WALLENBERGS FYSIKPRIS

Transkript

1 WALLENBERGS FYSIKPRIS KVALIFICERINGSTÄVLING 26 januari 2012 SVENSKA FYSIKERSAMFUNDET LÖSNINGSFÖRSLAG 1. (a) Sökta enerin är 0, W/m 2 (0,40 1,7) m s = 2, J. (b) Temperaturökninen fås ur E = cm T T = E 0,70 2,2 106 = cm K = 6,2 K. (c) Vi räknar på vad som händer under 1 timme. Kroppen absorberar då enerimänden 0,70 2, J = 1, J. Om inte temperaturen skall öka måste en lika stor enerimänd tillföras vatten på huden så att detta ombildas till åna. Massan vatten fås ur E = c å m m = E = 1,5 106 J c å = 0,68 k. J/k Man måste alltså svettas 0,7 liter per timme (antar densiteten 1,0 k/liter). Här har vi antait att specifika ånbildninsentalpin är densamma som vid vattens kokpunkt, vilket inte är helt korrekt. Skillnaden är dock inte så stor, vilket framår av diarammet nedan (som är taet från Observera att 1 kj/mol = 55,5 kj/k (för vatten). Svar: (a) 2,2 MJ s (b) 6,2 K (c) 0,7 liter/timme.

2 2. (a) Avläsnin i diarammet er att rullmotståndet är 100 N (när farten är 0 utörs rörelsemotståndet enbart av rullmotstånd) och luftmotståndet ( ) N = 420 N (luftmotståndet = rörelsemotståndet luftmotståndet). (b) Vi räknar på vad som händer när bilen kör 100 km. Enerin som åtår för att övervinna rörelsemotståndet är lika stor som arbetet en kraft lika stor som rörelsemotståndet uträttar: W = Fs = 520 N m = 5, J. För att köra bilen 100 km åtår 6,7 liter bensin (avläses i diarammet). Eneriinnehållet i bensinen som förbrukas är således 6,7 liter J/liter = J. Sökta andelen är 5,2 22 = 0,24 = 24%. Svar: (a) 0,10 kn respektive 0,42 kn. (b) 24 %. 3. (a) Etrapolation i diarammet er I ma = 172 ma. (b) Eftersom P = UI kan uppiften lösas rafiskt enom att maimera arean av en rektanel med ena hörnet i orio och andra hörnet på U-I-kurvan. Största effekten är 1,83 0,159 W = 0,29 W (alternativt 1,95 0,149 W = 0,29 W). I fiuren nedan är effekten beräknad direkt från mätvärden vid respektive mätpunkt Spännin (V) Effekt (W) 0.5 Spännin Effekt Ström (ma) (c) Rita in en linje enom orio med lutninen R = 18 Ω i diarammet och bestäm var den skär solcellens U-I-kurva. Detta er (se fiuren ovan) U = 2,1 V och I = 0,12 A, vilket er effekten P = 2,1 0,12 W = 0,25 W. Svar: (a) 0,172 A (b) 0,29 W (c) 0,25 W.

3 4. Ett öra funerar, precis som en mikrofon, som en trycksensor. Lämplitvis håller man för det ena örat och rör si på sådant vis att det andra örat flyttas mellan C och D och hela tiden är riktat mot hötalarna. Beroende på om örat är i en punkt där tryckvåorna från hötalarna förstärker eller försvaar varandra kommer man att höra ett starkare ljud (förstärknin) eller ett svaare ljud (försvanin). Vi beräknar antalet förstärkninspunkter mellan C och D. Tryckvåornas våländ är λ = v f = 340 m = 1,214 m. 280 Väskillnaden (skillnaden i avstånd till de två våkällorna) i C är CA CB = (6,8 11, ,8 2 ) m = 6,30 m = 5,19λ. Väskillnaden i D är DA DB = ( 11, ,4 2 2,4) m = 9,05 m = 7,46λ. I punkter där väskillnaden är ett helt antal våländer kommer tryckvåorna att förstärka varandra. Man bör alltså kunna höra (5+1+7) = 13 ljudmaimum på vä till D. Däremellan finns punkter där tryckvåorna försvaar varandra. Dock kommer de inte att släcka ut varandra helt, eftersom amplituden avtar med avståndet och det är olika lånt till våkällorna i alla försvaninspunkter. Antalet punkter med ljudminimum bör vara (5 + 7) = 12 (i punkter där väskillnaden är 4,5λ, 4,5λ,..., 0,5λ,0,5λ,...,6,5λ). Om man vill bestämma var ljudmaimum och ljudminimum fås kan man införa ett koordinatsystem enlit fiuren nedan. 6,8 m C A C y A (6,8; 11,2) 11,2 m 11,2 a a t 11,2 P (; 11,2 ) B 2,4 m D y = 11,2 D B (6,8; 0) 11,2

