ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM. Inledning Dett ompendium innehåller mteril som ompletterr ursboen Persson&Böiers, del 2. De inlednde fem vsnitten hndlr om nlytis funtioner, där vi i först hnd tr upp sådn företeelser som ligger när vetornlysen. Som tillämpningr visr vi hur oli generliserde integrler n beräns och ger ett elementärt bevis v lgebrns fundmentlsts. I de därefter följnde två vsnitten 6 och 7 definierr vi begreppet liformig onvergens för funtionsföljder och funtionsserier. Vi visr bl tt gränsvärdet v en liformigt onvergent följd v ontinuerlig funtioner lltid är ontinuerlig och tt gränsvärdet v integrlern v en liformig onvergent följd är li med integrlen v gränsvärdet. Som en intressnt tillämpning studerr vi i vsnitt 8 potensserier, och i vsnitt 9 visr vi sedn tt teorin för dess på ett mycet nturligt sätt hänger smmn med teorin för nlytis funtioner. Som en vslutnde tillämpning ger vi i vsnitt ett exempel på hur potensserier n nvänds för tt lös differentilevtioner som vi inte n lös på nnt sätt. I vsnitt finns övningr till mterilet. 2. Komplex urvintegrler Vi hr tidigre studert vetornlys i plnet reltivt utförligt. Ett v de vitigste resultten är tt en urvintegrl P dx + Qdy γ är oberoende v vägen i ett enelt smmnhängnde område om och endst om villoret (2.) Q x = P y är uppfyllt. Vi n ocså säg tt villoret (2.) grnterr tt integrtionen är oberoende v vägen melln två punter så länge vi br gör ontinuerlig deformtioner v urvn inom området. Vi s nu utvidg dett till omplexvärd funtioner. Dett visr sig få häpndsväcnde onsevenser. Komplex funtioner för vil integrtionen är oberoende v vägen i enelt smmnhängnde områden n tillämps långt utnför vetornlysen i vitt sild delr v både ren och tillämpd mtemti. Teorin blir mest nturlig om vi inte br låter P och Q vr omplexvärd, utn även byter ut R 2 mot C. För punter i det omplex plnet ommer vi omväxlnde tt nvänd oordintern z = x + iy och (x, y) (iblnd även polär oordinter z = re iθ ).
2 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM Definition 2.. Låt γ : z(t) = x(t) + iy(t), α t β, vr en orienterd deriverbr urv i det omplex plnet, och låt f(z) = u(z) + iv(z), där u(z), v(z) är reellvärd, vr en (omplexvärd) funtion. Vi definierr då β β f(z) dz = f(z(t))d(z(t)) = f(z(t))z (t) dt. γ α Vi noterr ocså tt den omplex definitionen n återförs på den reell genom tt vi sätter dz = dx+idy, och utför multiplitionen (u+iv)(dx+idy) = udx vdy+i(vdx+udy), vilet leder till den lterntiv formuleringen (2.2) f(z) dz = udx vdy + i vdx + udy. γ γ Läsren n lätt övertyg sig om tt de två synsätten är evivlent genom tt återför integrlern ovn på vnlig integrler genom prmetriseringen v urv. I mång tillämpningr är det nturligt tt utvidg definitionen v urvintegrl till urvor med hörn, det vill säg där urvn är en ändlig union v C -urvor. Denn generlisering är i stort sett helt oproblemtis och vi ommer tt nvänd den utn vidre ommentrer. dz Exempel 2.. Bestäm där γ är en cirel i C med rdie R och centrum i punten γ z, och som är orienterd moturs. Vi n prmetriser urvn som γ : z = + Re it, t 2π. Integrlen blir då dz 2π z = d( + Re it ) 2π + Re it = Rie it dt 2π Re it = i dt = 2πi. γ 3. Anlytis funtioner Vd är då motsvrigheten till villoret Q x = P för tt integrtion s vr oberoende y v vägen för omplex urvintegrler i enelt smmnhängnde områden? Enligt definitionen måste både rel- och imginärdel i (2.2) vr oberoende v vägen, och båd måste därför uppfyll villoret (2.), vilet ger följnde evtioner: Cuchy-Riemnns evtioner: u x = v y, α γ u y = v x. Definition 3.. Låt f(z) = u(x, y) + iv(x, y), där u och v är reellvärd. Funtionen f lls nlytis i en öppen mängd Ω C om u, v är v lss C (som funtioner v två vribler, x och y) och uppfyller Cuchy-Riemnns evtioner i Ω. Exempel 3.. Funtionen f(z) = e z är ett exempel på en nlytis funtion: enligt definitionen v den omplex exponentilfuntionen gäller tt u(x, y) = Re f(z) = e x cos y och v(x, y) = Im f(z) = e x sin y, och vi verifierr lätt tt u x = ex cos y = v y, u y = ex sin y = v x.
ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 3 På linnde sätt inses tt cos z = 2 (eiz + e iz ) och sin z = 2i (eiz e iz ) är nlytis. I själv veret visr sig de flest v vår välbent funtioner från envribelnlysen vr restritioner till R v nlytis funtioner. Även omplex polynom är nlytis, och omplex rtionell funtioner (voter v polynom) är nlytis överllt där nämnrn är sild från noll. En tumregel är tt funtioner som är nturlig funtioner v z är nlytis, medn sådn som även innehåller z (t ex f(z) = z (= (zz) /2 ) och f(z) = Re z (= 2 (z + z))), normlt inte är det. Följnde sts ger en nnn tolning v begreppet nlytis: Sts 3.. Låt f vr en funtion sådn tt dess reldel u och imginärdel v är v lss C (som funtioner v två vribler, x och y). Gränsvärdet f f(z + z) f(z) (z) = lim z z existerr om och endst om rel- och imginärdelrn u och v till f uppfyller Cuchy- Riemnns evtioner. Anmärning 3.. Observer tt det frmgår v beviset nedn tt om u, v tillhör lss C och f är nlytis, så följer även tt f(z + z) f(z) = f (z) z + z ρ( z), där ρ( z) då z, dvs tt f är omplext differentierbr. Anlytis betyder lltså omplext deriverbr. Det är inte svårt tt se tt de vnlig deriveringsreglern (t ex produtregeln och edjeregeln) gäller för omplex derivtion, och de reell bevisen n överförs ord för ord. För vnlig funtioner gäller ocså tt derivtorn ges v de vnlig väländ formlern, t ex D(z n ) = nz n och D(sin z) = cos z. Men det är vitigt tt observer tt omplex deriverbrhet är ett mycet strre rv än vnlig reell prtiell deriverbrhet, eftersom gränsvärdet i sts 3. måste exister längs ll ritningr genom punten z. Bevis för stsen. Vi visr först tt om gränsvärdet existerr, så uppfyller u och v Cuchy-Riemnns evtioner. Argumentet bygger just på tt vi jämför derivtorn längs de reell och imginär ritningrn: I. z = x R. II. z = i y ir. f(x + x, y ) f(x, y ) x = u(x + x,y ) + iv(x + x, y ) u(x, y ) iv(x, y ) x = u(x + x, y ) u(x, y ) x = + i v(x + x, y ) v(x, y ) x u x (x, y ) + i v x (x, y ) när x. f(x, y + y) f(x, y ) i y = =
4 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM u(x, y + y) + iv(x, y + y) u(x, y ) iv(x, y ) i y = v(x, y + y) v(x, y ) y + i u(x, y + y) u(x, y ) y v y (x, y ) i u y (x, y ) när y. Om f är omplext deriverbr så måste gränsvärden i I och II vr li. Om vi jämför rel- och imginärdelr seprt så erhåller vi just Cuchy-Riemnns evtioner! Eftersom vi hr förutstt lss C så följer den ndr ritningen lätt v tt u och v är differentierbr. Vi får tt f(z + z) f(z) = u(x + x, y + y) + iv(x + x, y + y) u(x, y) iv(x, y) = ( ) ( ) u u v x + x y y v + i x + x y y + z ρ( z) = ( ) ( ) u v v x x x y u + i x + x x y + z ρ( z) = ( u x + i v ) ( x + i y) + z ρ( z), x där vi i näst sist steget nvänt Cuchy-Riemnns evtioner. z = x + i y och låter z, så följer det tt ( f f(z + z) f(z) u (z) = lim = lim z z z x + i v x + z ρ( z) ) z Om vi dividerr med = u x + i v x eftersom z z är begränst (hr bsolutbelopp ) och ρ( z) då z. Alltså är f(z) omplext deriverbr. Vi hr lltså sett tt villoret tt integrlen s vr oberoende v vägen i enelt smmnhängnde områden är evivlent med tt funtionen uppfyller Cuchy-Riemnns evtioner. Det ftum tt integrtion är oberoende v vägen för nlytis funtioner brur smmnftts som Sts 3.2 (Cuchys sts). Låt vr en sluten stycvis deriverbr urv i ett enelt smmnhängnde område Ω C, och ntg tt f(z) är nlytis i Ω. Då gäller tt f(z) dz =. Följdsts 3.. Slutstsen gäller även om D Ω är en ompt mängd, f(z) är nlytis i Ω och rnden till D består v ändligt mång urvor som ll är positivt (eller ll är negtivt) orienterde med vseende på D (här behöver vren D eller Ω vr enelt smmnhängnde). Dett följer ur Greens formel tillämpd på (2.2).
ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 5 4. Cuchys integrlformel Integrtion v nlytis funtioner längs urvor i det omplex plnet fungerr i mång vseenden både som integrtion v onservtiv vetorfält i vetornlysen och som vnlig reell integrtion. Om vi t ex s berän integrlen v f(z) längs urvn från punten till b och hr tillgång till en primitiv funtion (potentil) F (z) så tt F (z) = f(z), så gäller huvudstsen: (4.) b f(z) dz = F (b) F () (vis dett som övning). Andr integreringsregler gäller ocså med viss modifitioner. T ex hr vi följnde vrint v prtilintegrtion: b [ ] b b (4.2) f(z)g(z) dz = F (z)g(z) F (z)g (z) dz. Speciellt gäller i fllet med en sluten urv tt (4.3) f(z)g(z) dz = F (z)g (z) dz, eftersom den först termen i (4.2) försvinner. Det är doc vitigt tt omm ihåg tt det, precis som i vetornlysen, inte lls är säert tt det finns någon primitiv funtion (potentil) i områden som inte är enelt smmnhängnde, trots tt villoret (2.) n vr uppfyllt. I fortsättningen ommer vi tt behöv följnde vrint v tringeloliheten för integrler: Lemm 4.. Låt : z(t) = x(t) + iy(t), α t β, vr en orienterd urv i C, och låt f(z) vr en ontinuerlig funtion längs. Då gäller oliheten β f(z) dz f(z(t))z (t) dt. Bevis. Dett är en diret tillämpning v den vnlig tringeloliheten för integrler : β f(z) dz = f(z(t))z β (t) dt f(z(t))z (t) dt. α α Sts 4. (Cuchys integrlformel). Låt vr den positivt orienterde rnden till det öppn enelt smmnhängnde området D. Om f(z) är nlytis i en omgivning till D så gäller för vrje z D: f(z) = f(ζ)dζ 2πi ζ z. Den omplex versionen v tringeloliheten för integrler är inte helt trivil men n viss på följnde sätt. Vi n nt tt b b g(t) dt och sätt θ = Arg b ( b ) g(t) dt =e iθ g(t) dt=re e iθ g(t) dt = Tän igenom nog vrför vrje steg gäller. b Re b α g(t) dt. Då gäller tt ( ) e iθ g(t) dt b ( ) b Re e iθ g(t) dt g(t) dt.
