SVÄNGNINGAR Odämpad svängning för ett diskret system med en frihetsgrad.

Transkript

1 Karltad unvertet Manten -8-3/HJo SVÄNGNINGAR Odäpad vängnng för ett dret te ed en frhetgrad. Fr vängnng Fjäder [N/] Statt jävtläge F. [g ] [ ] & & : & & & So har lönngen; Bn t C co t Lönngen nnebär; Vnelhatgheten rad/ och vängnngfrevenen f π Hz Lönngen an ocå rva på foren; An t ϕ A C π t Där A B C och C tan ϕ B ϕ t B Med t.ex. begnnelevlloren: t, &, få: co co π t f t co t t eller rvet på den andra foren nπ f t π π radaner π eunder

2 Påtvngad vängnng Karltad unvertet Manten -8-3/HJo Anta nu att fjäderfätet rör g enlgt uttrcet ξ ξ co. t Excterande rörele ξ ξ co t Statt jävtläge närξ ξ Statt jävtläge närξ O v borter från hur rörelen blr under den förta tden efter att rörelen tartat å nnebär det att v öer den tatonära lönngen tll röreleevatonen. V öer då partulärlönngen. & : ξ : & cot ξ : & ξ cot O teet egenvnelfreven betecna ed å an röreleevatonen rva ed partulärlönngen : & cot Acot få : ξ A cot Acot ξ cot : A A ξ A ξ eller otuvat A ξ Fatorn A ξ bruar alla förtorngfatorn och betecna ofta ed λ

3 Karltad unvertet Manten -8-3/HJo Excterande rörele co ξ ξ t Statt jävtläge närξ λ ξ λ ξ λ ξ co t t Statonära lönngar ed vnelfreven Saa freven o excterngen O aan tället påvera av en excterande raft F F co t an en lnande härlednng genoföra ed reultat enlg nedantående fgur. Läplg övnng Statt jävtläge närf Excterande raft F F co t - F λ F λ F λ co t t Obervera att Förtorngfator λ O excterngfrevenen teet egenfreven RESONANS och λ 3

4 Karltad unvertet Manten -8-3/HJo SVÄNGNINGAR Saband ellan träca, hatghet och acceleraton Maan förjutnng från tt tata jävtläge varerar ed tden t. Sabandet ellan förjutnngen och tden an rva ŝ n t där ŝ betecnar vängnngen axala utlag och alla vägapltuden SI-enhet eter och betecnar vängnngen hatghet vnel per tdenhet SI-enhet radaner/eund Svängnnghatgheten an ocå uttrca ed freven SI-enhet Hertz och abandet ellan och frevenen f blr f π Svängnngen perodtd Tπ/ /f, ed SI-enhet eunder. [g] ŝ ŝ π ŝ n t n πf t π π t td Apltud, ŝ, pea Topp-Topp, ŝ, pea to pea Hatghet v är träca per tdenhet, träca derverad ed aveende på tden v vˆ v π f ˆco πf t T t td Acceleraton a är hatghetändrng per tdenhet, hatghet derverad ed aveende på tden a â f a π f ˆnπf t t td T Vbratonen an ålede berva ed väg, hatghet och acceleraton at freven. f 4

5 SVÄNGNINGAR Påtvngade vängnngar fort. Karltad unvertet Manten -8-3/HJo Låt o tudera ett exepel ed tdlg prat anntnng. En an, o va cheatt fguren nedan, har den totala aan M och därav en roterande aa. Rotoraan roterar ed vnelhatgheten, och de acentru lgger på raden e. Den.. obalanen är ålede. e. Manen är fjädrande upptälld ed fjäderontanten och deuto vöt däpad. Vö däpnng nnebär att däpraften är proportonell ot hatgheten ed proportonaltetontanten c [ N/]. Steet odäpade egenvnelfreven är betecnat ed och enlgt tdgare är M O proportonaltetontanten för den vöa däpnngen är la ed M äg teet vara rtt däpat och denna däpontant betecna ed c. Graden av däpnng an då uttrca o den relatva däpnngen ζ c / c. Vlet leder tll att c ζm Manen avtånd x från det tata jävtläget blr det tatonära tlltåndet ˆ n t φ Stora X uttrcet betecnar förjutnngen apltud och φ betecnar favrdnngen ellan rotorrörelen och anen vängnngrörele. Sabanden för vängnngrörelen an uttrca ed hjälp av den M ˆ denonlöa paraetern och åådlggöra graft o e va dagraen nedan. Härlednngen fnn på dan 6-7. M ˆ e 6, 5, 4, 3,,,, ς,,5,5,5 φ / grader

