Γ-funktionen En kort introduktion

Institutionen för nturvetenskp och teknik Γ-funktionen En kort introduktion Rickrd Edmn och Mrkus Östberg

Örebro universitet Institutionen för nturvetenskp och teknik Mtemtik C, 76 9 högskolepoäng Γ-funktionen En kort introduktion Rickrd Edmn och Mrkus Östberg Hösten Hndledre: Mrcus Sundhäll Exmintor: Nikls Erikssen Självständigt rbete, 5 hp Mtemtik, Cnivå, 76 9 hp

Smmnfttning Inom mtemtiken nvänder mn sig iblnd v fkulteter som är en funktion över nturlig tlen som kn deniers rekursivt enligt { n(n )! om n >, n! om n. Vd händer då om mn tr fkulteten v ett rtionellt tl, exempelvis? Γ- funktionen (Γ är den grekisk verslen gmm som vi nvänder genomgående i denn uppsts) ger oss möjligheten tt beräkn fkulteter v inte br reell tl utn även komplex tl. I denn uppsts vill vi belys någr intressnt egenskper v Γ-funktionen och vr den kn tänks dyk upp. Trots tt den studers inom spridd grenr v mtemtiken som kombintorik och lgebr hr vi dock i denn uppsts vlt en nlytisk frmställning och begränst oss till de reell tlen. I först kpitlet visr vi trevlig egenskper som kontinuitet och en entydighetssts som går under nmnet Bohr-Mollerups sts. I ndr kpitlet behndlr vi kvoter v Γ-funktionen och ser på hur dess beter sig symptotiskt, lltså för väldigt stor rgument. I sist kpitlet ser vi hur Γ-funktionen nvänds till tt beräkn volymer och reor för klot i rummet R n vilket leder oss till intressnt lososk frågeställningr som vd ytor i högre dimensioner innebär. Läsren förvänts h kunskper inom en- och ervribelnlys smt läst en kurs i nlysens grunder, men frmställningen är även på den nivå tt mtemtikintresserde studenter sk få en grundlig inblick i hur Γ-funktionen generliserr n! och vr den kn dyk upp på för ndr ställen inom nlysen t.ex i beräknndet v volymintegrler. Avslutningsvis vill vi tck vår hndledre Mrcus Sundhäll som vrit ett stort stöd åt oss i rbetet v denn uppsts. Mrkus Östberg och Rickrd Edmn

Innehåll Någr viktig egenskper hos Γ-funktionen 4. Väldenierd och kontinuerlig.................. 4. Hölders olikhet.......................... 6.3 Bohr-Mollerups sts........................4 Betfunktionen.......................... 4 Asymptotiskt beteende v Γ-funktionen 9. Stirlings formel.......................... 9. Pochhmmersymbolen...................... 4 3 Are och volym i n dimensioner 6 3. Polär koordinter........................ 6 3.. Exempel.......................... 7 3. Volym och ytre v n-dimensionell klot........... 9 3.3 Volym och ytre för någr n.................. 3 3.4 Filososk utläggning....................... 3

Historik Γ-funktionen formulerdes för först gången på 7-tlet v schweizisk mtemtikern Leonhrd Euler (77783) i korrespondens med Christin Goldbch (69764). Problemet vr tt tt nn en simpel formel till 3 n som gäller för ndr tl än heltl. Om vi byter ut multipliktionstecknet mot ddition får vi istället den ritmetisk summn ++3+...+n med den välkänd formeln S n n(+n). Dett möjliggör insättning v ll sorters tl, t.ex ger S värdet 3 8, även om det inte är särskilt meningsfullt tt dder en hlv term. En formel v denn enklre sort för n! nns inte utn tt t hjälp v nlytisk metoder. Dett ledde Euler till tt studer oändlig processer och lyckdes 79, i sin korrespondens med Christin Goldbch, formuler den oändlig produkten [( ) n n + ] [( 3 ) n n + ] [( 4 3 ) n ] 3 n!. n + 3 Om vi bortser från intressnt spekter som konvergens så ser vi tt vänsterledet gäller för ll sorters tl förutom negtiv heltl, eftersom det leder till noll i nämnren för någon v fktorern. Året efter formulerde Euler det som idg klls Eulers ndr integrl: n! ( log x) n dx () Adrien Mrie Legendre (75-833) skrev senre om () till det vi idg känner igen som Γ-funktionen: där för nturlig tl n. Γ(x) t x e t dt Γ(n + ) n! 3

Kpitel Någr viktig egenskper hos Γ-funktionen I dett kpitel kommer vi tt gå in på trevlig egenskper som kontinuitet och konvexitet. Avslutningsvis visr vi entydighetsstsen för Γ-funktionen som klls Bohr-Mollerups sts. Vi kommer tt börj med tt vis tt Γ- funktionen är väldenierd och kontinuerlig för ll positiv x, i dett kpitels först vsnitt.. Väldenierd och kontinuerlig Vi kommer nu tt vis tt Γ-funktionen är väldenierd och kontinuerlig för ll positiv x. Lemm... För vrje x > gäller det tt t x e t dt är konvergent. Bevis. Vi behöver försäkr oss om tt t x e t dt är konvergent för ll x i denitionsmängden. Om vi betrktr intervllet x [, [ ser vi tt integrlen är generliserd i. För stor t är t x e t e t och eftersom e t dt är konvergent får vi tt t x e t dt är konvergent (se [5] s. 36). Om vi betrktr intervllet x (, ) så är integrlen generliserd i båd ändpunktern. För tt undersök konvergens delr vi integrlen i två delr: Γ För t > hr vi tt t x e t dt och Γ t x e t t x och lim ε + ε t x e t dt t x dt existerr, lltså är Γ är konvergent. Om vi som tidigre väljer tillräckligt stor t hr vi tt t x e t e t och lim 4 ε ε e t dt

