Svarsformulär för A-delen ID-Kod: Program: [ ] Markera om du lämnat kommentarer på baksidan. A.1a [ ] 0.75 kg [ ] 1.25 kg [ ] 1 kg [ ] 2 kg A.1b [ ] 8rπ [ ] 4rπ [ ] 2rπ [ ] rπ A.1c [ ] ökar [ ] minskar [ ] blåser från sydost [ ] blåser från nordost A.2a [ ] Kroppen börjar rotera och C rör sig både i positiv y-led samt positiv x-led. [ ] Kroppen börjar rotera och C rör sig både i negativ y-led samt positiv x-led. [ ] Kroppen börjar rotera och C rör sig i positiv x-led. [ ] Kroppen börjar rotera och C rör sig inte. A.2b [ ] A,C,B [ ] C,A,B [ ] C,B,A [ ] A,B,C A.2c [ ] stav, massa m längd l [ ] stav massa m längd 2l [ ] stav massa 2m längd l [ ] spelar ingen roll A.3a [ ] A,B,C [ ] C,B,A [ ] C,A,B [ ] Alla lika. A.3b [ ] 2πrF [ ] (2πrF) 2 [ ] 4πrF [ ] 8πrF A.3c [ ] Mekaniska energin bevaras. [ ] Rörelsemängden bevaras. [ ] Rörelsemängdsmomentet m.a.p. A bevaras. [ ] Stötkraft är ungefär lika stor som normalkraften i B. A.4a [ ] θ + bsin(θ) = 0 [ ] θ + aθ = 0 [ ] θ + aθ + bθ = 0 [ ] θ + aθ + b = 0 A.4b [ ] c>0 [ ] c<2(km) 1/2 [ ] c=k [ ]c=(e/m) 1/2 A.4c [ ] d 2 x/dt 2 + 2(c/m) dx/dt + (k/m)x = 0 [ ] d 2 φ/dt 2 + ω 2 φ = 0 [ ] d 2 φ/dt 2 + 2γdφ/dt + ω 2 φ = F(t)/m [ ] d 2 φ/dt 2 + ω 2 φ = F(t)/m Α.5a [ ] σ Α [ ] origo [ ] σ Β [ ] σ C A.5b [ ] 980 MPa [ ] 100 MPa [ ] 35 kpa [ ] 1.7 MPa A.5c [ ] A-B [ ] B-Α [ ] A 2 +B 2 [ ] A+B
Lämna svar på bifogat svarsformulär för A-delen. A.1 Kraftmoment, kinematik samt accelererade referenssystem. (3p) a) En sten hänger i en linjal enligt figur. Systemet är i vila och balanserar på ett stöd placerad vid ¼-märket på linjalen. Bestäm linjalens massa M om stenens massa m=1kg. b) Hur lång tråd (l) har lindats ut när jo-jo n (se figur) rullat ett varv på bordet? Ingen glidning sker för tråd/jo-jo eller jojo/bord. Innerradien är r och ytterradien är 2r. m r A 2r l M c) När den härliga morgonsolen värmt upp land på östkusten ser vi ofta rakt ostlig vind (blåser från öster). Om vi endast betraktar Corioliseffekten, hur kan vi vänta oss att vinden påverkats på eftermiddagen? A.2 Dynamiken. (3p) a) Zlatan skickar iväg en riktig pärla 1 enligt figur (sedd uppifrån). Just vår fotbollsplan är friktionsfri, bollen kan betraktas som en stel kropp och Zlatankraften 2 kan skrivas F=F x ˆ. Vilket av följande påståenden är korrekt vad gäller masscentrums (C) rörelse och bollens vridning? C F ˆ y ˆ x b) I tävlingen Världens Starkaste Person har organisatörerna pluggat mekanik och inspirerats att införa momentet rulla stela kroppen utan att glida. Tävlande får själva välja mellan ring (A), rund skiva (B) och homogen kula (C), alla har massan m och radien r. Rangordna efter vilket objekt som rullar i mål först (snabbast i mål först) om personerna applicerar en konstant horisontell kraft F. Start F Mål c) En lindansare planerar att gå på lina mellan domkyrkans torn i Uppsala. Vilken balansstav bör hon välja för att minska den fruktade vinkelaccelererande effekt gravitationskraften har? Vi betraktar lindansare +balansstav som stel kropp. A.3 Arbete-energi. (3p) a) Rangordna följande kroppar efter stigande kinetisk energi (minst kinetisk energi först). Alla har massan m. A: Rullande homogen cylinder, radie r och fart v. B: Glidande homogen cylinder, radie r, fart v och ω=0. C: Glidande låda, kantlängd r och fart v/2. r m v 1 D.v.s.Zlatansparkartillbollen. 2 Zlatankraften=kraftenvarmedZlatansskoverkarpåbollen(sefigur).Detkanävennoterasattdenna idealiseradesparkpåkantenavbollenärmycketsvår(ävenförzlatan).
