Signler och system i frevensplnet Övningr. Bestäm fourierserieoefficientern för de periodis signlern ) 7 δ [ n ] N = b) { δ [ n ] δ [ n 6] } N = c) { δ [ n + ] δ [ n ] } N =. T frm fourierserieoefficientern för följnde periodis signler: n π n π n π π x n = sin + cos + sin + 6 ) [ ] n π n π π x n = sin + cos 8 6 b) [ ] c) x [ n] = { KK } -spetrts symmetri- Plott i intervllet = K N. Bestäm i vrje fll punt på -xeln dvs den punt runt vilen spetrt spegls. Betrt signlen x n π 9 n π n π 9 [ n] = + sin + cos + sin ) Vilen period N hr signlen? b) Vil fourierserieoefficienter i intervllet = K N är sild från noll? c) Berän mplitud och fs hos fourierserieoefficientern och plott mplituden som funtion v i intervllet N K N. (Obs! Hur mång oefficienter behöver mn egentligen berän?) d) Vd betyder -oefficienten? Hur n mn diret se om en signls -oefficient är noll eller inte? Signler och system i frevensplnet Övningr sid.
. Tecn uttryc för de signler som hr följnde fourierserieoefficienter ) N = 8 = 6 π = π = π 7 = 6 π b) N = = 7 = = + j = 8 j 6 = 8 + j = j = Övrig oefficienter är noll. 8. Vi önsr i ett tidsdisret system med smplingsfrevensen Hz syntetiser (generer) den periodis signlen x () t = sin( 8 π t) 7 cos( π t) + sin( 8 π t) genom tt berän smpelvärden för en period v signlen och sedn generer denn följd cylist. Hur mång punter måste vår följd v berände värden bestå v dvs hur mång punter rävs för tt sp en period v den totl signlen?.6 Vi hr den periodis signlen x n [ n] = cos π + 8 sin π n 6 ) Tecn oefficientern i signlens fourierserie b) Tecn fourierserieoefficientern för signlen 6 x[ n] c) Tecn fourierserieoefficientern för signlen 8 x [ n ] x n x n d) Tecn fourierserieoefficientern för signlen { [ ] [ ] }.7 Bestäm fouriertrnsformern X ( Ω) för de periodis signlern δ b) { δ [ n + ] δ [ n ] } ) 7 [ n ] c) { δ [ n ] δ [ n 6] } Signler och system i frevensplnet Övningr sid.
.8 ) Berän ett uttryc för fouriertrnsformen X ( Ω) för signlen i vidstående figur Figur Q.8. b) Plott dess mplitud- och fsspetrum i intervllet π < Ω < π. (Plott gärn med hjälp v dtor) x[n] n - Figur Q.8. Signlens tidsförlopp.9 Berän fouriertrnsformen ( Ω) intervllet π. ) [ n] = δ [ n + ] δ [ n] δ [ n ] x b) [ n] = r[ n + ] r[ n + ] r[ n ] + r[ n ] x b X för signlern nedn. Plott mplitudspetrt i c) Hur sulle fsurvn i b)-fllet se ut? Vd lls en sådn fsgång? n d) Rit s- och fsspetr för signlen x b [ ] e) Rit s- och fsspetr för signlen x b [ n ] f) Rit s- och fsspetr för signlen 7 { x [ n + ] x [ n ] }. ) Berän ett uttryc för frevenssvret för det LTI-system som hr följnde impulssvr h h [ n] = δ [ n + ] + 7 δ [ n] δ [ n ] [] n = { [] n + δ [ n ] + δ [ n ] } 8 h [ n ] + 6 h [ n δ ] b) Rit bilder (blocschemn) över hur systemen ser ut. Följnde differensevtioner besriver ett ntl tidsdisret system y y y [ n] = 8 x[ n] + x[ n ] x[ n ] [ n] = x[ n] + y [ n ] y [ n ] [ n] = x[ n] + x[ n ] + y [ n ] y [ n ] ) Bestäm systemens överföringsfuntioner H ( Ω) b b b) Bestäm förstärningen vid Hz och vid f s Signler och system i frevensplnet Övningr sid.
