MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 494 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsäningar som ges här är ine bindande för sudeneamensnämndens bedömning Censorerna besluar om de krierier som används i den slugiliga bedömningen Av en god presaion framgår de hur eaminanden har kommi fram ill svare I lösningen måse de finnas nödvändiga uräkningar eller andra illräckliga moiveringar och e sluresula I bedömningen fäss uppmärksamhe vid helheen och vid de re segen sar, mellanseg och sluresula Räknefel som ine väsenlig ändrar uppgifens naur ger ingen beydande sänkning av anale poäng Räknefel och fel i den maemaiska modellen som ändrar uppgifens naur kan däremo sänka anale poäng avsevär I prove är räknaren e hjälpmedel, och dess roll bedöms separa för varje uppgif Om symbolräknare använs i en uppgif ska de framgå av presaionen I lösningar av uppgifer som kräver analys räcker de ine enbar med e svar som erhållis med hjälp av räknaren uan övriga moiveringar Däremo räcker e svar som eaminanden få med räknaren i allmänhe i ruinberäkningar Desamma gäller ruinmässiga delar av mera omfaande uppgifer Eempel på sådana är omskrivning av uryck, ekvaionslösning och derivering och inegrering av funkioner
Preliminär poängbedömning b) c) ( )( 3) 6 ( 5) 5 ELLER med roformeln: 5, 5 5 5 5 vilke ger 5 Vi får skärningspunkerna med ekvaionspare y y 3 Ledvis subrakion av ekvaionerna ger, vilke ger Då vi säer in dea värde i endera ekvaionen får vi y 3 och skärningspunken är därmed,3 De eferfrågade ale Villkore är 4 Vi får ekvaionen 8, av vilke vi med roformeln får lösningen 4 5 3y 7 46y4 3 y 4 3 96y Med ledvis addiion får vi 3 6 Genom a säa in värde i den övre ekvaionen får vi 4 3y 7 y Skärningspunken är därmed (,) b) De eferfrågade ale är Villkore är Genom ledvis kvadrering får vi 4 4 (4 ) 4 c) Logarimregler ger ln ln3 ln ln (ln3 ln ) ln3 ln, 3 av vilke man genom hyfsning får svare
3 Villkore är,6 f ( ) 38 e 37,9,6 e,6, e Genom a ledvis logarimera får vi,6 ln ln 4,998 5 minuer,6 b),6 Förändringshasigheen f ( ) e,6 (,6),e,,8 vilke ger f(3),e,983, grader per minu 4 Korrek idé Ekvaionen är y b) Korrek idé Ekvaionen är y ( 3) 6 9 c) Vi kombinerar uppslagen i a- och b-fallen Ekvaionen är y ( 3) y 6 5 Med söd av symmeri och formeln för volymen av en roaionskropp är volymen sin d cos( ) d / sin( ) 9,8696
6 7 Avsånde från bågens punk,3 5 ill origo är d Då är d f ( ) 3 5 4 3 5 3, 3 f ( ) 9 ( 9 ) f ( ) 9, av vilke 5 Vi får de sörsa värde i en inervalländpunk eller i derivaans nollsälle Eremvärdeskandidaerna är därmed f (), f,35 och f 5,3, av vilka de sisa värde är sörs Punken y y 3 5 4 Den eferfrågade punken är 5 5 5 5 därmed 5, 5 X Normering: Mängden kaffe X ~ N(,) Z ~ N(,) Sannolikheen för e undervikig pake är 5 5 P( X 5) P Z Efersom denna sannolikhe måse vara,, så måse de gälla a 5,98 Enlig abellen för fördelningsfunkionen gäller approimaiv 5,5, av vilke följer,5 5 5,5 Vänevärde för mängden kaffe bör allså regleras ill 5 gram 8 a Om alföljden an är geomerisk, så gäller n an an an an an an, av vilke an ana n b) Om bn bn b n, så är bn bn b n bn bn Genom a ledvis dividera med urycke bb n n får vi, bn bn dvs alföljden är geomerisk
