Kurvnpning Beräkningvetenkp II Punktmäng > pproimerne unktion Finn olik ätt tt pproimer me polynom Prolem me hög grtl kn ge tor kt Från lortionen, olik Mtlkommnon: [ 9 ]; y [ ]; linpe,; % kp -el p polyit,y, % :e grpolynom p -.. -.98.9 -. yy polyvlp,; % Evluer polynomet yypline pline,y,; % pline plot,y, *,,yy, :,,yypline, - ; legen Mätpunkter, :gr pol, pline ; gri on; lel ; ylel y ; Så här lir jut ett eempel Mtlkommnon: polyit, polyer, polyvl, root, pline p polyit,y,n; Hittr koeiienter till interpoltionpolynom v gr n. Om ntl punkter > n ker mint kvrtnpning yy polyvlp,; Evluerr polynomet p i punktern y A\; Om ytemet är överetämt ler ekvtioner än oeknt ker mint kvrt-npning yy pline,y,; Beräkn kuik pline Kurvnpning inneär pproimtion Att np en unktion till en punktmäng är en orm v pproimtion Vnligt me polynom eterom e är enkl tt hnter, t e eriver Kn gör på olik ätt Mint kvrtnpning, å polynomet inte kär genom punktern utn är en typ v meelväre Interpoltion, å polynomet kär ekt i punktern. Kn i in tur gör på olik ätt Som ett polynom över hel punktmängen Som tykvi polynom om ätt mmn till en kurv, k pline
Anpning v mtemtik moeller till eperimentt mätt Beräkning v pproimtiv vären i mellnliggne punkter Betämning v trener Approimtion v vår unktion me enklre Vnlig nvänningområen Antg n mätvären Eempel Smmnin e punkter me ett polynom ekt genom mtlig punkter: ett polynom över hel punktmängen eller tykvi polynom, k pline Interpoltion,,,, n n För tt entyigt il ett polynom v gr kräv punkter För tt entyigt il ett polynom v gr kräv punkter Om mn nväner ett polynom över ll punkter etämmer ntlet punkter polynomgren. Vrör? Slutt: För tt entyigt etämm ett polynom v gr n kräv n punkter Anätter mn ett polynom v gr < n oh hr n punkter år mn mink kvrtnpning Eemplet Kontruer ett interpoltionpolynom. punkter > :e grpolynom p Sätt in e punktern i polynomet > ekvtioner Anätt: OBS! oeknt,, oh ekvtioner > Entyigt lört ytem! likhet i punktern Löe me Guelimintion..7.7.8. vilket ger löningen Stopp in ett i nten ger et ärig polynomet Plottning ger
Begreppet nt Gången lir lltå Anätt ett polynom Sätt in punkter,,, n, n i nten oh nvän likhet i punktern Lö ytemet Sätt in löningen i nten > et ärig interpoltionpolynomet Mn kn i prinip nätt vilket polynom eller nnn unktion om helt Vi nter eektivre än nr I eemplet gjore nten p En nt nger tt ett uttryk k h en vi orm, men koeiienter/prmetrr återtår tt etämm. Eempel: t t t t e, > örtgrpolynom eponentiellt vtgne unktion Begreppet nt Om pär ett örtgrpolynom kn t e öljne nter tänk: p p p p, meelväre Oänligt mång nter möjlig ör ett oh mm polynom! Mn väljer en om är prktik, lir eräkningmäigt ät. Bättre nt: Newton interpoltionormel pn n n P Eemplet P P > > På mtriorm Newton interpoltionormel ger tringulär mtri! En nnn nt gv prolemet ättre egenkper eräkningmäigt.
