Obligatoriska uppgifter

Transkript

1 TSDT15 Signler & System, del 2 1. Lsse Alfredsson, lsse@isy.liu.se TSDT15 DATORUPPGIFTER 2011 OMGÅNG 1 Obligtorisk uppgifter Fltning och system- & signlnlys med z-trnsformen och fouriertrnsformen och inlednde om frekvensselektiv filter 1. Låt xn un [ 4] un [ 7] z systemfunktion H[ z] = + vr insignl till ett kuslt tidsdiskret LTI-system med =. Systemets utsignl är y[ n ]. z 0,7 Bestäm m.h.. Kretslb (nvänd förslgsvis bl.. firztr) utsignlens z-trnsform Y[ z ]. Bifog en utskrift v pol-nollställedigrmmet för Y[ z ] (generert v pz). Ange ursprunget till de olik nollställen och polern hos Y[ z ], dvs. vr de härstmmr från. Bifog en utskrift v hn och yn för ett lämpligt n-intervll (vid signlritnde nvänds, som tidigre, subplot och signlmod). x n, Förklr, utgående från ett fltningsresonemng, utsignlens utseende. Relter till fltningssummns summtionsgränser för olik n-intervll. Anm: Det exkt nlytisk uttrycket för yn är v mindre vikt. 2. Systemfunktionen H [ z] till ett mplitudnormert kuslt tidsdiskret filter hr nollställen i j 4 z =± j och poler i z = 0,9e ± π och i z = 0,9. Använd pzchnge för tt skp systemfunktionen. Tips: Ändr gärn Coordintes till Polr i motsvrnde menyvl så tt ktuell pol/nollställe skrivs i polär koordinter. Anm: Se till tt det är en z-trnsform och inte en lplcetrnsform ni justerr/skpr med pzchnge (i z-plnet är lltid enhetscirkeln utritd)! j Noter tt pzchnge lltid låter konvergensområdet reltivt vrje pol z k k = rk e ϕ i z-plnet, vr z > r. k Välj Spectrum derived from pole nd zero vectors i menyn Spectrum vectors och ändr reglget för tt se hur mplitud- och fskrktäristiken beror på pol- och nollställevektorer. Relter tydligt (och någorlund kortfttt) mplitud- och fskrktäristikens utseende till polerns och nollställens lägen! Anm: 3D-plotten v H [ z] innnför enhetscirkeln, som ges v menyvlet 3D-plot (figuren generers v Kretslbfunktionen zplne) kn också vr till hjälp för tt förstå vrför mplitudkrktäristiken ser ut som den gör.. Bifog en utskrift v pzchnge-fönstret, med pol- & nollställevektorer, för något 0 Ω. Anm: Pol- och nollställevektorern ts bort genom det ndr menyvlet under Spectrum vectors.

2 TSDT15 Signler & System, del 2 2. Lsse Alfredsson, lsse@isy.liu.se 3. Generer systemfunktionern HA [ z ] och HB z genom tt (m.h.. pzchnge) plcer ut poler och nollställen på lämplig ställen i z-plnet, så tt de båd resulternde systemen utgör mplitudnormerde, tidsdiskret, kusl och stbil LP-filter med normerd 3 db-gränsfrekvens θ0 0,15. HA [ z ] får h godtyckligt plcerde poler medn HB [ z ] måste h ll sin poler plcerde i origo. I båd fllen skll/bör ni nvänd få poler och nollställen, så ni inte får onödigt komplex och oöverskådlig system! Redovis erhålln systemfunktioner HA [ z ] och HB v ll poler och nollställen! z smt motiver tydligt plceringen Jämför de två LP-filtren med vrndr, i termer v filterordning, dämpningsegenskper, grupplöptid m.m. Redovis kortfttt er slutstser och eventuell för- och nckdelr. Bifog även utskrifter från pzchnge, för båd er LP-filter, där mplitudkrktäristiken är ritd i db-skl i intervllet [-10, 1] db. Anm: Huvudsyftet med denn deluppgift är tt ni skll få en grundläggnde förståelse och känsl för hur polern och nollställen inverkr för tt form systemets frekvenskrktäristik inte tt hitt en optiml lösning (vd mn i så fll menr med optiml i dett fll )! Ni som vill få ännu större utbyte v denn deluppgift får gärn även jämför system v högre ordning. 4. Ett tidsdiskret kuslt LTI-system H 1 beskrivs v differensekvtionen yn+ yn 1 + yn 2 yn 3 = xn+ 2 xn 2. ) Tg, med hjälp v Kretslb frm systemfunktionens pol-nollställedigrm och rgumenter tydligt utifrån dett och den givn informtionen vrför systemet är instbilt. b) Genom tt återkoppl det givn systemet H 1 med ett LTI-system H 2, som hr impulssvr h n = K δ n, kn mn erhåll ett totlt återkopplt stbilt system med systemfunktion 2 [ 1] H[ z ]. Undersök hur polerns lägen hos H z ändrs då ni ändrr K. Använd här Kretslbfunktionen feedb på lämpligt sätt se funktionens hjälptext! Tips: Generer gärn en rotort! I Kretslb ritr ni i så fll först ett pol-nollställedigrm med funktionen pz, följt v hold on. Rit sedn överlgrde pol-nollställedigrm genom tt upprepde gånger nrop pzmod med en justerd systemfunktion (nytt K). För vilk K-värden erhålls ett stbilt system? Bifog en utskrift v pol-nollställedigrmmet till H[ z ], för ett K-värde som ger ett stbilt återkopplt system. Rit ntingen för hnd in den rotort som erhålls då K vriers (dvs. mrker den kurv/väg längs vilken polern flytts) eller så kn ni, utöver det efterfrågde pol-nollställedigrmmet, även bifog en utskrift v ett pol-nollställedigrm med den rotort som erhålls då ni gör enligt Tips: ovn! OBS: Det får i det senre fllet inte vr för glest melln de poler som hmnr när eller innnför enhetscirkeln rotorten måste frmgå tydligt!

