Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KndM, MtemA -9-6 Smmnfttning v föreläsningrn 5-7. Föreläsningrn 5 7, 7/9 6/9 : Det kommer, liksom i lärooken, inte tt finns utrymme för en ordentlig genomgång v determinnter. Här är det därför extr viktigt tt du skriver ner ll frågor som dyker upp och tr med till föreläsningrn/lektionern. Elementär mtriser. En elementär mtris fås genom tt mn på en enhetsmtris gör en rdopertion (yter plts på två rder, multiplicerr en rd med ett nollskilt tl eller till en rd dderr en godtycklig multipel v en nnn rd. Exempel på elementär mtriser är I (som fås genom tt en godtycklig rd i I multiplicers med, E, E 4, E 5 E fås genom tt ndr- och tredje rden i I yter plts. E fås genom tt ndr rden i I multiplicers med 4. E fås genom tt mn till den tredje rden i I dderr 5 gånger den först rden. Inversen och trnspontet v en elementärmtris är också en elementärmtris. Till exempel hr vi E E E T, E E T och E 4, E 5, E T 5 Elementär mtriser svrr mot rdopertioner på så sätt tt om E fås genom en viss rdopertion på I m (till exempel tt tredje rden i I multiplicers med α så gäller, för vrje m n-mtris A, tt EA är identisk med den mtris som fås genom tt gör denn rdopertion (tredje rden i A multiplicers med α på A. Eftersom vrje mtris A är rdekvivlent med en reducerd trppmtris C finns det lltså en följd E,..., E p v elementär mtriser så tt Dett ger oss följnde E p E A C A E E p C (# Sts. Vrje mtris kn skrivs som en produkt v elementär mtriser följt v en (reducerd trppmtris. Om m n gäller tt A är inverterr om och endst om C I, vilket ger Sts. En (kvdrtisk mtris A är inverterr om och endst om A kn skrivs som en produkt v elementär mtriser.
och A som produkter v elementär mtri- ( Exempel. Skriv mtrisern A 4 ser. Lösning. Vi nvänder följnde nottion: Att rd sk lämns oförändrd nges genom tt vi skriver till höger om rd. Att rd sk yts mot rd minus tre gånger rd nges genom tt vi skriver till höger om rd. Att rd och rd sk yt plts nges genom tt vi skriver till höger om rd och till höger om rd o.s.v. Till höger om symolen skriver vi sedn den mtris som rdopertionen (rdopertionern ger upphov till. ( 4 ( + ( De elementär mtriser som svrr mot rdopertionern fås nu genom ( ( ( + Av ovnstående följer tt E E ( E ( ( ( och och och A E E E och A E E E. ( ( ( E ( E ( E Exempel. Låt A Beräkn A. Skriv mtrisern A och A som produkter v elementär mtriser. Lösning. Utgående från A gör vi en serie rdopertioner tills vi får enhetsmtrisen: I
Elementrmtrisern som svrr mot de fyr rdopertionern fås nu genom E E E E 4 Ovnstående inneär tt E 4 E E E A I. Det följer tt och E och E och E och E 4 A E 4 E E E och A E E E E 4 A E 4 E E E E E E 6 5 6 Se även prolem, i redovisningsuppgiftern till lektion, som du hittr på kurshemsidn. Determinnter. Till vrje kvdrtisk mtris A R (n,n hör ett unikt tl som sägs vr A:s determinnt och eteckns det(a, det A eller A (lodrät streck till vänster- och till höger om mtrisen. Används eteckningen A är det onödigt tt h kvr prentesern som normlt omgärdr mtrisen. Först måste förstås determinnten definiers. Eftersom definitionen är rätt omständig väntr vi dock med dett (se nedn.