Stopp in mätvären i mtrien....7. Stopp in i nten p ger p.8.7.7. Smm polynom om tiigre! Att å metoern ger mm polynom eror på Givet,,, n, n Interpoltion me polynom p n å tt p n i i å gäller entyighet. Bevi Antg eiterr två ån polynom, p n oh q n. Då gäller rn pn qn är rn i, i,, n, v ett polynom v gr n- me n nolltällen ett nollpolynom pn qn vilket trier mot ntgnet. Runge enomen Eempel / Approimer me :e grpolynom i pkt:er på kurvn Approimer me :e grpolynom i pkt:er Felet lir törre ju högre gr högregrpolynom ger tor vängningr Kll Runge enomen Meör tt mn i prktiken inte ör nvän polynom v hög grtl Stykvi polynom Vnligt tt :e grpolynom nätt melln vrje pr v punkter, k kuik pline. Sätt mmn till en kej v polynom. Eemplet t kuik pline,,, Stykvi polynom Stykvi polynom Hur kn mn hitt :e grpolynom melln två punkter? Måte hitt på ny krv å ntlet ekvtioner oh oeknt tämmer. Krv Kontinuitet i krvrn Kontinuerlig erivt i krvrn Kontinuerlig nrerivt i krvrn Vnligen nrerivt i änpunktern nturl pline, men inn nr lterntiv Dett leer till tt kejn itter ihop oh tt et lir jämn övergång melln länkrn i kejn Anätt :e grpolynom på intervll i, vnligen i i i i i i i i Ger : erivt i i i i i i oh : erivt i i i i Sätt mmn ett å tt llt hänger mmn i krvrn
Stykvi polynom Kontinuitet i krvrn meör tt et Dett ger Stykvi polynom ett ytem me 8 ekvtioner: Stykvi polynom På mm ätt meör kontinuerlig : erivt Kontinuerlig : erivt i krvrn ger Totlt ekvtioner Stykvi polynom : erivt i änpunktern ger v ekvtioner Antl ekvtioner totlt: 8 Antl oeknt totlt: i, i, i, i, i,,, oeknt vrje intervll > oeknt > Lört ekvtionytem! Stykvi polynom Sätt mmn e ekvtionern i ett ekvtionytem oh lö ytemet. Ger Olik ärör tt MATLAB nväner nr villkor i änpunktern not--knot -villkor Mint kvrtnpning Hittill interpoltion polynomet går genom punktern Itället låt polynomet vr någon typ v meelväre minimer vtånet melln punkter oh polynom
Mint kvrtnpning Mint kvrtnpning Eemplet igen: Antg vi vill pproimer me : grpolynom Ant t e p Likhet i punktern ekvtioner, oeknt > kn vnligen ej lö entyigt! Ekvtionytemet lir 9 A v Kll ör ett överetämt ytem, ler ekvtioner än oeknt Kn ej lö på vnligt ätt guelimintion eror på tt et inte inn någon löning Mint kvrtnpning Mint kvrtnpning Itället hitt löning om minimerr Av Kll mint kvrtlöningen > en ät löningen i mint kvrtmening Kn hitt genom tt lö normlekvtionern T T A Av A Eemplet: 9 T T A Av A 97. v. ger p...8.8 Reultt: Minimering v ummn v vtånen i kvrt Konitiontl ot tort ho A T A. I eemplet: on A8.8 men on A T A87.. Använer ärör ot ortogonliering v A: kolonner > k QR-ktoriering Vilket polynom k mn välj? När k mn nvän v? Polynom v gr eller eller eller? Kn inn kunkp om en unerliggne trenen, t e tt trenen ungeär ör ölj en kvrtik kurv, v ett : grpolynom Kn pröv olik grtl, nerirån oh upp, till polynomen inte änr nämnvärt. Interpoltion eller mintkvrt - inte llti jälvklrt! Någr olik eempel Mint kvrt Skulle interpoltion unger? Stor tmäng
När k mn nvän v? När k mn nvän v? Ktn me t om innehåller el t e mätel eller mätningr me vi noggrnnhet Mint kvrt rukr nvän å mn hr tör t. Inte rimligt tt låt en linje gå ekt genom inekt mätpunkter. Ktn me tör t Interpoltion ger Inte en r il v ktrörelen När k mn nvän v? Förtoring/örminkning v iler Linjär interpoltion rukr nvän ör tt yll ut t melln pilr meör örämr il O tt t e Wor nväner inte linjär interpoltion utn en ämre meto än PhotoShop När k mn nvän v? CAD/CAM Spline i D k B-pline Spline nvän även ör tt jämn till oktäver i orehnlre, jämn till iler i igitl vieo et et moothing 7