Ø. Problemlösning och modelltänkande

Transkript

1 Ver 0. Ø. Problemlösning och modelltänkande Lektionsmaterial Ø. Verktyg för problemlösning Fysikalisk dimensionsanalys Ø. Flykthastighet Om du kastar ett föremål rakt upp så kommer det ner igen efter ett tag. Ju hårdare du kastar desto längre tid tar det. Det går att undra om det är möjligt att skjuta iväg ett föremål med så hög fart att det aldrig vänder och kommer tillbaka! Svaret är ja! Den gränshastighet där detta inträffar benämnes flykthastighet v fl. Befinner vi oss på jordytan är flykthastigheten, km/s, dvs. föremålet måste kastas med en fart av mer än en mil per sekund. Det finns ett enkelt samband som gör att du kan beräkna flykthastigheten från en planets yta. Försök att med hjälp av dimensionsanalys gissa hur sambandet för v fl ser ut om det handlar om en planet med radie R och tyngdacceleration g. Ø. Kraftuttryck Ett föremål med massa m rör sig med farten v i en cirkulär bana med radie r. Vid denna situation påverkas massan av en centripetalkraft F. Försök att med hjälp av dimensionsanalys föreslå ett uttryck för denna kraft. Ø. Ljusets kraft Om du sitter på en lättrörlig vagn och kastar saker (t ex tegelstenar) framåt vet vi att du, pga. rekylen kommer att pressas bakåt. Newtons tredje lag, lagen om kraft och motkraft, utsäger just detta. Du kan fråga dig om samma sak händer om du i stället lyser med en lampa framåt? - Ja det gör det, men kraften blir i allmänhet så svag att vi inte märker av den! Uppgiften är nu att ta fram (gissa) ett uttryck för kraftens storlek, som vi kallar F, med hjälp av dimensionsanalys. Antag att lampans effekt är P. Ø.4 Ljushastigheten i vakuum Vi söker ett uttryck för ljushastigheten i vakuum c, uttryckt i fundamentala naturkonstanter. Det kan vara värt att erinra sig om att J.C. Maxwell fann det troligt att ljus var en elektromagnetisk våg. Försök att gissa ett uttryck för ljushastigheten med hjälp av dimensionsanalys. Efteråt kan du ta fram ett numeriskt värde på ljushastigheten i vakuum. Ø.5 Glömsk Du försöker komma ihåg vilka exponenter som ingår i sambandet mellan energi, massa och ljushastigheten E = m x c y Använd dimensionsanalys för att friska upp minnet. K. Järrendahl, IFM, LiTH, LiU IT termin Vt0 Ø. Problemlösning L (6)

2 Grafritning / linearisering Ø. Finn sambanden Antag att du varierar x och mäter y. Ta fram sambandet y(x) i följande fall; a) x 0,0,0 4,0 6,0 8,0 0,0 y 0,0 0,6,8 4, 0,4 0,00 b) x y 0,00,00,8,46 4,00 4,47 c) x 0,5,0,0 5,0 y 0,00 0,9,4,60 5,59 d) x 0,6,,4, 4,6 y 0,04 0,7 0,58,0, e) x 0,5,,,0 4, y,5,0,6,95 4, f) x 0,5,0,0 4,0 5,0 y 40,0,50, 0,6 0,40 g) x 0,,,8,7,4 5,0 y,65,9,49,,08 0,89 Ø. Finn sambanden II Antag att du varierar x och mäter y. Ta fram sambandet y(x) i följande fall; a) x 0,5,,7 4, 5,4 y,0,4,54,8 4,08 b) x 0,, 4,4 8,,5 5, y,08 4,4 40,7 6,5 4,5 458,0 c) x 0,6,7,55,67 4,4 5,7 7, y 0,59,6,9,7,7 4,67 5,56 K. Järrendahl, IFM, LiTH, LiU IT termin Vt0 Ø. Problemlösning L (6)

