MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 905 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningr v svrens innehåll och poängsättningr som ges här är inte bindnde för studentexmensnämndens bedömning Censorern beslutr om de kriterier som nvänds i den slutgiltig bedömningen Av en god presttion frmgår det hur exminnden hr kommit frm till svret I lösningen måste det ingå nödvändig uträkningr eller ndr tillräcklig motiveringr och ett slutresultt I bedömningen fästs uppmärksmhet vid helheten och vid de tre stegen strt, mellnsteg och slutresultt Räknefel som inte väsentligt ändrr uppgiftens ntur ger ingen betydnde sänkning v ntlet poäng Räknefel och fel i den mtemtisk modellen som ändrr uppgiftens ntur kn däremot sänk ntlet poäng vsevärt I provet är räknren ett hjälpmedel, och dess roll bedöms seprt för vrje uppgift Om symbolräknre nvänts i en uppgift sk det frmgå v presttionen I lösningr v uppgifter som kräver nlys räcker det inte enbrt med ett svr som erhållits med hjälp v räknren utn övrig motiveringr Däremot räcker ett svr som exminnden fått med räknren i llmänhet i rutinberäkningr Detsmm gäller rutinmässig delr v mer omfttnde uppgifter Exempel på sådn är omskrivning v uttryck, ekvtionslösning smt derivering och integrering v funktioner Preliminär poängsättning Vi sätter in x 05 i ekvtionen x 05 Vi får ) 0505 (05 ) 05 05 04 b) Om kvdrtens sid är s, är digonlen s Villkor: s 6, s 6, vilket ger omkretsen 4s 6,9705 c) Vi får det störst tlet då störst möjlig positiv tl dels med minst möjlig positiv tl, dvs Vi får det minst tlet, då det end negtiv tlet dels med minst möjlig positiv tl, dvs Mtemtikprov, lång lärokurs 905
) Linjens riktningskoefficient k 40 4, 0 och linjens ekvtion är y 4 x eller 4x y 0 b) Cirkelns rdie r = vståndet från punkten (,4) till origo, dvs r 4 5 Ekvtionen är x y r dvs x y 5 c) Ekvtionen för en uppåtvänd prbel med toppen i origo är i formen y x Eftersom punkten (,4) ligger på kurvn gäller: 4 4, och prbelns ekvtion är då y 4 x 9 9 ) Om motionsstigens längd i terrängen är x så får vi med stöd v likformighet nlogin 7,5, som ger x = 0000 7,5 = 50 000 (cm) x 0000 Svr: 500 m b) Om kubens knt är s, så är volymen s 7 dm Då är s 7 dm, ur vilket vi får ren v en sidoyt 7 49,659,66 s (dm ) Svr: cirk 66 cm 4 Vektorer som står vinkelrätt mot vektorn i 4j är till exempel vektorern n(4i j), vilks längd 4 ( ) 5 Vektorer som är prllell med dess och som hr längden är 5 n Därmed är AB( i9 j) Vektorn OB OA AB 5 5 Vi får OB i j i 9 j 7 i j eller 5 5 5 5 + OB i j i 9 j 7i 9 j 5 5 5 5 Koordintern för punkten B är därmed 7, eller 7, 9 5 5 5 5 Mtemtikprov, lång lärokurs 905
5 Avståndet från kordns mittpunkt till origo är 5 Avståndet från kordns ändpunkter till origo = cirkelns rdie r 4 Vi får hälften v kordns längd med Pythgors sts: b r 6 5 Kordns längd är därmed b ELLER: Ant tt P (,) Sträckn OP måste vr vinkelrät mot kordn Eftersom riktningskoefficienten för sträckn OP är så måste riktningskoefficienten för kordn vr Kordn är därmed en del v linjen y( x ) dvs yx 5 y x5 Vi får skärningspunktern från ekvtionspret, x y 6 x x 5 5 ur vilket y y 5 5 Kordns längd är 5 5 5 5 4 6 Snnolikheten för tt lycks är po 0,9, och snnolikheten för tt ) misslycks är pe 0,9 0, Antlet spel är n Det är fråg om binomilsnnolikhet 4 P(ett spel v fyr misslycks) 0, 0,9 0,96 9% % b) Väntevärdet för en binomilfördeld vribel EX np o 40,9,6 c) Villkor: n0,9 0 n 0, 0,9 Spelet måste lltså spels minst gånger Mtemtikprov, lång lärokurs 905
7 Då tringelns ben är, så är tringelns höjd h (Figur 7 på slutet) Om topptringelns höjd är x, så är den inplcerde tringelns höjd h x och dess re A( x) x( hx) x x, där 0 x Eftersom grfen v funktionen A(x) är en nedåtvänd prbel så är dess toppställe x medelvärdet v nollställen 0 och, vilket ger tt x Dett värde ger den störst möjlig ren A 8 Mtemtikprov, lång lärokurs 905
