Armn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetorprodt VEKTORPRODUKT OCH TILLÄMPNINGAR Kompln etorer. Defnton: V säger tt... n är ompln etorer om etorern lgger ett pln när de stts från smm pnt. Med ndr ord ompln etorer n mn prllellförfltt så tt de lgger smm pln. Anmärnng: Tå etorer rmmet är lltd ompln och därför är frågn är etorern ompln eller nte ntressnt endst för tre eller fler etorer. Höger- och änstersstem. Antg tt b och c är ce- ompln etorer med gemensm strtpnt. V säger tt etorern b och c tgn denn ordnng bldr ett högersstem höger etortrppel om den mnst rdnngen som öerför tll en etor med smm rtnng som b sns motors när betrtr från spetsen på c. Vetorern bldr b och c ett änstersstem om rdnngen från tll b sns medrs när betrtr från spetsen på c. Ordnngen melln etorern b och c är tg. Tre permttonern b c : b c b c och c b bldr smm sstem höger eller änster som b och c medn fölnde tre bldr motstt sstem c b c b och b c Som stndrd nänder höger ON oordntsstem lls äen rtesst oordntsstem
Armn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetorprodt I nednstående dsssoner betrtr etorer ett ON sstem. Vetorprodt =rssprodten : Låt och r tå etorer Det fnns oändlgt mång etorer som är ortogonl nelrätt mot både och ds som ppfller etonen. En etor blnd oändlgt mång som ppfller båd etoner är dett n olls genom dretberänng. Vetorn llr etorprodten =rssprodten och och betecnr. Defnton. Låt och r tå gn etorer R. Vetorprodten =rssprodten defners genom fölnde formel def. Här är en elent defnton för rdetorer: Defnton '. Låt r tå gn etorer etorer R. Vetorprodten defners genom fölnde formel def Det är nte så enelt tt omm håg onstående defnton. När mn lär sg determnnter som ort förlrr nedn då n mn nge etorprodten på en fölnde sätt:
Armn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetorprodt eller. Allterntt n mn rän dret enlgt fölnde som är en förenld beränng som lnr reglern för beränng determnnter : def. EGENSKAPER: Vetorprodten rssprodten tå etorer betecns hr fölnde egensper: E. Längden etorprodten är sn. Med ndr ord är = ren prllellogrmmen som spänns pp etorern och. E. Vetorprodten är ortogonl mot både och E. Om då är etorprodten rtd så tt och bldr ett högersstem. I mång böcer defners etorprodten med hälp egensper och. FLERA EGENSKAPER AV VEKTORPRODUKTEN: 4. Vetorprodten är en ds om eller om och är tå prllell etorer ds. 5. eftersom och hr motstt rtnng men smm längd Alltså etorprodten är INTE ommtt tn ntommtt tll sllnd från slärprodten.
Armn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR 4 Vetorprodt 6. 7. den dstrbt lgen 8. Den prllellogrm som bestäms spänns pp etorern och hr ren= bsen höden= sn och dett är smm tl som beloppet. B Alltså =ren prllellogrmmen som spänns pp och. BERÄKNING AV I ETT ON-SYSTEM För ortonormerde bsetorer som betecnr = = = eller e e e gäller enlgt defntonen O.
Armn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR 5 Vetorprodt och rs oordnter är gn ett ON-ordntsstem. Mn n nänd fölnde smbols determnnt för tt berän. eller. Anmärnng: Istället = = = n mn nänd betecnng e e e. Dett är ett enelt beränngssätt om mn n berän determnnter. Mer om determnnter ommer senre rsen. Här fnns beränngsmetoder för determnnter ndr och trede ordnngen. En determnnt ndr ordnngen är ett tl som får enlgt fölnde: Eempel 4 4 6. 4 En determnnt trede ordnngen en rd eller en ollon är ett tl som får enlgt fölnde n berän genom tt tecl efter Uteclng efter först rden Uteclng efter en rd len som helst eller en olonn. Låt D. För tt berän determnnten n nänd en fölnde metoder:. Uteclng efter rd nmmer D A A A. Uteclng efter ollon nmmer
Armn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR 6 Vetorprodt D A A A I dess teclngr är A nderdetermnnten m p pltsen som får om tr bort rd nmmer och olonn nmmer från determnnten D. Tecenschem för. Eempel. Berän fölnde determnnten: Lösnng: V nänder och ämför tå metoder teclng efter rd och teclng efter olonn. Metod Uteclng efter rd. 6 5 Metod Uteclng efter olonn där hr tå -element. 6 5 Eempel. V n nänd onstående resltt för tt berän för tå etorer Låt och 5 rs oordnter är gn ett ON-ordntsstem. Berän. Lösnng: 4 5 5 5 Alltså = 4. Sr: 4 ========================================= SKALÄR TRIPPELPRODUKT Låt och r tre etorer. Slär trppelprodt defners som tlet och n beräns dret enlgt defntonen [först etorprodt och därefter ].