existerr, så följer det tt även Γ är konvergent. Enligt lemm.. kn vi nu dener Γ-funktionen. Denition... Vi denierr för x >. Γ(x) t x e t dt Lemm... Γ(x) är kontinuerlig på intervllet (, ) Bevis. Sätt f(x, t) t x e t där (x, t) [, ) [, ). Låt x och x vr x och välj sedn R och R så tt och f(x, t) < e t om t > R f(x, t) < e t om t > R. Sätt R mx (R, R ) som är det störst v tlen R och R. Givet ε > så kn vi välj ett R sådnt tt R ] e t dt [ e t R e < ε R 3. Väljer vi nu R mx(r, R ) och noterr tt f(x, t) är likformigt kontinuerlig på den kompkt rektngeln [x, x ] [, R] så nns det ett δ(ε) så tt f(x, t) f(x, t) t x t x e t ε < 3R + om x x < δ(ε). Då får vi f(x, t) dt f(x, t) dt R ( t x t x ) e t dt + t x e t dt t x e t dt R R R ( t x t x ) e t dt + t x e t dt + t x e t dt R t x t x e t dt + ε 3R + R + ε 3 + ε 3 < ε, R R e t/ dt + R R e t/ dt där vi nvänt tringelolikheten för integrler (se [7], s. 9, sts 6.3) och beviset är klrt. 5

. Hölders olikhet Vidre kommer vi tt gå igenom någr er v de egenskper som krktäriserr Γ-funktionen. För tt bevis dess egenskper behöver vi dock en nnn väl omtld sts, nämligen Hölders olikhet, som ni kn se nedn. b [ b f(t)g(t) dt ] [ f(t) p p b dt g(t) dt] q q. För tt bevis denn sts behöver vi först någr denitioner och lemmn till vår hjälp. Följnde denition går tt nn i [5], s. 53. Denition... En funktion f på (, b) klls strängt konvex om det för ll pr v punkter x x D f och vrje θ sådn tt < θ < gäller tt f(θx + ( θ)x ) < θf(x ) + ( θ)f(x ). Om mn tillåter likhet kllr mn f för en konvex funktion. Konvex funktioner hr egenskpen tt givet två punkter P, P på funktionskurvn så ligger smtlig punkter melln P, P under den rät linje som smmnbinder punktern P, P, vilket illustrers v följnde lemm. Lemm... Låt I vr ett intervll där x, x, x 3 I och x < x < x 3. Då gäller tt f är strängt konvex om och endst om f(x ) f(x ) x x < f(x 3) f(x ) x 3 x Observer tt olikheten även gäller då f är konvex, men tt vi då tillåter likhet. Bevis. : Då f är strängt konvex gäller tt f(θx + ( θ)x 3 ) < θf(x ) + ( θ)f(x 3 ) (.) Vi väljer θ x 3 x x 3 x och v dett följer tt θ x x x 3 x. Eftersom punkten x ligger strikt melln x och x 3, smt tt vi väljer θ x 3 x x 3 x kn vi skriv x som x θx + ( θ)x 3, där θ ger x och θ ger x 3. Vi sätter in i (.) och får f(θx + ( θ)x 3 ) < θf(x ) + ( θ)f(x 3 ) f(x ) < x x x 3 x f(x 3 ) + ( x x x 3 x f(x ) f(x ) < x x f(x 3 ) x x f(x ) x 3 x x 3 x f(x ) f(x ) < f(x 3) f(x ) x x x 3 x 6 ) f(x )

: Vi ntr nu tt vi hr f(x ) f(x ) x x < f(x 3) f(x ) x 3 x och vill vis tt f är strängt konvex. Eftersom punkten x strikt ligger melln x och x 3 kn vi skriv den som x θx + ( θ)x 3 och från dett erhåll θ x x 3 x x 3, smt θ x x x x 3. Sedn återstår endst tt gör de uträkningr som gjordes tidigre, men nu åt motstt håll, vilket lämns åt läsren. Lemm... Om f(x) är deriverbr för ll x på (, b) och f (x) > på hel intervllet så är f(x) strängt växnde på (, b). Bevis. Låt x vr en punkt strikt melln x, x sådnt tt < x < x < x < b. Enligt medelvärdesstsen hr vi tt f(x ) f(x ) (x x )f (x) där höderledet är positivt. Alltså är f(x ) f(x ) > om x x > vilket är denitionen v en strängt växnde funktion. Följnde sts går tt nn i [5] (se sts 5 s. 53), men för läsrens skull presenterr vi ett likrtt bevis där vi förenklt och fyllt i viss steg. Sts... En deriverbr funktion f är strängt konvex om och endst om dess derivt f är strängt växnde Bevis. : Antg tt f är strängt konvex. Vi vill vis tt f är strängt växnde. Låt x, x vr två punkter i vårt denitionsintervll sådn tt x < x. Eftersom f är strängt konvex gäller det enligt lemm (..) tt f(x) f(x ) x x < f(y) f(x ) y x, då x < x < y < x. (.) Vi ser tt funktionen g(x) f(x) f(x ) x x är strängt växnde. Om vi sätter in y x i. och låter x gå mot x + vi tt g (x ) < f(x ) f(x ). x x Anlogt visr mn tt f(x ) f(x ) x x < g (x ). Av dett följer tt g (x ) < g (x ), lltså tt g är strängt växnde. : Vi ntr nu tt f är strängt växnde och vill vis tt f(θx + ( θ)x ) < θf(x ) + ( θ)f(x ) < θf(x ) + ( θ)f(x ) f(θx + ( θ)x ), (.3) 7 får

