FFM234, Klassisk fysik och vektofält - Föeläsningsanteckninga Chistian Fossén, Institutionen fö fysik, Chalmes, Götebog, Sveige Oct 16, 2018 11. Elektomagnetiska fält och Maxwells ekvatione Vi stata med att betakta statiska elektiska och magnetiska (elektostatik och magnetostatik) fö att sedan ta med tidsbeoendet och se hu det innebä en koppling mellan de två fälten. Maxwells ekvatione (tidsobeoende fält) Elektostatik. Statiska elektiska fält E( ) uppfylle ρ( ) = elektisk laddningstäthet. ɛ 0 = dielekticitetskonstant i vakuum E = ρ ɛ 0 (1) E = 0 (2) Den anda ekvationen säge att elektostatiska fält ä otationsfia ( E = 0) och dämed konsevativa. E = φ, dä φ ä den elektostatiska potentialen. Den fösta ä Gauss lag och säge att elektiska fält kan ha elektiska laddninga som källo. Den elektostatiska potentialen uppfylle dämed Poissons ekvation φ = ρ ɛ 0
Magnetostatik. Statiska magnetiska fält B( ) uppfylle B = 0 (3) B = µ 0 j (4) dä den fösta säge att det inte finns någa magnetiska laddninga och den anda ä Ampees lag. j( ) = elektisk stömtäthet. µ 0 = magnetisk pemeabilitet i vakuum Den fösta ekvationen säge att magnetostatiska fält ä divegensfia ( B = 0) (elle källfitt) och kan uttyckas med en vektopotential B = A, dä Gaugeinvaians innebä att vektopotentialen inte ä fullständigt bestämd A( ) A( ) + Λ( ). Detta gö det möjligt att välja Gaugepaamete så att A = 0 och vektopotentialen uppfylle Poissons ekvation A = µ 0 j. SI enhete µ 0 = 4π 10 7 TA 1 m 1 µ 0 ɛ 0 = 1 c 2 c = 299 792 458 ms 1 Exempel: Bestämning av elektiskt fält En elektisk laddning ä jämnt födelad i en sfä med adien a. Den omges av ett tunt sfäiskt skal med adien 2a och laddningen. Bestäm det elektiska fältet E( ) och potentialen φ( ) öveallt. Lösning: På gund av att laddningsfödelningen ha sfäisk symmeti, så bli E ϕ = E θ = 0, och E beo inte på θ och ϕ. Vi kan då beäkna E med hjälp av Gauss lag genom att inföa en sfäisk volym med adie och begänsningsyta S. Ytelementet bli ds = ˆ 2 sin θdθdϕ. Gauss lag 2
fö det elektiska fältet bli E ds = E 2 sin θdθdϕ = 1 S ɛ 0 V ρ()dv = ɛ 0, (5) dä ρ() = ɛ 0 E ä laddningstätheten och alltså ä den inneslutna laddningen. Om vi böja med fallet att sfäen ha en adie > 2a, så se vi att den totala inneslutna laddningen ä = 0. Alltså ha vi att S E ds = E 2 sin θdθdϕ = 0, (6) och av detta följe att att E = 0. Om sfäen ha en adie så att a < < 2a, så ä den laddningen, som S inneslute,. Då ge oss Gauss lag att E ds =. (7) ɛ 0 S Integalen i vänsteledet ha vädet S E ds = E 2 sin θdθdϕ = 4π 2 E, (8) och vi kan lösa ut E = 1 4πɛ 0 2. (9) Slutligen ha vi fallet att sfäens adie < a. Eftesom laddningen ä jämt födelad öve volymen, så innebä det att sfäen inneslute laddningen ( ) 3. (10) a Gauss lag ge oss alltså S E ds ( ) 3 =, (11) ɛ 0 a vilket bli Vi kan nu lösa ut 4π 2 E = ɛ 0 ( a) 3. (12) E = 1 4πɛ 0 a 3. (13) 3