. forts. c) Siss överföringsfuntionerns survor ( Ω) H i frevensplnet. Siss survorn i intervllet f s. Betrt LTI-system i Figur Q.. ) Ange systemets differensevtion b) Plott systemets impulssvr (de ått först termern) c) Är systemet stbilt? d) Är systemet uslt? e) Ange ett uttryc för systemets frevenssvr H( Ω). f) Plott mplitudspetrt H Ω ( ) x[n] T T - 7 + + + Figur Q.. Systemets blocschem - T T y[n] g) Ange ett uttryc för systemets utsignl i frevensplnet Y ( Ω) och rit upp dess om systemets insignl x [n] ser ut enligt Figur Q.. - x[n] n Figur Q.. Systemets insignl y[ ] N []. Om signlen n smpld i punter hr den disret fouriertrnsformen Y hur blir då DFT:n v y [ n ] y [ n + ] y[ n ] ) b) n. Berän ll nödvändig värden på ftorern W N då ) N = b) N = 8 c) N = 6. Använd din resultt i Övning. för tt berän 7 ) b) W c) W W 8 6 6 Signler och system i frevensplnet Övningr sid.
.6 Använd resultten i Övning. för tt berän DFT:n för följnde signl: x [ n] = { } Plott sedn X [ ]. Försö innn du ränr och innn du plottr tt giss hur X [ ] ommer tt se ut. (I det här fllet n mn ftist gör en gns br gissning men det gäller inte generellt!) Hur mång punter ommer vi tt plott längs -xeln? Vilen omponent ommer tt bli störst och vrför blir den störst? Förväntr vi oss ett stort eller litet värde på X? [].7 ) Berän fourierserieoefficientern till den periodis signlen x [ n] = { K} b) Berän fouriertrnsformen X (Ω) för den iceperiodis signlen i Figur Q.7. x[n] n - - Figur Q.7. Den ice-periodis signlens tidsförlopp c) Berän DFT för den smplde signlen i Figur Q.7. d) Hur sulle spetrt i c) förändrs om vi istället beränr FFT på den smplde signlen? - x(t) t - Figur Q.7. Smpld signl Signler och system i frevensplnet Övningr sid.
.7 fort. e) Plott ( Ω ) X i intervllet π (gärn med dtorhjälp). Mrer sedn i smm digrm DFT-spetrt dvs X [ ]. Mrer ocså i smm digrm. Förlr sillndern och lihetern i vår tre spetrn. Förlr smbndet melln de tre resultten.8 Fyll utgående från din slutstser i Övning.7 i de ord som sns nedn. X() -spetrt som DFT producerr n betrts som N stycen smpels v Alterntivt n mn säg tt DFT/FFT beränr _ v den _ signl som hr en period som ext motsvrr den smplde dtmängden (bortsett från en slftor på /N)..9 En smpld signl hr en fouriertrnsform () enligt Figur Q.9.. Vilet spetr hde vi fått om vi i stället hde beränt DFT/FFT v signlen i ) 6 punter b) punter.6...8.6 Frevensspetr.... Vinelfrevens (reltivt pi). Signlen Figur Q..9. Signlens fouriertrnsform x () t = sin ( π t) + sin ( 6 π t) smpls med smpel/s. ) Hur stor frevensupplösning får vi i FFT-spetrt om vi smplt i 8 punter? b) I vil spetrlomponenter hmnr de sex störst topprn (en)? c) Plott FFT-spetrts med dess toppr utritde. Plott endst i intervllet = K6. Klibrer även frevensxeln i Hertz. Signler och system i frevensplnet Övningr sid.6
. ) I vilen spetrlomponent hmnr störst utslget om signlen x[ n] = cos ( n) nlysers i en 8-punters FFT? b) Vil är de tre störst spetrltopprn (i intervllet reltiv storle f s. Figur Q.. nedn visr FFT-spetrt () för en signl [ n] x smpld i 6 punter med smplingshstigheten smpel/s. )? Ange ders inbördes FFT-spetr med retngulärt fönster X() 8 6 6 8 Figur Q.. En signls FFT-spetr ) Vil frevensomponenter ingår enligt spetrt i signlen? Signler och system i frevensplnet Övningr sid.7
. forts b) Spetrt i Figur Q.. nedn visr FFT () v smm signl men nu hr signlen fönstrts med ett Hnningfönster. Ange utgående från dess båd spetrn x n (troligen) innehåller ll frevensomponenter som signlen [ ] 7 FFT-spetr med Hnningfönster 6 X() 6 8 Figur Q.. FFT-spetr för en signl fönstrd med Hnningfönster. I Figur Q.. nedn ser du en del v ett 6-punters FFT-sspetrum. FFT-spetr X() Figur Q.. En signls FFT-spetr Signler och system i frevensplnet Övningr sid.8
. forts. Signlen som smpldes vr en ren sinusignl. Använd spetrt i Figur Q.. för tt berän sinussignlens ext frevens med två decimlers noggrnnhet. Smplingshstigheten vr smpel/s. I ett system som gör frevensnlys i reltid visr det sig tt mn då frevensnlysen görs med DFT över punter så hinner mn med uppdteringr dvs ny frevensnlyser vrje seund. Uppstt mximl uppdteringshstigheten om vi i stället övergår till FFT med minst li god upplösning. Signler och system i frevensplnet Övningr sid.9
Signler och system i frevensplnet Övningr sid.