där < θ <. Antg tt x < x och sätt ξ θx + ( θ)x. Med hjälp v medelvärdesstsen vill vi vis tt högerledet i (.3) är positivt. Vi hr θf(x ) + ( θ)f(x ) f(θx + ( θx )) θ(f(x ) f(ξ)) + ( θ)(f(x ) f(ξ)) θ(x ξ)f (ξ ) + ( θ)(x ξ)f (ξ ) ( θ x [ ] ) ( θx + ( θ)x f (ξ ) + ( θ) x [ ] ) θx + ( θ)x f (ξ ) θ( θ)(x x )(f (ξ ) f (ξ )), där x < ξ < ξ < ξ < x. Eftersom f är strängt växnde och ξ < ξ så är vilket medför tt och beviset är klrt. f (ξ ) f (ξ ) > och θ( θ)(x x ) > < θ( θ)(x x )(f (ξ ) f (ξ )), Korollrium... Antg tt f(x) hr en kontinuerlig ndrderivt på ett intervll x (, b). Då gäller det tt f(x) är strängt konvex på (, b) om och endst om f (x) > för ll x (, b). Bevis. Antg tt f (x) >. Eftersom f (x) (f(x) ) > så gäller det enligt lemm.. tt f (x) är strängt växnde på (, b) vilket enligt sts.. är ekvivlent med tt f(x) är strängt konvex. Lemm..3. Låt p och q vr positiv tl som uppfyller Om u och v så gäller tt med likhet då u p v q. p + q. uv up p + vq q, Bevis. Vi kn skriv om vänsterledet och få ln uv uv e ln u+ln v e e p ln up + q ln vq. Eftersom ( e t) > för ll t så är enligt korollrium.. e t konvex. Då är enligt denitionen v konvexitet e θx+( θ)y θe x + ( θ)e y. 8

( ) Sätt p θ och noter tt θ p + q p q, vi erhåller då Med x ln u p, y ln v q blir (.4) e p x+ q y p ex + q ey. (.4) e p ln up + ln vq q uv För likhet ntr vi tt u p v q. Vi hr p eln up + q elnvq up p + vq q. uv u(v q ) q u(u p ) q u + p q u p ( p + q ) u p up p + up q up p + vq q. Lemm..4. Låt f, g vr kontinuerlig, f, g och b f p dx b g q dx, p + q där vi tillåter och b +. Då gäller b fg dx, p, q >, Bevis. Eftersom f, g är positiv och kontinuerlig funktioner gäller tt även fg är positiv och kontinuerlig på smm intervll. Av lemm..3 får vi då tt Vi får tt b f(x)g(x) f(x)p p fg dx p b f p dx + q + g(x)q, x b q b g q dx p + q. Lemm..5. Låt f(x), f(x) kontinuerlig på (, b). Då gäller det tt b f(x) dx f(x), då < x < b. 9

Bevis. ntg tt f(x ) > för något x (, b). Eftersom f är kontinuerlig på hel (, b) kn vi välj ett δ så tt f(x) > på intervllet [x δ, x + δ]. Om vi nvänder uppskttningr för integrler (se [5], s.3) får vi tt f(x) > på [x δ, x + δ] x +δ x δ och eftersom x vr godtyckligt vlt så är vi klr. f(x) dx >, Nu hr vi ll verktyg till tt formuler Hölders olikhet. Sts.. (Hölders olikhet). Låt p och q vr positiv reell tl sådn tt p + q. Om f, g är kontinuerlig, reell funktioner så gäller tt b [ b f(t)g(t) dt där vi tillåter och b +. ] [ f(t) p p b dt g(t) dt] q q, (.5) Bevis. Låt f och g vr kontinuerlig. Enligt tringelolikheten för integrler (se till exempel sts 6, s. 34, [5]) får vi Vi denierr och b b fg dx f g dx. [ b A [ b B ] f p p dx ] g q q dx, där vi ntr tt A och B är positiv. Då hr vi b ( f A ) b p dx A p f p dx A p A p smt b ( g B ) q dx Enligt lemm..4 gäller b ( f A g B ) dx,

så tt b [ b f g dx A B ] [ p b ] q f p dx g q dx Vid fllet A eller B vet vi från lemm..5 tt f då A, smt g då B, vilket ger oss tt olikheten i (.5) uppfylls..3 Bohr-Mollerups sts I dett vsnitt visr vi entydighet för Γ-funktionen i en sts som går under nmnet Bohr-Mollerups sts. Först visr vi en existenssts som visr tt det nns en funktion, Γ-funktionen, som uppfyller tre villkor. Sts.3.. För ll x som Γ är denierd på gäller () Γ(x + ) xγ(x). (b) Γ(n + ) n! för n,, 3,... (c) log Γ är konvex. Bevis. ) Genom en prtilintegrtion får vi Γ(x + ) t x e t dt [ t x e t] + xt x e t dt + x xγ(x) t x e t dt b) Om vi sätter x n i () så följer det genom induktion tt Γ(n + ) n!. c) Vill vis tt log Γ (θx + ( θ)y) θ log Γ(x) + ( θ) log Γ(y). Om vi gör smm vribelsubstitution som i lemm..3 får vi tt ovnstående kn skrivs om till ( x log Γ p + y ) q p log Γ(x) + log Γ(y) q där p + q.