Om vi nu sammanfatta våa esultat, så ha vi fö det elektiska fältet E = 1 4πɛ 0 a 3 1 4πɛ 0 2 < a a < < 2a 0 > 2a (14) Vi skall nu utnyttja detta fö att bestämma potentialen, fö vilken det gälle att E = φ. Eftesom enbat den adiella komponenten av E-fältet ä nollskild ha vi att E = φ. I våt fall kan vi uttycka potentialen som integalen E d = φd = φ () φ( ). (15) Vi sätte potentialen till 0 i oändligheten och böja med att bestämma potentialen fö intevallet > 2a. Eftesom E = 0 hä så följe det att också potentialen bli 0. Potentialen skall öveallt vaa kontinuelig, vilket inte behöve vaa sant fö E-fältet. Nä vi gå till intevallet a 2a så kan den öve integationsgänsen sättas till 2a, eftesom potentialen ä 0 utanfö. φ () = 2a 1 4πɛ 0 2 d = 4πɛ 0 [ 1 ] 2a = ( 1 4πɛ 0 1 ). (16) 2a Speciellt så lägge vi mäke till att potentialen i punkten = a bli φ (a) = 8πɛ 0 a. (17) Det enklaste sättet att gaantea att φ bli kontinuelig vid = a ä nu att skiva potentialen fö a som φ () = 8πɛ 0 a + E d = 8πɛ 0 a a 8πɛ 0 a + 2 8πɛ 0 a 3 = 4πɛ 0 a 3 d = 4πɛ 0 a [ ] 2 a 8πɛ 0 a + 8πɛ 0 a 3 = 2 8πɛ 0 a 3 = 2a 2 2 8πɛ 0 a 3. (18) Vi kan till slut sammanfatta potentialen som 2a 2 2 8πɛ 0 a a ( 3 φ () = 1 4πɛ 0 ) 1 2a a 2a 0 2a (19) 4
Exempel: Bestämning av ett magnetfält En oändligt lång ak ledae ha ett cikulät tväsnitt med adien a och lede en likstöm med stömstykan I. Använd Ampees lag fö att häleda magnetfältet i och king ledaen om mateialet i den antas homogent och isotopt. Lösning: Det elektiska fältet ä stationät i detta fall och vi kan då använda Ampees lag utan någon föskjutningsstöm B ds = µ0 S ρ j ds = µ 0 I ρ, S ρ (20) dä I ρ ä stömmen som passea genom en tväsnittsyta S ρ som ä en cikelskiva med z-axeln som centum och adien ρ. Använde vi Stokes sats få vi B d = µ0 I ρ, (21) S ρ dä vi låte S ρ vaa anden till S ρ, dvs en cikel som genomlöps motus. Föst titta vi på fallet att cikelns adie ρ > a. Stömmen ä då I, och Ampees lag ge oss S ρ B d = µ0 I. (22) Vi vet att om den elektiska ledaen sammanfalle med z-axeln så ä magnetfältet iktat i ϕ-iktningen. Integalen bli då S ρ B d = 2πρBϕ. (23) Vi kan nu lösa ut B ϕ = µ 0I 2πρ. (24) I fallet att cikelns adie ρ < a så anta vi att stömmen ä jämnt födelad i tåden, vilket ge oss att den inneslutna stömmen bli ( ρ ) 2 I ρ = I. (25) a Integalen bli nu Vi kan då lösa S ρ B d = 2πρBϕ = µ 0 I ( ρ a B ϕ = µ 0I 2π ) 2. (26) ρ a 2. (27) 5