6 MEKANIK Påtvngade vängnngar fort. Karltad unvertet Manten -8-3/HJo Den tden varerande belatnngen på underlaget utgör av fjäderraften plu däparraften. O apltuden för reultanten tll dea rafter betecna ed R å an abandet ellan R, avtänngen / och graden av däpnng ζ berva ed hjälp av dagraet nedan. c & R c& R e 7, 6, 5, 4, 3,,, ς,,5,5,5,

7 Karltad unvertet Manten -8-3/HJo MEKANIK Påtvngade vängnngar fort. De reultat o fnn aanfattade graferna på dan 5 och 6 an härleda utfrån Newton :a lag, ua rafter -led är la ed aan gånger acceleratonen -led. d d Väg betecna ed x, hatghet bruar betecna ed & och acceleratonen ed &&. dt dt Geno att frlägga aneret o fguren var och använda Newton :a lag, an röreleevatonen tecna d : c& M && en t dt Ej roterande aa Roterande aan acceleraton Ovantående evaton an då rva : c& M && && e n t eller : M & c & e n t Med en tatonär lönng på foren, ˆ n t φ, an evatonen rva M ˆ n t φ cˆ co t φ ˆ n t φ e n t c & Ovantående evaton an åådlggöra graft o en raftpolgon enlgt fguren nedan, och ett uttrc för vägapltuden ŝ repetve favrdnngen φ blr: Förjutnngen apltud e ˆ M c ed cζm, /M an detta rva o M ˆ φ c ˆ t Mˆ e ς Denonlöt! e ˆ Referenlnje Favrdnngen c φ nv tan M ζ tan nv Xco t-φ Xn t-φ 9 - Xn t-φ Xn t-φ 8 e dagra d. 5 7

8 Karltad unvertet Manten -8-3/HJo 8 MEKANIK Påtvngade vängnngar fort. Den reulterande belatnngen R på underlaget är reultanten tll fjäderraften och däparraften c& och an däred åådlggöra ed raftblden nedan Ur ovantående raftbld få ˆ ˆ c R ed ˆ c M e, M c ς och M ovantående an uttrcet rva på denonlö for ς ς e R ς ς e R e dagra dan 6 Referenlnje ˆ M ˆ φ t e R c ˆ R c &

9 Karltad unvertet Manten -8-3/HJo MEKANIK Haron lat på tvåfrhetgradte V betratar ett te ed två aor, och två fjädrar ed fjäderontanterna repetve at en haron lat F t o verar på aan.. & & F F nt F F nt. & & : & F n t : & V öer nu lönngen tll dea opplade dfferentalevatoner. Det är läplgt att fört betäa det fra teet egenfrevener. Den tatonära lönngen för ett frtt, F, odäpat te ed två aor är av tpen A n t rep. A n t, 3 Det fnn ålede två egenvnelfrevener repetve. Med en anat enlgt 3 ev. och få [ ] A A 4 [ ] A 5 A 5 ger A [ ] A 6 9

10 Karltad unvertet Manten -8-3/HJo Evaton 6 och 4 ger [ ] [ ] A A 7 Vlet ger evatonen 4 8 och däred teet egenvnelfrevener 4 ± 9 4 9a 4 9b O v nu påtvngar teet en vängnng ed en raft på aa o varerar tden enlgt uttrcet t n F F t å oer ocå aorna att vänga ed vnelfrevenen. n ϕ t Y n ϕ t Y Ev., och leder tll att / / F Y / F Y

11 Karltad unvertet Manten -8-3/HJo ev. rep. ger Y tat rep. Y tat F Y tat Ytat F och an an rva Y Y tat λ rep. Y Y tat λ / där λ och λ De tatonära vängnngarna an då berva ed nedantående graf λ, λ λ λ / Notera att vd / blr λ edan λ har ett ändlgt värde. Maan o påvera av raften F tår alltå tlla edan aan får en tor apltud. Detta alla för antreonan eller.. dna vängnngdäpnng.