9 Efersom f() är en jämn funkion är den båge som ska undersökas symmerisk med avseende på den lodräa ael som går genom oppen Vi får bågens höjd med värde Höjden 39 f () 3 39 3 9 meer b) Hälfen av bågens bredd är den posiiva -koordinaen för bågens jockända I bågens jockända är 39 f 3 y, dvs 39 3 77 f 39 39 3 Södberäkning: () f a e a Vi muliplicerar ledvis med urycke e, varvid vi får ekvaionen e ae Vi får ln a a a 4a 4 e a a, vilke ger Vi säer in värden: 77 77 ln 39 3 3, av vilke 39ln 5,9 5,9 96,7 96,7 Efersom de negaiva värde ine duger är bågens bredd 9,543 9 meer c) ( ) f ( e e ) ( ) 39 y f f, dvs 39 39 39 39 39 e e För den eferfrågade vinkeln gäller ekvaionen 39 39 an y e e, av vilke vi för värde 96,7 får an 5,838, och vidare 8,8 8 e
b) Ana a punken C (, y) och E (,) Då är TOC ~ COE, vilke ger, av vilke följer Efersom y så är y Koordinaerna för punken C är därmed,, Radien för den mindre cirkeln CT Vi beecknar DE a Sräckan TA och AE Vi får ekvaionen TA AE ED TD, dvs a a, av vilke Rikningskoefficienen för sräckan CD är k CD y a Efersom sräckan OD a är k BD OD på samma linje k CD, Därmed ligger punkerna B, D och C
f( ) e e, som är posiiv för varje påsående ELLER: e e f( ) e e e Då väer så avar, varvid differensen väer Allså väer f( ) e sräng b) ( e e f( ) e e, då c) Efersom f (),99995,999 och f( ) är sräng väande, så gäller olikheen San, efersom ill eempel alen y duger b) Falsk, efersom de ine eiserar e sörsa reell al y c) San, därför a om, så gäller de för alla naurliga al y a: y
3 b) 5 En lösning ill ekvaionen är densamma som nollsälle ill 5 4 funkionen f ( ) Efersom f ( ) 5, då, är f( ) sräng väande i dea inervall Då de dessuom gäller a f () och f () 9, har den koninuerliga funkionen f( ) eak e nollsälle och därmed har ekvaionen eak en lösning 5 5 Newons ieraionsformel är n n 4n n n 4 4 5n 5n Ierering: 3 4,5,784,675,673,67 *4 b) Vi riar sräckorna AD och BC Då är CBA CDA bågvinklar ill samma båge AC Dessuom har rianglarna en gemensam vinkel APC Därmed är rianglarna likformiga (vv) Med söd av likformigheen gäller PA PC, PD PB av vilke vi genom a muliplicera korsvis får PA PB PC PD c) Ana a K är cirkelns medelpunk Vi riar sräckorna AC och AD och beecknar CDA Då är CKA, efersom den är mosvarande medelpunksvinkel ill samma cirkelbåge AC För vinklarna i den likbena riangeln CKA gäller: ACK KAC 9 Efersom KAP 9, är CAP 9 9 Trianglarna PCA och DAP har vå lika sora vinklar De är då likformiga, av vilke följer a ( PA) PC PD d) Vi beecknar riangelns hörnpunker K, A, P Hypoenusan skär cirkeln i punken E Vi förlänger hypoenusan c med EK a, varvid förlängningen räffar cirkeln i punken D med söd av deluppgif b gäller PA PE PD Vi beecknar PA b och PK c, varvid b ( c ( c c a, av vilke följer Pyhagoras sas a b c
*5 Efersom kvadraen på e binom så är y y ( y) y y, för varje yr, b) Med söd av föregående är y y nyn y y n yn n y y yn ak bk Genom a i föregående uryck subsiuera k och yk får A B urycke formen a a an b b b n ( ) A B c) Med söd av föregående deluppgif är ab anbn A yb na ynb AB( y nyn) AB a a b b n n