Ur definitionen är det lätt tt, i tur och ordning, härled ett ntl egenskper hos determinnten, som är värdefull vid dess eräknnde. Vi nger dess egenskper i den ordning de härleds: Determinnten v en mtris med en nollrd eller nollkolonn. Av definitionen följer genst (se nedn tt om A hr en nollrd eller en nollkolonn så är det A. Determinnten v en tringulär mtris. Determinnten v en uppåt- eller nedåt tringulär mtris d d A O... respektive A... O d n d n ges v det A d d n (produkten v tlen i huvuddigonlen. Exempelvis gäller tt det(i n, det 4 5 4 ((4(6 4 6 5 6 och en tringulär mtris hr determinnten noll om och endst om det finns en noll i digonlen. Rdytesstsen. Denn säger tt om mtrisen B fås genom tt två rder i A yter plts så gäller det A det B. Till exempel 4 5 6 4 5 6 det det. Av rdytesstsen följer direkt tt om A hr två lik rder så gäller det A. Lineritetsstsen för rder. Antg tt de tre mtrisern A, A, A är identisk förutom tt där λ, µ är sklärer och r, r, r Till exempel det 7 8 r λ r + µ r är de r:te rdern i A, A respektive A. Då gäller det A λ det(a + µ det(a ( det det λ λ + (4 det (λ det 4
Determinnten efter en rdopertion. Av lineritetsstsen följer två viktig räkneregler: Om mtrisen B fås genom tt en multipel v en rd i mtrisen A dders till en nnn rd i A så gäller det A det B. Bevis. Antg tt r r + µ s (r:te rden i B fås genom tt mn till r:te rden i A dderr µ gånger den s:te rden i A, där s r. Låt A vr identisk med A, förutom tt rd r i A är identisk med rd s i A. Lineritetsstsen ger det B det(a + µ det(a det(a eftersom det(a, på grund v tt rdern r och s är lik. Om mtrisen A fås genom tt en rd i mtrisen A multiplicers med ett tl λ så gäller det A λ det(a. Bevis. Antg tt r λ r (r:te rden i A fås genom tt den r:te rden i A multiplicers med λ. Låt A vr identisk med A, förutom tt rd r i A är en nollrd. Lineritetsstsen ger det A λ det(a + det(a λ det(a eftersom det(a, på grund v tt A hr en nollrd. Exempel. 4 5 6 6 5 6 6 5 4 5 6 5. 6 Determinnten v en elementär mtris. Av ovnstående följer tt det och λ 5 λ. Den tredje typen v elementrmtris, som fås genom tt två rder i enhetsmtrisen yter plts, hr determinnten. Till exempel det Rdytes- och lineritetsstsern kn uttrycks som tt för vrje kvdrtisk mtris B och vrje elementär mtris E gäller tt det(eb (det E(det B. Genom upprepd nvändning v dett får vi tt om A E E k B, där E,..., E k är elementär mtriser, så gäller det A (det E (det E k (det B 5
Exempel. Låt ( A c d där och d c. Skriv A som en produkt v elementrmtriser och nvänd denn för tt vis tt c d d c. Lösning. En följd rdopertioner, med utgångspunkt från A, ger ( c d ( ( ( c d c ( ( ( d c ( I Motsvrnde följd v elementrmtriser fås genom tt gör rdopertionern på en enhetsmtris: ( ( ( ( E och E Vi hr därför ( ( ( ( E c c och ( E och ( ( E 4 och ( E c ( E ( E 4 Det följer tt A E ( E det(a c E E 4 ( c ( ( d ((((/ d c. Inverterrhet och determinnt. Vi vet tt vrje kvdrtisk mtris A R (n,n är rdekvivlent med en reducerd trppmtris B. Det etyder tt A E E k B, där E,..., E k är elementär mtriser och B är en uppåt tringulär mtris. Av det sist påståendet under föregående punkt följer tt det A (det E (det E k (det B 6
