Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i ll punkter som kurvn går genom. En kurv (, ()), som är grfen till funktionen (), hr förstås lutningen (), och motsvrnde lutning för en vektor F(, ) är F /F Fältets riktning i en punkt kn givetvis beskrivs som denn lutning. Vi påminner om tt derivtn v en funktion f() är förändringen i -led (f( + h) f()) dividert med förändringen i -led (h). Med denn likhet melln lutningr kn vi bestämm integrlkurvorn till ett vektorfält F(, ) genom tt lös differentilekvtionen () F (, ) F (, ). Eempel Bestäm integrlkurvorn till vektorfältet F(, ) (, ). Lösning: Här är F och F, så vi får differentilekvtionen (), dvs (). enn ekvtion är seprbel, och vi får d d, + C, + C som för vrje C> är en cirkel. Integrlkurvorn till vektorfältet F(, ) (, ) är således cirklr. Mn kn se i följnde figur tt pilrn är tngenter till integrlkurvorn (mn får integrlkurvorn genom tt "bind ihop pilrn").
5 3.75-5 -3.75 - - 3.75 5 - - - - - -3.75-5 Vektorfältet (, ). - Integrlkurvor till (, ) är cirklr. Svr: Integrlkurvorn till F(, ) (, ) är cirklr + C. Eempel Bestäm integrlkurvorn till vektorfältet F(, ) (, ). Lösning: Härfårvidifferentilekvtionen (),, ln +lnc. - - - - - - - - Vektorfältet (, ). Integrlkurvor ln + C. Svr: vektorfältet F(, ) (, ) hr integrlkurvorn ln + C.
9.. Bevis v Greens formel Vi hr sett tt Greens formel oft är nvändbr som metod tt beräkn en kurvintegrl: Sts 3 (Greens formel) Om vektorfältet hr kontinuerlig prtiell derivtor P och Q överllt i innnför den enkl slutn orienterde kurvn som genomlöps i positiv led och är rnd till området, så kn kurvintegrlen beräkns som följnde dubbelintegrl: P (, )d + Q(, )d (Q P)dd. Som vi sk se härnäst kn Greens formel beviss väsentligen genom upprepd integrtion v dubbelintegrlen. Bevis v Greens formel: Greens formel kn betrkts som två formler: P (, )d Q(, )d P dd och Q dd. Addition v de två ger Greens formel. Vi kommer här tt nöj oss med tt vis den först P (, )d Pdd iflletttområdetär { b, f() <<g() då <<b} och f() g() smt f(b) g(b). å får vi ing vertikl sidor: linjer och b..75.5.5 -.5.5.5.75 -.5 Området f() g(). 3
å kn vi beräkn dubbelintegrlen med itererd integrtion, genom tt integrer i -led först. essutom hr vi då en primitiv funktion till integrnden P(, ), nämligen funktionen P (, ).. Vifår b g() Pdd d Pd b b f() [P (, )] g() f() d (P (, g()) P (, f())d. Låt oss nu å ndr sidn beräkn R P (, )d. Låt oss kll den undre kurvn f och den övre g, så f + g. Vi får P (, )d P (, )d + P (, )d. f g Vi hr prmeterfrmställningrn (t, f(t)) och (t, g(t)) där t på f går från till b. På g hr vi omvänd riktning, dvs från b till. Med dett vl genomlöps kurvn i positiv led, som ju föreskrivs i Greens formel. Båd prmeterfrmställningrn ger d dt, och vi får P (, )d P (, )d + P (, )d f g {bt integrtionsordning} {smm intervll - slå ihop} Jämförelse med b b b P (t, f(t))dt + P (t, f(t))dt b b P (t, g(t))dt P (t, g(t))dt (P (t, f(t)) P (t, g(t)))dt.. Pdd efter den itererde integrtionen visr tt Pdd och R P (, )d skiljer sig br med tecknet, vilket är just vd P (, )d Pdd säger. et är nu lätt tt generliser dett bevis något, genom tt strk villkoren f() g() och f(b) g(b). å kn det också finns vertikl begränsningskurvor. 4
