Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR KOORDINATVEKTORER ASYTESMATRIS yemri Koordiner för en vekor i en given Om (vv vv vv nn ) är en för vekorrumme ( eller underrumme) V då gäller följnde: Vrje vekor i rumme V kn kriv på ek e ä om en linjär kominion v vv vv vv nn vv vv nn vv nn Vi kn ockå äg hel vekorrumme V pänn upp v vekorern om vi kriver V (vv vv vv nn ) Tl nn kll : koordiner i en och kll koordinvekor i en n Vi kriver [ n Egenkper för koordinvekorer: Följnde egenkper följer direk från definiionen v en koordinvekor: [ u v [ u [ v [ λ v λ[ v [ λ v λ v λ v λn[ n n n [ v Eempel Lå V vr rumme R med ndrden S ( i j k ) eäm koordiner för vekorn där ) i j 5k ) i c) j c) k Svr: ) [ S ) [ S c) [ S d) [ S 5 Anmärkning: När vi hr koordiner i ndrden rukr vi idenifier vekor och vi kriver på enkel ä e och illhörnde koordinvekor [ S Sid v
Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR yemri 5 men om vi hr vå ( eller fler) er i mm uppgif måe vi nge (eeckn) vilken illhör en given koordinvekor Eempel Lå Vpn( ) och i) Vi ( ) är en ill underrumme V ii) Vi vekorn ligger i underrumme V och eäm koordinvekorn för i den ny en Löning: i) Vekorern v och v är linjär oeroende eferom ekvionen y hr end den rivil löningen Därmed ildr v och v en ill pnne Vpn( v v ) ii) Vekorn ligger i pnne Vpn( v v ) om och end om är en linjär kominion v v och v dv om följnde ekvionen v v hr (min) en löning Från hr vi om gör och Eempel Lå 4 vr en vekor i rumme R given i ndrden S ) ( j i Vi inför en ny ) ( v v med v och v Sid v
Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR yemri ) eäm koordinvekorn för i den ny en ( v v ) ) eäm koordinvekorn för v i den ny en c) eäm koordinvekorn för v i den ny en Anmärkning: Eferom vi hr vå er uppgifen ndrd en S och en ny kunde vi kriv koordinvekorern på e mer preci ä 4 [ S [ v S [ v S men om g när de hndlr om ndrd en rukr vi undvik eeckn en Löning: ) Vi löer ekvionen dv 4 v v 4 y() Meod Vi kn lö yem med e Gumeoden vi får koordiner och Därmed hr vi koordinvekorn i en [ ) Vekorn v hr koordiner och i en ( v v ) eferom v v v llå [ v c) Vekorn v hr koordiner och i en ( v v ) eferom v v v llå [ v Vi vir en meod ill (meod ) för eämning v den ny koordinvekorn De känn onödig komplicer å enkel prolem men meoden nvänd i mång olik vårre prolem med ye Meod Vi kn kriv yeme (y) på mriformen och nvänd invermri för eämm den ny koordinvekorn Från (y ) Sid v
4 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR yemri 4 (*) Vi eecknr yeme koefficien mri med P Från 4 (*) hr vi ( med hjälp v invermrien) [ [ P 4 Allå [ Svr ) [ ) [ v [ v Mrien P i ovnående eempel kll ASYTESMATRIS Lägg märke ill kolonner i yemrien är koordinvekorer (i ndrden ) för de ny vekorer kolonn är och kolonn är I ovnående eempel hr vi 4 P eller [ [ S P Med ndr ord vi muliplicerr koordinvekorn i den ny en och får koordinvekorn i den gml en S Därför kll S ASYTESMATRISEN från ill S och eeckn (i mång öcker men ine i ll) P S P ASYTESMATRIS Lå ) ( n vr en i e vekorrum ( eller underrum) V Lå ) ( n vr en nnn i mm rum Sid 4 v
Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR 5 yemri An en vekor hr koordinvekorn [ hr koordinvekorn [ y i en yn Vilke mnd råder då melln [ och [? n i en och mm vekor Vi hr [ [ y y y n n (enlig egenkper för koordinvekorer) y [ y[ yn[ n (om kn kriv på mriform) y [[ [ [ n y n [[ [ [ n [ Allå [ P[ y eller P n y n där mrien P [[ [ [ n är e mnd melln koordiner för mm vekor i vå olik er och Mrien P [[ [ [ n kll yemrien från -koordiner ill - koordiner (eller korre yemrien från ill ) Mn kn vi en yemri är llid INVERTERAR Från ovnående följer vi eämmer en yemri från en ill en på följnde ä: För eämmer vi koordinvekorer för n och därefer kriver dem om kolonner i en mri P Mrien P är då yemri från ill Då gäller [ P[ (*) (P omvndlr -koordine ill -koordiner om vi kn korre eeckn P P ) P Från (* hr vi [ [ ( dv P - omvndlr -koordine ill -koordiner llå P P - ) Därför P ( P ) - Sid 5 v
Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR 6 yemri Om vi e hr e redimenionell vekorrum/underrum V och med vå er ( ) och ( ) för eämm ye mri PP urycker vi i en ( ) Lå p p p q q q r r r (***) då är koordinvekorern p [ p p p och P p p [ q q q q q q r r r [ r r r Eempel 4 Lå ( ) och ( ) vr vå er i e -dimenionel vekorrum Lå vidre ) eäm yemri från ill ) eäm yemri från ill c) eäm [ om [ d) eäm [ v om [ v 5 Löning: Vekorn koordinvekorn ( i en) är m koordinvekorn för är Därmed är P yemri från ill ( om vi eecknr S ) Sid 6 v
7 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR yemri Svr ) P ) P P - c) [ [ [ P d) [ [ P 4 5 Eempel 5 Lå V vr underrumme ill R om eår v ll vekorer ådn koordiner ifierr ekvionen ) Vi V pn( ) och ) ( där ildr en i V ) Vi ) ( där är ockå en i V c) eäm yemrien från ill Löning: ) Vi underöker vilk vekorer ifierr ekvionen Allå en lednde vrieln och vå fri Därmed och underrumme V eår v oändlig mång vekorer v följnde yp: där vrierr fri Med ndr ord Sid 7 v
Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR 8 yemri Vpn( ) ( och därmed e underrum med dimenionen ) Eferom är oeroende ( konroller jälv) vekorer om pänner upp V ildr de en för V ) Vekorern och ligger ockå i V eferom der koordiner ifierr ekvionen Deuom är linjär oeroende ( konroller jälv) Vi hr oeroende vekorer i e - dim rum V; därför ildr vekorern en i V c) För eämm yemrien från ill eräknr vi koordin vekorer för ( i en ) För löer vi ekvionen y dv y och får och y Vi hr få koordinvekorn för [ ( de är kolonn i mrien P) På mm ä eämmer vi [ ( de är kolonn i mrien P) Därmed P Svr c) P Eempel 6 Sid 8 v
9 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR yemri Lå ) ( och ) ( vr vå er i e -dim vekorrum V eäm yemriern ) P från ill och ) P från ill om vi hr följnde relioner melln vekorern (y ) Löning ) För eämm yemriern P från ill löer vi u vekorern ur yeme (y ) och får: Därmed P ) För eämm yemriern P från ill löer vi u vekorern ur yeme (y ) och får: Därmed P ( Alerniv kunde vi eräkn P (P ) - men mer eräkning kräv för ä) ye nvänd of för få en enklre ekvion för en kurv i y-plne eller en y i D-rumme peciell vid underökning v ndrgrdkurvor och yor Eempel 6 En kurv hr i y-plne (med ndrden) hr ekvionen 6 y y Sid 9 v
Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR yemri ) eäm kurvn ekvion i de ny koordinyeme med en om ild v vekorern [ [ ) Ri kurvn Löning: yemrien från den ny en ( ) ill ndrden är P S P eeckn de ny koordiner med u och v Smnde melln gml och ny koordiner u u är P dv y v eller y v u v (*) y u v Vi uiuerr (*) i kurvn ekvion y y 6 och får ( u v) ( u v)( u v) ( u v) 6 ( förenkl) u v 6 om är en ellip i uv-koordinyeme Vi uiuerr v i ekvionen u v 6 och får kärningpunker med u-eln Elipen kär u-eln i punkern u ± ± 4 v och v-eln i punkern u v ± 6 ± 45 (uiuer u i u v 6 ) Noer längdenhe i de ny uv-yeme eäm v ny vekorern [ [ Grfen ill y y 6 i y-plne dv ill u v 6 i uv-plne: Eempel 7 En kurv hr i y-plne (med ndrden) hr ekvionen y y y ) eäm kurvn ekvion i de ny koordinyeme med en om ild v vekorern [ [ ) Ri kurvn Sid v
Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR yemri Svr: u ) Suiuionen y v eller u v y u v (*) leder ill ekvionen 4u v eller v u ) Grfen ill y y y i y-plne dv ill v u i uv-plne: Sid v