9 Bj rkfeltçbjon Oftast anv nder man beteckningen f r determinanten detèaè. Exempel 6.4. Matrisen a a 2 a n a 2 a 22 a 2n,,,, a n a n2 a nn A =ç a a 2
|
|
- Jakob Falk
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 6. Determinanter Innan vi sl r fast en deçnition av begreppet determinant, beh ver vi vissa f rberedande f rklaringar En permutation av talen ;;n r en uppr kning èj ;;j n è av dessa samma tal i n gon ordning. M ngden av alla permutationer av ;;n betecknar vi med S n. Observera att en permutation ç = èj ;;j n è ocks kan uppfattas som en funktion ç k 7! çèkè =j k med indexet k som argument och talet j k som funktionsv rde. Exempel 6.. B de è2; ; 4; 3è och è4; 3; ; 2è r permutationer av talen ; 2; 3; 4. En inversion f rekommer vid èi; kè èoch èk; ièè i en permutation ç = èj ;;j n è om f r tv index i och k med iékg ller j i éj k,dvs. om talen j i och j k kommer i omv nd storleksordning. Det totala antalet inversioner i ç =èj ;;j n è r tèçè = èèk é med j éj k è + èèk é2 med j 2 éj k è++ èèk én, med j n, éj k è Permutationen ç r j mn om tèçè r ett j mnt tal och udda om tèçè r udda. Exempel 6.2. Om ç =è4;3;;2è s r tèçè =3+2+=5, dvs. ç r en udda permutation. L t nu A =èa ij è vara en n=n-matris. Deçnition 6.. En element r produkt i A r en produkt av n element ia, vilka alla tagits ur olika rader och kolonner. Exempel 6.3. Om A a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 A s r t.ex. a 2 a 2 a 33 och a a 23 a 32 element ra produkter i A. Deçnition 6.2. Determinanten av matrisen A =èa ik è r summan detèaè =X ç2sn èçèa j a 2j2 a njn ; èd r ç =èj ;;j n èèav alla de n! element ra produkterna i A f rsedda med tecknet èçè =è,è tèçè =ç ; om ç r en j mn permutation,; om ç r en udda permutation.
2 9 Bj rkfeltçbjon Oftast anv nder man beteckningen f r determinanten detèaè. Exempel 6.4. Matrisen a a 2 a n a 2 a 22 a 2n,,,, a n a n2 a nn A =ç a a 2 ç a 2 a 22 har de tv element ra produkterna a a 22 och a 2 a 2. Den f rsta av dessa f r ett positivt tecken, eftersom permutationen è; 2è r j mn, medan den andra f r ett negativt tecken, eftersom permutationen è2; è r udda. Allts r detèaè = a a 2 a 2 a 22 = a a 22, a 2 a 2 Exempel 6.5. F r en 3=3-matris A a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 A har vi 3! = 6 element ra produkter att best mma tecknet f r Element r produkt èçè a a 22 a 33 + a a 23 a 32, a 2 a 2 a 33, a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 + a 3 a 22 a 3, T.ex. f r den element ra produkten i rad tv ett minustecken, eftersom permutationen è; 3; 2è r udda. Tecknen i denna tabell kan sammanfattas i Sarrus regel Upprepa As tv f rsta kolonner efter a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23A a a2 a 2 a 22 a 3 a 32 a 33 a 3 a 32 De tre produkter som bildas av element p en è t h gerè snett ned tg ende diagonallinje genom denna rektangel av tal, r de element ra produkter som f r plustecken èt.ex. huvuddiagonalen i Aè medan de tre produkter, som bildas av element p en snett upp tg ende diagonallinje, r de element ra produkter som f r minustecken. Kom ih g att Sarrus regel bara g ller f r 3=3-matriser.