Om vi dessutom skriver t t p + t q får vi ( x Γ p + y ) t x p + y q e t dt p Hölder Logritmerr vi bägge led får vi ( x log Γ p + y p) och beviset är klrt. [ t x p + y q ( p + q ) e ( t p + t q ) dt t x p p e t p }{{} f fg dt ] f p dt t y q q e t q }{{} dt g p [ ] g q q dt p log f p dt + q log g q dt p log t x e t dt + q log p log Γ(x) + log Γ(y) q t y e t dt Bohr-Mollerups sts, efter dnsk mtemtikern Hrld Bohr och Johnnes Mollerup, säger tt Γ-funktionen är entydigt bestämt v dess tre egenskper. Den formulers i [7] och vi kommer nu tt gör en liknnde formulering. Sts.3.. Om f är en positiv funktion på (, ) sådnt tt () f(x + ) xf(x) (b) f() (c) log f är konvex då är f(x) Γ(x). Beviset är snrlikt som det i [7] men vi väljer tt kompletter det i viss vseenden så tt det blir mer fullständigt. Bevis. Vi vet tt det redn nns en funktion som uppfyller (), (b), och (c), nämligen Γ. Det räcker tt vis tt f(x) är entydigt bestämt v (), (b), och (c) för ll x >. På grund v egenskpern i () räcker det tt vis för x (, ]. Sätt ϕ(x) log f(x).

Då är ϕ(x + ) log (f(x + )) log (xf(x)) log x + ϕ(x) < x <, Vi vet tt ϕ() och ϕ(x) konvex. Antg tt n är ett positivt heltl. Då är ϕ(n + ) log (nf(n)) log (n(n )f(n )) log (n(n ) f(n (n ))) log (n(n ) f())) log (n(n ) )) log n! Betrkt dierenskvotern v ϕ(x) på intervllen [n, n+], [n+, n++x], [n +, n + ]. Konvexitet ger tt vi kn nvänd sts... Vi får då där smt ϕ(n + ) ϕ(n) n + n Alltså hr vi tt ϕ(n + ) ϕ(n) n + n log n ϕ(n + + x) ϕ(n + ) x log n! log(n )! log n, ϕ(n + ) ϕ(n + ) log(n + ). ϕ(n + + x) ϕ(n + ) x Vi kn skriv om ϕ(n + + x) som Vi hr lltså ϕ(n + + x) log f((x + n) + ) log(x + n)f(x + n) ϕ(n + ) ϕ(n + ), n + (n + ) log(n + ). log(x + n)((x + n) ) (x + )f(x + ) log(x + n)((x + n) ) (x + )xf(x) [ ] log x(x + ) (x + n) }{{} t + ϕ(x). ϕ(x) + log t log n! log n log(n + ) x ϕ(x) + log t [log n! + x log n] x log(n + ) x log n ϕ(x) [log(n! n x ) log t] x log n + ) ( n n! nx ϕ(x) (log x log + ). t n 3

Låter vi n går uttrycket ϕ(x) ( ) log n! nx t mot noll enligt instängningsregeln för gränsvärden (se t.ex [5] s. 4). Dett ger tt ϕ(x) lim n log Alltså hr vi tt n! n x log lim x(x + ) (x + n) n f(x) lim n och f är då entydligt bestämt. n! n x x(x + ) (x + n) n! n x x(x + ) (x + n). Anmärkning.3.. Som en konsekvens leder denn sts till en lterntiv formulering v Γ-funktionen: Γ(x) lim n.4 Betfunktionen n! n x x(x + ) (x + n) I dett vsnitt kommer vi tt presenter betfunktionen, smt vis den som kvoter v Γ-funktionen. Betfunktionen hr, precis som Γ-funktionen, sitt ursprung från Euler och hns så kllde först integrl [] som ni kn se nedn. x n ( x) n... n dx (n + ) (n + )... (n + ). Vi skriver dock fördelktigt om betfunktionen, såsom vi visr i denitionen nedn. Denition.4.. För x > och y > denierr vi. B(x, y) t x ( t) y dt Vi vill även vis tt betfunktionen är konvergent. Då x och y smtidigt inses lätt tt integrlen är konvergent, vi väljer tt betrkt intervllen < x <, < y <. B(x, y) B (x, y)+b (x, y) Vi hr tt lim t + ( ) t x ( t) y t x t x ( t) y dt+ t x ( t) y dt. och eftersom tx dt är konvergent enligt [4] hr vi tt B är konvergent. Anlogt visr mn tt B är konvergent, lltså är betfunktionen konvergent. 4

