Aren och integrl Summor Huvudämne i föreläsningen är reor v gurer i plnet och integrler. Integrl är ett egrepp som låter de nier reor v gurer i plnet, och speciellt eräkn reor melln grfer v funktioner och x - xeln.. Vi inför först en eteckning för lång summor v tl t.ex. k mrkerde med index k = ; ; ; :::n: + + 3 + ::: + n = Are Aren v en rektngel [; ][c; d] med hörnpunkter (; c), (; d), (; d), (; c); om vi går medurs runt rektngeln, är produkt v ottens längd ( ) med höjden (d c): k Are([; ] [c; d])) = ( )(d c) Exempel:Vi kommer tt först etrkt ett exempel med ren v en mer komplicerd gur, nämligen ren melln x - xeln och preln y(x) = x för x [; ]: Den ren vr eräknd först v Arkimedes i ntik Greklnd för cirk 5 år sedn. I sitt ppper Prols Are löste hn ett även lite mer komplicert prolem. Hn visde tt ren melln preln y(x) = x och en seknt linje är lik med 4/3 delr v en inskriven tringels re. Hns idee vr tt pproximer ren v den guren med en summ v reor v små enklre gurer (tringlr i hns fll) och eräkn gränsvärdet v sådn summor när ntlet dess enklre gurer går mot oändligheten och täcker hel guren. Hn uttryckte den lösningen med hjälp v oändlig geometrisk serien X k = lim 4 n! k = 4 3
Vi kommer tt pproximer ren melln x - xeln och preln y(x) = x för x [; ] på nnt sätt, med summn v n tunn rektnglr. Vi delr intervllet [; ] i n små delintervll med punkter x k = k n ; k = ; :::; n. Ovnför dess intervll ritr vi sml rektnglr med ottens längder n =, och höjder n y(x k ) = k n som är värden v funktionen y(x) i punktern xk. Trppsteget v dess rektnglr pproximerr väl guren under preln y(x) = x för x [; ] om ntlet rektnglr n är stort. Dess ren S n är summn v reor n y(x k ) v yggd små rektnglr och pproximerr väl ren under prlen S n = n y(x k ) = 3 n = (k) = k = n n 3 n(n + )(n + ) n 6 Vi hr nvänt här formeln P n (k) = n(n+)(n+) 6 men vstår från tt ge evis till den (koll eviset med teleskopisk summor på sid. 94 i Adms om du vill) Vi ser tt S n hr ett gränsvärde då n går mot oändligheten och dett gränsvärde är nturligt tt etrkt som ren v guren. 3 n(n + (n + ) Aren([) = lim S n = lim n! n! n 6 = 3 6 lim ( + =n)( + =n) n! Vi kommer senre tt få smm svr på nnt mer vncert sätt. Riemns summor och Riemnns integrl Ideen som vi nvände i exemplet med ren under prlen kn fktiskt generlisers till godtycklig kontinuerlig funktioner. = 3 3
Vi etrktr ett intervll [; ] indelt med punkter P = fx ; x ; x ; :::; x n g = x < x < x < ::: < x n = i små delintervll [x i ; x i ] med längdern (x i ) = x i x i. Ur vrt och ett v delintervll [x i ; x i ] väljs någon punkt c i. Vi etecknr den uppsättning v punkter med C = fc ; c ; :::; c n g : Vi inför också "normen" v indelningen P = fx ; x ; x ; :::; x n g med kp k = mx in j(x i)j som mximl längden v ll intervl (x i ). För en funktion f : [; ]! R klls följnde summ en Riemnns summ till funktionen f och intervlindelningen P och punktern C på delintervll: R(f; P; C) = f(c i )(x i ) = f(c )(x ) + f(c )(x ) + ::: + f(c n )(x n ) i= (efter Riemnn - tysk mtemtiker från slutet v 8 hundrtlet). Vi lägger märke till tt Riemnns summ estår v tecknde reor v rektnglr melln x - xeln och punktern f(c i ) på kurvn y = f(x); med tecken som väljes enligt tecknet v funktionen f (c i ) punkten c i. Sts, sid. 36. Om konvergensen v Riemnns summor. Om f är kontinuerlig på [; ]; måste dess Riemnns summor h ett gränsvärde då n! och kp k! : De nition. Dett gränsvärde klls integrlen (eller estämd integrlen) v funktionen f över intervllet [; ] och eteckns med Z = n! lim R(f; P; C) = kp k! lim n! kp k! f(c i )(x i ) Funktionen f klls i det fllet en integrerr funktion (enligt Riemnn). Betekningen för estämd integrlen påminner formeln med summn P n i= f(c i)(x i ) där (x i ) ersättes med dx och f(c i ) ersättes med f(x):värden och mrkerr gränser för vrieln x som funktionen f integrers över. i= 3