3 Determinanter 9 Egenskaper hos determinanter En n=n-determinant ger upphov till n! element ra produkter. Om n r stort èja, redan om n =4èinneh ller deçnitionsuttrycket f r en determinant alltf r m nga termer f r att det skall l na sig att anv nda detta d man r knar ut determinantens v rde. De egenskaper hos determinanter som vi nu skall h rleda utg r i sj lva verket r kneregler som kommer att ge oss eçektiva metoder att r kna ut determinanter ç b de stora och sm.. En n=n-matris och dess transponerade matris har samma determinant detèa T è = detèaè Bevis. D man bildar en element r produkt, tar man exakt ett element urvarje rad och kolonn. Allts ger A och A T upphov till precis samma element ra produkter. Det terst r f r oss bara att f rklara varf r dessa element ra produkter f rses med samma tecken. Iengodtycklig element r produkt a j a njn i A kan vi byta ordningsf ljd p faktorerna s att den kan tolkas som en element r produkt f r A T a j a njn = a k a kn n D r permutationerna ç i 7! j i och ç r 7! k r varandras inversa funktioner, ç = ç,. En inversion f rekommer i ç vid èi; lè om och endast om l, i och çèlè, çèiè har olika tecken, dvs. om och endast om çèlè, çèiè l, i = j l, j i l, i é Denna kvot r negativ om och endast om den inverterade kvoten r negativ, ç èj l è, ç èj i è j l, j i = l, i j l, j i é ; och detta g ller precis d det f rekommer en inversion i ç vid èj l ;j i è. Permutationerna ç och ç inneh ller allts lika m nga inversioner och ger upphov till samma tecken. í Anm rkning. P grund av egenskap har rader och kolonner i en determinant samma st llning. D rf r kan r knereglerna 2 till 6, som vi nedan formulerar f r kolonner, utan vidare formuleras ocks f r rader. 2. L t A =èa ai ak anè vara en matris och l t A vara den matris som uppkommer d kolonnerna ai och ak byter plats i A. D r detèa è=,detèaè En motsvarande regel g ller vid ombyte av rader. Bevis. L t ç =èj ;;j i ;;j k ;;j n è beteckna en en godtycklig permutation och l t ç vara den permutation som uppst r d j i och j k byter plats i ç. Vi kan visa att tèçè, tèç è=ualltid r ett udda tal. D rf r r detèaè =X èçèa j a iji a kj k a njn ç2sn X = ç 2Sn,èç èa j a kj k a iji a njn =, detèa è
4 92 Bj rkfeltçbjon Resonemanget r litet komplicerat men vi terger det f r fullst ndighetens skull. Bevis f r att u r udda Bara inversioner av typerna èè j i éj l ; iélék; è2è j l éj k ; iélék; kan uppkomma eller f rsvinna d j i och j k byter plats i ç. L t I vara m ngden av alla heltal l mellan i och k och s tt n = èèl 2 I med j i éj l è; m = èèl 2 I med j l éj k è; n 2 = èèl 2 I med j i éj l è; m 2 = èèl 2 I med j l éj k è Antalet inversioner f r ndras med u = n, n 2, pga. att j i çyttas till andra sidan av j l, u 2 = m, m 2, pga. att j k çyttas till andra sidan av j l, u 3 =, pga. att j i och j k byter plats. Eftersom n + n 2 = m + m 2 = èk, iè, r konstant, s f r ndras u och u 2 med stegl ngden 2 d n ; n 2 respektive m ; m 2 ndras. S ledes r antingen u och u 2 b gge udda èd èk, iè, r uddaè eller b gge j mna èd èk, iè, r j mntè. Men d r ju u + u 2 alltid j mnt och den totala f r ndringen av antalet inversioner u = u + u 2 + u 3 = u + u 2 alltid udda. í 3. Om tv kolonner èeller raderè r lika i matrisen A, s r detèaè = Bevis. Om A =è ai ak è och ai = ak, s r enligt regel 2 detèaè = detè ai ak è =,detè ak ai è =,detèaè och d rmed detèaè =. í N sta egenskap f ljer direkt ur deçnitionen p en determinant och kr ver d rf r inget bevis 4. Om en kolonn èeller radè inneh ller en gemensam faktor, s kan denna faktor çyttas ut ur determinanten detèa çai anè=çdetèa ai anè Exempel 6.6. I nedanst ende determinant tar vi ut faktorn 2 ur f rsta raden och faktorn 3 ur andra raden och f r v rdet = eftersom de tv f rsta raderna blir lika èregel 3è. =23=;
5 Determinanter En determinant r additiv i varje kolonn èoch radè, detèa ai+a i a nè = detèa ai anè + detèa a i a nè Bevis. skrivas Enligt distributionslagen f r tal kan de element ra produkterna i v nstra ledet a j èa iji + a iji è a njn = a j a iji a njn + a j a iji a njn Regeln f ljer ur detta och deçnitionen p en determinant. í Exempel 6.7. Om vi till mpar regel 5 p rader f r vi att = Som en direkt f ljd av reglerna 5, 4 och 3 f s 6. Om i 6= k s r detèa ai anè = detèa ai,çak anè; èi6=kè Anm rkning. Formulerad f r rader s ger denna regel att en determinants v rde f rblir of r ndrat vid anv ndning av èboè det B@ a ai an a B = ai, çak an ; èi 6= kè Om vi s ledes med en f ljd av anv ndningar av èboè kan verf ra en matris A p en upp t triangul r form U, A!! U = B@ u u 22,,,, ; u nn s r detèaè = detèu è=u u 22 u nn. I en triangul r matris r n mligen produkten av diagonalelementen den enda element ra produkt som kan vara olik noll. Alla andra element ra produkter inneh ller minst en nolla. Detta ger oss en eçektiv metod att r kna ut v rdet p en determinant. Reglerna 2 och 4 utg r ju n got modiçerade varianter av èbo2è och èbo3è, s i praktiken har vi Gausselimineringens alla verktyg till v rt f rfogande
6 94 Bj rkfeltçbjon Exempel 6.8. F r att kunna anv nda det çenklaç pivotelementet çyttar vi i nedanst ende determinant f rst ut den gemensamma faktorn 2 i andra raden och l ter samtidigt de tv f rsta raderna byta plats =, =,è,2èè,3è =,2 2 3,5,8,3, ,5,8 =, =,6 2=, En kvadratisk matris A r singul r om och endast om detèaè =. Bevis. Matrisen A kan verf ras p en upp t triangul r matris U med hj lp av enbart èboè och èbo2è. Nu g ller A r singul r èè U r singul r èè n got diagonalelement iu r noll èè detèu è= èè detèaè =; tydetèaè =detèu è, d r vi har ett minustecken om èbo2è har anv nts ett udda antal g nger. 8. Om A och B r n=n-matriser, s r detèabè = detèaè detèbè Determinanter kan allts multipliceras med varandra p samma s tt som man multiplicerar matriser. Bevis. èaè Vi visar f rst att formeln g ller om A r en diagonalmatris. Om s r enligt regel 4 A = detèabè = d b d n bn d n A och A = d d n det B b bn bn A ; A = detèaè detèbè èbè Antag att A r en godtycklig n=n-matris. Om A r singul r, s r ocks A T singul r och f ljaktligen ocks B T A T = èabè T. Nu r b de detèaè = och detèabè = detèèabè T è=enligt regel 7. Formeln g ller allts i detta fall, eftersom b gge leden r noll.