Sts.4.. Om x > och y > gäller tt t x ( t) y dt Γ(x)Γ(y) Γ(x + y), (.6) Då dett bevis är reltivt omfttnde hr vi för läsrens skull vlt tt del upp det i fyr steg, där vi i de tre först stegen kommer tt vis någr viktig egenskper för betfunktionen. I steg kommer vi vis tt B(, y) y och sedn i steg kommer vi, med hjälp v prtiell integrtion, tt vis tt B(x+, y) x x+y B(x, y). Vi fortsätter sedn i steg 3 med tt vis tt log B(x, y) är konvex, och precis som i sts.. kommer vi tt nvänd oss v Hölders olikhet. Avslutningsvis kommer vi tt vis tt kriteriern i sts.3. gäller. Bevis. Steg : Till tt börj med vill vi vis tt B(, y) y : B(, y) Steg : Vi sk nu vis tt [ ( t) ( t) y y dt y B(x +, y) x B(x, y). x + y För tt vis dett nvänder vi oss v prtiell integrtion: B(x +, y) [ t x ( t) y dt t x ( t) x ( t)x ( t) y dt ( ) t x ( t) x+y dt t ( ) t x ( t) x+y ] + t x + y x ( t)y [ t x + y + x x + y ] x B(x, y) x + y + x x + y t x ( t) y dt ] y x+y ( t) x + y x ( t) t x ( t) x+y x dt ( ) t x dt t Steg 3: För tt vis tt log B(x, y) är konvex nvänder vi oss v smm metod som i sts... För ett xt y hr vi ( x B(θx + ( θ)z, y) B p + z ) q, y 5

där vi, som tidigre, nvänt oss v tt p θ, θ q och p + q. Vi får då ( x B p + z ) q, y Hölders olikhet ger oss t x p + z q ( t) y dt ( t x p + z q p + q t x p p ( t) y p p }{{} f fg dt ( fg dt ) ( ) ( t) y p + y q p + q dt t z q q ( t) y q q dt }{{} g ) ( f p p ) dt g q q. Logritmerr vi bägge led får vi ( x log B p + z ) q, y p log f p dt + q log g q dt p log t x ( t) y dt + q log t z ( t) y dt p log B(x, y) + log B(z, y). q Steg 4: Vi behöver nu verier tt de tre kriteriern i sts.3. uppfylls v funktionen som deniers Vi hr tt f(x + ) xf(x). Vidre hr vi tt f() f(x) Γ(x + y) B(x, y). Γ(y) Γ(x + y + ) (x + y)γ(x + y) x B(x +, y) B(x, y) Γ(y) Γ(y) x + y Γ(y + )B(, y) Γ(y) yγ(y)b(, y) Γ(y) För tt vis tt log f(x) är konvex gör vi observtionen y y. log f(x) log Γ(x + y) log Γ(y) + log B(x, y). }{{} 6 konstnt

Vi vill vis tt log Γ(x + y) log Γ(y) + log B(x, y) är konvex då vi hr y xt. Sätt h(x) log Γ(x + y) log Γ(y) + log B(x, y). Vi vet tt log Γ(x + y) och log B(x, y) är konvex funktioner. Dett ger oss tt h (x) (log Γ(x + y)) + (log B(x, y)) >. }{{}}{{} > > Enligt Korollrium.. gäller tt en funktion är strängt konvex om och endst om ndrderivtn är positiv, lltså är log f(x) är konvex. Dett tvingr funktionen f(x) tt vr lik med Γ(x), och beviset är klrt. Vi ger exempel på någr intressnt resultt som vi nvänder betfunktionen till tt beräkn: Exempel.4.. Vribelbytet i t sin θ i denition.4. ger oss B(x, y) Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) π π (sin θ) x (cos θ) y sin θ cos θ dθ (sin θ) x (cos θ) y dθ. Om vi nu sätter x y får vi tt Γ ( ( ) π Γ ) π Av dett följer tt Γ ( ) π ( )!. För tt beräkn fkulteter v typen n + / där n,,,... nvänder vi följnde formel: Exempel.4.. Låt I π (sin x)m dx och J π (sin x)m dx. Om vi nvänder smm substitution som i exempel.4. hr vi tt I π (sin x) m dx Γ(m + )Γ( ) Γ(m + + ) Γ(m + ) π Γ(m + ) (.7) 7

För integrlen J hr vi: J π π m (sin x) m dx ( sin x cos x) m dx π m B(m +, m + ) (sin x) m (cos x) m dx m Γ(m + )Γ(m + ) Γ(m + ) m Γ(m + ) Γ(m + ) Om vi dessutom för integrlen J gör vribelbytet t x får vi J π π I. (sin t) m dt (sin t) m dt Tillsmmns ger ekvtionern (.7) och (.8) Γ(m + ) π Γ(m + ) (m)! π m (m)! m Γ(m + ) Γ(m + ) Γ(m + ) Γ(m + ) (m)! π 4 m. m! Om vi gör substitutionen m n får vi även Γ(m + ) (m)! π 4 m m! (m)! π m! 4 m Γ(m + ) mγ(m) mγ(m) π m Γ(m + ) Γ(m) ( n ) Γ Γ(m) π m Γ(m + ) Γ(n) π n Γ( n+ ) (.8) 8