Om A är inverterr gäller B I n, vilket medför tt A E E k och det A (det E (det E k. Om A inte är inverterr är sist rden i B en nollrd, vilket medför tt det B och det A (det E (det E k (det B. Alltså är följnde tre påståenden ekvivlent: A är inverterr. A kn skrivs som en produkt v elementär mtriser. A hr nollskild determinnt. Determinntproduktstsen. Denn säger tt om A, B är två kvdrtisk mtriser v smm ordning så gäller det(ab (det A(det B ( Bevis. Om A inte är inverterr så gäller detsmm för AB, v vilket följer tt åd leden i ( är lik med noll. Om A är inverterr så kn vi skriv A E E k där E,..., E k är elementär mtriser. Det följer tt det(ab det(e E k B (det E det(e E k B (det E (det E k (det B det(e E k (det B (det A(det B Om B A ger ( det I det(a A (det A(det A det(a det A Determinnten v trnspontet. För vrje kvdrtisk mtris A gäller tt det(a T det A. Bevis. Först oserverr vi tt om E är en elementär mtris så är även E T en elementär mtris med smm determinnt. Om A inte är inverterr så gäller detsmm för A T, v vilket följer tt det(a T det A. Om A är inverterr så kn vi skriv A E E k där E,..., E k är elementär mtriser. Det följer tt A T E T k ET det(a T det(e T k det(et det(e det(e k det A. 7
Av denn sts följer genst tt ovnstående regler för hur determinnten påverks vid rdopertioner gäller oförändrde för kolonnopertioner. Exempelvis: Om mtrisen B fås genom tt en multipel v en kolonn i mtrisen A dders till en nnn kolonn i A så gäller det B det A. Determinntens definition. Vi hr ovn räknt upp en rd egenskper hos determinntfunktionen, som tillsmmns gör tt vi nu effektivt kn eräkn determinnten v en mtris. Än så länge vilr dock dett på lös grund eftersom vi underlåtit tt definier determinnten. I lärooken gör mn en definition som eror på en sts som ldrig eviss. Det är även si och så med evisen v determinnträknereglern. Det klssisk sättet tt definier determinnten är som följer: Först definiers determinnten v en (generliserd digonlmtris. Exempel på sådn mtriser är ( C, B c, 4 4 För en digonlmtris gäller lltså tt det i vrje rd eller kolonn finns högst ett nollskilt tl. Determinnten v en digonlmtris definiers som noll om mtrisen hr en nollrd (vilket är ekvivlent med tt den hr en nollkolonn. Annrs definiers den som plus eller minus produkten v de nollskild tlen i mtrisen. Det etyder tt det C ±c, det B ±, det ± 4 4 För tt vgör tecknet (plus eller minus frmför produkten går mn igenom rdern och räknr, för det nollskild elementet i vrje rd, hur mång v de nollskild elementen i de nednliggnde rdern som efinner sig snett ner till vänster. När dett är gjort dderr mn de funn ntlen och får ett heltl N. Om N är jämnt sk mn sätt ett plustecken frmför produkten. Om N är udd sk ett minustecken sätts frmför produkten. I mtrisen C efinner sig tlet c snett ner till vänster i förhållnde till tlet, vilket ger N. Det etyder tt det C c. I mtrisen B efinner sig snett ner till vänster i förhållnde till och, vilket ger N. Alltså hr vi det B. I mtrisen efinner sig och 4 snett ner till vänster i förhållnde till och 4. Elementet 4 efinner sig också snett ner till vänster i förhållnde till. Smmntget ger dett N + + 5. Det etyder tt det 4 4. Alterntivt kn mn räkn hur mång rdyten som ehövs för tt, 4,, 4 sk hmn längs huvuddigonlen. Vi får, genom ett rdyte i tget 4 4 4 4 4 4 8 4 4