7 Determinanter 95 Om A inte r singul r, s kan A verf ras p en diagonalmatris D med hj lp av enbart èboè och èbo2è èè A!! D = diagonalmatris ; d r detèaè =detèdè. Det f rsta steget i èè f r i det fortsatta resonemanget representera vilket steg som helst. Om detta r èboè-operationen A = B@ a ai an a ai, çak s f s med samma basoperation och samma ç, att AB = B@ a B aib anb an ab aib, çakb anb r det f rsta steget i èè igen en èbo2è-operation A = B@ s f s med ombyte av samma rader AB = B@ ai ak aib akb = A ; ak = A ; ai akb aib = A B = A B Precis samma sekvens av basoperationer som i èè, anv nd p produkten AB, leder allts till AB!!DB ; d r det enligt tidigare regler och enligt fall èaè g ller att detèabè = detèdbè = detèdè detèbè = detèaè detèbè Formeln i regel 8 g ller allts generellt f r godtyckliga matriser A och B. í
8 96 Bj rkfeltçbjon Utveckling efter en rad eller en kolonn Termerna i deçnitionsuttrycket f r en determinant kan grupperas s att varje grupp representer ett element i determinanten multiplicerat med determinanten f r en submatris f rsedd med plus- eller minustecken. Vi illustrerar detta med hj lp av en 3=3- determinant Exempel 6.9. Med hj lp av deçnitionen èeller Sarrus regelè utvecklar vi determinanten samt grupperar ihop de termer som vi nedan har skrivit under varandra a a2 a3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32, a a 23 a 32, a 2 a 2 a 33, a 3 a 22 a 3 =a a 22 a 23 a 32 a 33, a 2 =a A + a 2 A 2 + a 3 A 3 a 2 a 23 a 3 a 33 + a 3 a 2 a 22 a 3 a 32 Det n stsista och sista uttrycket kallas utvecklingen av determinanten efter f rsta raden. Genom att gruppera termerna p annat s tt f r man utvecklingar efter andra rader eller kolonner. Den çsubdeterminant med teckenç som vi i ovanst ende exempel betecknat med A ik kallas kofaktorn èeller komplementetè till elementet a ik. Allm nt f r vi Sats 6.. Om A = èa ik è r en n=n-matris och A ik betecknar den submatris som uppst r d rad i och kolonn k stryks i A, s r detèaè =a i A i +a i2 A i2 ++a in A in utvecklingen av detèaè efter rad i, d r kofaktorerna A ik f s ur A ik =è,è i+k detè A ik è P motsvarande s tt kan detèaè utvecklas efter en kolonn. Tecknet p en kofaktor best ms enklast genom att man kommer ih g att matriselementet l ngst uppe till v nster r associerat med en kofaktor med ett plustecken framf r en subdeterminant. De vriga elementen r sedan omv xlande associerade med plusoch minustecken precis som rutorna p ett schackbr de omv xlande r vita och svarta. Exempel 6.. Om vi vill utveckla f ljande 3=3-determinant efter 2a kolonnen, s b r vi allts associera ett minustecken med elementen 6 och 2 och ett plustecken med elementet, i andra kolonnen. Vi f r utvecklingen , =, , ,
9 Determinanter 97 Matrisinverser Betrakta utvecklingen efter rad k av determinanten f r en n=n-matris A =èa lm è è2è detèaè =a k A k ++a kn A kn Den likartade summan a i A k + +a in A kn ; èi 6= kè ; kan uppenbarligen betraktas som utvecklingen efter rad k av den determinant som vi f r ur detèaè genom att ers tta rad k med en kopia av rad i. Eftersom tv rader r lika i denna determinant, r dess v rde noll è3è a i A k + +a in A kn =; èi6=kè Likheterna è2è och è3è kan skrivas p en enda rad med hj lp av Kroneckers delta, a i A k + +a in A kn = detèaè ik V nstra ledet kan nu tolkas som ett matriselement i produkten av A med A = B@ A A 2 A n A 2 A 22 A n2,,,, A n A 2n A nn vilken ibland kallas den adjungerade matrisen till A. Observera att det f rsta indexet h r r kolonnindex medan det andra r radindex. Vi har allts likheten AA = detèaèi, vilket ger formeln A, = A detèaè f r matrisinversen om detèaè 6= èdvs. om A r icke-singul rè. Anm rkning. Denna formel r intressant ur teoretisk synvinkel men ol mplig f r numerisk utr kning av matrisinverser. Alla de n 2 matriselementen r ju èn,è=èn,èdeterminanter, som var och enskall r knas ut separat. Exempel 6.. Om A =ç a b c d ifall detèaè =ad, bc 6=. ç,s r A, = ad, bc ç d,b ç ;,c a