Kpitel Asymptotiskt beteende v Γ-funktionen Här tänker vi gå in på symptotiskt beteende v Γ-funktionen. En formel som oft dyker upp i dess smmnhng är Stirlings formel som nvänds till tt pproximer n! då n är stort. Vi kommer även titt på kvoter v Γ-funktioner och hur de beter sig symptotiskt.. Stirlings formel Härnäst kommer vi tt formuler en pproximtion för stor fkulteter. Den så kllde Stirlings formel, eller Stirlings pproximtion, hjälper oss tt pproximer n! för stor n, eller Γ(x + ) för stor x. Innn vi kn presenter Stirlings formel måste dock vi denier begreppet symptotiskt beteende. Denition... Låt f(x), g(x) vr reellvärd funktioner. Om f(x) lim x g(x) skriver vi f(x) g(x) då x. Vi säger tt tt f är symptotisk till g. Dett begrepp nvänds då vi känner till storlek och uppförnde v g(x) då x och vill se hur f(x) beter sig under smm förhållnde. För tt vis Stirlings formel behöver vi viss verktyg i form v ett lemm och en sts. Dess, smt Stirlings formel, går tt nn i [3] (lemm 8.3 s. 56, sts 8.3b s. 56, sts 8.4 s. 5) vrifrån vi även tgit bevisidéern som vi för läsren skull skrivit om och förenklt något. Lemm... Om >, b > och om f är denierd som f(x) 9 e xbt dt,

är f(x) ( π bx), då x Bevis. Sätt u t bx, då är dt bx du. Då är f(x) π bx bx π bx π bx e u bx du e u du. Vi hr tt integrlen e u du är konvergent med värdet π (se exempel (3..)) och vi får tt lim x f(x) π bx π π. Följnde procedur klls för Lplces metod (se [3]) och är en teknik som nvänds för tt pproximer integrler på formen b em f(x) dx. Sts... Antg tt följnde gäller: () f är två gånger deriverbr och f kontinuerlig på t <, där får vr ändlig eller oändlig; (b) f är växnde på t < ; (c) f() f (), f () > ; (d) det nns ett x, för vilket existerr. I(x ) e x f(t) dt Då gäller tt I(x) existerr för ll x > x och då x. [ I(x) π xf () ],

Bevis. Vi ser tt för x > x gäller e xf(t) e x f(t). Enligt jämförelsests [5] hr vi tt I(x) existerr. Välj ett ε, sådnt tt < ε < f (). Eftersom f () är kontinuerlig nns ett δ <, för vilket < f () ε f (t) f () + ε, om t δ. (.) Då hr vi I(x) δ e xf(t) dt e xf(t) dt + I (x) + I (x). δ e xf(t) dt Vi börjr med tt undersök I. På δ t < hr vi tt f(t) f(δ), eftersom f är monoton. Vi hr e xf(t) e xf(t)/ e xf(t)/ e xf(t)/ e xf(δ)/ e x f(t) e xf(δ)/, då x x. Av dett följer tt eller ekvivlent I (x) δ e xf(t) dt e xf(δ)/ e xf(t) dt e xf(δ)/ e xf(t) dt, δ I (x) e xf(δ)/ I(x ). (.) Om vi vidre ser på t δ och McLurinutvecklr f(t) (se [5]) får vi tt f(t) f() + f ()t + f (τ)t, där τ t δ. Eftersom f() f () hr vi tt Av dett och v (.) får vi tt f(t) f (τ)t. så tt (f () ε)t f(t) (f () + ε)t, e x(f ()+ε)t / e xf(t) e x(f () ε)t /.

Integrerr vi denn olikhet får vi δ e x(f ()+ε)t / dt I (x) Vi kombinerr (.) och (.3) och får δ e x(f ()+ε)t / dt I(x) δ δ för x x. Multiplicerr vi sedn (.4) med x får vi δ x e x(f ()+ε)t / dt xi(x) x e x(f () ε)t / dt. (.3) e x(f () ε)t / dt+e xf(δ)/ I(x ), (.4) δ e x(f () ε)t / dt+ xe xf(δ)/ I(x ). För tt lättre se vd vi gör inför vi beteckningrn b f ()+ε och b f () ε. Då hr vi δ x e xb t dt xi(x) x δ e xb t dt + xe xf(δ)/ I(x ). (.5) Om vi nu låter x får vi tt xe xf(δ)/ I(x ). Enligt lemm.. kn vi även pproximer (.5) och får då smt δ x e xb t dt δ x e xb t dt [ x π b x [ x [ ] π f ()+ε x π f () + ε [ x π b x [ x [ ] ] ] π f () ε x π f () ε Av dett smt (.5) får vi tt det för ll ε > nns ett C så tt, för x > C gäller [ π f () + ε ] [ xi(x) ] ] π f () ε ]

Då ε följer xi(x) Dett ger I(x) [ lim x och beviset är färdigt. π xf () ] [ ] π f () lim x xi(x) [ ] π f () Sts.. (Stirlings formel). För stor x hr vi Γ(x + ) πx x+ e x, Bevis. För uttrycket Γ(x+) t x e t dt gör vi vribelbytet t x(+u). Då är dt xdu och vi får Γ(x + ) eller ekvivlent x x e x Γ(x + ) Vi betrktr först I : I (x) x x ( + u) x e x(+u) x du x x+ e x e ux ( + u) x du e ux ( + u) x du e ux ( + u) x du e ux ( + u) x du + I (x) + I (x) Sätt f(u) u ln( u). Då är och e ux ( u) x du e ux ( + u) du f (u) + u u u då u < f (u), u <. ( u) e x[ u ln( u)] dt. Speciellt är f() f () och f () och vi kn tillämp sts.. och få ( π I (x). x) Med smm förfrnde tillämpt på I (x) med f(u) u ln( + u) får vi I (x) ( π x). 3