Signler och system i frevensplnet Fcit 7 π π. ) = = 8 = L b) = e 8 π j e π j = = 8 π cos π cos 8 π + sin π sin L 8 π π sin sin L rctn = L 8 π π cos cos 8 π π c) = j sin = j sin = L9. ) N = = j = = 8 = j 8 = = 8 = 8 = + j = 8 = = = = = = j = All ndr omponenter är noll () Signler och system i frevensplnet Fcit sid.
. ) forts. 8 8 6 8 Figur A.. Signlens fourierserieoefficienter b) N = 8 j π 6 = j = = e = 6 = = = j = 7 = = = e 7 = All ndr omponenter är noll () j π 8 6 8 Figur A.. Signlens fourierserieoefficienter c) N = = = j = = + j Figur A.. Signlens fourierserieoefficienter Signler och system i frevensplnet Fcit sid.
. ) N = 7 b) Termern och är sild från noll () 9 6 68 c) = = j 9 = 7 j = = j = 6 = 7 = 9 68 = j = 6 8 6 7 Figur A.. Signlens fourierserieoefficienter d) är lispänningsnivån. Denn omponent finns med om signlens medelvärde inte är noll () π n π π n. ) cos + sin π n π n π n b) 7 + 8 cos + 6 cos + 6 π + cos π. 6 punter.6 N = 8 ) = = 7 9 = = j = 9 π Övrig oefficienter är noll () b) = = 9 = = j = 9 π Övrig oefficienter är noll () Signler och system i frevensplnet Fcit sid.
.6 forts. c) * = = 6 π 9 * 9 = = π d) Övrig oefficienter är noll π * j = = 7 e Övrig oefficienter är noll () π 7 * j j = = 8 9 e e 9 π.7 ) 7 Ω b) 8 sin( Ω) π j Ω j 6 Ω c) ( e e ) = sin( Ω) Ω X Ω π = e e + e j Ω j Ω j Ω.8 ) ( ) b)...... - - Fs (reltivt pi) Figur A.8. Signlens spetr Fsvinel (reltivt Pi) Fsvinel.8.6.. -. -. -.6 -.8 - - - Fs (reltivt pi) Figur A.8. Signlens spetr fs Signler och system i frevensplnet Fcit sid.
.9 ) ( Ω) = + j sin( Ω) X....... Fs (reltivt pi) Figur A.9. Signlens frevensspetr b) ( Ω) = + cos( Ω) + cos( Ω) X b 8 7 6.. Fs (reltivt pi) Figur A.9. Signlens frevensspetr ( ) c) Funtionen X b Ω är rent reell och snr lltså fsvridning. Egenspen lls nollfs och är ett specilfll v linjär fs som vi återommer till i Kpitel 8 d) Funtionen är även nu reell och snr fsvridning Signler och system i frevensplnet Fcit sid.