b) Kraften F verkar via en tråd på trådrullen enligt figuren. Vilket totala arbete har gjorts på rullen då denna rullat (utan att glida) två varv? m r F c) En kula stöter i en kant enligt figur. Vilket påstående är korrekt om vi förutsätter att stötapproximationen väl beskriver situationen. B A A.4 Svängningsrörelse. (3p) a) För en pendel med dämpning gäller θ + aθ + bsin(θ) = 0. Hur kan denna modell förenklas vid små svängningar? b) Ett systems svängningar kring jämviktsläget kan beskrivas med ekvationen d 2 x/dt 2 + (c/m) dx/dt + (k/m)x = 0. Hur ska c väljas för att få svag dämpning? c) Vilken ekvation beskriver bäst den tvungna svängningen i figuren? x(t) t A.5 Elasticitetsteori samt mekaniska vågor. (3p) a) Vid vilken normalspänning slutar Hooke s lag att vara en bra approximation för provbiten vars data anges i figuren? Sigma är normalspänning och epsilon töjning. σ B σ A σ C σ ABC b) Axel är klätterintresserad och vill bestämma elasticitetsmodulen för ett rep. Axel noterar att det 50 m långa repet (med diametern 6 mm) förlängs 0.3 m då han hänger i det. Axel väger 17 kg och är 3 år. Vad är värdet på repets elasticitetsmodul? ε c) Två mekaniska vågor möts i ett medium. y 1 (x,t)=acos(kx+ωt) och y 2 (x,t)=bcos(kx-ωt). Bestäm max amplitud vid superposition.
B.1 En kula läggs ned på en cylindrisk yta vars radie är R. Ena halvan av ytan är sträv men den andra är glatt, det vill säga friktionen kan där försummas. Kulan läggs på den sträva delen av ytan på höjden H över botten och släpps från vila. På den sträva delen är friktionen så stor att kulan rullar. Hur högt når kulan på den glatta delen av cylindern? Den homogena kulans radie är r, där r<<r, H<R. (5p) H B.2 En student skall köpa en boll på en stormarknad. Bollen är luftfylld, dess skal har massan m=400 g och radien R=9 cm. Vid kassan lägger studenten bollen på transportbandet till kassapersonalen, varefter studenten observerar dess rörelse. Bollen läggs 3 på bandet, utan rotationshastighet och utan horisontell translationshastighet. Bandet 4 är helt horisontellt och rör sig med konstant fart, V B =1.25 m/s mot personalen. Avståndet till personalen från den punkt där bollen läggs på bandet är L=2.5 m. Friktionskoefficienten mellan bandet och bollen är µ=0.35. (1p per deluppgift). a) Ange vilka yttre krafter som verkar på bollen, från det att den läggs på bandet tills den når personalen. Krafternas storlek och riktning skall anges, samt om de är konstanta eller varierar med tiden. Ge formler för storleken på krafterna och beräkna värdena. b) Vilka samband gäller mellan krafterna och bollens translations och rotationsrörelser under den allra första delen av rörelsen, omedelbart efter att bollen fått kontakt med bandet? Använd i möjligaste mån symbolerna (m, R,..) från problemtexten. c) Ange det samband mellan translations och rotations-hastigheternas belopp som gäller under den största delen av rörelsen. Var noga med att tydligt ange referenssystem och riktningar på rörelserna. d) Bestäm hur lång tid det tar för bollen att nå personalen på avståndet L från startpunkten där bollen lades ner. (Du får bortse från den tid som beräknas i deluppgift e) ) e) Beräkna den tid det tar för bollen att nå konstant hastighet. 3 Bollenläggsmycketförsiktigtpåbandet,utanstudsverkanochnämnvärdvertikalfart.Kraftverkanfrån studentenshänderupphörsamtidigtsombollenfårkontaktmedbandet. 4 Bandet avserhärendastdendelavbandetsomanvändsföratttransporteravarortillpersonalen,ejden delsomgårtillbakaochruntrullariändarna. VB
B.3 En platta med massan M vilar på två rullar, vardera med radie R och massa m. Plattan är förbunden med en horisontell fjäder med fjäderkonstanten k enligt figur. Ospänd fjäder svarar mot att masscentrum för plattan är i x = 0. Plattan dras åt vänster till position x = a och släpps från vila. Bestäm den tid det tar till dess att plattan vänder i x = a, om under hela förloppet rullarna rullar på underlaget och ingen glidning sker mellan plattan och rullarna. Plattan är hela tiden parallell med underlaget. Förhållandena mellan massorna är M/m = 3+3/16= 3.1875, och rullarna är ihåliga homogena cylindrar med ytterradie R och innerradie R/2. (5p) Ffjäder= kxi ˆ i B.4 En karusell roterar kring en vertikal axel så att ett varv tar 2 sekunder. Karusellen kan ses som en horisontell cirkelskiva med massan 100 kg och axeln antas vara friktionsfritt lagrad. Efter det att en mekaniker hoppat från stillastående, radiellt, upp på karusellens periferi ökar tiden för ett varv till det dubbla. Vad är hennes massa? (5p)