Sammanfattningsvis ha vi alltså att B = B ϕ ê ϕ med B ϕ = { µ0i 2πρ µ 0Iρ 2πa 2 ρ > a ρ a (28) Exempel: Bestämning av vektopotentialen Betakta en elektisk ledae paallell med z-axeln. Genom ledaen flyte en stöm I. Då omges ledaen av ett magnetfält B = µ 0 I 2π ρ ˆϕ. Bestäm vektopotentialen A och finn den diffeentialekvation som beskive detta fält. Kommenta 1: Notea att magnetfältet uppvisa en singulaitet. Känns den igen? Det ä fältet fån en viveltåd. Notea att B = A = 1 ˆρ ρ ˆϕ ẑ ρ ρ ϕ z A ρ ρa ϕ A z Vi kan däfö bestämma vektopotentialen u ekvationena och 1 A z ρ ϕ A ϕ z = 0 (29) A ρ z A z ρ = µ 0 I 2π ρ (30) [ 1 ρ ρ (ρa ϕ) A ] ρ = 0. (31) ϕ Vi skall finna en vektopotential så att dessa ekvatione uppfylles. Vi pova med A ρ = A ϕ = 0 och A z 0. Denna ansatz ge A = µ 0 2π I log ρ ρ 0 ẑ, (32) dä ρ 0 ä en godtycklig konstant. Låt oss nu betakta Ampees lag i det tidsobeoende fallet µ 0 j = B. (33) 6
Om vi nu esätte B med A så ha vi Fö vänsteledet ha vi äkneeglen A = µ 0 j. (34) A = ( A ) 2 A (35) Den fihet, gauge, som vi ha i att bestämma A gö det alltid möjligt att gaantea att A = 0, så vi kan educea ekvationen till 2 A = µ0 j, (36) och vi ha på så sätt kommit fam till en Poisson-ekvation fö vektopotentialen. Notea att gauge-valet A = 0 faktiskt ä uppfyllt fö den vektopotential som vi konstueade ovan. Maxwells ekvatione Kommenta 2: Maxwell satte 1864 upp fya stycken ekvatione som gav en fullständig beskivning av ett elektomagnetiskt fält. Dock, som vi skall se, inskänkte sig hans eget bidag till en tem i en av ekvationena. Fö tidsbeoende fält finns det en koppling mellan elektiska och magnetiska fält. EM koppling 1: Kontinuitetsekvationen (konseveing av elektisk laddning). Låt oss betakta sambandet mellan elektisk stömtäthet och (otationen av) ett magnetfält. Detta samband ha konsekvense fö kontinuitetsekvationen fö elektisk laddning ρ = j. fån Ampees lag få vi nämligen att HL i kontinuitetsekvationen bli j = 1 µ 0 ( B ) = 0, enligt äkneeglena fö vektoopeatoena. Detta skulle betyda att ρ = 0, vilket ä oimligt! Fö det betyde att det inte gå att flytta en elektisk laddning. Maxwells lösning va att lägga till en tem (föskjutningsstömmen) B = µ 0 j + µ 0 ɛ 0 E. (37) 7
EM koppling 2: Induktion (Faadays lag). Vi ha sedan tidigae funnit att elektiska laddninga kan skapa elektiska fält och att elektiska stömma kan skapa magnetfält. Vi vet dock att elektiska fält också kan skapas genom induktion. En föänding av det magnetiska flödet, Φ, genom en elektisk ledae inducea en spänning, U, i ledaen då det magnetiska flödet föändas. U = dφ dt, (38) dä Φ ä ett magnetiskt flöde genom ytan S Φ = B ds. (39) S och U ä den induceade spänningen längs anden S U = E d. (40) S Vi sätte nu Ekv (40) och (38) lika med vaanda och få Faadays lag på integalfom B E d = S d S. S Använde vi Stokes sats på VL få vi Faadays lag på diffeentialfom (notea att ytan S ä helt godtycklig) E = B. (41) Kommenta 3: Det elektiska fältet ä inte länge konsevativt vilket ju modifiea en av våa ekvatione. Vi få nu alltså att Maxwells ekvatione bli Maxwells ekvatione E = ρ ɛ 0, (42) E = B, (43) B = 0, (44) B = µ 0 j + µ 0 ɛ 0 E. (45) Ett allmänt fält E kan vi alltid dela upp i en del som ä vivelfi, och en del som ä källfi. 8
