LÖSNINGAR TENTAMEN 16-10-20 MEKANIK II 1FA102 A1 Skeppet Vidfamne 1 har en mast som är 11,5 m hög. Seglet är i överkant fäst i en rå (en stång av trä, ungefär horisontell vid segling). För att kontrollera seglets vinkel relativt vinden används linor som fästs i ändarna på denna rå. Även om rån kan vridas runt masten utan att masten själv vrids kan vi bestämma vilket kraftmoment med avseende på en axel genom masten som en kraft i en av dessa linor ger upphov till. I ett koordinatsystem med origo i mastens fot, x axel rakt förut, y axeln vertikal (rakt uppåt) och z axeln horisontell (åt styrbord, skeppets högra sida) befinner sig en punkt på masten, nära toppen, i läget 1, 11, 2. En lina är fäst vid rån i en punkt med koordinaterna 1, 9, 2 och den andra änden är fäst vid båten i en punkt 8,1,2. Kraften som drar i linan har beloppet 1000 N. Bestäm beloppet av det kraftmoment med avseende på en axel genom mastens fot och topp som denna kraft ger upphov till. (5p) 1 Vidfamne är en replik av ett vikingatida handelsskepp med stort lastutrymme och god seglingsförmåga. För mer info, se Wikipedia: https://sv.wikipedia.org/wiki/vidfamne (efter tentan!). Bilden hämtad från denna källa. 1
Lösning A1: Kraftmoment map axel L ges av där är en enhetsvektor i axelns riktning dvs här kan vi ta vektor från origo till och normera denna, är en vektor från någon punkt på axeln till någon punkt på kraftens verkanslinje, dvs här kan vi ta antingen vektorn från Origo till eller från till (lösningen nedan använder det senare alternativet) den kraft som ger kraftmomentet, vi har beloppet multiplicerar med en enhetsvektor i linans riktning från till. 0 0 1, 11, 2 1 1 1, 11, 2 2 11 2 2 2 126 1, 9, 2 1, 11, 2 2, 2, 4 8,1,2 1, 9, 2 9, 8, 0 9, 8, 0 1000 1000 1000 8,1,2 1, 9, 2 9, 8, 0 9 2 8 2 0 2 1000 9, 8, 0 145 1 1000 1 11 2 126 145 2 2 4 9 8 0 1000 0 396 32 32 0 36 18270 1000 360 2663 18270 2663 : ö ä 2663 Kontroll med det andra alternativet för 1 1000 1 11 2 126 145 1 9 2 9 8 0 1000 0 198 16 16 0 162 18270 1000 18270 360 Vi får samma resultat som ovan. 2
A2 Några barn leker med en rullbana och låter två olika objekt rulla ner på de parallella pinnarna. Barnen ser att ett av objekten rör sig snabbare nerför banan och undrar varför. På bilden är rullbanan fotograferad snett uppifrån, och objektens mått framgår i ritningen. Pinnarnas lutning mot horisontalplanet är 10 grader och de har en sträv yta så att glidning inte uppstår (under den i uppgiften studerade delen av förloppet). Under rörelsen neråt har endast den centrala axeln kontakt med pinnarna, den cylindriska skivan (blå i bilden) kommer inte i kontakt med pinnarna. a. Bestäm två uttryck, ett för accelerationen och ett för vinkelaccelerationen, hos ett objekt som rullar nerför banans översta del. Objektet har startat från vila högst upp i banan. Beteckna skivans massa, de två pinnarna som sticker ut åt sidan har vardera massan. Skivans radie är R och pinnarnas radie är r. Med avseende på en axel vinkelrät mot skivan och genom objektets mass centrum har objektet tröghetsmomentet I. 4p b. Bestäm värdet för tröghetsmomentet I för objekt 1 i ritningen det översta. Det är tillverkat av ett hårt träslag med densiteten = 0.8 g/cm 3. (1p) 3
Lösning A2: Koordinatsystem: x nedför träpinnar, y snett nedåt höger, z ut från papper Parametrar: Vinkel, Massan 2, lilla radien r, stora radien R Krafter: Tyngdkraft sin, cos, 0 Normalkraft Friktionskraft (Obs att det går utmärkt att skriva denna formel utan explicit minustecken, även om man ritat ut kraften i negativ riktning. Det går lika bra att skriva kraften med ett explicit minustecken. Man måste sedan vara konsekvent och ha med detta tecken när man skriver in vektorn i de ekvationer där kraften används. ) Rörelser: Hastighet (CM) Acceleration (CM) Vinkelhastighet Vinkelacceleration Samband pga rullning, med ovanstående vektor skalärrelationer och i detta koordinatsystem: [1] Samband för mass centrums rörelse: Multiplicera med : sin 0 [2] Kraftmoment med avseende på axel i z led, genom mass centrum, endast friktionskraften ger moment, tyngdkraftens och normalkraftens verkanslinjer går genom axeln: 0 0 0 0 Momentlagen, i z led, för stel kropp: [3] Använd [1] i [3 ]: Och sätt in i [2]: sin sin Sökt uttryck för acceleration: Sökt uttryck för vinkelacceleration: sin sin sin sin 4