12 Karltad unvertet Manten 8--8/HJo Svängnngar Energbetratele- Raleghvot Odäpad vängnng nnebär att ngen energ avge tll ogvnngen. Steet pendlar ellan två energforer. Elat- repetve röreleenerg. När den vängande aan befnner g ett vändläge har den elata energn tt axu och röreleenergn är noll. När den vängande aan paerar läget för tat jävt har röreleenergn tt axu och den del av den elata energn o beror av vängnngen har tt nu. Fjäder [N/] Statt jävtläge F. [g ] [ ] & & Den tatonära lönngen är enlgt tdgare: Förjutnngen från det tata jävtläget Aco t ϕ Maan hatghet & An t ϕ Den p.g.a. vängnngen törta elata energn blr då för den lnjära fjädern V och den törta röreleenergn eax A d A T ax & ax A Geno att nu utnttja att de två energerna är la tora för en odäpad vängnng få det välända abandet ellan tvhet aa och egenvnelfreven A A eller

13 Svängnngar Elat energ lnjärt elatt ateral Karltad unvertet Manten 8--8/HJo Enaxlg belatnng da Arbete raft väg Kraft, F u förjutn. F σda uε väg, u Stav ed noralpännng σeε dv e Den elta energn dv e den llla delen ed tvärarean da och längden är la ed rafterna arbete på delen dv e F u σ daε eller ; dv e σ ε dv, där volen dvda Elat energ vd Böjnng Spännng på avtånd z från neutrallagret z M z M M z σ x I där I A z da 3 Ballaell, och 3 ger den elata energn ett t på avtånd z från neutrallagret en ballaell ed längden och tvärarean da o utätt för böjoentet M ; M z M z M da z da I I E I E dv e M M M z da z da I E I E I E A A och energn hela ballaellen blr då Den elata energn ellan oordnat x och x få edan geno ntegraton över längden x x M V e dve 5 I E Elata lnjen evaton lder: där x x d w w och w är förjutnngen z-led. x E I w 5 och 6 ger lutlgen att V e x 4 M E I w 6 3

14 Karltad unvertet Manten 8--8/HJo Elat energ vd Böjnng fort Den elata energn hela balen få geno att ntegrerat läng hela balen längd L Och blr däred V e L EIw 7 Röreleenerg vd Böjnng V betecnar utböjnnghatgheten ed w& och täller upp uttrcet för röreleenergn T en ballaell ed längden d Aρ x w x,t Del av bal ed aa d och längd dt d w& Aρ w& Integrerng läng hela ballängden ger röreleenergn hela balen T L Aρ w& 8 Ett exepel följer på näta da. 4

15 SVÄNGNINGAR Egenfrevener för frtt upplagd hoogen bal Karltad unvertet Manten 8--8/HJo x A, I, E, ρ L Tvärarea A Elatctetodul E Yttröghetoent I Dentet ρ Längd ellan upplag L Antalet egenvängnngforer ed tllhörande egenfrevener f /π, är oändlgt ånga o..v 3 För att beräna tecnar v den. Raleghvoten: där T V e ax * Tax 9 V eax betecnar törta elata energn balen under en vängnngperod och ax * ax T törta röreleenergn balen under en vängnngperod wx,t Utböjnngen är en funton av x och tden t. För det tatonära tlltåndet gör v anaten: w x,t S x n t x π där S x S n x, vlet uppfller L randvlloren att w x w x L w x w x L V har då π w S n x n t L 5

16 Egenfrevener för frtt upplagd hoogen bal fort Karltad unvertet Manten 8--8/HJo Derverng av anaten ed aveende på längdoordnaten x ger w o behöv 7 w dw π π S co x n L L t d w w S L π π n x n L t Derverng av anaten ed aveende på tden t ger w&, o behöv 8 dw π w& S n x co t dt L 7 ger V e 4 L π EIS n π x n L L t Störta elata energn få vängnngen vändläge där t ± n och däred V eax 4 L π EIS n π x L L 3 8 ger balen axala röreleenerg T ax L π A S n x AρS n π x ρ 4 L L L Med T ax * ax T få T * ax L Aρ S n π x 5 L Med 3 dvderad ed 5 få den.. Raleghvoten där och an förorta bort, S och ntegralerna är la 6

