II. Partikelkinetik {RK 5,6,7}

II. Partikelkinetik {RK 5,6,7} med kraft att beräkna och förstå

Newtons lagar och kraftbegreppet är mycket viktiga för att beskriva och förstå rörelse Kenneth Järrendahl,

1: Tröghetslagen Newtons Lagar Philosophiae Naturalis Principia Mathematica - 1687 En kropp förblir i vila eller likformig rörelse (konstant hastighet v) om den inte påverkas av yttre krafter. v v 2: Accelerationslagen En kropp med konstant massa m som påverkas av en yttre nettokraft F net får en acceleration a=dv/dt så att F net = ma v F v trög massa v v 3: Reaktionslagen Om en kropp påverkar en annan med en given kraft, återverkar den senare kroppen på den första med en lika stor men motsatt riktad kraft. B F AB = F BA A F BA F AB

Kommentarer till reaktionslagen: Stenhuggaren kan flytta blocket längs golvet utan att själv röra sig relativt golvet. Varför? {4.28} Kenneth Järrendahl,

Superposition Krafter som verkar i samma punkt kan adderas (vektoraddition). En kraftvektor kan därför också delas upp i ett antal komponentvektorer. Om alla krafter som verkar på ett föremål adderas får vi den nettokraft som verkar på föremålet, net N F F = F + F + F +... + i= 1 i 1 2 3 F N {RK5.1} RK5.5 Kenneth Järrendahl,

Vi granskar nu en person på rullskridskor i en järnvägsvagn. Personen accelererar relativt vagnen utan påverkan av någon nettokraft. Varför? Newtons 1:a lag gäller bara i ett tröghetssystem dvs. ett icke accelererande referenssystem. Jorden utgör (approximativt) ett sådant tröghetssystem Kenneth Järrendahl,

Några kraftmodeller {RK5.1,2, 6.3,4,5} Avståndsverkande krafter (distanskrafter) Gravitationskraft (Newtons gravitationslag) Newtons Gravitationslag (m 2 påverkas av m 1 ) FG = G m 1m 2 R 2 {RK6.3} ˆR gravitationskonstanten G 11 G = 6,672 10 (Nm 2 /kg 2 ) tung massa m F G m 1 R -F G F G m 2 = enhetsvektor riktad från m 1 till m 2 nära jordytan FG = mg -F G tyngdaccelerationen g Gravitationskrafterna på äpplet och jorden i figuren utgör ett kraftpar enligt Newtons 3:e lag. Kenneth Järrendahl,

RK22.2 Kenneth Järrendahl,

För att effektivt beskriva fysikaliska fenomen introduceras även kontaktkrafter. Kontaktkrafter är makroskopiska uttryck för mikroskopisk växelverkan mellan många molekyler i kontaktytorna. Kenneth Järrendahl,

Science friction Kenneth Järrendahl,

Science friction Statisk motriktad kraften som försöker flytta föremålet. } Kinetisk motriktad rörelsen. } i allmänhet (se RK Table 6.1) Kenneth Järrendahl,

Science friction Friktion mot gas eller vätska (Alt. ) D F D ("Drag") Vanliga modeller för ett föremåls kinetiska friktion mot en gas (eller vätska) är en funktion av föremålets hastighet v v För medelhöga farter: D = c v v ( D = cv 2 ) D C 0.5 C 0. 8 1. 1 d d C d Kenneth Järrendahl,

Science friction Friktion mot gas eller vätska (Alt. ) D F D För låga farter används ofta, D = bv ( D = bv) v där b är en konstant. Exempel är föremål som rör sig sakta i en vätska. D Kenneth Järrendahl,

Fjäderkraft, Hookes lag. F sp (m 1 påverkar m 2 ) Fsp = k( R l) ˆR Fjäderkonstanten k Fjäderns naturliga längd l Fjäderns faktiska längd R 2 F sp R l -F sp 1 Krafter i rep och block (Alt. ) ("Tension") T F T Kenneth Järrendahl,

Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Känner vi till den totala kraften på en partikel så känner vi också till dess acceleration a dv dt v t a = F net m Þ v a t = F net m t eller v( T + t) v( T) + F net t m v dr dt r t Þ r v t Leapfrog integration = t + t 2 eller r ( t + t) r ( t) + v( T + t) t