6 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM Denn formel är mycet nvändbr och bevis-idén är smtidigt mycet enel. Bevis. Enligt följdsts 3. n ersätts med en liten cirel ε runt z, utn tt ändr integrlens värde (eftersom ε = ). Om f är nlytis (och därmed omplext deriverbr) så hr vi f f(ζ) f(z) (z) = lim, ζ z ζ z och därför är f(ζ) f(z) B(ζ) = ζ z en begränsd funtion i en omgivning v z. Dett ger f(ζ)dζ 2πi ζ z = f(ζ)dζ 2πi ε ζ z = (f(z) + (ζ z)b(ζ))dζ = 2πi ε ζ z f(z) dζ 2πi ε ζ z + B(ζ) dζ. 2πi ε Den först integrlen i ndr rden ovn är li med f(z) (oberoende v ε) enligt exempel 2.. Eftersom även den ndr integrlen är oberoende v ε (tän efter vrför), n vi låt ε och vi får (med prmetriseringen ζ = z + εe it ) B(ζ) dζ 2πi 2π ε B(z + εe it ) dt εm, ε 2π enligt Lemm 4., där M är störst värdet v B över någon liten cirelsiv som innehåller ε för ll små ε. Så f(ζ)dζ 2πi ζ z = f(z), vilet vi sulle vis. Observer tt integrlformeln visr tt värdet v f(z) i en godtyclig punt z innnför urvn är helt och hållet bestämt v f:s värden på själv urvn. Att en funtion är nlytis är tydligen en mycet speciell egensp. Iblnd är det mer prtist tt h z som integrtionsvribel. Byter vi plts melln z och ζ i Cuchys integrlformel, får vi f(ζ) = f(z)dz 2πi z ζ. Exempel 4.. Berän urvintegrlen z 3 (z 3)(z 2 + ) dz, där är cireln z = 2 med orientering moturs. Integrnden är nlytis överllt innnför urvn utom i puntern ±i. Vi n därför, på smm sätt som i beviset för Cuchys integrlformel, nvänd följdsts 3. för tt ersätt med två cirlr och 2 som genomlöps i positiv led och som båd hr rdie ρ, och centrum i i respetive i, där ρ är ett godtycligt tl som uppfyller < ρ < (se figur ). γ
ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 7 Figur Vi ser nu enligt Cuchys integrlformel, med f(z) = (z 3)(z 2 + ) dz = f(z)dz z i z 3 z 3 z 3 (z 3)(z + i), tt = 2πif(i) = π ( + 3i). På smm sätt får vi, med g(z) = (z 3)(z i), z 2 3 (z 3)(z 2 + ) dz = g(z)dz = 2πig( i) = π ( + 3i). 2 z + i Dett ger nu tt z 3 (z 3)(z 2 + ) dz = z 3 (z 3)(z 2 + ) 2 dz + z 3 (z 3)(z 2 + ) dz = π ( + 3i) + π 3πi ( + 3i) = 5. Anmärning 4.. Integrlen i det föregående exemplet är hämtt från en omfttnde teori som lls residy-lyl. Grundidén i denn är tt värdet v en integrl över en sluten urv helt och hållet bestäms v hur funtionen beter sig i de punter innnför urvn där den inte är nlytis. Om vi i en sådn punt z innnför urvn n sriv f(z) = A z z + g(z), där g(z) är begränsd i en omgivning till z, så lls tlet A för f:s residy i z, och betecns oft med Res(f, z ). Vår tidigre nvändning v Cuchys integrlformel n nu smmnftts i formeln f(z) dz = 2πi Res(f, z ), där summn ts över de (ändligt mång) punter innnför där f inte är nlytis. Denn formel n även generlisers till situtioner där funtionen n h ett mer omplicert beteende än ovn, men för en systemtis genomgång v denn teori hänviss till högre urser eller speciliserd littertur.
8 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM Figur 2 5. Tillämpningr v omplex integrler Det visr sig tt nlytis funtioner, ombinerde med idéer från den vnlig vetornlysen, n ge en effetiv metod tt rän ut generliserde integrler som är svår tt berän på nnt sätt. Exempel 5.. Berän den generliserde integrlen I = cos x + x 2 dx = (Den sist liheten beror på tt imginärdelen sin x + x 2 dx = e ix + x 2 dx. v symmetrisäl.) I stället för tt ngrip den reell integrlen diret, integrerr vi den nlytis funtionen f(z) = e iz /( + z 2 ) över R = I R C R där I R = [ R, R], R >, och C R = {z : z = Re it, t π}, med orientering i positiv led (se figur 2). Från lemm 4. tillsmmns med observtionen e iz + z 2 R 2 på C R (som följer v den omvänd tringeloliheten), ser vi nu tt (5.) + z 2 dz π CR e iz R 2 Rdt = πr R 2 när R. Smtidigt gäller, enligt v vd vi vet om bsolutonvergent generliserde integrler tt (5.2) IR e iz + z 2 dz = R R cos x + x 2 dx I när R. (5.) och (5.2) ger tillsmmns tt e I = lim R R iz + z 2 dz.
ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 9 Figur 3 Men integrlen över R n även beräns genom tt nvänd Cuchys integrlformel blänges. Funtionen är nlytis innnför R utom i punten i, och vi får e iz dz + z R 2 = e iz z + i dz z i = f(z)dz = 2πif(i), R z i R där f(z) = eiz. Vi ser nu ocså tt integrlen ovn i själv veret är oberoende v R, z + i och tt därför I = 2πif(i) = 2πi e = π 2i e. Exempel 5.2. Vi n nu även berän den generliserde integrlen sin x x eller lterntivt sin x I = x dx = 2 sin x x dx. Metoden är återigen tt i stället betrt en omplex urvintegrl: J = R,ε e iz dx, z dz, där R,ε nu väljs som i figur 3. Här är integrnden nlytis innnför urvn, så enligt sts 3.2 blir J = för ll R > ε >, dvs (5.3) + + 2 + 3 + 4 + 5 =. 6 Vi visr först med hjälp v lemm 4. tt integrlern över, 2 och 3 går mot noll då R : e iz z dz R R dt = då R, R där vi nvänt tt e iz och z R på. På linnde sätt fås e 3 iz z dz R R dt = då R. R
ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM För 2 nvänder vi i stället tt e iz = e y+ix = e R och z R där, vilet ger e 2 iz z dz R e R dt = 2 Re R då R. R Näst observtion är tt 4 e iz z dz + 6 e iz R z dz = ε R då R, ε +. Dett beror på tt ε R cos x x dx + e ix R x dx + e ix ε x dx i sin x x dx, R på grund v symmetrisäl, trots tt integrlen ε cos x x cos x x dx dx =, är divergent. Om vi därför låter ε +, R i (5.3), så ser tt det end som blir vr är (5.4) i sin x x e dx + lim ε + 5 iz dz =. z Som i beviset för Cuchys integrlformel n vi nu berän den sist integrlen. Observer tt prmetrisering nedn går åt motstt håll mot 5 i figuren, vilet ger ett extr minustecen. e 5 iz [ ] z = εe z dz = it π + O(ε) dz = iεe it = dt εe it iεe it dt = iπ + O(ε) iπ. Om vi jämför dett med (5.4) så n vi nu läs v tt sin x x dx = π. Noter tt ovnstående resonemng inte br ränr ut integrlen utn även ger ett bevis för tt den ftist är onvergent (jämför med motsvrnde resonemng i ompendiet om serier och generliserde integrler). Som vslutning på dett vsnitt visr vi även en v mtemtiens vitigste stser som vi hr nvänt mång gånger tidigre, men som vi inte hr unnt vis förrän nu. Sts 5. (Algebrns fundmentlsts). Vrje omplext polynom v grd hr ett omplext nollställe. Bevis. Det räcer tt betrt ett polynom p(z) = z n + n z n +... + z + och vi n nt tt (nnrs är ju z = ett nollställe). Vi ntr tt p(z) snr nollställen och s vis tt dett leder till en motsägelse. Om p(z) snr nollställen så är g(z) = /p(z) nlytis i hel C. Cuchys integrlformel, tillämpd på en cirel C R med rdie R och centrum i origo, ger då tt (5.5) = g() = 2πi g(z) C R z Men med hjälp v Lemm 4. s vi nu vis tt högerledet går mot när R. dz.
ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER Vi observerr först tt p(z) = z n + n z +... + z n + }{{ z n. } när z Gränsvärdesdefinitionen ger tt vi n finn R så tt z R = n z +... + z n + z n 2. Det följer tt det för z R gäller tt p(z) 2 zn, vilet i sin tur ger tt g(z) 2 z n. För R R följer nu från Lemm 4. tt g(z) dz 2πi C R z 2π g(re it ) 2π Re it ire it dt 2π 2 2π R n dt = 2 när R. Rn Dett motsäger (5.5), vilet visr stsen. 6. Liformig onvergens v funtionsföljder I tidigre nlysurser hr tlföljder och tlserier behndlts. I stället för en tlföljd ( ) = n mn betrt en funtionsföljd (f (x)) = och liså n mn, i stället för en tlserie, betrt en funtionsserie f (x). Här n f ntingen vr reellvärd = = funtioner v en reell vribel eller nlytis funtioner v en omplex vribel. Vi ntr tills vidre tt f är reellvärd och definierde på ett intervll I, ändligt eller oändligt. Antg tt det för vrje x I existerr ett gränsvärde f(x) = lim f (x). I så fll får vi en gränsfuntion f(x). Vd n mn då säg om f? Om f är ontinuerlig, n mn förvänt sig tt f är ontinuerlig? Om f är integrerbr över I, n mn förvänt sig tt (6.) lim I f (x) dx = I lim f (x) dx = I f(x) dx? Exempel 6.. Låt f (x) = rctn(x) och låt. För x = är gränsvärdet (eftersom f () = ), för vrje x > är gränsvärdet π/2 (eftersom x ) och för vrje x < är gränsvärdet π/2. Så gränsfuntionen är f(x) = Uppenbrligen är f disontinuerlig. π/2 då x > π/2 då x < då x =. Exempel 6.2. Låt g (x) =. Fixerr mn ett x och låter, är det + (x ) 2 uppenbrt tt g (x), dvs. g(x) =. Här är lltså g ontinuerlig. Däremot gäller inte (6.), för g (x) dx = dx = [x = y] = dy = π, + (x ) 2 + y2 medn g(x) dx = dx =.
2 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM Exempel 6.3. Om h (x) = ( + x 2, så är det lätt tt se tt h(x) =, dvs. h är ) ontinuerlig, och tt (6.) gäller. Vi definierr nu begreppet liformig onvergens och visr tt under lämplig förutsättningr n inte situtionen i exemplen 6. och 6.2 uppstå för liformigt onvergent följder. Definition 6.. Betrt en funtionsföljd (f (x)) =, x I. (i) Följden onvergerr mot gränsfuntionen f puntvis i intervllet I om lim f (x) = f(x) för ll x I. (ii) Låt M = sup f (x) f(x). Följden onvergerr liformigt mot f i intervllet I om x I M då. Anmärning 6.. Definition 6. n omformulers på följnde sätt: (i) Följden (f ) = onvergerr mot f puntvis i intervllet I om det till vrje ε > och vrje x I existerr ett ω sådnt tt f (x) f(x) < ε för ll > ω. (ii) Följden (f ) = onvergerr mot f liformigt i intervllet I om det till vrje ε > existerr ett ω sådnt tt f (x) f(x) < ε för ll > ω och ll x I. Dett är mycet vitigt. Här ser mn sillnden melln onvergens och liformig onvergens: I (i) existerr ett ω som n vr beroende v x I (dvs. för oli x n vi behöv välj oli ω), medn det i (ii) sll exister ett ω som duger för vrje x I. Att (i) ovn och i definition 6. är evivlent följer diret ur gränsvärdesdefinitionen. Det är mindre uppenbrt tt även (ii) i definition 6. och i nmärning 6. är evivlent. För tt vis dett ntr vi först tt (ii) i definition 6. gäller. För ett givet ε > väljer vi ω så tt om > ω, så är M < ε (dett är möjligt eftersom M ). Nu får vi f (x) f(x) M < ε för ll > ω och ll x I. Å ndr sidn, om det för vrje ε > existerr ett ω så tt f (x) f(x) < ε för ll > ω och ll x I, så är M = sup x I f (x) f(x) ε för ll > ω. Eftersom ε n väljs godtycligt litet, betyder det tt M. Anmärning 6.2. Det är inte nödvändigt tt bestämm det ext värdet v M. Vill mn vis liformig onvergens, är det iblnd enlre tt finn M så tt, och vill mn vis tt onvergensen inte är liformig, n det vr enlre tt bestämm b M så tt b och b. Exempel 6.4. Följdern (f ) och (g ) i de föregående exemplen onvergerr inte liformigt i R medn (h ) gör det. Betrt f först. Om vi väljer x > så tt x inte går mot oändligheten, ommer inte sillnden melln f (x ) och f(x ) tt gå mot. Vi n t ex välj x = /. Då får vi M rctn( /) π/2 = π/4. Så M. För g är det lätt tt se tt M = g () =. Så igen, M. För h är M = /, dvs. h onvergerr liformigt mot h =. Exempel 6.5. Låt f (x) = x, x. Vi ser tt f (x) då för vrje x [, [ och f (). Så f(x) = för x < och f() =. Om x ligger mycet
ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 3 när men är mindre än, så borde f (x ) vr när medn f(x ) =, dvs. M borde vr (vis som övning tt så är fllet). Alterntivt n vi t x = /, vilet ger M ( /) /e. Dett räcer för tt vis tt onvergensen inte är liformig. Betrtr vi smm följd på intervllet [, ] med <, så är onvergensen liformig där eftersom M =. x Exempel 6.6. Låt f (x) = + 2 x 2, x R. Det är lrt tt f (x) för ll x. Genom tt deriver ser vi tt störst och minst värde för f nts då x = ±/. Så M = /2 då. Alltså onvergerrr f liformigt mot i R. Nedn visr vi tre egensper v liformigt onvergent följder. Sts 6.. Om (f ) = är en följd v ontinuerlig funtioner som onvergerr liformigt mot f i intervllet I, så är funtionen f ontinuerlig där. Bevis. Låt x I och låt ε > vr givet. Genom tt nvänd tringeloliheten får vi f(x) f(x ) = (f(x) f (x)) + (f (x) f (x )) + (f (x ) f(x )) f(x) f (x) + f (x) f (x ) + f (x ) f(x ). Eftersom först och tredje termen i ndr rden ovn är M och M, n vi välj ett sådnt tt dess termer är mindre än ε/3. Eftersom f är ontinuerlig, n vi sedn välj δ > så tt även termen i mitten är, för dett, mindre än ε/3 då x x < δ. Det följer tt f(x) f(x ) < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε då x x < δ. Alltså är f ontinuerlig i punten x. Sts 6.2. Låt (f ) = vr en följd v ontinuerlig funtioner som onvergerr liformigt mot f på det begränsde intervllet [, b]. Då är lim b f (x) dx = b lim f (x) dx = Bevis. Tringeloliheten för integrler ger b b b (6.2) f (x) dx f(x) dx f (x) f(x) dx Påståendet följer eftersom M. b f(x) dx. b M dx = M (b ). För generliserde integrler behöver inte stsen gäll men vi går inte närmre in på dett. Sts 6.3. Låt (f ) = vr en följd v ontinuerligt deriverbr funtioner som onvergerr mot f i intervllet I. Om f onvergerr liformigt mot g på I, så är f deriverbr där och f = g. Med ndr ord, ( ) lim f (x) = lim f (x) = f (x).