10 98 Bj rkfeltçbjon Cramers regel Om n=n-matrisen A r inverterbar s kan l sningen till en ekvation Ax = b skrivas x = A, b = Ab ; detèaè vilket ikomponentform ger x j = detèaè nx k= A kj b k ; èj =;;nè Summan i h gerledet kan uppfattas som utvecklingen efter kolonn j av en determinant detèb i è, d r B j r den matris som uppst r ur A d kolonn j ers tts med b B j = B@ a a 2 b a n a 2 a 22 b 2 a 2n,,,,,, a n a n2 b n a nn Vi f r d rmed Cramers regel f r komponenterna av x x j = detèb jè detèaè ; èj =;;nè Anm rkning. Cramers regel r inte l mplig f r numeriska kalkyler. F r det f rsta kan den anv ndas bara om detèaè 6=. F r det andra r den oekonomisk, eftersom den kr ver v sentligt çer r kneoperationer n Gausseliminering. I nedanst ende tabell j mf rs antalet r kneoperationer vid l sning av ekvationen Ax = b medelst tre metoder èè genom Gausseliminering, è2è genom anv ndning av formeln x = A, b èd r A, r knas ut genom Gausselimineringè, è3è genom Cramers regel. Som r kneoperationer betraktas h r addition è= subtraktionè och multiplikation è= divisionè. Metod Antal operationer Gausseliminering ç 2 3 n3 x = A, b ç 2n 3 Cramers regel ç 2 3 n4 Om n =s kr ver allts Cramers regel ungef r g nger çer operationer n l sning genom Gausseliminering, om n = kr ver den ungef r g nger çer operationer. vningsuppgifter. èaè R kna ut determinanten f r matriserna ç 2 ç och A 7 8 9
11 èbè Ber kna determinanten f r matrisen A = B@ 2,2 2 3,4,, Determinanter 99 genom att gausseliminera A till en upp t triangul r form U. 2. En matris A r skevsymmetrisk om A T =,A. Visa att f r varje skevsymmetrisk n=n-matris A g ller att detèaè =om n r ett udda heltal. 3. Best m determinanterna f r èaè matrisprodukten A 4A è2, 2è; 2 èbè den upp t triangul ra matrisen U = B@ ècè den ned t triangul ra matrisen U T ; èdè inversen U, ; èeè matrisen M = B@ èaè Visa att om Q r en ortogonal matris s g ller detèqè =eller detèqè =, èse uppgift 2 i kapitel 3è. ; èbè F r vilka 2=2-matriser A g ller att detè3aè = 3 detèaè? 5. Ber kna determinanten x x2 y y 2 z z 2 6. R kna ut den n-radiga determinanten 7. Visa att a + b c + a b + c c + a a + b b + c b + c a + b c + a 8. Ber kna determinanterna èaè,,,,, =2èa+b+cè c b b b b a , ,9 6 3 ; èbè ; ècè, 2,6,2, , ,9 5,3,2,4 6
12 Bj rkfeltçbjon 9. Visa att a, b, c 2a 2a 2b b, c, a 2b 2c 2c c, a, b =èa+b+cè3. Visa, utan att utveckla determinanterna, att a + a 2 b + b 2 c + c 2 d + d 2 = a b c d + a b 2 c d 2 + a 2 b c 2 d + a 2 b 2 c 2 d 2. R kna ut determinanaten Anv nd determinantformeln f r en matrisinvers till att ber kna A= A 3. L s f ljande system med hj lp av Cramers regel x +4y, z= x+ y+ z= 2x +3z = 4. Visa att matriselementen i A, r heltal om A r inverterbar, alla matriselement i A r heltal och detèaè r eller,. 5. Visa att a a 2 b b 2,,,, a n,,,, b n = +a b a b 2 a b n a 2 b +a 2 b 2 a 2 b n,,,, a n b a n b 2 a n b n 6. Visa att om i en matris A summan av elementenivarje rad r noll, s r detèaè =. 7. R kna ut detèaè, d n=n-matrisen A =èa ik è har matriselementen a ik = i + k f r varje i och k i m ngden f;;ng. 8. Best m med hj lp av determintteori f r vilka v rden p k f ljande matriser inte r inverterbara èaè A =ç k, 2 k,4 ; èbè B = k 2 A,5 k +4 3 k, 9. I en triangel med sidorna a, b och c m de motst ende vinklarna vara, respektive. Med hj lp av element r trigonometri f s sambanden b cos + c cos = a; c cos + c cos = b; a cos + c cos = c H rled med hj lp av Cramers regel formler for vinklarnas cosiner.