Vi räknr till tre rdyten. Eftersom tre är ett udd tl hr vi det 4 4. Antg nu tt A ( ij är en godtycklig n n-mtris. Vi säger tt vi plockr ut en digonlmtris ur A om rdern i fås genom tt mn i vrje rd i A ehåller ett v elementen, medn ll de övrig yts ut mot nollor. Oserver tt mn, för tt få en digonlmtris, måste se till tt inget pr v de ehålln elementen efinner sig i smm rd eller smm kolonn. Mtrisen ovn är, till exempel, en v de digonlmtriser som kn plocks ut ur mtrisen A 4 4 4 4 4 4 44 Hur mång digonlmtriser kn plocks ut ur ovnstående 4 4-mtris A? I vrje rd sk mn ehåll ett v elementen. Det etyder tt vi i först rden kn välj tt ehåll vilket som helst v de fyr elementen. När dett är gjort hr vi r tre element tt välj lnd i ndr rden, eftersom vi inte kn välj elementet som efinner sig i smm kolonn som det vld elementet i först rden. Efter det finns det r två element tt välj lnd i tredje rden, eftersom två v de fyr kolonnern redn är upptgn v elementen vi vlde ur de två först rdern. Slutligen finns det, v smm skäl, r ett element mn kn välj tt ehåll ur den fjärde rden. Totlt finns det lltså (4((( 4! 4 digonlmtriser mn kn plock ut ur en 4 4-mtris. På smm sätt inses tt det finns totlt (n(n (( n! digonlmtriser som mn kn plock ut ur en n n-mtris. Determinnten v en godtycklig n n-mtris A kn nu definiers genom det A det( (A där (A etecknr mängden v ll digonlmtriser som mn kn plock ut ur A. Av definitionen följer genst tt om A hr en nollrd eller en nollkolonn så gäller det A. Exempel. ( det c d ( det d ( + det c d c. Exempel. Vis tt determinnten v en tringulär mtris är lik med produkten v elementen i huvuddigonlen. Lösning. För enkelhetens skull ntr vi tt det är fråg om en uppåt tringulär 4 4- mtris 4 A 4 4 44 9
En digonlmtris som vi kn plock ut ur A är D 44 Då inget v elementen,,, 44 efinner sig snett ner till vänster i förhållnde till ett nnt v dess element så gäller det D 44. Eftersom ll digonlmtriser som kn plocks ur A innehåller ett tl ur vrje kolonn i A kommer det( om vi inte väljer ur den först kolonnen. På smm sätt är det klrt tt det( om vi inte väljer ur den ndr kolonnen. Vi kn ju inte välj eftersom det elementet efinner sig i först rden där vi redn tvingts välj. Smm rgument tvingr oss tt välj ur kolonn tre och 44 ur kolonn fyr, ty nnrs får vi grntert det(. Alltså hr vi det A det( det D 44 (A Ovnstående resonemng fungerr på tringulär mtriser v godtycklig ordning. Rdytesstsen. Om mtrisen B fås genom tt två rder i A yter plts så gäller det A det B. Bevis. Antg till tt örj med tt A är en digonlmtris. Då är även B en digonlmtris. Om A innehåller en nollrd gäller detsmm för B, vilket ger det A det B. T nu fllet då A sknr nollrd (ll digonlelementen är nollskild och tt det ehövs ett udd ntl rdyten för tt plcer de nollskild tlen längs huvuddigonlen. Om två rder yter plts, vrvid B uppstår, kommer det tt ehövs ett jämnt ntl rdyten för tt plcer de nollskild tlen längs huvuddigonlen. För tt inse dett örjr vi med tt yt tillk de två rdern som nyss ytte plts, så tt vi återfår A. Därefter fortsätter vi med ett det udd ntl rdyten som ehövs för tt få de nollskild tlen längs huvuddigonlen. Men ett udd tl plus ett ger ett jämnt tl. Det etyder tt det A det B. Om det i stället ehövs ett jämnt ntl rdyten för tt plcer de nollskild tlen i A längs huvuddigonlen kommer det, på smm sätt, tt ehövs ett udd ntl rdyten för tt plcer de nollskild tlen i B längs huvuddigonlen. Återigen får vi det A det B. Antg nu tt A är en godtycklig kvdrtisk mtris och tt mtrisen B uppstår genom tt rdern r och s yter plts. Vi hr då det A det( (A där (A etecknr mängden v ll digonlmtriser som mn kn plock ut ur A. För vrje (A låter vi eteckn digonlmtrisen som uppstår då rdern r och s i yter plts. Vi visde ovn tt det( det(. Eftersom (B { (A} gäller tt det B det( (A det( det A. (A