Vilket tillsmmns ger ( π I(x) x) ( ) π x vilket ger Γ(x + ) πx x+/ e x.. Pochhmmersymbolen I dett vsnitt presenterr vi Pochmmersymbolen (α) n och kollr på dess symptotisk beteende. Vi gör följnde denition: Denition... Låt n vr ett nturligt tl och α reellt, då gäller (α) n α(α + ) (α + n ) Uttryckt i gmmfunktioner får vi: (α) n Γ(n + α) Γ(α) (.6) Med Stirlings formel får vi även den nednstående symptotisk formeln. Lemm... (α) n (β) n C(α, β)(n + ) α β (.7) där C(α, β), för x värden på α och β, är en konstnt. Bevis. Vi skriver om (α)n (β) n med hjälp v (.6) och nvänder Stirlings formel med x n + α och x n + β får vi tt (α) n Γ(n + α) (β) n Γ(α) Γ(β) Γ(n + β) Γ(β) Γ(α) (n + α )n+α e n α (n + β ) n+β e. n β Vi sätter nu C Γ(β) Γ(α) eβ α och skriver om resten v uttrycket (n + α ) n+α (n + β ) n+β (n + α )α (n + β ) β ( n + α n + β ) n ( ) n + α. n + β Låt oss se hur de enskild fktorern beter sig för stor n. För fktorn längst till höger gäller det tt ( ) n + α ( + α β ) då n. n + β n + β 4

Fktorn i mitten gör vi substitutionen t n + β och får ( ) n + α n ( + α β ) n n + β n + β ( + α β ) +t β t ( + α β ) t ( + α β ) β t t e α β då t. Vi gör sedn en omskrivning på fktorn (n+α )α (n+β ) β. (n + α ) α (n + β ) β ( n+α n+ ( n+β n+ ) α (n + ) α ) β (n + ) β ( ) α n+α n+ ( n+β n+ ) β (n + ) α β där vi ser tt en fktorn går mot då n. Tillsmmns får vi tt Vi hr lltså tt (α) n (β) n C (n + ) α β e α β Γ(β) Γ(α) (n + )α β. där konstnten C(α, β) Γ(β) Γ(α) (α) n (β) n C(α, β) (n + ) α β 5

Kpitel 3 Are och volym i n dimensioner I dett kpitel visr vi tt Γ-funktionen dyker upp i formlern för re och volym för klot i n dimensioner. Med en yt vser vi rnden till den begränsde mängden K R n och den brukr i litterturer [6] beteckns med K men i denn text kommer vi br studer sfären och klotet, som vi denierr lite längre ner. Noter tt vi endst studerr mängder i R n och en yt hr lltså en dimension lägre än den kropp vi studerr ovsett vilken dimension vi benner oss i. När vi tlr om re så ssocierr vi lltså ett tl σ som är ett mått på innehållet v den yt vi studerr och nlogt för volym. Längre frm kommer vi även nvänd n-polär koordinter som en denition, för härledning v dess hänvisr vi den intresserde läsren till [] där läsren förvänts h grundläggnde kunskper i linjär lgebr. I R n betecknr vi klotet som är centrert i origo med rdie R som K n (R) och den utgörs v mängden K n (R) {x R n : x < R}. Rnden till K n (R) klls (n ) -sfären och deniers som S n (R) {x R n : x R}. För enhetsklotet K n () skriver vi br K n och nlogt för enhetssfären, S n. Aren och volyminnehållet v K n betecknr vi med σ(s n ) respektive µ(k n ). 3. Polär koordinter I dett vsnitt denierr vi n-polär koordinter som vi kommer nvänd till tt beräkn integrlen dx, (3.) R n e x där vi noterr tt integrnden är en funktionen som beror på vståndet från origo. Vi kommer nvänd denn integrl lite längre frm när vi härleder formlern för re och volym i n dimensioner men först behöver vi gör följnde denitioner: Denition 3... Låt φ, φ,..., φ n, smt θ vr vinklr där φ, φ,..., φ n π och θ π. Om r är rdien till en (n )-sfär i R n kn vi få frm de 6

polär koordintern genom x r cos φ. x j r cos φ j. x n r sin θ j k n k n sin φ k (j, 3,..., n ) sin φ k x n r cos θ sin φ k k Denition 3... För en (n ) -sfär i R n kn vi få frm jcobinen genom Vi visr någr exempel: 3.. Exempel n J(φ, φ,..., φ n ) r n k sin k φ n k Exempel 3... Vi vill få frm de polär koordintern för en sfär i R 4 och nvänder oss då v denition 3... Vi får x r cos φ x r cos φ x 3 r sin θ x 4 r cos θ sin φ k r cos φ sin φ k sin φ k r sin θ sin φ sin φ k sin φ k r cos θ sin φ sin φ k Om vi nu vill få frm jcobinen för dess polär koordinter nvänder vi oss v denition 3.. som ger oss J(r, φ, φ ) r 3 sin k φ 3 k k r 3 sin φ sin φ 7