( ) Newtons lagar och kraftmodeller F r, v ( ) + ( F ( r, v) / m) t net v( t + t / 2) v t t / 2 r ( t + t) r ( t) + v( t + t / 2) t r ( 0) v( t / 2) r ( t) v( 3 t / 2) r ( 2 t) ( ) v 5 t / 2 tid t v( 0) v( t / 2) v( 0) + F net ( t = 0) m t 2 Leapfrog integration

Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Newton har alltså gett oss ett program. indexera de diskreta tidsstegen n = 0,1,2,3,.. r 0 ( ) och v( 0) kända (begynnelsevillkor för n = 0) Beräkningsalgoritm 1) Bestäm den totala kraften på partikeln (kraftlagar) F net = F 1 + F 2 + F 3 +... 2) Bestäm partikelns acceleration från kraften a(n) = F net m 3) Bestäm partikelns hastighet vid senare tidpunkt v(n+1) = v(n)+ a(n) t 4) Bestäm partikelns position vid senare tidpunkt r n+1 Upprepa för varje partikel i systemet γ = 0.5 if n = 0, γ =1 if n > 0 γ ( ) = r(n)+ v(n+1) t r = xˆx+ yŷ+... v = v x ˆx+ v y ŷ+... a = a x ˆx+ a y ŷ+... F = F x ˆx+ F y ŷ+...

Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) 1D exempel: fjäderkraft verkande på en partikel 0jämviktsläge m x ˆx F net = ma F net x ˆx = ma x ˆx F net x = ma x Vi kan kasta hattarna när vi har ett 1D problem, eller när vi behandlar en dimension i taget.

Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) 1D exempel: fjäderkraft verkande på en partikel m F net = ma F net x ˆx = ma x ˆx 0jämviktsläge x ˆx Fjäderkraft Enbart fjäderkraften verkar på massan F net x = ma x Þ F sp = kx F net x = F sp F net x = kx 1 Þ a x = kx m 2 Rörelseekvationen (differentialekvation) d2 x dt = kx m

Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) 1D exempel: fjäderkraft verkande på en partikel Vid tidpunkten t = 0 är positionen x = 1.00 m och v x = 0. Beräkna positionen och hastigheten efter 0.1 s, 0.2 s, o.s.v. Ett enkelt exempel: k / m = 1 [N/(kg m)] Tidsstegen indexerade med n: a ( x n) = kx ( n ) m æ v x (n+1) = v x (n)+ ç kx n è m ( ) ö t ø x(n+1) = x(n)+ v ( x n+1 4 ) t 2 3

Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) 1D exempel: fjäderkraft verkande på en partikel Vid tidpunkten t = 0 är positionen x = 1.00 m och v x = 0. Beräkna positionen och hastigheten efter 0.1 s, 0.2 s, o.s.v. numerisk lösning cos(t)

F r ( ) = F x ˆx+ F y ŷ+ F z ẑ Hur bestämma? ( ) Newtons lagar och kraftmodeller F r, v när kraften beror på avståndet mellan två partiklar (t.ex. fjäder- eller gravitationskraft) 2D exempel: fjäderkraft verkande på partikel i Fi = k( R l) ˆR R= ( x i x ) 2 j + ( y i y ) 2 j y i ŷ i j y j x j x i ˆx

Newtons lagar och kraftmodeller F r, v F r ( ) = F x ˆx+ F y ŷ+ F z ẑ Hur bestämma? ( ) när kraften beror på avståndet mellan två partiklar (t.ex. fjäder- eller gravitationskraft) 2D exempel: fjäderkraft verkande på partikel i F = k( R l) ˆR i R= ( x i x ) 2 j + ( y i y ) 2 j y i ŷ Fix i Fiy j Fi y j x j xi ˆx

Newtons lagar och kraftmodeller F r, v Fi = k( R l) ˆR = F ˆR i R= ( x i x ) 2 j + ( y i y ) 2 j Likformiga trianglar x i x j F iy R F ix F i F ix F i F r 2D exempel: fjäderkraft verkande på partikel i ( ) = F x ˆx+ F y ŷ+ F z ẑ Hur bestämma? y i y j ŷ = x i x j R j x j ( ) när kraften beror på avståndet mellan två partiklar (t.ex. fjäder- eller gravitationskraft) F i = k R l ( ) Fix Fi F iy på samma sätt Þ F ix = k R l i xi Fiy ˆx ( ) x i x j R