3 TSDT15 Signler & System, del 2 3. Lsse Alfredsson, lsse@isy.liu.se 5. I figuren nedn viss mplitudspektrumen H [ θ ] och b kusl LTI-system H respektive H b. H θ för två kskdkopplde tidsdiskret 2 Amplitudspektrum H [θ ] Normerd frekvens θ Amplitudspektrum H b [θ ] Normerd frekvens θ ) Tg med hjälp v pzchnge frm systemfunktionern H [ z ] resp. Hb ut poler och nollställen på lämplig ställen i z-plnet. All eventuell poler hos H ll eventuell nollställen hos Hb [ z ] är plcerde i origo. Bifog en utskrift v pzchnge-fönstret för å en sidn z genom tt plcer z och Hb z. Motiver tydligt ert plceringsvl v både poler och nollställen för de båd systemen! H z och å ndr sidn Tips: När mn justerr/skpr en trnsform med pzchnge, finns trnsformen hel tiden tillgänglig i kommndofönstret som den globl vribeln TRFM. Skriv globl TRFM för tt få tillgång till vribeln och för tt t.ex. spr en kopi v trnsformen utn tt vslut pzchnge. b) Bild nu det totl kskdkopplde systemets systemfunktion H[ z] = H [ z] H [ z] (ntingen m.h.. Kretslbfunktionen output eller direkt i pzchnge utgående från ert resultt i deluppgift ). Rit upp pol-nällställedigrmmet för H[ z ] och systemets mplitud- & fskrktäristik m.h.. pzchnge. Bifog en utskrift v pzchnge-fönstret. Betrkt mplitudkrktäristiken H [ θ ] och beskriv filtrets funktion. Ange speciellt vilken (speciell) typ v frekvensselektivt filter dett är! b