.75.5.5 -.5 -.5.5.5.75 Området f() <<g(). ubbelintegrtionen påverks inte lls v dett. På dess kurvor hr vi prmeterfrmställningrn (, t) respektive (b,t), så vi får en vertikl tngentriktning: (t) (, ). et betder tt d (t)dt dt, så P (, )d på en vertikl linje. Vertikl linjer ger lltså inget bidrg till kurvintegrlen heller. 9. Beräkning v potentil Vektorfältet F(,, z) (F (,, z),f (,, z),f 3 (,, z)) hr en potentil om det finns en funktion U(,, z) så tt U F, U F, Uz F 3. e tre likhetern kn skrivs som en vektorlikhet: grd U F. Ett fält som hr potentil klls en konservtivt fält. Om F hr en potentil (är konservtivt), och denn är känd, kn en kurvintegrl v F beräkns på enklst möjlig sätt: F dr U(kurvns slutpunkt) U(kurvns strtpunkt), eller lltså (eftersom grd U F) grdu dr U(kurvns slutpunkt) U(kurvns strtpunkt). ett är möjligt på grund v tt kurvintegrlen v ett konservtivt fält är oberoende v vägen. å är den endst beroende v strt- och slutpunkt. 5
Eempel 4 (5) Bestäm konstnten så tt F ( +z, +z,+) hr en potentil. Beräkn integrlen. R grdf dr där är skruvlinjen (cos t, sin t, 3t), från (,, ) till (,, 6π). Lösning: VihrtrevillkorpåpotentilenU : U +z, U +z, Uz +. Från den först ekvtionen får vi genom -integrtion U +z + f(,z), där f(, z) är en ur -integrtionen uppkommen "konstnt" (m..p. ). erivering v U m..p. och jämförelse med den ndr ekvtionen ger ett villkor på f : U ++f(, z) {ndr ekv.} +z. Vi måste lltså h f(, z) z. et ger f(, z) z, lltså U +z +z. erivering m..p. z och kontroll med den tredje ekvtionen ger nu U z + + {tredje ekv.} +. enn gäller endst om. å är fältet konservtivt med potentilen U +z +z. Vi väljer lltså enligt uppgiften. Kurvintegrlen blir då grdf dr U(,, 6π) U(,, ) Svr:, R grdf dr π. π π. 9.3 Kurvintegrler i plnet med Greens formel eller potentil I Eempel 5 (9) Beräkn led längs rnden till området 3 4. (e cos )d +( +rctn )d i positiv Lösning: Här är F(, (P (, ),Q(, )) (e cos, +rctn ). Termen rctn ser besvärlig ut tt integrer, vilket är ett tecken på tt Greens formel bör nvänds. är derivers också fältets -komponent (Q(, )) m..p. 6
, tigreensformelärintegrndenq P, så vi kommer tt få rctn. ett problem försvinner. Vi får Q P ( +rctn ) (e cos ) + ( ) +. Kurvn är sluten vilket också underlättr med tnke på Greens formel vi behöver inte lägg till någon kurv för tt gör den sluten. -4-4 - - -3.75 Integrtionsområdet. I dubbeintegrlen hr vi gränsern i enligt 3 4. e två kurvorn skär vrnd då 3 4, dvs 4, så ±. Greens formel ger nu ( +rctn )d I (e cos )d + ( +)dd 3 d ( +)d 4 ( + )] 3 4 d (( 3) +( 3) ( 4 ) 4 )d ( 5 6 4 4 +6)d [ 3 6 5 7 4 3 +6] ( 3 6 5 7 4 3 +6)8. 7