8 Om brytningstkten är ton/år, så finns det i börjn v år 05 totlt 50 ton stenkol Om mn ökde brytningstkten så skulle den brutn mängden stenkol i slutet v år 05 t totlt vr,05,05,05 t ton t t (,05 ) (,05 ) Villkor: 50,05 0,05,05 t,5,05,5 Genom tt logritmer ledvis får vi: lg,5 t lg,05 lg,5, t,840 lg,05 vilket ger 05 t 047,840 Svr: Stenkolet skulle t slut under år 048 9 Den bortskurn delen består v en rk cirkulär cylinder och två identisk sfärisk segment Äpplets rdie R 5 och cylinderns rdie r (Figur 9 på slutet) Hlv cylinderns höjd är x, för vilket vi ur den rätvinklig tringeln får ekvtionen r x R, från vilket x 5 6 Cylinderns volym Vl r x 4 6 0,78 Det sfärisk segmentets höjd är h5x5 6 Den smmnlgd volymen v segmenten är h Vs h R 5 6 5 5 6 0,84 Hel den bortskurn delens volym är Vl Vs 0,78 0,84,0996,0996 En jämförelse ger volymförlusten 0,059 5,9 % 4 5 Mtemtikprov, lång lärokurs 905
0 ) Eftersom följden v längder är geometrisk så gäller i följden tt b q och c q Enligt Pythgors sts är b c ( q) q Genom tt ledvis divider med tlet får vi ekvtionen 4 5 q q 0, från vilket q Det negtiv förtecknet duger inte Kvoten är q 5, där endst det positiv förtecknet duger 5 Svr: q b) Den ritmetisk tlföljdens differens d Då är följden bd, b, b d Pythgors sts ger ( bd) b ( b d) b 4bd 0b0b 4d Följden är därmed d, 4 d, 5d, från vilket vi får förhållndet : b: c :4:5 Siffersummn 45 4n måste vr delbr med tlet Eftersom ) summns först term är delbr med tlet, så måste också den ndr termen vr det Eftersom fktorn 4 inte är det så måste fktorn n vr det Därmed gäller tt n 0,,6 eller 9 b) Tlet är delbrt med 6 endst om det är delbrt med både tlet och med tlet Då gäller tt siffrn n måste tillhör både mängden 0,,4,6,8 och mängden 0,,6,9 Endst siffrorn 0 och 6 tillhör båd mängdern c) Siffersummn 45 4n måste vr delbr med tlet 9 Som i deluppgift kn vi slut oss till tt n 0 eller 9 Mtemtikprov, lång lärokurs 905
Eftersom x och x är polynomets fktorer, är också ( x )( x) x x en fktor Vi får Px ( ) x 5x 4x ( cxd)( x x ) Med hjälp v multipliktion och förenkling och genom tt jämför koefficienter kn vi slut oss till tt c och d Den tredje fktorn är därmed x och det tredje nollstället är Röttern till ekvtionen Px ( ) 0 är lltså, och ) Exempelföljd n ( ) n, dvs tlföljden,,,,,, Tlföljden är begränsd eftersom det för vrje n,,, gäller tt n Tlföljden konvergerr inte b) Exempelföljd n n, dvs tlföljden (,,, ), Tlföljden är vtgnde eftersom det för vrje n,,, gäller tt n n ( n) ( n) 0 Den är heller inte begränsd eftersom lim n n c) Villkoret uppfylls till exempel då p eftersom i) lim k x dx x dx lim / x lim k k k k integrlen är konvergent ii) lim k k x dx x dx lim / ln x lim ln k, dvs k k k integrlen är divergent Mtemtikprov, lång lärokurs 905
*4 ) Linjens riktningsvektor är s ij 7k vrs längd är 4949 6 Riktningscosinern är cos si, cos och si cos 7 6 b) Kvdrterns summ är cos cos cos 4949 6 c) cos 0,540 75,856 75, 6 cos 0,80 67,604 67,6 6 cos 7 0,8890 7, 50 7, 6 En vinkel fel Två eller tre vinklr fel d) Linjens riktningsvektor är s i b j ck Kvdrten v dess längd är s b c, vilket ger tt cos cos cos b c b c 6 s s s Summn v riktningscosinerns kvdrter är därmed konstnt för ll linjer som går genom origo s 6 Mtemtikprov, lång lärokurs 905
*5 ) Om b är tringeln likbent och då är också x y Pythgors sts ger k x xx Om vi här ersätter ett med b och ett x med y så får vi k b xy, v vilket påståendet följer b) Ant tt bisektrisen är Med cosinus- och bisektrisstsen får vi x k kcos villkoren y b k bkcos x y b Ur de två först ekvtionern löser vi ut k cos och likställer k x b k y resultten: k cos b Vi multiplicerr ledvis med : ( b k y ) k x b Vi ersätter x och multiplicerr ledvis med y: b y xb xk xy y yk yx Vi löser ut k : y yx y x xb k x y Vi substituerr y Gruppering: bx : bx x y by xy k x y bx by x y xy b( x y) xy( x y) k bxy, x y x y v vilket påståendet följer Lösningen förutsätter tt x y 0, men villkoret gäller därför tt vi ntog tt b, vrvid också x y Figur 7 Figur 9 Mtemtikprov, lång lärokurs 905