Tentamen i Mekanik för D, TFYA93/TFYY68

Transkript

1 TEKNISKA HÖGSKOAN I INKÖPING Intitutionen ör Fyi, Kemi och Bioloi Manu Johanon Tentamen i Meani ör D, TFYA93/TFYY68 Freda l Tillåtna Hjälpmedel: Phyic Handoo utan ena antecninar, avprorammerad ränedoa enlit IFM: reler. Formelamlinen Teyma och ormelamlinar rån ymnaiet är ocå tillåtna. Ordlita Alono-Finn rån hemidan. Examinator Manu Johanon ommer att eöa tentamenloalen ca l amt och är däreter anträar på tel: öninörla lä ut på urhemidan eter rivtiden lut. Tentamen omattar ex prolem om er maximalt poän tyc. Följande etyala äller preliminärt: Bety 3: 10-13,5 poän Bety : 1-18,5 poän Bety 5: >18,5 poän Anvininar: ö inte mer än 1 uppit på amma lad! Sriv enart på ena idan av ladet! Sriv AID od på varje lad! Inörda etecninar all deiniera, ärna med hjälp av iur, och upptällda evationer motivera. Alla te i löninarna måte unna ölja. ö uppiterna analytit ört och toppa in eventuella numeria värden på lutet. Det om eterråa i uppiterna är rivet med et til. Uppiterna är ej ordnade i tiande vårhetrad. yca till!

2 Uppit 1: Fåel i uppåtpiral Stora ålar an tia uppåt enom att ölja termia uppvindar. Anta att lutmaan tier uppåt med ontant hatihet 3 m/, och att åeln lyer i en liormi, horiontell cirelrörele relativt den uppåtående luten (e iur). Det tar 5 ör åeln att lya ett varv i en cirel med radie 6 m. (a) Betäm åeln art relativt maren! () Betäm åeln accelerationvetor (torle och ritnin)! (c) Betäm vineln mellan åeln hatihetvetor och horiontalplanet! Ao et al. PNAS _ March 18, 008 _ vol. 105 _ no. 11 _ (1p) (p) (1p) Uppit : Glidande loc Två loc A och, med maor ma repetive m, är örenade med en lina om löper över en ritionlö tria. Blocet häner ritt medan locet A vilar på ett horiontalplan, där det an lida ritionritt. Ovanpå locet A lier locet B med maa mb (e iur). Den tatia ritionoeicienten mellan dea loc är μ = ina och tria etrata om malöa, ma = 8, mb = 5. Hur tor maa an locet maximalt ha om locen A och B a lida tillamman när ytemet läpp rån vila? (Dv inen relativ lidnin mellan A och B.) Uppit 3: Bollat En oll med maan 0.5 ata upp vertialt i luten med initialhatiheten 0 m/ och når en höjd av 15 m. Beräna det arete om lutmottåndet utör på ollen, rån det att ollen ata upp till de att den når itt höta läe! Uppit : aet En raet med maan m0 tartar rån vila i rymden utan törande ravitationält i närheten. Bränlet, om rån örjan utör 80% av maan, minar exponentiellt med tiden (e -t ). aetaerna utlåninart relativt raeten är ve, om antae ontant. Beräna raeten maa då de rörelemänd är om tört. aetevationen lyder med ända etecninar: F m ve dv dm dt dt Uppit 5: Bromträcor En il med viten M ör 110 m/h på en våt väana (ritiondata enlit Phyic Handoo ruer/concrete (wet)). Viten är ördelad jämnt på de hjulen (radie ), om alla är öredda med lia eetiva ivromar. Då ilen roma utövar ivromarna ett vridmoment τ på varje hjul. I är ett hjul tröhetmoment med aveende på rotationaxeln. (a) Via att hatihetminninen per tidenhet lir om inromninen er å öritit I att hjulen rullar utan lidnin. (p) () Utå rån reultatet i (a) och via att ritionraten om verar på de hjulen an approximera med å läne om hjulen rullar utan lidnin. (1p) (c) Då vridmomentet τ övertier ett vit värde τmax örjar hjulen att lida och låer i. Beräna illnaden i romträca mellan allen (i) τ = τmax (rullnin utan lidnin) och (ii) låta hjul (ara lidnin). (1p) Uppit 6: Svänande täner På en horiontell axel häner två liadana täner om an rotera ritionritt. I utånläet är åda tänerna i vila, den ena häner i jämvit, den andra håll horiontellt enlit iur. När den horiontella tånen läpp pendlar den ned och atnar i den andra tånen. Hur höt väner de två tänerna upp däreter (ane vineln i iuren)? Utånläe