3 Felanalys Ø. Maximalfel Antag att F beror av a, b och c enligt, 4 ab F = c där a, b och c är uppmätta med maximalfel enligt, a = 0,0±0, b = 0,5000±0,0005 c = 5,00±0,05 a) Hur ska F anges med totalt maximalfel? b) Vilket fel ger största bidraget till det totala maximalfelet? Ø. Maximalfel II Antag att G beror av k, l, m och r enligt, 6π lm G = 4 r k där k, l, m och r är uppmätta med maximalfel enligt, 0,5±0,0 s /m l = 0,000±0,0005 m m = (50,0±0,) 0 - kg r =,00±0,0 mm a) Hur ska G anges med totalt maximalfel? b) Vilken enhet har G? K. Järrendahl, IFM, LiTH, LiU IT termin Vt0 Ø. Problemlösning L (6)

4 Rimlighetsbedömning Ø.4 Stympad kon Den övre figuren illustrerar en stympad kon. En sådan volym kan åstadkommas genom att utgå från den volym som innesluts i en stjärngossemössa och sedan hugga av den övre delen med ett horisontellt snitt. Den volym som återstår är då en stympad kon. Både basytan och den övre horisontella ytan utgörs av cirklar, basytan har radie a och den övre radie b. Höjden h är det vinkelräta avståndet från basytan upp till den övre horisontella ytan. Den stympade konens volym V, kan uttryckas som h V = π ( a + ab + b ) Detta samband kan användas för att beräkna volymen på en kon som inte är stympad. En sådan kon visas i den nedre figuren där bottenytans radie är d. Hur ser uttrycket för konens volym ut? Välj bland alternativ A-D. Ge även en enkel förklaring till hur du tänkt. A) h d B) hπd C) d 4 D) hπ d Ø.4 Från kalott till klot Figuren illustrerar en kalott med höjd h som skurits ut ur ett klot med radie r. (Du kan tänka dig att kalotten är den kropp som uppkommer om du med ett horisontellt svärdshugg skär av ett klot sträckan h under dess översta punkt. Jämför med nordkalotten som är den del av jordklotet som befinner sig norr om polcirkeln.) Volymen för kalotten ges av uttrycket h V = π (r h) Förklara, hur du kan resonera för att ur detta uttryck få fram ett formeluttryck för volymen av ett helt klot med radie r. Ange också uttrycket för klotets volym. Ø.4 Kyrkan mitt i byn En by har formen av en cirkel med radie a. Antalet bybor per areaenhet antas vara konstant. Kyrkan ligger mitt i byn. Hur långt har byborna till kyrkan i medeltal? Välj bland följande alternativ; A) a B) a a C) D) a Ø.44 Madrasser Figuren illustrerar två madrasser, den ena är av skumgummi och den andra innehåller ett stort antal fjädrar. Den som sätter sig på madrasserna kommer att uppleva att de har samma elastiska egenskaper dvs samma Youngs modulus Y (elasticitetsmodul E). Båda madrasserna har samma yttre geometri. Fjädrarna kommer alltså att i ett makroskopiskt perspektiv att ge upphov till ett Y. Uttryck Y i de givna storheterna (geometri samt n och k). bl hb A) nkh B) nk C) nk D) nkb h l K. Järrendahl, IFM, LiTH, LiU IT termin Vt0 Ø. Problemlösning L4 (6)