Newtons lagar och kraftmodeller F r, v F r ( ) = F x ˆx+ F y ŷ+ F z ẑ Hur bestämma? ( ) när kraften beror på avståndet mellan två partiklar (t.ex. fjäder- eller gravitationskraft) 2D exempel: fjäderkraft verkande på partikel i R= ( x i x ) 2 j + ( y i y ) 2 j F i = k R l ( ) Likformiga trianglar y i ŷ j Fix F i i Fiy Þ F ix = k( R l) x i x j R y j x j xi ˆx Þ F iy = k( R l) y i y j R Vi klarar oss utan trigonometri!

Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Simuleringsexempel

Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) ( ) Exempel 2: Planetrörelse F = ma = m dv dt M 2 10 30 kg sol jord R 150 10 6 km F = ma ì í î F m 6 10 24 kg v 30 km/s x x x / y = may = m dvy / FG = G mm G 6.7 10 ( dt) ) R R 2 11 [m 3 kg -1 s -2 ] y F x jord x, ) ( y Antag att solen är oändligt tung i meningen att den inte rör sig. Ansätt ett koordinatsystem med solen i origo. sol F G x F y Utnyttja likformighet F x / F G = x / R Fy / FG = y / R R= x 2 + y 2

Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Rörelseekvationer för en planet kring en fix sol x-led m(dv x / dt) = G mm R 3 R= x 2 + y 2 x och en algoritm för n=1,2,3... γ = 0.5 if n = 0, γ =1 if n > 0 a x (n) = G M R 3 x v x (n+1) = v x (n)+ a x (n) t γ ( ) = x(n)+ v x (n+1) t x n+1 y-led m(dv y / dt) = G mm R 3 y a y (n) = G M R 3 y v y (n+1) = v y (n)+ a y (n) t γ y( n+1) = y(n)+ v y (n+1) t

Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Beräknad planetbana t = 10 24 3600s = 10dagar 1 år x-koordinat solen y-koordinat

Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Beräknad planetbana t = 10 24 3600s = 10dagar solen Begynnelsefart 30 km / s 22 km / s

Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Generalisera rörelseekvationerna till 3D och med ett godtyckligt antal (N) månar, planeter och solar (indexerade med i & j): Partikel i : position x i, y i och z i hastighet v ix, v iy och v iz massa m i Den totala kraften som verkar i x-led på partikel i (F ix ) är summan av de x-riktade krafterna orsakade av alla övriga partiklar j i m ( dv / dt) = F F ix = G mm i j i xi a ix ix j i R ij 3 ( x i x ) j R ij = (x i x j ) 2 + (y i y j ) 2 + (z i z j ) 2

Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Generalisera rörelseekvationerna till 3D och med ett godtyckligt antal (N) månar, planeter och solar (indexerade med i & j): m ( dv / dt) = F F ix = G mm i j i i ix a ix m ( dv / dt) = i Newtons 2a lag iy a iy m ( dv / dt) = iz a iz F F ix iy iz F iy = F ix = Gravitationskraften j i j i j i R ij 3 G m i m j R ij 3 G m i m j R ij 3 F G ( x i x ) j ( y i y ) j ( x i x ) j R ij = (x i x j ) 2 + (y i y j ) 2 + (z i z j ) 2

Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Vi kan på samma sätt hitta generella uttryck för fjäderkrafter mellan N partiklar i 3D. j i F ix = k ij l ij R ij j i F iy = k ij l ij R ij ( ( ) x i x ) j R ij ( ( ) y i y ) j R ij där k ij är fjäderkonstanten, l ij är fjärdens naturliga längd och R ij är fjäderns längd (avståndet mellan partiklarna). j i F iz = k ij l ij R ij ( ( ) z i z ) j R ij

Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Tyngdacceleration för partikel i F iy = m g i Friktion Luftmotstånd för partikel i: F F F = = = ix bv ix iy bv iy iz bv iz F i = bv i Dämpad fjäder mellan partiklarna i och j: F i = b ij R R ( v i v ) j F j = F i

Kenneth Järrendahl,