4 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM Bevis. Låt x I. Eftersom f g liformigt, får vi enligt sts 6.2 Eftersom x lim x x f (t) dt = x x lim f (t) dt = x f (t) dt = f (x) f (x ) och f f, får vi f(x) f(x ) = x x g(t) dt. x x g(t) dt. Högerledet är deriverbrt, därför måste även vänsterledet vr det. Derivering ger f (x) = g(x). Anmärning 6.3. Liformig onvergens n definiers på smm sätt för nlytis funtioner (intervllet I ersätts då med ett öppet område Ω i C). Sts 6. gäller då oförändrd, och med smm bevis. Sts 6.2 gäller med integrlen från till b erstt med en urvintegrl längs en urv γ Ω. I beviset nvänder mn tt β (f (z) f(z)) dz = (f (z(t)) f(z(t))z (t) dt, γ α och fortsätter sedn som i (6.2) med uppenbr ändringr. En motsvrighet till sts 6.3 är Sts 6.4. Låt (f ) = vr en följd v nlytis funtioner som onvergerr mot f i ett öppet område Ω. Om f onvergerr liformigt mot g i Ω, så är f nlytis där och f = g. Bevis. Vi sissr resonemnget som linr det i sts 6.3. För ett givet z Ω n vi välj en punt z Ω och en öppen cirelsiv B med medelpunten i z så tt z B och B Ω. Eftersom B är enelt smmnhängnde, är integrlen v f från z till z oberoende v vägen i B. Så z z z lim (ζ) dζ = lim f (ζ) dζ = g(ζ) dζ, z z f z där högerledet är oberoende v vägen i B. Som i sts 6.3 är vänsterledet ovn li med f(z) f(z ). Ett linnde resonemng som i nlysens huvudsts visr tt högerledet är omplext deriverbrt med derivt g(z) (i en v övningrn i vsnitt uppmns läsren tt genomför detljern). Alltså är f nlytis och f (z) = g(z). Exempel 6.7. Berän lim + x dx. Sätt f (x) =. Vi ser tt lim + x f (x) = f(x), där f(x) = om x < och f() = /2. Eftersom f är disontinuerlig, är onvergensen inte liformig på [, ]. Å ndr sidn gäller, om < <, M = sup + x = sup x + x. x [,] x [,]
ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 5 Följden onvergerr lltså liformigt på [, ] och vi n tillämp sts 6.2 där. Så lim = + x dx + lim dx = lim dx + lim + x dx = + lim + x Låter vi, går den sist termen ovn mot eftersom Så det söt gränsvärdet är li med. + x dx + x dx. + x dx dx =. 7. Liformig onvergens v funtionsserier Summn v tlserien definiers som bent som gränsvärdet v prtilsummorn s n = n. = onvergens. = För funtionsserien Definition 7.. Betrt serien f (x) definierr vi nedn puntvis och liformig = f (x), x I, och sätt s n (x) = = n f (x). (i) Serien onvergerr mot s puntvis i intervllet I om lim n s n(x) = s(x) för ll x I. (ii) Serien onvergerr liformigt mot s i intervllet I om s n onvergerr mot s liformigt där. Eftersom liformig onvergens v serier svrr mot liformig onvergens v följden (s n ), n stsern 6.-6.3 tillämps på (s n ). Vi återommer strx till dett. Men först - hur vgör mn om en serie är liformigt onvergent? Att bestämm s(x) och berän supremum över I v s n (x) s(x) är sälln möjligt. Ett vnlig sätt tt vis liformig onvergens är tt uppstt funtionsserien med en onvergent tlserie. Sts 7. (Weierstrss mjorntsts). Om det finns en onvergent tlserie sådn tt f (x) för ll och ll x I, så onvergerr funtionsserien i intervllet I. Bevis. Betecn n:te prtilsummn och summn v n s n (x) s(x) = f (x) f (x) = = =n+ = = σ σ n. = = f (x) liformigt = med σ n resp. σ. Vi får = =n+ f (x) Så sup s n (x) s(x) σ σ n då n x I eftersom σ n σ. Alltså onvergerr s n mot s liformigt. =n+ f (x)
6 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM x Exempel 7.. Vis tt serien + 2 onvergerr i intervllet [, [, där, x2 = och tt onvergensen är liformig om > men ej om =. Betecn seriens termer med f (x). Det är lrt tt serien onvergerr om x = (f () = ). Om x >, så är x/( + 2 x 2 ) lim / 2 = x. Eftersom 2 onvergerr, så onvergerr f (x) puntvis enligt ndr jämförelseriteriet för serier. = = Låt >. Genom tt deriver ser vi tt för stor ntr f sitt störst värde då x =, med f () = /( + 2 2 ). Nu n vi nvänd Weierstrss mjorntsts med = /( + 2 2 ). Att onvergerr följer ur ndr jämförelseriteriet igen. sup x = Att vis tt onvergensen inte är liformig om = är betydligt nepigre: x s(x) s n (x) = sup + 2 x 2 [sätt x = /n] /n + 2 /n 2 2n =n+ x =n+ =n+ /n + 2 /n 2 = /n + (n + ) 2 /n 2 + + /n + 4n 2 /n 2 n /n + 4n 2 /n 2 = 5. Alltså går supremum ej mot då n. Nu formulerr vi motsvrigheter till stsern 6.-6.3. Sts 7.2. Om funtionern f är ontinuerlig och funtionsserien liformigt i intervllet I, så är seriens summ en ontinuerlig funtion där. f (x) onvergerr Bevis. Eftersom prtilsummn s n är ontinuerlig för vrje n, så är s(x) = lim s n(x) n en ontinuerlig funtion enligt sts 6.. Sts 7.3. Om funtionern f är ontinuerlig och funtionsserien f (x) onvergerr liformigt i det begränsde intervllet [, b], så är b ( b ) f (x) dx = f (x) dx. = = Bevis. Eftersom funtionern f är ontinuerlig och n b ( b n ) f (x) dx = f (x) dx = (integrlen v summn är li med summn v integrlern), n vi tillämp sts 6.2, vilet ger n b ( ) b n lim f (x) dx = lim f (x) dx. = = = = =
ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 7 Sts 7.4. Om funtionern f är ontinuerligt deriverbr, funtionsserien f (x) onvergerr och funtionsserien = = f (x) onvergerr liformigt i intervllet I, så är ( f (x) = f (x)) för ll x I. = = Beviset nvänder sts 6.3. Vi utelämnr detljern. Exempel på tillämpningr v stsern ovn finns i näst vsnitt eftersom de föreommer nturligt i smbnd med potensserier. Anmärning 7.. Även här n mn betrt serier v nlytis funtioner. Weierstrss mjorntsts gäller med ext smm bevis och stsern 7.2, 7.3 gäller med de ändringr som frmgår v nmärning 8.2 i näst vsnitt. Ocså sts 7.4 gäller, jämför med sts 6.4. 8. Potensserier Definition 8.. Låt x vr ett reellt tl. En serie på formen potensserie. (x x ) lls en = I föregående vsnitt hr vi summert från =, men för potensserier är det oft bättre tt summer från =, t ex börjr Mclurinutveclingr med en onstnt term. Eftersom substitutionen x = x x ger smbndet (x x ) = x, = räcer det tt formuler ll resultt för x =. mestdels serien (8.) x. = = Därför betrtr vi i fortsättningen Eftersom serien börjr med x = är det rimligt tt tol dett så även för x = (här hr vi egentligen det odefinierde uttrycet ). Om A = lim existerr, så är lim x = A x. Enligt rotriteriet onvergerr serien bsolut för x < /A om A och för ll x om A =. För x > /A divergerr serien. Om A =, divergerr serien för ll x utom x =. Motsvrnde gäller enligt votriteriet om B = lim + existerr (det är lrt tt A = B om båd gränsvärden existerr, vrför?). Mn n vis ett strre resultt. Sts 8.. För potensserien (8.) gäller ett v följnde påståenden: (i) Serien onvergerr enbrt för x =. (ii) Det finns ett tl R > sådnt tt serien onvergerr bsolut för ll x < R, divergerr
8 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM för ll x > R och onvergerr liformigt i vrje intervll [ S, S], där S ], R[. (iii) Serien onvergerr bsolut för ll x och liformigt i vrje intervll [ S, S] (S > ). Definition 8.2. Tlet R ovn lls potensseriens onvergensrdie. I fllet (i) sätter vi R = och i fllet (iii) R =. Vi noterr tt stsen inte säger någonting om fllet x = R, och tt R = /A = /B, där A, B är som ovn. Oftst vgör mn seriens onvergensrdie just genom tt bestämm A eller B. Noter ocså tt i (ii) påstår vi inte tt onvergensen är liformig i intervllet ] R, R[, däremot tt den är liformig i [ S, S], ovsett hur när R tlet S ligger. Det finns exempel där serien onvergerr liformigt i ] R, R[ och exempel där den onvergerr liformigt i [ S, S] för vrje S ], R[ men ej i ] R, R[. Motsvrnde gäller för (iii) i stsen. Följdsts 8.. Om gränsvärden nedn existerr (ändligt eller oändligt), så gäller R = lim och R = lim +. Om gränsvärdet är, så sll dett tols som R =, och om gränsvärdet är li med oändligheten, sll det tols som R =. Bevis för stsen. Låt (8.2) R = sup{ x : serien (8.) onvergerr}. Vi sll vis tt dett är smm R som i stsen. Det är lrt tt R är väldefiniert och ntingen, positivt eller li med oändligheten. (i) Om R =, så divergerr serien för ll x. (ii) Om R är ett positivt tl, så följer det diret ur (8.2) tt serien divergerr för ll x > R. Låt nu x vr ett tl sådnt tt x < R. Enligt definitionen v supremum finns det ett tl x för vilet x < x R och serien x onvergerr. Eftersom dett medför tt lim x =, får vi x x = x x Den geometris serien = x x x x x = för ll x x och ll stor. onvergerr (voten är < ), så för x x onvergerr serien (8.) bsolut enligt först jämförelseriteriet för tlserier och liformigt i [ S, S], där S = x, enligt Weierstrss riterium. Eftersom S n väljs godtycligt när R, är onvergensen bsolut för ll x < R. (iii) Det återstående fllet är R =. Låt x vr ett godtycligt tl. Eftersom supremum i (8.2) är li med oändligheten, finner vi igen ett x sådnt tt x < x och serien x onvergerr. Nu fortsätter vi som i fll (ii). =
ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 9 Exempel 8.. För vil x onvergerr följnde serier? 2 x (i). = Eftersom + / = 2/(+) 2, onvergerr serien för x < /2 och divergerr för x > /2. Om x = /2, får vi den divergent serien, och om x = /2, får vi serien = ( ) som onvergerr enligt Leibniz riterium. Alltså onvergerr potensserien för = /2 x < /2. x (ii) ( ) = + 2. Här hr vi = ( ) +, så serien onvergerr för x < e och divergerr för e x > e. Att bestämm vd som händer då x = e är svårre. Absolutbeloppet v seriens :te term är då ( ) e e ( ) + 2 = ( ) + ( eftersom + ) < e för ll. Alltså går inte termern mot, så serien divergerr och vår potensserie onvergerr för e < x < e. x (iii)!. = Här hr vi + / =!/( + )! = /( + ). Alltså onvergerr potensserien för ll x. Det här är ingen överrsning eftersom det är änt tt seriens summ är li med e x för ll x. (iv)!x. = Nu är + / = +, så serien divergerr för ll x. Anmärning 8.. I stället för tt bestämm /R som vi gjorde ovn n mn välj tt nvänd rot- eller votriteriet på hel uttrycet x. Till exempel i (i) ovn sulle det innebär följnde beräning: + x + / x = 2 x /( + ) 2 x. Nu ser mn tt serien onvergerr om 2 x <, dvs. x < /2 och divergerr då x > /2. Sts 8.2. Summn v potensserien (8.) är en ontinuerlig funtion för ll x < R. Beviset följer omedelbrt ur stsern 7.2 och 8. (noter tt för vrje x ] R, R[ n mn välj S < R så tt x < S). Nedn sll vi vis tt potensseriern får integrers och derivers termvis. Men först behöver vi ett hjälpresultt. Lemm 8.. Potensseriern som (8.). = + x+ och x hr smm onvergensrdie =