5 Ø.45 Sammanbundna kroppar Två kroppar med massa m respektive m befinner sig på ett friktionsfritt horisontellt plan. Kropparna är sammanbundna med en (masslös) tråd. Mellan kropparna finns en fjäder som klämts ihop. Fjädern, som tänkes masslös, är inte fäst vid någon av kropparna. Fjädern har fjäderkonstant k och har pressats samman så att den är l kortare än den skulle varit i fritt tillstånd. Beräkna farten hos respektive kropp en stund efter det att den sammanhållande tråden klippts av. k( m + m) k( m + m) A) l resp. l B) m m l km km resp. l m ( m + m) m( m + m ) C) Båda km k( m + m l m ( m + m ) D) Båda l m ) Ø.46 Värmeledning Värmeledningsförmågan är en materialkonstant som har högre värde ju bättre materialet leder värme. Om du kan tänka dig ett material som inte alls leder värme skulle dess värmeledningsförmåga vara noll. Den övre och nedre metallen har så god värmeledningsförmåga att temperaturen blir densamma i varje punkt inom respektive metallstycke. Om vi tillser att T H och T L inte ändras i tiden kommer så småningom gränsskiktet att få en temperatur T X som heller inte ändras med tiden. Endast ett av nedanstående uttryck för T X är korrekt. Beträffande de övriga kan du, med lite fysikalisk fantasi inse att de är orimliga. Vilket uttryck är korrekt? A) T l λ + T l λ H L T x = B) l λ + lλ T x T l λ + T lλ l λ + l λ H L = C) T l λ + T l λ H L T x = D) lλ + l λ T x T l λ + T l λ l λ + l λ H L = Ø.47 Kopplade fjädrar Figuren visar två fall där två fjädrar är sammanfogade med en massa. Fjädrarna har fjäderkonstanterna k respektive k. Antag att du ska ersätta de två fjädrarna med en ekvivalent fjäder med fjäderkonstant k. a) Hur kan då k beskrivas som funktion av k och k? Motivera ditt val. A) I: k + k, II: kk ( k + k ) B) I: k + k, II: kk ( k k ) C) I: kk ( k + k ), II: k + k D) I: kk ( k k ), II: k + k b) Kanske kan dessa uttryck få dig att tänka på liknande uttryck inom ett annat område? K. Järrendahl, IFM, LiTH, LiU IT termin Vt0 Ø. Problemlösning L5 (6)

6 Ø.4 Att lösa givna problem Ø.6 Kaffas hämnd Innevånarna i Kaffa har en egen kastmaskin. Med denna försöker de nu kasta kor mot Kiptsjak Khan Jambegs kastmaskiner och därmed förstöra dessa. Antag att en av Jambegs maskiner är placerad enligt figuren i uppgift Ø.06 och att Kaffas kastmaskin är placerad så att utgångspunkten är placerad meter ovanför marken och 5 m innanför murens mitt. Vilken utgångshastighet v 0 ska kossan ha vid utgångsvinklarna 0º, 40º och 60º? Antag att målet är utgångspunkten på Jambegs maskin. Lös uppgiften och notera stegen Idealisera Formalisera Beräkna Tolka i din lösning. Ø.6 Mer skidåkning En skidåkare rör sig med farten 4,8 m/s innan hon kommer till en nästan friktionslös nedförsbacke. 6, m nedanför backen är marken slät igen men har bara ett tunt snölager. Den kinetiska friktionskoefficienten är därför 0,7 i denna del. Hur långt kommer skidåkaren att glida längs den släta delen av backen innan hon stannar? Lös uppgiften och notera stegen Idealisera Formalisera Beräkna Tolka i din lösning. Svar Ø. v fl = C gr (kan visas att C = ) mv Ø. F = C (kan visas att C = ) r P Ø. F = C c 8 Ø.4 c = ε µ =, m/s (se PH för def. av ε 0 och µ 0 ) Ø.5 x =, y = Ø. a) 0 0 y = 0,0x b) y = x c) y = 0,5x d) e) y = x 4 f) y = 0x g) y = x y = 0,x Ø. a) y = 0,x + b) y = + x c) y = ( x) Ø. a) F = 0,5±0,006 b) Felet i a har störst inverkan Ø. ab) G = (5,9±0,5) 0 0 N/m Ø.4 Alternativ B 4πr Ø.4 Låt h öka till r. b = 0, a d V Ø.4 Alternativ D Ø.44 Alternativ A Ø.45 Alternativ B Ø.46 Alternativ B Ø.47 a) Alternativ A b) Jmfr med serie- och parallellkopplade resistanser resp. kapacitanser Ø.6, m/s (vid 0º) Ø.6 7 m K. Järrendahl, IFM, LiTH, LiU IT termin Vt0 Ø. Problemlösning L6 (6)