Vi oserverr tt i exemplet med ren under preln uttrycktes ren fktiskt med hjälp v integrl v funktionen y(x) = x som eräkndes med hjälp v den givn de nitionen. Aren([) = Z x dx () Det nns ndr mer exil sätt tt de nier integrl som gäller även för icke kontinuerlig funktioner (Leesque integrl). I dess konstuktioner skär mn fuguren under grfen inte vertiklt, som i Riemnns de nition för integrl, men lterlt. Dett (efter ett reltivt komplicert nlys v dess lterl skärningr) ) leder till ett integrlegrepp med mindre krv på funktionen f. Bestämd integrlens egenskper Sts 3, sid. 38. ) Integrl över ett integvl med längden noll är like med noll Z = ) Bytet v integrtionsordningen leder till ändring v integrlens tecken. Z = Z c) Integrl är linjär funktione v sin integrnd (funktionen under integrltecken). Z (Af(x) + Bg(x)) dx = A Z + B Z g(x)dx d) Integrl är ddtiv funktion med vseende på integrtionsintervll. Z + Z c = Z c e) Om och f(x) g(x) för ll x [; ], så smm olikheten gäller för integrler v f och g: Z f) Tringelolikheten för integrler Z Z g(x)dx Z jf(x)j dx Lite illustrtioner v formulerde egenskper följer här: 4
Vi kommer inte tt etrkt evis till dem. All evis till dess egenskper följer från liknnde egenskper för nit summor och gränsövergången enligt integrlens de nition. Enkl integrlens egenskper för udd funktioner och jämn funktioner och intervll symmetrisk med vseende på noll punkten följer direkt från egenskper c) och d) och illustrers här: Integrlklkylens huvudsts - Newton-Leinitz stsen I viss enklre fll kn mn eräkn integrler med hjälp v de nition. Men den pprochen är svår och sknr exiilitet. Newton och Leinitz gjorde i 6 hundrtlet en nyckelupp nnelse tt estämd integrlen med vriernde övre gräns F (x) = Z x c f(s)ds () där c är en godtycklig punkt, är en deriverr funktion och tt dess derivt i punkten x är lik med f(x) - värdet v funktionen under integrlen i punkten x: d F (x) = f(x) (3) dx De nition. En funktion F som hr den egenskp (tt dess derivt är lik med en funktion f), klls primitiv funktion till funktionen f. 5
Formeln () tillsmmns med dditionsregeln för integrl över två intervll, leder till slutstsen tt Z f(s)ds = F () F () (4) Dess tre formler tillsmmns är Integrlklkylens huvudsts, eller Newton-Leinitz stsen. (Theorem 5, sid. 33 i Adms) Vi kommer tt ge evis till den stsen efter någr exempel v dess nvändning. Prktisk värdet v Newton-Leinitz stsen är uppenrt. Vi kn i er fll estämm en primitiv funktion F till funktionen f under integrlen R f(s)ds: Dett ger oss umedelrt integrlens värde enligt formeln (4): Exempel: Betrkt exemplet med ren under preln som vi löste tidigre med hjälp v integrlens de nition. Det är lätt tt oserver tt d ( x3 ) = dx 3 x. Dett etyder tt G(x) = x 3 + C är en primitiv funktion till 3 x. Godtycklig konstnten C får dders för tt dess derivt är lltid noll. Vi kn då eräkn integrlen i uttrycket för ren Aren([) = Z x dx igen men med hjälp v Newton-Leinitz stsen, nämligen Z Aren([) = x 3 dx = G() G() = 3 + C ( + C) = 3 3 Exempel: Vi etrktr ett exempel med integrl där funktionen under integrlen ändrr tecken. 3=4 = : 356 I = Z 3=4 = sin(x)dx y.5 -.5 - -.5.5.5 x -.5 - Vi oserverr tt integrlen kn dels upp i summn v två integrler I = I + I = Z sin(x)dx + = Z 3=4 sin(x)dx 6