17 V e ax * Tax EI 4 π 4 AρL Karltad unvertet Manten 8--8/HJo 9, 87 39, 5, EI AρL 4 EI 4 A L ρ EI 4 AρL O.S.V. Påtvngad vängnng på frtt upplagd hoogen bal Balen vängnng betår prncp av en oändlg ua o utgör av egenvängnngoderna egenvängnngforerna. Ft F cot wx,t x o..v S S S w x,t π π 3π n x n L L L t n x n t 3 n x n t... 3 eller w x,t S π n x n L t V går nte närare n på uttrcet för S en detta oer gvetv att bero på balen tvhet och aa föruto Ft apltud och angrepppunt. Bdraget tll utböjnngen från en v egenvängnngod beror alltå på hur nära denna od egenfreven ι lgger den påtvngade frevenen. Obervera alltå nänarna. Med en påtvngad freven o är nära någon av balen egenfrevener å oer apltuden för jut den vängnngoden att bl tor och jut den vängnngforen att brta fra. 7

18 SVÄNGNINGAR Karltad unvertet Manten 4--8/HJo Egenvnelfrevener: Balar: n n c r / L Plattor: c h / a där c E ρ, c E ν ρ, r I A, Eelatctetodul, ν poon tal, ρ dentet, L ballängd, I är baltvärnttet ttröghetoent ed aveende på atuell böjnngaxel och A är balen tvärnttarea. För plattor är h plattjocle, arade ho crulär platta eller ortate dan ho retangulär platta. Kontanten n för några eleentarfall ed tllhörande vängnngforer vängoder va nedan. Ra bal, frtt upplagd 9,88 39,5 3 88,9 Ra bal, fat npänd,4 6,7 3, Ra onolbal 3,5, 3 6,7 Crulär platta, frtt upplagd,49 Crulär platta, fat npänd,96 Retangulär platta, frtt upplagd,85a /b Retangulär platta, fat npänd,4 för b/a 7, för b/a 6,7 för b/a 3 6,47 för b/a Svängnngoder för frtt upplagd platta Mod Mod b - a Mod 3 Mod

19 SVÄNGNINGAR DUNKERLEYS METOD Karltad unvertet Manten 4--3/HJo Grundtonen egenvnelfreven cr för ett te ed flera aor an approxatvt beräna ed Dunerle etod. Metoden tlläpa å att egenfrevenen beräna för en aa taget, utan hänn tll övrga aor. Betecna egenfrevenen o enbart aan fann ed. där Hela teet egenfreven cr uppatta edan ed uttrcet:... 3 cr A x Axel: E, I, A, ρ Metoden ger ofta en god noggrannhet på grundtonen egenfreven o denna lgger lågt förhållande tll :a övertonen. x F δ E, I Fjäderontanten vd läget för repetve aa beräna ed teorn för böjnng F δ δ F,E,I,L,x Det beränade värdet på fjäderontanten använd edan A. Axeln egenfreven, utan några rotoraor, an ocå beräna på aa ätt o an delar axeln å delar ed aan dx vd oordnaten x, betecnar fjäderontanten vd oordnat x ed x och tecnar d x o edan ntegrera läng axeln x T.ex. för en hoogen axel ed ontant daeter blr d axel L d x axel A an då rva d x cr 9

20 SVÄNGNINGAR Svävnng Karltad unvertet Manten 4--3/HJo Suerng av två freven och apltud näralggande vängnngoponenter an reultera.. vävnng engela beat Ex. Två vängnngoponenter v och v addera och uan betecna v t t t v t vˆ n[ ] ˆ π f t ϕ v[nπf t ϕ ] Låt nu frevenerna f repetve f lgga nära aa värde och låt apltuderna vara av aa torleordnng. Den llla favrdnngen ellan de båda gnalerna edför då att vd va tder oer de att avera och uagnalen apltud blr o tört la ed uan av de båda oponenterna aptuder. Vd andra tder oer de båda oponenterna att otvera varandra och reultatet blr då att uagnalen apltud nar. Mnta apltuden blr la ed llnaden ellan de båda oponenterna apltuder. Reultatet över en v tdperod an graft va o nedan Hatghet /] td t [] v t vˆ n[π f t ] v ˆ t v n[π f t ϕ ] v t v t v t ϕ Hatghet /] td t [] vˆ ˆ v n[π f f t ϕ] Svävnng an ocå upptå på ett lartat ätt o en påtvngad vängnngfreven lgger nära en egenfreven. Eventuellt ljud o altra av vängnngen oer att varera tra och öjlgen aocera tll vävnng o f f är en låg freven.