4 Låt P vara en odtyckli punkt på linjen CD. En ekvation för linjen CD kan skrivas y = 11,2 11,2 11,2. Punkten P:s koordinater kan då skrivas (;11,2 ). Punkterna A och B har koordinaterna (6,8;11,2) respektive (6,8;0). Avståndsformeln er ( ) 11,2 2 PA = ( 6,8) 2 +, (1) ( PB = ( 6,8) ,2 11,2 ) 2. (2) Villkoret PA PB = nλ kan nu skrivas som ( ) 11,2 2 ( ( 6,8) 2 + ( 6,8) ,2 11,2 ) 2 = nλ. (3) I fiuren nedan är rafen till vänsterledet ritat VL Grafisk lösnin av ekvationen (3) för olika värden på n er värdena i tabellen nedan. I tabellen är också avståndet t mellan C och P anivet. Detta beräknas med hjälp av Pythaoras sats (se fiuren): ( ) 11,2 2 t 2 = a 2 + a t = a 1 + ( ) 11,2 2. Den sammanlada amplituden i förstärknins- och försvaninspunkterna kan också beräknas. Om vi antar att tryckvåornas amplitud är 1 vid hötalarna (i nåon odtyckli enhet), och att våorna utbreder si som sfäriska våor (så att amplituden i nåon punkt är

5 omvänt proportionell mot avståndet till våkällan), så kan den sammanlada amplituden i en förstärkninspunkt skrivas a tot = 1 PA + 1 PB, där PA och PB es av sambanden (1) och (2). Sammanlada amplituden i en försvaninspunkt fås på liknande sätt som a tot = 1 PA 1 PB. Beräknade värden för a tot visas i tabellen nedan. Det kan noteras att ljudmaimum blir kraftiare desto närmare D man kommer, men att relativa skillnaden i amplitud jämfört med ljudminimum minskar. Ljudminimum är som mest markerade halvväs mellan C och D. n (eller a) t a tot 5 ma 0,38 0,60 0,30 4,5 min 1,18 1,86 0,08 4 ma 1,79 2,82 0,31 3,5 min 2,28 3,60 0,06 3 ma 2,71 4,27 0,32 2,5 min 3,09 4,86 0,05 2 ma 3,43 5,40 0,32 1,5 min 3,75 5,90 0,03 1 ma 4,04 6,37 0,33 0,5 min 4,33 6,82 0,01 0 ma 4,60 7,25 0,33 0,5 min 4,86 7,66 0,01 1 ma 5,12 8,07 0,34 n (eller a) t a tot 1,5 min 5,37 8,46 0,03 2 ma 5,62 8,85 0,35 2,5 min 5,87 4 0,06 3 ma 6,11 9,62 0,36 3,5 min 6,35 10,01 0,09 4 ma 6,60 10,39 0,38 4,5 min 6,84 10,78 0,12 5 ma 7,10 11,18 0,40 5,5 min 7,36 11,60 0,16 6 ma 7,65 12,06 0,43 6,5 min 7,98 12,58 0,20 7 ma 8,42 12,27 0,47 Svar: När man rör si mot D bör man kunna höra förstärkninar och försvaninar av ljudet (13 ma och 12 min). Effekten blir svårare och svårare att höra när man närmar si D. Kommentar: Man behövde inte öra hela den här analysen för att få full poän. För full poän behövde man dock (förutom att bestämma antalet maimum och minimum) bestämma läet för minst ett maimum och föra nåot resoneman om att interferensfenomenet blir svårare att urskilja nära D.

6 5. Inför ett koordinatsystem enlit fiur nedan. Tornets höjd är h och rotorn har radien R. Anta att en isbit lossnar vid vinkeln ϕ. v = ωr R ϕ h y Beynnelsehastiheten är v 0 = ωr och dess komposanter är v 0 = ωrsinϕ, v 0y = ωrcosϕ. Observera att läeskoordinaterna när isbiten lossnar (t = 0) är (0) = Rcosϕ, y(0) = h + Rsinϕ. Vi bestämmer först kasttiden. Om vi försummar luftmotstånd äller för rörelsen i y-led att y(t) = y(0) + v 0y t t2 2 Bestäm t då y = 0: = h + Rsinϕ + (ωrcosϕ) t t = h + Rsinϕ + (ωrcosϕ) t t2 2. Omskrivnin er ekvationen t 2 2ωRcosϕ 2(h + Rsinϕ) t = 0, som har lösninar t = t(ϕ) = ωrcosϕ ± ω 2 R 2 cos 2 ϕ 2 + 2(h + Rsinϕ). (4) Här er bara +-varianten en positiv, och fysikaliskt relevant, lösnin. Om vi fortsätter att försumma luftmotstånd äller att läet i -led es av (t) = (0) + v 0 t = Rcosϕ + (ωrsinϕ) t.