I tre vribler är vi redn beknt med jkobinen J(r, φ ) r sin φ Exempel 3... e x x x 3 dx dx dx 3 R 3 r e r dr π D e r J(r, φ ) dr dφ dθ (3.) π sin φ dφ dθ, (3.3) där D är området vid övergång till polär koordinter som ges v 3... Vi utför vribelbytet r t där dt rdr och får då ( ) t 3 3 e t dt 4π πγ π 3, I R 4 hr vi e x x x 3 x 4 dx dx dx 3 dx 4 (3.4) R 4 e r J(r, φ, φ ) dr dφ dφ dθ D π Γ π r 3 e r dr ( 4 t 4 e t dt π ) π. π π sin φ dφ sin φ dφ dθ Eftersom vriblern x,..., x n är oberoende vrndr får vi tt ( ) n dx e x dx... e x n dx n e x dx π n R n e x Det verkr som tt vid beräkning v integrlen (3.) erhåller vi en produkt v Γ-funktionen smt ren v enhetssfären. Med dess resultt verkr det därför rimligt tt denier ren v enhetssfären enligt nedn: Denition 3..3. Låt D vr området som deniers i 3... Vi denierr ren v (n )-sfären som σ(s n ) J drdφ dφ n dθ, där J r n J. D 8

3. Volym och ytre v n-dimensionell klot Sts 3... Volymen för det n -dimensionell enhetsklotet K n och ytren v S n ges v smt Bevis. Vi hr π n Av dett får vi tt e x R n Γ ( n µ(k n ) πn/ Γ( n + ) (3.5) σ(s n ) πn/ Γ( n ). (3.6) dx D r n e r dr σ (S n ) t n e t dtσ (S n ) ) σ (S n ). e r J dr dφ n dθ σ (S n ) π n Γ ( n ). Om vi betecknr volymen v K n (R) som V n (R) så kn vi tänk oss tt V n (R) utgörs v koncentrisk skl med tjockleken r som vi summerr från till R. Ett tunt skl v V n (R) kn då pproximers som V n (R) A n (R) r, där A n (R) är ren v S n (R). Vi delr upp rdien i små intervll r, r,..., r N R och konstnt längden r R N. Hel klotet kn då pproximers som en summ N V n (R) A n (r k ) r. k Låter vi intervllängden gå mot noll får vi volymen som en oändlig summ: N V n (R) lim A n (r k ) r N k R A n (r) dr π n R n nγ ( ) n π n R n n Γ ( ) n π n R n Γ ( n (3.7) + ) 9

3.3 Volym och ytre för någr n Vi smmnställer en tbell med värden för ren och volymen i någr dimensioner. En intressnt iktgelse är tt volymen (och ren) initilt ökr och når ett mxvärde vid n 5 (volymen) för tt sedn vt. Eftersom fkultetsfunktionen växer snbbre än exponentilfunktionen (se [5] s. 6) så kommer uttrycket (3.7) tender mot noll dår n går mot oändligheten. n A n (R) V n (R) R πr 6, 8R πr 3, 4R 3 4πR, 57R 4πR3 3 4, 9R 3 4 π R 3 9, 74R 3 π R 4 4, 93R 4 5 8π 3 R4 6, 3R 4 8π 5 R5 5, 6R 5 6 π 3 R 5 3, R 5 π3 R 6 6 5, 7R 6 7 6π 3 R 6 5 33, 7R 6 6π3 R 7 5 4, 7R 7 8 π 4 3 R7 3, 47 π 4 4 R8 4, 6R 8. 347 73! 347 π 73 346! R 346, 8 6 R 346 3.4 Filososk utläggning Det kn verk konstigt tt betrkt S 3 som en yt eftersom det är ett tredimensionellt objekt, och dess mått som re när det egentligen är en volym! Men, S 3 är ett objekt i ett fyrdimensionellt rum, R 4 ; där sknr vi geometrisk tolkning. Vår uppfttning v volymer och reor är bserd på den vrdglig intuitionen v rummet och plnet. Kn vi på något sätt tänk oss hur en yt i fyr dimensioner ser ut? Förmodlingen inte, men det går tt tänk sig hur projektionen v ett objekt i fyr dimensioner ser ut i rummet. 3

Precis som tt projektionen v en sfär i R blir en cirkel, får vi en sfär när S 3 projicers ner på R 3. Om vi skulle t ett pln i R 4 och dr det genom S 3 skulle vi först se en punkt när ders ytor tngerr för tt sedn väx till en tredimensionell sfär och nå sitt mx vid 'ekvtorn' och sedn vt till en punkt igen. 3

Litterturförteckning [] Blumeson, I.E: A Derivtion of n-dimensionl Sphericl Coordintes, The Americn Mthemticl Monthly, Mthemticl Assocition of Americ, Vol 67, no, 63 - - 66, 96. [] Dvis, Philip J.: Leonhrd Euler's integrl: A historicl prole of the gmm function, The Americn Mthemticl Monthly, Mthemticl Assocition of Americ, Vol 66, No, 849 - - 869, 959. [3] Fulks, Wtson: Advnced Clculus, John Wiley & Sons, Inc, New York,. [4] Neymrk, Mts: Kompendium om konvergens (ndr upplgn), Linköpings universitet, Mtemtisk institutionen,. [5] Persson, Arne och Böiers, Lrs-Christer: Anlys i en vribel, Studentlittertur,. [6] Persson, Arne och Böiers, Lrs-Christer: Anlys i er vribler, Studentlittertur, 5. [7] Rudin, Wlter: Principles of Mthemticl Anlysis, McGrw-Hill, 976. 3