2 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM Observer tt den först och ndr serien får mn genom tt integrer respetive deriver (8.) termvis. Bevis. Betecn onvergensrdien för den termvis integrerde serien med R. Eftersom /( + ), är det lrt tt R R. För tt vis tt R R nvänder vi ett linnde rgument som i sts 8.. Välj ett x sådnt tt x < R och sedn x med x < x < R. Eftersom x/x <, så går ( + ) x/x mot. Det följer tt x = ( + ) x x + x + x för ll stor. Då x < R, onvergerr serien + x, och därmed även x. Det följer tt = om x < R, så onvergerr serien (8.), dvs. R R. Om mn integrerr den ndr serien i lemmt termvis, så får mn serien (8.). Alltså följer ndr delen v lemmt ur den först. Sts 8.3. För ll x < R gäller ( x ) t dt = + x+ = = och = ( ) x = = x. Bevis följer omedelbrt ur stern 7.3 och 7.4 (även här behöver vi observtionen tt för vrje x ] R, R[ n mn välj S < R så tt x < S). Om en funtion är oändligt mång gånger deriverbr, säger vi tt den är v lss C. Eftersom smm sts n tillämps på den deriverde serien, får vi följnde Följdsts 8.2. Seriens summ är v lss C för x < R. Anmärning 8.2. På smm sätt som (8.) n mn betrt omplex potensserier (8.3) z, eller mer llmänt, (z z ), där, z, z C. = = Resultten ovn gäller för sådn serier, med ext smm bevis. Integrlen sll beräns från till z, respetive från z till z (noter tt den är oberoende v vägen). Mängden v punter där en omplex potensserie onvergerr blir, enligt den omplex versionen v sts 8., en cirelsiv z z < R (eventuellt tillsmmns med hel eller delr v cireln z z = R). Dett förlrr det tidigre införd nmnet onvergensrdie. För vrje S ], R[ är onvergensen liformig i den slutn cirelsivn z z S. Noter ocså tt enligt sts 8.3 är seriens summ en nlytis funtion för z z < R. Avslutningsvis ger vi någr exempel på nvändning v resultten ovn. 2 x Exempel 8.2. (i) Berän summn v serien för x < R. Det här är smm serie som i exempel 8.(i) och vi vet redn tt R = /2. Betecn seriens summ med s(x). Deriverr vi termvis, får vi en geometris serie som vi n summer: s (x) = 2 x = [sätt m = ] = 2 (2x) m = 2 2x. = = m= =
ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 2 Så s(x) = ln( 2x) + C och eftersom s() =, är C =, dvs. s(x) = ln( 2x). (ii) Smm uppgift för serien x. = Det är lätt tt se tt R = här. Vi gör omsrivningen Vidre hr vi x s(x) = x = = s (t) dt = x x = = ( + )x = och slutligen s(x) = ( x) 2 x = x ( x) 2. (iii) Smm uppgift för serien + x. så = = x = s (x) x. x ( ) x x, så s (x) = = x Även här är det lätt tt se tt R =. Vi observerr tt = + x = Sedn får vi, för < x <, = + x = x = + = + + + = +, x = + x+ = x = x ln( x) + x x + x = x ( ) t dt = x = x = ( x) 2, + x. t Seriens summ är lltså för < x < och för x =. Uppgiften n även löss på ett nnt sätt. Vi utgår från formeln integrerr serien, vilet ger Nu ger derivering så = = x + + = ln( x) och = = x + ( ) ln( x) + x =, x + x = x ( ln( x) x ) = x x) dt = ln(. x = x) = ln(. x ln( x) +. x x = x och
22 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM = 9. Potensserier och nlytis funtioner Det visr sig tt det finns ett mycet när smbnd melln omplex potensserier och nlytis funtioner. Sts 9.. En potensserie f(z) = (z z ) är en nlytis funtion v z i potensseries onvergenssiv. Dessutom fås den omplex derivtn genom tt deriver termvis. Bevis. Dett är en diret onsevens v sts 8.3 och nmärning 8.2. Ovnstående sts är inte på något sätt onstig: vi vet ju tt polynom är nlytis och potensserier är just en sorts generliserde polynom. Vd som är betydligt märligre är tt även omvändningen gäller: Sts 9.2. Om f(z) är nlytis i en öppen mångd Ω C så n f(z) uttrycs som en onvergent potensserie i en omgivning till vrje punt i Ω. Bevis. Dett bygger på Cuchys integrlformel. Potensserieutveclingen erhålles på följnde sätt: Låt γ vr rnden till en cirelsiv med centrum i z, i en omgivning till vilen f är nlytis. För z innnför γ får vi f(z) = f(ζ)dζ 2πi γ ζ z = f(ζ)dζ 2πi γ (ζ z ) (z z ) = f(ζ)dζ f(ζ) ( ) z z 2πi γ ζ z z z = dζ. 2πi γ ζ z ζ z = ζ z Eftersom z z < ζ z, är onvergensen liformig, så vi n enligt sts 7.3 och nmärning 7. st om ordningen melln integrtionen och summtionen: (9.) f(z) = (z z ) där = f(ζ)dζ 2πi (ζ z ) +. = Men vi n ocså gå ytterligre ett steg längre: om vi nvänder prtilintegrtionsformeln (4.3) på uttrycet för i (9.) så ser vi tt = f(ζ)dζ 2πi (ζ z ) + = f (ζ)dζ 2πi (ζ z ) =... = f () (ζ)dζ = f () (z ),! 2πi ζ z! γ där sist steget följer v Cuchys integrlformel. Vi hr därmed även vist: γ Följdsts 9.. Serieutveclingen v en nlytis funtion ges v den lssis Tylorserien: f () (z ) f(z) = (z z ).! = Smmnfttningsvis n vi nu onstter tt vi hr fyr evivlent villor på en funtion för tt den s vr nlytis: Sts 9.3. Om rel- och imginärdelrn v f(z) är v lss C i en öppen mängd Ω C så är följnde villor evivlent: γ γ
ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 23 () f(z) är omplext deriverbr. (2) f(z) uppfyller Cuchy-Riemnns evtioner. (3) Integrtion är oberoende v vägen i enelt smmnhängnde områden. (4) I en omgivning till vrje punt ges f(z) v en onvergent potensserie. En vitig onsevens är: Om f är nlytis, så är den lltid v lss C. Dett i motsts till det reellvärd fllet, där det finns funtioner som är v lss C men ej C 2. sin z Exempel 9.. (i) Berän z 2 dz, där är cireln z = orienterd moturs. Låt f(z) = sin z för z och f() =. Det är lrt tt f är nlytis för z. z Eftersom sin z = z + z, är f(z) = + z och då serien onvergerr i en =2 omgivning v origo, är f nlytis även där enligt sts 9.3. Så f är nlytis för ll z. Nu n vi nvänd sts 4. (Cuchys integrlformel): sin z f(z) z 2 dz = dz = 2πif() = 2πi. z Noter tt det är oväsentligt vd ovn är men om vi vill, så n vi ju nvänd oss v den änd formeln sin z = ( ) m z 2m (2m )! i stället. m= Här är en nnn vrint v lösningen: Vi vet tt för Mclurinutveclingen v sin z är onvergensrdien R =. Eftersom sin z z 2 = z + z 2 = + g(z), där g(z) är z =2 nlytis för ll z, är sin z z 2 dz = z dz + g(z) dz = 2πi +, där vi hr nvänt exempel 2. och sts 3.2. e z (ii) Berän dz, där är cireln z = orienterd moturs. z2 Funtionen är nlytis utom i punten z =. Mclurinutveclingen ger ez z 2 = z 2 + z + z 2 = z 2 + + g(z), där g är nlytis. Så z =2 e z z 2 dz = z 2 dz + z dz + g(z) dz = I + 2πi + och det återstår tt berän I : I = z 2 dz = [z = eit, t 2π] = 2π =2 ie it dt e 2it 2π = i e it dt = [ e it ] 2π =.. Potensserier och differentilevtioner Potensserieutvecling är en vitig metod, både i ren mtemti och i tillämpningr. Speciellt inom fysien n mn nppst överstt den betydelse som metoden hr hft. Orsen är främst tt mång v de vitigste differentilevtionern som mn studerr inte går tt lös ext med hjälp v elementär funtioner och integreringsmetoder. Som
24 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM regel n mn inte ens lös enl ndr ordningens linjär ordinär differentilevtioner. Potensserier erbjuder då oft ett br lterntiv; å en sidn får mn en lösningsformel som ftist är ext, å ndr sidn n denn nvänds för tt gör numeris beräningr med god ontroll över det fel mn gör. Metoden bygger på tt mn med hjälp v evtionen bestämmer derivtor v högre och högre ordning i en given punt och dess bestämmer ju sedn potensserien entydigt; den n:te derivtn v funtionen f(x) = c x i origo är li med n!c n. = Exempel.. Betrt differentilevtionen (.) xf (x) f(x) = f() = och f () =. Vi nsätter nu lösningen som en potensserie runt origo. Eftersom nollte och först ordningens derivtor redn är givn så n denn srivs (.2) f(x) = x + c x. =2 Om vi deriverr med hjälp v sts 9. så erhålles xf (x) = Insättning i evtionen ger nu = f (x) = + f (x) = c x, =2 ( )c x 2, =2 ( )c x = =2 ( + )c + x. = ( + )c + x = x + c x. Eftersom en potensserie bestämmer sin oefficienter entydigt så får vi genom tt jämför höger- och vänsterleden: c 2 2 = c 3 3 2 = c 2 c 4 4 3 = c 3 c 5 5 4 = c 4. =2
vilet i sin tur ger ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 25 c 2 = 2 c 3 = 2 2 3 c 4 = 2 2 3 3 4 c 5 = 2 2 3 3 4 4 5 och llmänt c =!( )!. Vi är därmed frmme vid den llmänn lösningsformeln (.3) f(x) = x +. =2!( )! x. Enligt följdsts 8. får vi för onvergensrdien R = lim c = lim ( + ) =. c + Formeln (.3) ger därmed en lösning för ll x R. Dett är doc mer än mn n hopps på i de flest fll.
26 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM. Övningr. Avgör vil v följnde funtioner som är nlytis i C: : f(z) = 2xy + i(x 2 y 2 ) b: f(z) = 2xy + x + i(y 2 + y x 2 ) c: f(z) = x 2 y 2 + i(x 2 + y 2 ) d: f(z) = e x sin y + ie x cos y 2. Berän ze z2 dz där är urvn z(t) = t + i sin t, t π. dz 3. Berän z där är ellipsen x2 + 2xy + 2y 2 =, genomlupen i positiv led. 3z 2 4. Berän z 2 z dz, när ) är cireln z = 2, b) när är cireln z = 2, (I båd fllen är cirlrn orienterde moturs,) z 2 e z 5. Berän dz där är cireln z =, orienterd medurs. 2z + i cos z 6. Berän dz där är cireln z = 2, orienterd moturs. 7. Berän z 3 + 9z dz z 2 + då, =, 2, är urvorn i figuren. 8. Berän den generliserde integrlen 9. Berän den generliserde integrlen dx (x 2 + )(x 2 + 4). dx x 4 + 4. cos x dx. Berän den generliserde integrlen (x 2 + )(x 2 + 4).. Vis tt följnde funtionsföljder resp. funtionsserier onvergerr liformigt i R: sin x ), b) ( ) rctn x cos x sin 2 (x/) c) 2, d) 3/2. = = 2. Undersö om funtionsföljden nedn onvergerr liformigt i det ngivn intervllet: ) x ( x ), x, b) x + x, x, c) x + x, x >, d) x x, x, e) ex e x, x >, f) x ( x), x, g) x ( x), x, där ], [. 3. Vis tt följnde serier onvergerr i R och tt onvergensen är liformig i vrje intervll [, ]: ) = x 2 + 2 x 2, b) = x + sin x + 2.
ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 27 x 2 4. Vis tt serien onvergerr liformigt i intervllet [, ]. ( + x) 2 = 5. x 2 Vis tt serien inte är liformigt onvergent i R. 2 = 6. Utvecl f(x) = som en potensserie i origo. För vil x onvergerr serien? 2 x 7. Utvecl f(x) = x3 som en potensserie i origo. För vil x onvergerr serien? 2x2 8. Berän ( + )x. För vil x onvergerr serien? 9. Berän 2. Berän = = = 2 2 och = 2. Berän följnde integrler: ( + i) 2 2. x. För vil x onvergerr serien? + 3 cos z dz, z 3 e z dz och (z ) 2 e z dz, där är (z πi/2) 2 cireln z = 2 orienterd moturs. 22. Vis tt om g är en ontinuerlig funtion v en omplex vribel i en öppen enelt smmnhängnde mängd Ω C som innehåller z, så är S(z) = deriverbr och S (z) = g(z) i Ω. z z g(ζ) dζ omplext 23. Vis tt om f(z) = u(x, y) + iv(x, y) är en nlytis funtion, så är 2 u x 2 + 2 u y 2 = och 2 v x 2 + 2 v y 2 =. 24. ) Bestäm en nlytis funtion f(z) som hr reldelen li med 2xy eller vis tt ingen sådn nlytis funtion existerr. b) Bestäm en nlytis funtion f(z) som hr imginärdelen li med x 2 + y 2 eller vis tt ingen sådn nlytis funtion existerr. Ledning till de sist två uppgiftern: Tän på definitionen v en nlytis funtion.
28 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM 2. Svr. b) ( och d) är ) nlytis, ) och c) är inte nlytis. e π2. 2. 2 3. 2πi. 4. ) 4πi, b) 6πi. πi 5. 4 e i/2. 2πi 6. 9 7. : π, 2 : 2π. π 8. 6. π 9. 4. (2e )π. 6e 2. 2. ), c), e), f) nej, b), d), g) j. 6. = x, 2 < x < 2. 2 + 7. = 2 x 2+3, 2 < x < 2. 2x 8.. Konvergerr för x <. ( x) 3 9. 6, 3 i. 2. ln( x) x 3 x 2 2x 3, x <. 2. πi, 2πei, 2π. 24. ) f(z) = iz 2, b) ingen nlytis funtion.