över intervll [ =; ], [; 3=4] där funktionen sin yter tecken från minus till plus. Oserver tt d ( cos(x)) = sin(x), d.v.s. cos är en primitiv funktion till sin. Dett medför dx tt Z 3=4 p! p I = sin(x)dx = ( cos(3=4)) ( cos( =)) = ( ()) = = där vi nvände tt cos(3=4) = p : Bestämd integrl v styckviskontinuerlig funktioner. De nitionen v estämd integrl som vr formulerd kn lätt generlisers till situtionen då en funktion är kontinuerlig på ett intervll förutom ett egränst ntl punkter där dess grf hr ett egränst språng. Vi de nierr integrl v en sådn funktion som summn v integrler v denn funktion över de intervl där den är kontinuerlig. De nition. (5, s. 3 i A) Låt c < c < c < ::: < c n vr punkter på reell linjen. en funktion f de nierd på [c ; c n ] är styckviskontinuerlig på [c ; c n ] om för vrje i, i n nns en funktion F i kontinuerlig på [c i ; c i ] som smmnfller med f på öppn intervllet (c i ; c i ). Integrlen v f över [c ; c n ]; = c, = c n, de niers i det fllet som Z cn c def = i= Z ci c i Intgrlklkylens huvudsts och Medelvärdesstsen för integrler och evis till dem. Innn vi ger evis till Intgrlklkylens huvudsts, etrktr vi en hjälpsts som heter Medelvärdesstsen för integrler. Det är Theorem 4, på sid. 3 i Adms. Om f är en kontinuerlig funktion på intervllet [; ], så nns det en punkt c [; ] sådn tt Z = ( 7 )f(c)
Beviset till Medelvärdesstsen för integrler. Det tt funktionen f är kontinuerlig på ett egränst slutet intervl medfär tt den ntr sitt mximl värde mx x[;] f(x) = M = f(u) och miniml värdet min x[;] f(x) = m = f(l) i någr munkter u och l ur [; ] så tt m = f(l) f(x) f(u) = M (5) för ll x på [; ]: En v egenskper hos estämd integrlen medför tt om för två kontinuerlig funktioner g och p gäller tt g(x) p(x) för ll x [; ] så måste Z g(x)dx Vi tillämpr den egenskp till olikheten (5) och får m( ) = Z mdx Z Z p(x)dx Z Mdx = M( ) Del vänster och höger v den olikheten med ( ) och få Z m = f(l) f(u) = M R Vi oserverr nu tt tlet ligger melln två värden f(l) och f(u) v kontinuerlig funktionen f på ett intervll. Enligt stsen om mellnliggnde värden v kontinuerlig funktioner måste nns en punkt c melln punktern l och u sådn tt f(c) är lik med dett mellnliggnde tlet: f(c) = Z Sist reltionen medför efter multipliktion med ( De nition. Värdet ( )f(c) = f = Z Z ) påståendet i stsen: klls medelvärdet v funktionen f på intervllet [; ]. Vi formulerr igen och ger evis till Integrlklkylens huvudsts, eller Newton-Leinitz stsen. (Theorem 5, sid. 33 i Adms) Låt f vr en kontinuerlig funktion på ett intervll I som innehåller en punkt Del. Låt F vr en funktion de nierd på I med 8
F (x) = Z x f(s)ds (6) Då är F en deriverr funktion på I och tt dess derivt i punkten x är lik med f(x) - värdet v funktionen under integrlen i punkten x: d F (x) = f(x) (7) dx Del. Låt G vre en vilken primitiv funktion som helst till f så tt d G(x) = f(x) på I. dx Då gäller Z = F () F () (8) för ll I. Bevis till Integrlklkylens huvudsts, eller Newton-Leinitz stsen. Vi evisr först Del och nvänder derivtns de nition först och Medelvärdesstsen för integrler sedn. lim h! h Z x+h x d F (x + h) F (x) F (x) = lim dx h! h Z x+h = lim h! h = lim (h f(c)) h! h = Z x = Där c = c(h) är en punkt som ligger melln x och x + h, och är eroende v h. Oserverr tt h i täljren och nämnren kncellerr. Lägg märke till tt lim h! c(h) = x enligt "stsen om två polismännen". Dess två oservtioner och det tt f är kontinuerlig leder till slutstsen: d F (x) = lim f(c(h)) = f(x) dx h! Vi evisr nu Del i stsen. Det tt d G(x) = f(x) = d F (x) medför tt F (x) = G(x) + C för någon konstnt C; dx dx eftersom funktionen F (x) G(x) hr derivtn noll och måste vr konstnt. Dett medför tt Z x f(s)ds = F (x) = G(x) + C Med tt sätt x = i formeln för integrlen får vi = G() + C och C = x = och får Z f(s)ds = G() + C = G() G() G(). Sätt nu 9