I Svr: (e cos )d +( +rctn )d 8. Eempel 6 (5) Beräkn R kvdrnten från (, ) till (, ). ( )d+( )d (+) längs en hlvcirkelbåge i först Lösning: Mn kn försök räkn ut vr centrum för denn kvrtscirkel är, men det behöver mn inte om mn finner tt fältet är konservtivt. Fältet är inte definiert då +, dvs. Så vi måste håll oss bort från denn kurv. Låtossprovtträknutenpotentil.åskdetvåekvtionern U P U Q gäll för någon funktion U(, ). Går det inte tt lös ekvtionern så finns det ingen potentil, dvs fältet är inte konservtivt. Vi hr vektorfältet F(, (P (, ),Q(, )) ( (+), (+) ), och den först reltionen U P ger U ( + ), så U ( + ) d + + f() ( ) + + f(). När vi integrerr vribeln får vi en "konstnt (m..p. )" f(), som givetvis kn vr beroende v den ndr vribeln. eriverr vi högerledet m..p. så försvinner f(), och vi får tillbk integrnden (+) igen. Om denn funktion uppfller U Q så är fältet konservtivt. vs, vi deriverr m..p. : U (( ) + + f()) (+ ) + ( ) ( + ) + f () (+ + ) ( + ) + f () + + ( + ) + f () + + ( + ) + f () {krv för potentil} Q(, ) ( + ). 8
: ( +) + + Kn vi välj f() så dett går ihop? Vi får f () {förkort!!}. ( + ) + + ( + ) ( + ) + + ( +) ( + ) ( + ) Vi fick något som blev oberoende v. Alltså kn vi bestämm f(), vilket betder tt potentilen eisterr (dvs tt fältet är konservtivt). Krvet f () ger f(), så en potentil är U(, ) ( ) + + + +. et vr i dett fll en lång klkl tt beräkn potentilen (och smtidigt vgör om den finns). Fördelen med tt bestämm en potentl är tt mn då inte behöver gör någon integrtion lls. Anlogt med en primitiv funktion för en enkelintegrl ( R b f()d F (b) F ()) hr vi nämligen tt ( )d +( )d ( + ) U(, ) U(, ), eftersom går från (, ) till (, ), om potentilen är definierd längs hel kurvn. Så är fllet om vi inte psserr den kurv där nämnren är noll, som är. Vi får då tt ( )d +( )d ( + ) U(, ) U(, ) {insättning v + + } + + + +. Svr: R ( )d+( )d (+). 9.4 Kurvintegrler i rummet Om F är ett tredimensionellt vektorfält, som dessutom beror v tre vribler, och z, så hr vi F(,, z) (F (,, z),f (,, z),f 3 (,, z)). 9
Om är en kurv i rummet med prmeterfrmställningen r(t) ((t),(t),z(t)), t från till b, så är kurvintegrlen definierd som enkelintegrlen b F dr F((t),(t),z(t)) r (t)dt där r (t) ( (t), (t),z (t)). Eempel 7 () Beräkn R d+d+zdz där är kurvn (t cos t, t sin t, t) från (,, ) till (π,, π). Lösning: Vi hr vektorfältet F (,, z). Här är kurvn redn given genom en prmeterfrmställning. Punktern (,, ) och (π,, π) svrr mot värden t och t π. Kurvn är en spirlkurv på tn v en kon: 3 z.5-3 - - -.5 - -.5.5.5.75.75.5.5.5 Prmeterfrmställningen r(t) (t cos t, t sin t, t) ger tngenten r (t) (cost t sin t, sin t+t cos t, ). Värden för vektorfältet F (,, z) på kurvn (t cos t, t sin t, t) fås genom tt sätt in t cos t, t sin t och z t. F (,, z) (t cos t, t sin t, t). Kurvintegrlens integrnd F((t),(t),z(t)) r (t) är då här F((t),(t),z(t)) r (t) (t cos t, t sin t, t) (cos t t sin t, sin t + t cos t, ) t cos t t cos t sin t + t sin t + t cos t sin t + t {en trigonometrisk ett} t. Kurvintegrlen är då b F dr F((t),(t),z(t)) r (t)dt π tdt t π π.
Svr: R d + d + zdz π. q Eempel 8 (3) Låt f(,, z) ( +)ln +3 z+4. Beräkn R grdf dr där är rät linjen från (,, ) till (,, ) och därifrån rät linjen till (,, ). Lösning: Här är f en potentil till grd f. Så R grd f dr är oberoende v vägen, och grd f dr f(slutpunkt) f(strtpunkt) om vi är inom det område där f är definierd. Så är fllet om +3 z+4 >. Vi hr ing problem om > 3och z> 4. Så är fllet för hel kurvn, där och z. Vi får då " r # " r # +3 +3 grdf dr ( +)ln ( +)ln z +4 z +4 (,,) (,,) r r 3 4 3ln 4 ln 4 3 ln 3 4. Svr: R grd f dr 3 ln 3 4.