2 Bj rkfeltbjon d r k èk =;:::;pè betecknar A:s olika egenv rden och n k r den algebraiska multipliciteten hos egenv rdet k. Om multipliciteten hos et
7. Egenv rden och egenvektorer L t A beteckna en n=n-matris. I vissa riktningar x 6= beter sig matrisen A enkelt i den meningen att x och Ax r kar vara parallella: Denition 7.. Talet s gs vara ett egenv
Läs mer2 Bj rkfeltçbjon Exempel.2. Systemet 2x + x 2, x 3 + x 4 =5 x 2 + x 3, x 4 =3 3x 3 +6x 4 =6 r inte triangul rt èdet r ju inte kvadratisktè. Ger vi d r
. Gausseliminering Vi skall till att b rja med s ka l sningen èl sningarnaè till ett s kallat linj rt ekvationssystem. Ett s dant system med m ekvationer och n obekanta èm; n 2 Z + è har formen a x + a
Läs mer4 Bj rkfeltbjon Det andra elimineringssteget è3è! è3è, èè svarar enligt samma m nster mot multiplikation fr n v nster med E = I, J 3, E ; som ger
3. Gausseliminering genom matrismultiplikation Vi skall visa att den omformning, som man f r genom att utf ra en basoperation p ett r kneschema, ocks kan f s genom att man multiplicerar r kneschemat fr
Läs merx - Px U = R(A) = R(P)
8. Ortogonala projektioner Antag att a (6= ) och b r tv vektorer i R n. Vi skall bilda den ortogonala projektionen av b p det endimensionella underrummet L = spn fag. Enligt resonemanget i beviset av Schwarz
Läs merVektorrum 43 Exempel 4.. M ngden E av alla m=n-matriser, f rsedd med vanlig matrisaddition och vanlig multiplikation av en matris med en skal r, r ett
4. Vektorrum Tidigare har vi r knat upp en rad av r kneregler som g ller f r m=n-matriser. Dessa regler g ller inte bara f r varje matristyp m=n utan ocks f r m nga andra objekt som t.ex. funktioner, talf
Läs merSubtraktion. Räkneregler
Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom
Läs merDeterminanter. Exempel 1. Både (2, 1, 4, 3) och (4, 3, 1, 2) är permutationer av talen 1,...,4.
Determinanter Innan vi slår fast en definition av begreppet determinant, behöver vi gå inpånågra förberedande förklaringar En permutation av talen 1,,n är en uppräkning (j 1,,j n ) av dessa samma tal inågon
Läs merBegrepp :: Determinanten
c Mikael Forsberg 2008 1 Begrepp :: Determinanten Rekursiv definition :: Kofaktorutveckling Låt oss börja definiera determinanten för en 1 1 matris A = (a). En sådan matris är naturligtvis bara ett vanligt
Läs merc) Sarrus regel ger L6.2 Hur många lösningar har ekvationssystemen?
Avsnitt Determinanter L Använd determinanter för att avgöra om följande matriser är inverterbara ( ) a) b) 5 8 ( ) cos ϕ sin ϕ c) d) sin ϕ cos ϕ En matris A är inverterbar om och endast om det A Vi beräknar
Läs merLinjär Algebra M/TD Läsvecka 3
bild 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3 Omfattning och Innehåll Lay: 3.1-3.3 Determinanter. Definition, räkneregler och ett par viktiga satser. Huitfeldt: Om lösningsnoggrannhet: vektornorm, matrisnorm bild
Läs merMoment 6.1, 6.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T6.1-T6.6
Moment 6., 6. Viktiga exempel 6.-6. Övningsuppgifter T6.-T6.6 Matriser Definition. En matris är ett schema med m rader och n kolonner eller kolumner, som vi kallar dem i datalogin innehållande m n element.
