v T = L ds = ( + s)ds = [ ] s + s = 6 6 +s 6 6 = h,