Fö ett elektisk fält gälle alltså att den vivelfia delen kan skivas som φ. Enligt induktionsekvationen ä E = B = ( A) = A. Alltså kan vi skiva den källfia delen av E som A/, så att vi totalt ha E = φ A. (46) Maxwells ekvatione i vakuum och den elektomagnetiska vågekvationen OBS! Resten av dessa anteckninga behandla kap 11.3-11.7 som ej ingå i kusen. Anteckningana ä endast med fö bätte koppling till motsvaande mateial i anda kuse. En mycket viktig konsekvens av Maxwells ekvatione ä att det existea våglösninga. I vakuum (ρ = 0 och j = 0) bli Maxwells ekvatione E = 0 (47) E = B (48) B = 0 (49) B E = ɛµ 0 (50) Vi kan nu till exempel beäkna otationen av induktionsekvationen Ekv. (48) E = ( ) E 2 E = B = ( B). (51) Vi kan nu utnyttja att E = 0 och Ekv. (50) 2 E = ɛ 0µ 0 E = ɛ 0µ 0 2 E 2. (52) Eftesom ɛ 0 µ 0 = 1/c 2 kan vi skiva detta ( 2 1c 2 ) E 2 2 = 0, (53) vilket ä en vågekvation. 9
Exempel: Vågekvationen i D = 1 Betakta fältet E = E(x, t) i en dimension och motsvaande vågekvation ( 2 x 2 1 2 ) c 2 2 E(x, t) = 0. (54) Ekvationen ha då lösninga på fomena E + = E 0 sin(kx ωt) och E = E 0 sin(kx + ωt), vilka beskive vågo och motivea vafö Ekv. (53) kallas fö vågekvationen. Med denna ansatz (E + ) ge vågekvationen k 2 + ω2 c 2 = 0 ω = c k, vilket kallas fö en dispesionselation. Rita 4: funktionen E(x, t) med en x-axel och en t-axel. Illustea våglängd och peiodtid. Vid given tid t: samma fas då x x + 2π k. Dvs våglängden λ elatea till vågtalet k enligt λ = 2π k. Vid givet x: samma fas då t t + 2π ω. Våghastigheten finne vi genom att notea att x ω k t = konstant beskive punkte med samma fas. Detta ge dx ω dx dt = 0 k dt = ω k Hastigheten ä alltså v = ω/k = c. Ljushastigheten! I ummet kan vi skiva lösningana E = E ( 0 exp i( ) { k ωt) = välj } k = kˆx = E 0 exp (i(kx ωt)). Den fysikaliska lösningen ä (antingen) eal- elle imaginädelen av ovanstående. Det betyde alltså att lösningen och tolkningen ä analog med D = 1-exemplet ovan. Elektiska och magnetiska vågo. En motsvaande vågekvation fö magnetfältet kan också häledas. Man finne däfö E(, t) = E ( 0 exp i( ) k ωt) B(, t) = B ( 0 exp i( ) k ωt) Hu föhålle sig polaisationsvekton E 0 till B 0 och till iktningen på k? 10