Läs merDeterminanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
Läs mer6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =
62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader
Läs merMATRISTEORI. Pelle Pettersson MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens
MATRISTEORI Pelle Pettersson ALLMÄN MATRISKUNSKAP MATRISER En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens element Exempel Matrisen 2 3 4 5 6 har två rader och
Läs merKapitel 4 Inst llning av regulatorer I detta avsnitt skall vi i korthet betrakta problemet att st lla in regulatorer s att den slutna kretsen f r nska
Kapitel 4 Inst llning av regulatorer I detta avsnitt skall vi i korthet betrakta problemet att st lla in regulatorer s att den slutna kretsen f r nskade egenskaper. Situationen illustreras av reglerkretsen
Läs merkretsen och terv nder, ges den terv ndande signalen av d1 = G p G c è,1èd. Men denna st rning g r i sin tur runt kretsen och terv nder, och den terv n
Kapitel 5 Inst llning av regulatorer I detta avsnitt skall vi i korthet betrakta problemet att st lla in regulatorer s att den slutna kretsen f r nskade egenskaper. Situationen illustreras av reglerkretsen
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v
Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2
Läs merAvsnitt 4, Matriser ( =
Avsnitt Matriser W Beräkna AB då ( a A ( - b A B B ( 8 7 6 ( - - - och Först måste vi försäkra oss om att matrismultiplikationen verkligen går att utföra För att det ska gå måste antalet kolumner i den
Läs merMatriser. En m n-matris A har följande form. Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. 0 1, 0 0. Exempel 1
Matriser En m n-matris A har följande form a 11... a 1n A =.., a ij R. a m1... a mn Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. Exempel 1 1 0 0 1, 0 0 ( 1 3 ) 2, ( 7 1 2 3 2, 1 3, 2 1
Läs mer2 Bj rkfeltbjon Elementen a ii, i ;;n, i en kvadratisk matris bildar matrisens èhuvudèdiagonal. En enhetsmatris r en diagonalmatris med enbart ettor i
2. Matriser och vektorer Denition 2.. En matris r ett rektangul rt schema A B a a 2 æææ a n a 2 a 22 æææ a 2n,,,, a m a m2 æææ a mn CA av reella tal, som kallas matriselement. Matrisen A har m rader och
Läs merSjälvkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen
Läs merAvsnitt 2. Matriser. Matriser. Vad är en matris? De enkla räknesätten
Avsnitt Matriser Vad är en matris? De enkla räknesätten Matrismultiplikation Produkt av en rad med en kolumn Produkt av rader med en kolumn Produkt av rader med kolumner När är matrismultiplikationen definierad?
Läs merDagens program. Linjära ekvationssystem och matriser
Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,
Läs merLinjär Algebra M/TD Läsvecka 2
Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2 Omfattning och Innehåll 2.1 Matrisoperationer: addition av matriser, multiplikation av matris med skalär, multiplikation av matriser. 2.2-2.3 Matrisinvers, karakterisering
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =
Läs mer15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra
5 september, 5 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition och beräkning av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess
Läs mer14 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra
14 september, 2016 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess lösningar
Läs merDagens program. Repetition Determinanten Definition och grundläggande egenskaper
Dagens program Repetition Determinanten Definition och grundläggande egenskaper Radoperationers påverkan på erminanten Beräkning av erminanten för en trappstegsmatris Utveckling efter rad eller kolonn
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade
Läs merc d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)
1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab
Läs merLÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra II LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING Lös ekvationssystemet x + y + z 9 x + 4y 3z 3x + 6z 5z med hjälp av Gausselimination Lösning:
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 2015 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merDiagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.
Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Variabelbyte i linjära system di erentialekvationer. Målet med det kapitlet i kursen är att lösa linjära system di erentialekvationer på
Läs merMVE022 Urval av bevis (på svenska)
MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller
Läs merTMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 07 Chalmers tekniska högskola Datorlaboration Examinator: Tony Stillfjord TMV66 Linjär algebra för M Datorlaboration : Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning Allmänt Den
Läs mertid
Kapitel 2 Dynamiska system 2. Enkla systemtyper och deras stegsvar F r att knna konstrera reglatorer f r dynamiska system b r systemens egenskaper vara k nda. Innan vi g r vidare till att behandla modeller
Läs mer1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser
Krister Svanberg, april 1 1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser Inom ickelinjär optimering, speciellt kvadratisk optimering, är det viktigt att på ett effektivt sätt kunna avgöra huruvida
Läs mer1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser
Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merA. Grundläggande matristeori
A. Matristeori A. Grundläggande matristeori A.1 Definitioner A.1.1 Matriser och vektorer En matris är en rektangulär tabell av element ordnade i rader och kolonner (kolumner). Elementen i en matris kan
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merEn kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet
En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet Göran Starius, goran@chalmers.se Matematiska vetenskaper Chalmers/GU 2009 1 Introduktion Vi skall till varje kvadratisk matris A ordna ett tal, som kallas
Läs merMinsta kvadratfelet som funktion av packningst theten Packning (ggr)
Bildkomprimering med JPEG, Fraktaler och Krusningar èwaveletsè Projektarbete i Bildanalys av Jacob Str m, D-91 Handledare: Sven Spanne maj 1994 1 1 Inledning F rgrika datorbilder av h g uppl sning tar
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Läs merDagens program. Linjära ekvationssystem och matriser
Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,
Läs merYoungTabl er och m nsterundvikande Sverker Lundin September 200 YoungTabl er och m nsterundvikande Examensarbete i matematik Sverker Lundin Examinator: Einar Steingr msson Matematik Chalmers tekniska
Läs merMer om analytisk geometri
1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare
Läs merPermutationer med paritet
238 Permutationer med paritet Bernt Lindström KTH Stockholm Uppgift. Att studera permutationerna av talen 1 2... n och indelningen i udda och jämna permutationer ur olika aspekter. Permutationer är särskilt
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs mer1.6 Exempel p terkoppling terkoppling r en mycket kraftfull metod f r att p verka systems beteende ven i s dana fall d systemets dynamik eller st rningarna r endast ofullst ndigt k nda. S som vi sett kan
Läs merM = c c M = 1 3 1
N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-4.