4 TSDT15 Signler & System, del 2 4. Lsse Alfredsson, lsse@isy.liu.se Frivillig Uppgifter N 6. Systemet med systemfunktionen H [ z] i uppgift 2 kskdkoppls med ett system med systemfunktion z. Ni skll nu studer hur någr olik egenskper hos det totl kskdkopplde systemets ändrs då nollställe-multipliciteten stegvis ökr från N = 0 (dvs. inget nollställe i origo) till N = 3 (dvs. 3 nollställen i origo): ) Hur ändrs det totl systemets impulssvr htot [ n ], mplitudkrktäristik Htot fskrktäristik rg H [ θ ]? Förklr smbnden tydligt! tot Anm: Impulssvret kn i pzchnge erhålls från menyvlet Signl plot. b) Hur ändrs systemet kuslitets- och stbilitetsegenskper? H θ och Förklr, dels utifrån egenskper för systemfunktionen tot för impulssvret htot [ n ]. Anm: Olik värden på N resulterr i olik system, som kn h olik egenskper. z och dels utifrån egenskper 7. Gör som i uppgift 3, men tg nu i stället frm två motsvrnde HP-filter med normerd gränsfrekvens θ0 0,15. Redovis erhålln systemfunktioner (nmnge dem HC [ z ] respektive HD tydligt plceringen v ll poler och nollställen! Anm: För generell motiveringr v smm typ som uppgift 3, så hänvisr ni på lämpligt sätt till uppgift 3 i stället för tt återupprep dem här! z ) smt motiver Hur br blir de två filtertypern, jämfört med de två motsvrnde LP-filtertypern? Bifog smm typ v utskrifter som i uppgift 3! 8. I dtfilen dtor3.m finns en tidsdiskret signl sn i form v mtlbvribeln s. Ur signlens frekvensspektrum S [ θ ] kn mn lätt se tt signlen består v tre sinussignler och ett bredbndigt brus. 16 Signler representers v Kretslb som vektorer med 2 = signlvärden, symmetriskt runt n = 0 ( t = 0 i det tidskontinuerlig fllet). I mång fll ger dett tillräckligt br pproximtioner v signler med stor tidsutbredning. Av olik skäl måste mn vid signlnlys iblnd nöj sig med ett betydligt färre ntl signlvärden. Mn får då nlyser en fönstrd signl, i det här fllet signlen sw [ n] = s[ n] w[ n] ( w =window), med en reltivt liten tidsutbredning. Läs mer om fönstring i kursboken! ) Studer tids- och frekvensegenskpern för olik stndrd-fönsterfunktioner med hjälp v Kretslb-demonstrtionen Fönsterfunktioner (klick på Fönsterfunktioner i kretsdemo2)! Fönstertyp väljs i en v menyern. Funder gärn på hur fouriertrnsformen W [ θ ] till en idel fönsterfunktion ser ut (dvs. då S θ = S θ ). mn nvänder en fönsterfunktion wn som resulterr i smbndet Vilk egenskper önskr vi tt mplitudspektrumet till en prktiskt nvändbr fönsterfunktion skll h (dvs. vilket typutseende vill vi tt den gärn skll h)? w forts. näst sid...

5 TSDT15 Signler & System, del 2 5. Lsse Alfredsson, lsse@isy.liu.se b) Skp, med hjälp v Kretslbfunktionen window, fönstrde versioner v wn utgör ett rektngulärt fönster respektive ett Kiser-Besselfönster! Två fönstrde signler skll generers för vrje fönsterfunktion den en då fönsterlängden är L = 256 och den ndr då fönsterlängden är L = 512. Totlt skll lltså fyr fönstrde signler generers: s n s n w n s n s n w n s n = s n w n och sn då = L=, w,2 = Rekt, L= 512, w,3 K-B, L= 256 =. w,1 Rekt, 256 s n s n w n w,4 K-B, L= 512 Bifog en utskrift v de två fönstrde signlerns mplitudspektrum Sw,1 [ θ ] och Sw,3 [ θ ] (då fönsterlängden är L = 256) smt en utskrift v de två motsvrnde mplitudspektrumen S θ (då L = 512). Sw,2 [ θ ] och w,4 Zoom gärn in lite, för tydligre spektrum, t.ex. till intervllet θ [ 0.1, 0.25]. Tips: figure(1), spect(s1,s3), subplot(2,1,1), set(gc, xlim,[ ]), subplot(2,1,2), set(gc, xlim,[ ]), osv. (spectmod är tyvärr ännu ej npssd för trnsformer till tidsdiskret signler) Kommenter resultten v fönstringen i de olik fllen. Jämför då först Sw,1 Sw,3 [ θ ] med S [ θ ] och sedn Sw,2 [ θ ] och Sw,4 [ θ ] med S [ θ ]. θ och Kommenter speciellt vilk för- och nckdelr de två nvänd fönsterfunktionern hr och hur dess för- och nckdelr återspegls i de olik mplitudspektrumens utseende. 9. Bifog en utskrift v impulssvren h [ n ], hb [ n ] och hn i uppgift 5 (nvänd subplot och signlmod). Signlern rits i ett lämpligt tidsintervll (skriv t.ex. set(gc, xlim,[-5 50]) efter vrje signlmod( ) ). ) Förklr kort utseendet på hn, bsert på ett fltningsresonemng. b) De två kusl LTI-system H och H b hör till två olik filterklsser, som vi kommer tt studer närmre längre frm i kursen. Vilk är dess filterklsser? Förklr utgående från impulssvren H z h [ n ] och b h n smt utgående från systemfunktionern H [ z ] och b