3 önin uppit 1 Hatiheten har en horiontell tanential-omponent och en vertial-omponent. Accelerationen vertial-omponent är noll och de horiontal-omponent är a rad = v x. åt +y vara uppåt och +x ritninen ör tanentialhatiheten i det öonlic om vi etratar. (a) Fåeln tanentialhatihet an å rån: v x = omret tid ör ett varv = π(6 m) 5 = 7.5 m/. Hatiheten omponenter är då alltå v x = 7.5 m/ och v y = 3 m/. Farten relativt maren är då v = v x +v y = 8.1 m/. Svar (a): 8.1 m/. () Fåeln art är ontant å accelerationen är en ren centripetalacceleration (helt i horiontell ritnin, mot centrum av den piralormade anan), och har torleen a rad = v x (7.5 m/) = = 9.5 m/. r Svar (): Storle 9.5 m/, ritnin horiontellt mot cirelrörelen centrum. (c) Med hatiheten vertial- och horiontalomponenter enlit ovan å θ = arctan 3 m/ 7.5 m/ =. Svar (c):. (O. att vineln örlir denamma när åeln tier.) önin uppit Applicera F = ma på locet B, på locen A och B om ett ammanatt ojet, och på locet. Om A och B lider tillamman har alla tre locen en acceleration med amma torle. Om A och B inte lider relativt varandra, å är ritionen mellan dem tati. Bloc accelererar nedåt och A och B accelererar åt höer. I åda allen väljer vi en poitiv oordinatritnin i accelerationen ritnin. Eterom loc A rör i till höer å är ritionraten på loc B åt höer, å att relativ rörele mellan locen örhindra. När har in törta möjlia maa å har itt törta möjlia värde, = μ n, där n är normalraten. F x = ma x applicerat på locet B er = m B a (där +x är åt höer). Vertial jämvit er n = m B, å = μ m B. Sålede μ m B = m B a, dv a = μ. F x = ma x applicerat på locen A+B er T = (m A + m B )a = (m A + m B )μ, där T är pännraten i linan. F y = ma y applicerat på locet er m T = m a (där +y är nedåt). Sålede m (m A + m B )μ = m μ, dv m = (m A+m B )μ = μ Svar: Störta maan om loc an ha är 39. (Om är tynre å lir accelerationen ör tor ör att ritionraten a unna e loc B amma acceleration om loc A år rån.) önin uppit 3 6 m

4 önin uppit aetevationen lyder med ända etecninar:. Här är den externa raten om påverar raeten. Eterom raeten är lånt irån alla ravitationält är =0. aetevationen i Inör: led: örelemänden Sö maxvärde av p; ätt önin uppit 5, dv det inn ortarande ränle var då rörelemänden är om tört. Svar: aeten maa då rörelemänden är maximal är 37% av urprunmaan. F F xˆ;( F zˆ;( 0) zˆ 0) I Izˆ r x xˆ örlyttnin av macentrum a) Följande amand äller: d ( F ) zˆ I zˆ dt dp M M F r x xˆ F xˆ dt ullvilloret x x (- pa hur x och ω deinierat ovan) x F I I M x F M x x I I ( ) 0 x x I I ) Ett hjul tröhetmoment I eror på hur det er ut men även utan detaljerad inormation an I torle uppatta. I lihet med alla tröhetmoment ör I unna riva I m där är en ontant mindre än 1 och m är hjulet maa. I m m eterom ilen väer mycet mer än hjul. x x

5 M M Fritionraten på ett hjul är F x ( ) dv ritionraten är ritad i neativ xˆ - led. Fritionraten om verar på de hjulen är. M c) Så läne om hjulen rullar utan lidnin är F. Preci innan hjulen örjar lida är M max och max max Bilen acceleration lir då: x max 110 ( ) Bromträcan lir x 3.6 m x Då hjulen låt i och ara lider lir ritionraten på de hjulen M Kratevationen er: M x M x Bromträcan lir 110 ( ) x 3.6 m x Svar: Sillnaden i romträca lir 3m önin uppit 6 1 En tån tröhetmoment : m 3 Vinelhatiheten jut öre töten an etämma ur eneriamand: 1 3 E tot m I I töten evara rörelemändmomentet I 1 e I I ee e I 1 Gemenam vinelhatihet eter töt: e Stihöjden etäm ur eneriamand: I där m är maan och är tånen länd. e o m ( co ) Iee m (1 co ) Ie co 1. 8 Svar o 1. 3