Lineritetsstsen för rder. Antg tt de tre mtrisern A, A, A är identisk förutom tt där λ, µ är sklärer och r, r, r r λ r + µ r är de r:te rdern i A, A respektive A. Då gäller det A λ det(a + µ det(a Bevis. Antg först tt A, A, A är digonlmtriser. För elementen, rj, rj, rj i rd r gäller då tt rj λ rj + µ rj. För ll i r och ll j gäller tt ij ij ij. Om digonlelementen i de tre mtrisern är på pltsern (, j,..., (r, j r,..., (n, j n och vi sätter p σ,j r,jr r+,jr+ n,jn där σ ± är tecknet som sk sätts frmför produkten v digonlelementen, så gäller Eftersom r,jr λ r,j r + µ r,j r följer tt I det llmänn fllet hr vi det A det A p r,jr det(a p r,j r det(a p r,j r det A λ det(a + µ det(a det( det A det( det A det( (A (A (A där mtrisern,, är identisk förutom tt vilket, enligt ovn, medför tt (r:te rden i λ (r:te rden i + µ (r:te rden i det( λ det( + µ det( Det följer tt det A λ det(a + µ det(a Minorer. Låt A vr en n n-mtris. För r n, k n definiers minoren M rk som determinnten v den (n (n -mtris som återstår då mn stryker rd r och kolonn k i A. Om, till exempel, A så hr vi M M M, M, M, M 4, M, M, M
Mtrisen med ll minorer är M M M M M M M M M M 4 Kofktormtrisen. Kofktormtrisen C fås genom tt mn tr mtrisen med ll minorer och yter tecken på ll element M ij sådn tt i + j är udd (schckrädet. Om A är som ovn får vi, till exempel, C C C C C C C C C C M M M M M M M M M 4 Utveckling efter rd eller kolonn. Om vi fortsätter exemplet ovn ser vi tt 4 C + C + C C + C + C C + C + C C + C + C C + C + C C + C + C det A. Dett gäller även llmänt: För en godtycklig n n-mtris A och för godtycklig r n, k n, hr vi det A r C r + r C r + + rn C rn ( r k C k + k C k + + nk C nk ( k Determinnten fås genom utveckling efter rd r eller kolonn k. Beviset för dett fås genom nvändning v lineritetsstsen: Rd r i mtrisen A kn skrivs som summn v rdvektorern ( r,,...,, (, r,...,,..., (,,..., rn. Låt A (k eteckn mtrisen som är identisk med A, förutom tt rd r är (,...,, rk,,...,. Enligt lineritetsstsen gäller då tt det A det A ( + + det A (k + + det A (n En godtycklig term i högerledet är,k k,k+ n...... det A (k r, r,k r,k r,k+ r,n rk r+, r+,k r+,k r+,k+ r+,n...... n n,k nk n,k+ nn ( r+k rk. M rk ( r+k rk M rk rk C rk
där M rk är minoren som fås då rd r och kolonn k stryks i A. Fktorn ( r+k uppkommer på grund v tt vi i A (k flyttr rd r r steg uppåt och kolonn k k steg åt vänster. De åd sist likhetern följer v determinntdefinitionen och tt C rk ( r+k M rk. Av ( r och ( k följer också tt r C s + r C s + + rn C sn då r s j C k + j C k + + nj C nk då j k Av dett följer slutligen tt om dj(a (den till A djungerde mtrisen etecknr trnspontet till kofktormtrisen C så gäller A dj(a (det AI n (# Vi ser v (# tt A är inverterr om och endst om det A, i vilket fll A det A dj(a Dett är dock, i llmänhet, ett ineffektivt sätt tt eräkn inversen.