7 Kastvidden fås nu enom att beräkna läet i -led vid tidpunkten (4), det vill säa = (ϕ) = Rcosϕ + ωrsinϕ ωrcosϕ ω + 2 R 2 cos 2 ϕ 2(h + Rsinϕ) 2 +. Insättnin av värden, R = 22 m, h = 55 m, = 9,82 m/s 2 och ω = 28 2π 60 rad/s = 2,93 rad/s, er nu kastvidden m som funktion av släppvinkeln ϕ rad för det aktuella vindkraftverket: (ϕ) = 22,00cosϕ +64,507sinϕ ( 6,569cosϕ + 43,151cos 2 ϕ + 11, ,481sinϕ Ritas rafen (se nedan) erhålles en maimipunkt ma = 476 för ϕ = 0,88 (50 ) och en minimipunkt min = 476 för ϕ = 5,47 (313 ). Isbiten kan alltså komma som länst 476 m från tornet, både åt höer och vänster i fiuren ovan. ) Kastvidd (m) Släppvinkel ϕ (rad) Om vi bara betraktar kast åt höer i fiuren ( > 0) så ser vi att kastvidden överstier 300 m för släppvinklar mellan 0,39 rad och 1,46 rad (22 och 84 ). Nu har vi i och för si försummat luftmotstånd i beräkninarna, men eftersom det handlar om ett säkerhetsavstånd verkar 300 m vara valt nåot i underkant. Svar: Ett säkerhetsavstånd på 300 m verkar inte orimlit, men är möjlien lite i underkant. Kommentar: Vill man använda data om vindkraftverk i sin undervisnin så kan man till eempel leta upp produktbroschyrerna på tillverkaren Vestas hemsida. För att få full poän på uppiften ällde det att inte öra för rova antaanden, och ordentlit motivera de antaanden som jordes.

8 6. (a) Anta att elektroner passerar maneten på tiden t, och att (storleken av) ändrinen av rörelsemänden då är p. Impulslaen ( p = F t, med F = qvb) er p = qvb t. l = 0,973 m α B p elektroner med för hö eneri elektroner med rätt eneri elektroner med för lå eneri α p p Ur fiuren ovan får vi sin α 2 = p/2 p = p 2p = qvb t c 2W cqbl 2W, där vi använt att p = W c och att manetens länd l v t. Böjninsvinkeln är alltså α = 2arcsin cqbl 2W = 2arcsin k W, där k = cqbl 2. För elektroner med rätt eneri (för vilka α = 2,90 ) fås k W = sin α 2 = sin 2,90 2 = 0, För en elektron med 1 % för hö eneri är böjninsvinkeln α hö = 2arcsin k 1,01W = 2arcsin 0, ,01 = 2,871. För en elektron med 1 % för lå eneri är böjninsvinkeln α lå = 2arcsin k 0,99W = 2arcsin 0, ,99 Vinkelspridninen är alltså (2,90 ± 0,03). = 2,929.

9 (b) Börja med att rita flödestäthetsvektorer i nåra punkter läns med -aeln (där y = 0). Eftersom B = ky har dessa vektorer inte nåon -komposant, utan är riktade parallellt med y- aeln. Eftersom B y = k ökar vektorernas storlekar linjärt med avståndet från orio. Att B y = k innebär också att flödestäthetsvektorerna pekar i positiv y-riktnin till höer om y-aeln, och i neativ y-riktnin till vänster om y-aeln. På liknande sätt kan flödestäthetsvektorer ritas ut i nåra punkter läns med y-aeln. Vi kan sedan notera att flödestäthetens y-komposant i punkter med en iven -koordinat a inte beror av y utan är densamma läns hela linjen = a, och vice versa för flödestäthetens -komposant. Då kan flödestäthetsvektorer i odtycklia punkter ritas in enom att bestämma resultanten till komposanterna i punkten ifråa. Detta är jort för nåra punkter i fiuren nedan. y Utifrån flödestäthetsvektorerna kan man sedan skissa fältlinjer enlit fiuren nedan. y N S S N Man har alltså S-poler i första och tredje kvadranten, och N-poler i andra och fjärde kvadranten. I orio är flödestätheten 0, för att sedan öka i storlek desto länre bort från orio man kommer.

10 (c) Elektroner som passerar enom orio kommer ej att påverkas av nåon manetisk kraft eftersom B = 0 i orio. I fiuren nedan visas kraftriktninen på en elektron i nåra olika läen (kraftriktninen fås med hjälp av höerhandsreeln). y N S F S N Vi ser att elektroner som avvikit läns med y-aeln kommer att knuffas in mot orio. Kvadrupolmaneten kommer alltså att funera som en fokuserande lins i y-planet. Det motsatta äller för elektroner som avvikit läns med -aeln, och kvadrupolmaneten funerar alltså som en defokuserande lins i -planet. Kvadrupolmaneten är alltså en lins, men med olika fokuserin i horisontal- respektive vertikalplanet. (d) Om den första maneten fokuserar i vertikalplanet så kommer den andra att fokusera i horisontalplanet. Resultatet blir en mer fokuserad elektronstråle i alla riktninar. Två kvadrupolmaneter kan alltså funera som en fokuserande elektronlins. Kommentar: Bra bilder på maneter med manetfält i en larinsrin finns på och