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna -. Föreläsningarna, 6/9 /9 : I sammanfattningen kommer en del av det vi tagit
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merTMV166 Linjär algebra för M, vt 2016
TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 Lista över alla lärmål Nedan följer en sammanfattning av alla lärmål i kursen, uppdelade enligt godkänt- och överbetygskriterier. Efter denna lista följer ytterligare
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merGausselimination fungerar alltid, till skillnad från mer speciella metoder.
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM, GAUSSELIMINATION. MATRISER. Läs avsnitten 4.-4.. Lös övningarna 4.ace, 4.2acef, 4., 4.5-4.7, 4.9b, 4. och 4.abcfi. Läsanvisningar Avsnitt 4. Det här avsnittet handlar om Gauss-elimination,
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs merSkalle Histogram
Tentamen 980603 Medicinsk Bildbehandling, 5p Skrivtid 9:00 15:00 Betygsgr nser U: 0-34 3: 35-46 4: 47-57 5: 58-70 Svara p alla fr gor p nytt blad. M rk bladet med namn och fr genummer. Disponera tiden
Läs merAlla kopplingar inkl. kringutrustning skall redovisas. Rapporten skall vara skriven med ordbehandlare. Kopplingsschemor kan dock vara handritade. Ni m
Labkompendium, laboration 2 èsensorer & f rf rst rkareè Bj rn Starmark, MINA, Fysik, CTHèGU 1999 29 april 1999 1 Introduktion Labuppgiften r att med tv olika operationsf rst rkare èop07cp och LF351è m
Läs mer1 3H 0 2gre ordningens procedurer
1 3H 0 2gre ordningens procedurer 6 1 Anonyma procedurer DA2001 (F 0 2rel 0 1sning 8) Datalogi 1 H 0 2sten 2013 1 / 18 1 3H 0 2gre ordningens procedurer 6 1 Anonyma procedurer 6 1 Objekt DA2001 (F 0 2rel
Läs mer2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 tid
Kapitel 3 Dynamiska system 3. Enkla systemtyper och deras stegsvar F r att knna konstrera reglatorer f r dynamiska system b r systemens egenskaper vara k nda. Innan vi g r vidare till att behandla modeller
Läs merMer om linjära ekvationssystem
CTH/GU STUDIO 4 MVE465-2016/2017 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om linjära ekvationssystem Denna studioövning fortsätter med linjära ekvationssystem och matriser, som vi först tittade på i studioövning
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och
Läs merInnehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13
LINJÄR ALGEBRA Innehåll Linjärt ekvationssstem (ES) 5 Grundläggande algebra 3 3 Matrisalgebra 5 3 Addition av matriser 5 3 Multiplikation mellan matriser 7 33 Enhetsmatris 34 Invers matris 34 Nollmatris
Läs mer5.7. Ortogonaliseringsmetoder
5.7. Ortogonaliseringsmetoder Om man har problem med systemets kondition (vilket ofta är fallet), lönar det sig att undvika normalekvationerna vid lösning av minsta kvadratproblemet. En härtill lämplig
Läs merObjective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0
DEFINITIONEN AV LINJÄRT BEROENDE MED EXEMPEL Objective:: Linjärt beroende och oberoende version. Definitionen av linjärt beroende med exempel Vi börjar med ett inledande exempel för att motivera definitionen
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 207 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.. För
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 14, 2018 5. Indexnotation Precis som vi har räkneregler för
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merrsredovisning BRF R da Stugans Smycke 769618-9922
rsredovisning f r BRF R da Stugans Smycke 769618-9922 Styrelsen f r h rmed l mna sin redog relse f r f reningens utveckling under r kenskaps ret 213-1-1-213-12-31. Inneh llsf rteckning Sida - F rvaltningsber
Läs mer5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA
5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering
Läs merlinjära ekvationssystem.