Sätt k = ˆnk = ˆn ω c. Exponenten bli då ( k ωt) = ω c (ˆn ct). ME1: E = 0, vilket ge ˆn E 0 = 0. Visa gäna detta med indexnotation E ( = j E 0,j exp i ω ) c (n l l ct) = E 0,j ( j [i ω ]) ( c n l l exp i ω ) c (n m m ct) = { j l = δ jl } = i ω ( c E 0,jn j exp i ω ) c (n m m ct) = i ω c ˆn E 0 exp (i ω ) c (ˆn ct) Pss ME3 ge ˆn B 0 = 0 Fälten ä alltså vinkeläta mot vågens öelseiktning. ME2 säge att i ω c (ˆn E 0 c B 0 ) = 0, dvs B 0 = 1 c ˆn E 0. E- och B-fälten ä alltså vinkeläta mot vaanda. De två möjliga iktningana på polaisationsvekton E 0 motsvaa de två möjliga polaisationena hos elektomagnetisk stålning. Den elektomagnetiska vågen bestå däfö av svängande elektiska och magnetiska fält, vilka geneea vaanda E(, t) = E 0 exp (i ω ) c (ˆn ct), ˆn E 0 = 0 (55) B(, t) = 1 c ˆn E 0 exp (i ω ) c (ˆn ct) (56) Vågekvatione fö potentialena Hu bli Maxwells ekvatione nä fälten uttycks i potentialena φ och A. De två homogena ekvationena (... = 0) ä de som gö att fälten kan uttyckas i teme av potentiale. Sätt in uttycken i de inhomogena ekvationena: E = φ A B = A ( ) E = ( φ A ) = ρ, ɛ 0 ( B E ) ɛµ0 = ( A) 1 c 2 ( φ A ) = µ 0 j. 11
Ett gaugeval fö vektopotentialen föenkla ekvationena avsevät Välj gaugepaamete så att A = 1 c 2 φ. Den fösta ekvationen bli ( φ A ) = φ ( A) = {Gaugeval} = ( + 1c 2 ) 2 2 φ φ, ( dä d Alembet-opeaton 1 2 c 2 ). 2 Fö den anda ekvationen utnyttja vi att ( ) A = ( ) ( ) A A = {Gaugeval} = 1 φ c 2 A. VL i den anda inhomogena ekvationen bli däfö 1 c 2 ( φ) A + 1 c 2 φ + 1 c 2 2 A 2 = A. Vi få alltså inhomogena vågekvatione fö potentialena φ = ρ ɛ 0, A = µ 0 j, Man kan använda Geensfunktionen fö vågekvationen fö att skiva ned geneella lösninga nä laddninga och stömma ä givna. Geensfunktionen ä lösningen till följande vågekvation G(, t;, t ) ( 1 c 2 2 Fö enkelhets skull kan vi ta = 0, t = 0. Geensfunktionen ä 2 )G(, t;, t ) = δ 3 ( )δ(t t ). G + (, t; 0, 0) = 1 δ( ct). 4πt Detta ä vad som buka kallas en etadead Geensfunktion. Temen komme sig av att en källa baa påveka fält vid efteföljande tide (ljuskonen = ct). Kommenta 5: Ekvationen ä symmetisk unde t t, vilket innebä att det också finns en avancead Geensfunktion G δ( + ct). 12
Huygens pincip Det ä vät att notea att det intuitivt sunda antagandet att Geensfunktionen endast ha stöd på ljuskonen faktiskt ä me subtilt än det veka. Det gå unde namnet Huygens picip. Det visa sig vaa sant i ett udda antal umsdimensione, men falskt i ett jämnt antal. I ett jämnt antal umsdimensione ha Geensfunktionen stöd inom ljuskonen, inte endast på den. I två dimensione ha man t.ex. { G (2) + (, t; 0, 0) = σ(t), < ct, 2π (ct) 2 2 0 annas. Tänk på en sten som släpps i en vattenyta. En punkt på ytan påvekas inte baa just då vågfonten passea, utan även vid alla senae tidpunkte. Tvådimensionell musik ä kanske poblematisk... Man måste föstås kunna bekäfta att man få ätt uttyck fö en statisk laddningsfödelning. Om ρ ä obeoende av tiden ge Geensfunktionsmetoden φ(, t) = dv dt ρ( ) G + (, t,, t ) R 3 ɛ 0 = dv dt ρ( ) R 3 4πɛ 0 (t t ) δ( c(t t )) = {c(t t ) (x x ) c fösvinne} = dv ρ( ) R 4πɛ 3 0, vilket ä identiskt med vad man få med hjälp av Geensfunktionen fö Poissons ekvation. 13