7 Armn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetorprodt C B Ett enelt sätt tt berän slär trppelprodten är beränng med hälp fälnde determnnt: Geometrs tllämpnngr: Låt och r tre etorer rmmet. Då gäller :. Den prllellepped som bestäms spänns pp och hr olmen V. etorer är ompln om och endst om bldr änstersstem om bldr högersstem om V V. 4. Om betecnr ortre ] [ då hr fölnde reltoner beroende på ordnngen melln etorern. ] [ = ] [ = ] [ = ] [ ] [ ] [ 5. Den prmd som bestäms spänns pp och hr C B
8 Armn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetorprodt olmen 6 V ============================================================ Uppgft. Berän etorprodten då 4 och b Lösnng: 86 4 6 8 4 4 4 4 b Anmärnng: V får smm resltt b om beränr fölnde determnnt: Uppgft. Berän ren den prllellogrm som spänns pp etorern och Lösnng: Prllellogrmmens re är A= Först -4 Här ren A= 9 9 4 6 Sr: Prllellogrmmens re är A= 9.e. Uppgft. Berän ren trngeln ABC då A= B=4 och C= 6. b Berän längden höden trngeln ABC som går från pnten C tll sdn AB. Lösnng: 4 AC AB
Armn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR 9 Vetorprodt AB AC 4 AB AC = ArenABC= AB AC b Först AB och därför AB 5 V hr redn beränt ren trngeln ren=. Eftersom ren n beräns med hälp formeln AB hc ren bsen * höden / ren hr h c AB 5 5 Sr: ren = e. b höden h c 5 Anmärnng: Vetorprodt är defnerd för etorer D rmmet. Någr problem D omndlr tll D genom tt lägg tll = som trede oordnt. Därefter n nänd formler som nlderr etorprodt. Uppgft 4. Berän ren trngeln PQR som lgger - plnet då P= Q= och R= 4. Lösnng: V nför trede oordnt = och beränr ren trngeln med hörnen pntern A= B= och R= 4. V hr AB AC AB AC och därför AB AC ArenABC= AB AC
Armn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetorprodt Uppgft 5. Vs tt ren den prllellogrm som spänns pp tådmensonell etorer och är l med A=. oordnter är ett ON sstem. Lösnng: V lägger tll trede oordnten = och öerför frågn tll ett elent problem D. V betecnr U och V och beränr etorprodten U V Lägg märe tll tt Därför blr ren prllellogrmmen A = U V Vd slle bess Uppgft 6. V betrtr tre pnter ett -pln P Q och R. Vs tt ren ren trngeln PQR är l med är l med A=. oordnter är ett ON sstem. Lösnng: Låt PQ och PR Enlgt föregående ppgft är ren den prllellogrm som spänns PQ och PR l med. Därmed blr ren trngeln PQR A= d slle ss. Aren trngeln PQR är l med en hl ren den prlellogrm som spänns och Uppgft 7. Berän olmen den prllellepped som spänns pp etorern = b = och c = 4. Lösnng: b c = 5 4 4
Armn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Volmen= b c = 5 =5 Sr: 5 e. Vetorprodt Uppgft 8. Anänd trppelprodten för tt s tt = b = och c = 68 är ompln etorer. b c 6 8 b och c är ompln etorer V.S.B. Uppgft 9. Låt och b r tå etorer rmmet. Berän c = c = 5b c = b b c om Lösnng. Sret är för ll tre fll eftersom b och c är ompln etorer. Uppgft. Bes b b b Lösnng: Enlgt prodterns defntoner hr för änsterledet VL: VL= b b = b sn b cos b sn cos trgonometrs ettn b HL Alltså b b b V.S.B. Uppgft. Låt och r tre etorer rmmet som stsferr 8. Vs tt och är ompln etorer. Tps: slärmltplcer reltonen med en etorern Lösnng: V slärmltplcerr 8 med och får 8 Eftersom = och hr ++= ds = som mplcerr tt och är ompln etorer V.S.B Slär trppelprodt defners som tlet och n beräns dret enlgt defntonen [först etorprodt och därefter ].
Armn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetorprodt Ett enelt sätt tt berän slär trppelprodten är beränngg med hälpp fälnde determnnt: Uppgft. Ett oordntsstem O är r defnert ett rm rät bloc med dmensoner 8m6m m enlgt blden nedn. Desstom gäller CG=m AF=6m A DE=m. Berän olmen prmden OGEF. Lösnng: Volmen prllelleppeden som spänns pp etorern OG OF 66 och OE 68 är V= 6 6 6 8 =. Volmen prmden OGEF är = =. 6 Sr: Volmen prmden OGEF m. Uppgft. Låt och r tre etorer rmmet. Bes formeln Lösnng:
Armn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetorprodt Vänsterledet: Först etorprodten enlgt formeln F Därför = * Högerledet: V teclr determnnten efter trede rden och får ** Från * och ** hr d slle bess.