b) Tröghetsmoment för Objekt 1: 2 Kalla skivans tjocklek för t, och vardera pinnes längd för d: 0.01 800 0.02 2.01 10 0.02 800 0.01 0.25 10 2 2.01 10 2 0.25 10 2.51 10 Objekt 1 har tröghetsmoment, med avseende på en axel vinkelrät rörelseplanet (x y) som går genom masscentrum: 2.51 10 5
A3 En golfboll (approximera som homogen sfär) med massa m och radie R fa r ett tillslag da r tillslagets (kraftens 2 ) verkanslinje ej ga r genom masscentrum utan karakteriseras av det i figuren angivna avsta ndet d. Omedelbart efter tillslaget har golfbollens hastighet beloppet v. Notera att ett golfslag av detta slag har en kontakttid mellan klubba och boll av storleksordningen 0,00015 sekund då också d kan antas konstant. Numeriskt: R 0.021m, d =R/10, v = 40m/s, m= 0,046 kg. a) Besta m beloppet av golfbollens vinkelhastighet direkt efter tillslaget och ange om rotationen är med eller moturs för den i bilden beskrivna situationen. (4p) b) Bestäm bollens mekaniska energi efter slaget. (1p) O LÖSNING A3: Problemet kan lösas på flera olika sätt. Nedan används en metod, men andra metoder fungerar också. Välj momentpunkt O vid en stationär punkt på kraftens verkanslinje, t.ex där klubban träffar bollen. Observera att punkten inte följer med bollen. Punkten får inte vara en accelererad punkt eftersom den inte är masscentrum. Kraften från klubban är mycket stor men dess kraftmoment map O är 0 pga valet av O. Övriga krafter på bollen, tyngdkraft och stödets kraft ger upphov till kraftmoment map O, men de kan försummas under den korta stöttiden. Före träffa är de två krafterna lika stora, motriktade, på samma verkanslinje och kraftmomentet blir därför 0. Under stöten går stödets kraft till 0 och vi får ett litet kraftmoment från tyngdkraften, men eftersom tiden stöten verkar under är kort så blir tidsintegralen av detta mycket litet och kan försummas. : ö 0 ö 0 Alltså: ö ä ä ä. 0 2 Kraften kan ses som en kombination av en normalkraft riktad mot bollens centrum och en friktionskraft riktad tangentiellt. Under stöten deformeras dock bollen, en tillplattning uppstår. Den intresserade kan t.ex. leta upp Golfteori i praktiken av Sven A. Svennberg 6
ö ä Men bollen initialt i vila så 0 Vi använder formel för rörelsemängdsmoment vid kombinerad translation och rotation: 0 Där I avser tröghetsmomentet map rotationsaxel genom masscentrum, ää ö Och ä x O Välj ett koordinatsystem, t.ex som i figuren med x i hastighetens riktning, Y snett nedåt och z blir då ut från pappret (högersystem) Vi har vektorerna 0 Vinkelhastighetsvektorn kan skrivas (oberoende av om bollen roterar medurs eller moturs) I för ett homogent klot, map masscentrum är 2 5 z y Sätt in och utveckla: Dimensionskoll OK. Numeriskt: 5 40 2 0 0 0 2 5 0 2 5 5 2 10 0.021 476.2 76 Svar a) Vinkelhastighetens belopp: 476 och rotationen sker medurs. 7
b) Bestäm bollens mekaniska energi efter slaget. Vi sätter referensnivå för bollens potentiella energi på höjd av dess masscentrum vid slaget och bestämmer dess kinetiska energi som då är lika med den mekaniska energin för bollen efter slaget (under hela banan till nedslag om man orealistiskt bortser från luftmotstånd) Königs samband för kinetisk energi vid samtidig rotation och translation: 1 2 1 2 Sätt in värden: 1 2 0.046 40 1 2 2 5 0.046 0.021 476 36.8 0.92 : 37.7 8
A4 Systemet som representeras i figur till höger (ur Bedford Fowler) har en fjäder med fjäderkonstant k, en dämpare med dämpkonstant c. Massan som hänger i linan är m lika stor som massan m som bärs av de små lätta hjulen. Eftersom hjulen rullar lätt och planet är jämnt kan vi beskriva rörelsen som friktionsfri. Trissan radie är R och dess tröghetsmoment med avseende på rotationsaxeln genom centrum är I. Systemet släpps från vila när tiden t=0 och den hängande vikten befinner sig i läget x=0 där fjädern ej är spänd. Numeriskt: k= 800 N/m, c= 250 Ns/m, massa vikt=massa vagn=m=30 kg, R=0.12 m, I= 0.03 kgm 2 a) Bestäm systemets rörelseekvation (3p) b) Ange en lösning till denna samt beräkna värdet för x när tiden t=10 s. (2p) 10