.9 d) forts 9 8 7 6.. Fs (reltivt pi) Figur A.9. Signlens frevensspetr e). Fsvinel - -.. Fsvinel (reltivt pi) - - - -6-7 -8-9.. Fs (reltivt pi) Figur A.9. Signlens frevensspetr -.. Fs (reltivt pi) Figur A.9. Signlens frevensspetr fs Signler och system i frevensplnet Fcit sid.6
.9 forts f). Fsvinel.. 8 6 Fsvinel (reltivt pi).. -. -. -. -... Fs (reltivt pi) Figur A.9.6 Signlens frevensspetr -... Fs (reltivt pi) Figur A.9.7 Signlens frevensspetr fs j Ω j Ω. ) ( ) H Ω = e + 7 e H ( ) = + e j Ω + e j Ω Ω j Ω j Ω ( + 8 e 6 e ) b) x[n] + T y [n] T 7 + T T - Figur A.. System :s blocschem Signler och system i frevensplnet Fcit sid.7
. b) forts. x[n] / + + y [n] T / + + -8 T T / 6 T Figur A.. System :s blocschem j Ω j Ω. ) ( ) H Ω = 8 + e e H H + e ( Ω) = j Ω j Ω e j Ω + e e + e ( Ω) = j Ω j Ω b) H f H ( ) s = 7 =. 8 H f H ( ) s = 78 = 7 H f H ( ) s = =. 6 c) H. H...8..6.......... Frevens (reltivt fs) Figur A.. Överföringsfuntionen H..... Frevens (reltivt fs) Figur A.. Överföringsfuntionen H Signler och system i frevensplnet Fcit sid.8
. c) forts.... H........ Frevens (reltivt fs) Figur A.. Överföringsfuntionen H. ) y [ n] = y[ n ] + x[ n] x[ n ] + 7 x[ n ] b) { 67 6 6 8} 7 h[n] n - - Figur A.. Systemets impulssvr c) Systemet är stbilt d) Systemet är uslt e) j e H = + + 7 e e Ω ( Ω) j Ω j Ω Signler och system i frevensplnet Fcit sid.9
. forts. f).8.6....... Frevens (reltivt fs) Figur A.. Systemets överföringsfuntion g) Y e j Ω j Ω e + e + e ( Ω) = j Ω j Ω 7 e j Ω [] Y [ ]. ) Y b) W N. ) W = W = j b) W 8 = W 8 = j W8 = W = j W = j 8 c) W W = 9 j 8 6 = 6 W = W8 = j 6 W = 8 j 9 W6 = W = j W6 = 8 j 9 6 W = W8 = j 6 6. ) j b) j c) j Signler och system i frevensplnet Fcit sid.
.6 X [] = { 7 + j 9 + j 9 9 j 7 9 + j 7 j 9 7 j 9} DFT 9 8 7 6 6 7 Figur.6. Signlens DFT-spetr.7 ) { = 6 8 j 88 j 7 6 j 88 7 6 + j 88 j 7 88 + j 88} X Ω = + e e + e + e e j Ω j Ω j Ω j 6 Ω j 7 Ω b) ( ) c) X [ ] = { 7 j 7 9 + j 7 j j 9 j 7 7 + j 7} d) Smm resultt som DFT:n Signler och system i frevensplnet Fcit sid.
.7 forts. e) Fourierserie fouriertrnsform och DFT 8 6 Fourierserie DFT urv Fouriertrnsform...6.8 respetive frevens (reltivt fs) Figur.7. Signlerns fourierspetr DFT-spetr och fourierserieoefficienter.8 X ( ) -spetrt som DFT:n producerr n betrts som N stycen smpel v X ( Ω ). Alterntivt n mn säg tt DFT/FFT:n beränr fourierserieoefficientern v den periodis signl som hr en period som ext motsvrr den smplde dtmängden.9 ) b).6 DFT- N=6.6 DFT- N=.....8.6.8.6.......6.8 Frevens (reltivt fs) Figur.9. Signlens DFT-spetr N = 6...6.8 Frevens (reltivt fs) Figur.9. Signlens DFT-spetr N = Signler och system i frevensplnet Fcit sid.
. ) 6 Hz X [] X [] X [] X [] X [ 9] och X [ 9] b) 6 7 8 c) Frevensspetr 8 6 8 6 6 7 8 9 Frevens (Hz) Figur A.. Signlens FFT-spetr. ) X [] 6 b) De tre störst spetrlomponentern är X [ ] X [ 6] och [ 7] X med de reltiv storlern respetive. ) 9 och Hz (spetrlomponentern X [ 9] och X [ ] X [ ] X [ ] närmre bestämt ungefär vid 6 dvs 6 Hz ). Läcget in i omponent visr tt den senre omponenten egentligen ligger melln X och b) Signlen innehåller ytterligre en omponent med frevensen 7 Hz (omponent X [ 7]). 797 Hz melln [ och. 6 uppdteringr/seund X ] X [ ] [ ] Signler och system i frevensplnet Fcit sid.
Signler och system i frevensplnet Fcit sid.