1 Föreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: H O = "I xz e x " I yz e y + I z e z H G = "I xz ( ) ( G e x " I G yz e y + I G z e z ) # (fixt origo, kroppsfix bas) # (kroppsfix bas) Steiners sats: I O z = I G z + md 2 GO, där d GO är avstånd mellan axlarna. Samband för tunna, plana kroppar: I z = I x + I y --------- Obalans från tröghetsprodukter Låt oss betrakta en osymmetrisk plan rotation av en stel kropp kring dess masscentrum. Låt " = # e z, så att som ( ) tidigare H G = "I G xz e x " I G yz e y + I G z e z # i ett kroppsfixt koordinat-system med ett fixt G som referenspunkt. Betrakta speciellt ett stelt tvåpartikelsystem i det roterande xz-planet enligt figuren. Vi har tröghetsmoment och tröghetsprodukter: I G z = 2 m 2 # l % 2 $ 2 cos" & ( = m ' 4 l2 cos 2 ", I G xz = 2 m 2 l 2 cos" l 2 sin" = m 4 l2 cos" sin" och I yz G = 0.
2 Insättning i rörelsemängdsmomentet ger i det kroppsfixa systemet: H G = m 4 l2 " cos# ( $sin# e x + cos# e z ). Vi ser att vektorn H G pekar längs symmetrilinjen som går vinkelrät mot massornas sammanbindningslinje och bildar vinkeln " mot rotationsaxeln. Det kraftmoment som krävs för denna rörelse ges av momentekvationen: M G = H G = ( H G ) xyz + " # H G = m l2 " cos# ( $sin# e x + cos# e z )+ m 4 4 l2 " cos# ' $sin# e ' { x & " e y = m 4 l2 cos" (# $ sin" e x # $ 2 sin" e + $ cos" e y z ). Konstant rotation Även för det enklaste fallet av konstant vinkelhastighet krävs ett kraftmoment M G = " m 4 l2 # 2 cos$ sin$ e y. Detta kraftmoment kommer uppenbarligen ifrån de lager som tvingar rotationsaxeln att vara riktad i z-riktningen. OBS: Ytterligare tvångskrafter i lagren kan tillkomma pga yttre krafter (tyngdkraften) samt för masscentrums rörelse. Momentlagar i 3 dimensioner H O = M O (fix momentpunkt O) H rel G = M G (allmänt masscentrum) (r G " r A ) # ma A + H rel A (rörlig momentpunkt) % ( * * )
3 Plan rörelse Låt den fixa z-axeln vara normal till planet. För att förstå själva rörelsen behövs bara z-komponenten av momentekvationen, samt kraftekvationen eller någon energilag. För att förstå belastning i lager kan fler ekvationer behövas. - Kraftlag m x G = F x, m y G = F y - Viktigaste momentlagarna d I O " dt d dt ( ) = M O (lämpligt fixt origo) ( I G ") = M G (allmänt masscentrum) - Energiprincipen 1 2 mv 2 G + 1 2 I G" 2 + V = konstant OBS: Förenklad beteckning I G " I G z etc används. Exempel: Vad blir I G map rotationsaxeln för de båda massorna i figuren? Svar: I G = 2m Lsin" ( ) 2.
4 Vad ger momentlagarna för information om detta system i det fall att inget yttre moment map z-axeln tillförs? Svar: 2m( Lsin" ) 2 # = konst. Konstantens värde bestäms av begynnelsetillståndet. Om vi betraktar helt stela system som roterar kring fix axel gäller att I G är tidsoberoende varför d ( I G ") = I G ". dt Exempel: Betrakta ett icke-roterande (" = 0 ) rörligt referenssystem med referenspunkt A. Tolka den generella relativa momentlagen: (r G " r A ) # ma A + H rel A med hjälp av begreppet tröghetskraft. Lösning: r G betyder läget för en partikel i inertialsystemet och r G " r A (eller r AG ) betyder det relativa läget i det rörliga systemet. Den enda tröghetskraften i A-systemet är F sp " #ma A och den verkar på partikeln i r G. Tröghetskraftens moment map r A blir r AG " (#ma A ). Den ursprungliga momentlagen kan alltså korrekt skrivas i ett rörligt referenssystem som: H rel A + r AG " (#ma A ), där högerledet är de relativa krafternas moment och vänstersidan är tidsderivatan av den relativa rörelsemängdens moment. Denna momentlag kan med denna tolkning användas på en stel kropps rörelse.
5 Exempel: En bildörr med massa m har tröghetsmoment I med avseende på den glatta upphängningsaxeln. Bilen har konstant (rätlinjig) acceleration a och dörrens masscentrum har avståndet b ifrån axeln. Bestäm dörrens vinkelacceleration som funktion av vinkeln ". Lösning: Vi bestämmer ". Vilka krafter finns?? Ingen fysisk kraft ger kraftmoment med avseende på gångjärnet (ty glatt led), men tröghetskraften "ma A ger ett moment. Rörelsen?? Den relativa rörelsen är enkel, dvs enkel vridning kring gångjärn. Använd relativ momentlag för rörlig momentpunkt: H rel A + r AG " (#ma A ). Med avseende på en vertikal z-axel (riktad upp ur planet) genom gångjärnet fås e z : I A " = #mabsin", där I A = I. Dvs: " = # mba I sin". OBS: Hur löser man problemet med hjälp av de andra momentlagarna?? Måste införa reaktions kraft R från gångjärnet och dess moment map masscentrum. Därefter används H G rel = r GA " R tillsammans med ma G = R osv.
6