CTH/GU LABORATION 2 TMV216/MMGD20-2017/2018 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Linjära ekvationssystem Denna laboration börjar med att vi påminner oss om matriser i Matlab samtidigt som vi börjar se på
Läs merBesvara frågorna genom att sätta ett kryss i lämplig ruta. Kom ihåg att det alltid frågas efter, vad Du anser eller hur Du brukar göra!
1 Besvara frågorna genom att sätta ett kryss i lämplig ruta. Kom ihåg att det alltid frågas efter, vad Du anser eller hur Du brukar göra! 1a Är Du man eller kvinna? 1 Man 2 Kvinna 1b Hur gammal är Du?
Läs merÖvningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Läs merStudiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2
Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Kapitel 2 och 3 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I detta avsnitt
Läs merc11 c 12 c 13 c 14 c 21 c 22 c 23 c 24 C = f 11 f 12 f f 1n
Moment 5.., 5.., 5..3, 5..4 Viktiga exempel 5., 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7 Handräkning 5.-5.7, 5.-5., 5.8-5.3, 5.33 Datorräkning Problem 5 till 4 i detta dokument Matriser Definition. En matris är ett schema
Läs mer1 Reducerat faktorförsök rf f
1 REDUCERAT FAKTORFÖRSÖK RF F 1 Reducerat faktorförsök rf f Vi skall med tre faktorer och således 2 3 försök reducera till ett fullständigt 2 2 försök. 1.1 Tre faktorer Vi repeterar med ett tidigare fullständigt
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av talen i R Intervall Absolutbelopp Olikheter 1 Prepkursen
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 016 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1.
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av
Läs mer1 De fyra fundamentala underrummen till en matris
Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,
Läs merrsbokslut R da Korset Storsj kretsen
1(7) rsbokslut f r R da Korset Storsj kretsen 893203-4880 Styrelsen f r h rmed l mna sin redog relse f r kretsens utveckling under r kenskaps ret 2013-01-01-2013-12-31. Verksamhetsber ttelsen redovisas
Läs merrsredovisning BRF Skopan 716422-0159 Styrelsen f r h rmed l mna sin redog relse f r f reningens utveckling under r kenskaps ret 2013-01-01-2013-12-31.
1(11) rsredovisning f r BRF Skopan 716422-0159 Styrelsen f r h rmed l mna sin redog relse f r f reningens utveckling under r kenskaps ret 2013-01-01-2013-12-31. Inneh llsf rteckning Sida - F rvaltningsber
Läs merSTADGAR FO R Hästhusets kusk-och ryttarförening Bildad den 24 mars 2015
STADGAR FO R Hästhusets kusk-och ryttarförening Bildad den 24 mars 2015 Stadgarna fastställda av årsmöte den 24 mars 2015 enligt Svenska Ridsportförbundets typstadgar fastställda av Förbundsstyrelsen 2005-08-18
Läs merKombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av
Kapitel 2 Kombinatorik Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av det antal sätt, på vilket elementen i en given mängd kan arrangeras i delmängder på något sätt.
Läs merkvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.
Turen har kommit till geometriska talföljder och summan av en geometrisk talföljd. Talföljden 1,, 4, 8, 16, 3,... är ett exempel på en geometrisk talföljd. Utmärkande för en geometrisk talföljd är att
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del I
Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en
Läs merBO AKADEMI KEMISK-TEKNISKA FAKULTETEN Laboratoriet f r reglerteknik DEPARTMENT OF CHEMICAL ENGINEERING Process Control Laboratory REGLERTEKNIKENS GRUN
BO AKADEMI KEMISK-TEKNISKA FAKULTETEN Laboratoriet f r reglerteknik DEPARTMENT OF CHEMICAL ENGINEERING Process Control Laboratory REGLERTEKNIKENS GRUNDER HANNU TOIVONEN Biskopsgatan 8 FINç20500 bo Finland
Läs merAvsnitt 6, Egenvärden och egenvektorer. Redan första produktelementet avslöjar att matrisen inte är en ortogonal matris. En matris 1 0.
Avsnitt Egenvärden och egenvektorer W Vilka av följande matriser är ortogonala? b d En matris A a a a n a a a n a a a n a m a m a mn är en ortogonal matris om dess kolumner bildar en ON-bas för rummet
Läs mer12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v
. SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer
Läs merLaboration: Vektorer och matriser
Laboration: Vektorer och matriser Grundläggande om matriser Begreppet matris är en utvidgning av vektorbegreppet, och det används bl a när man löser linjära ekvationssystem. Namnet Matlab står för MATrix
Läs merMatriser och vektorer i Matlab
CTH/GU LABORATION 3 TMV206-2013/2014 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Matriser och vektorer i Matlab I denna laboration ser vi på hantering och uppbyggnad av matriser samt operationer på matriser En
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del I
Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd
Läs mer3 differensekvationer med konstanta koefficienter.
Matematiska institutionen Carl-Henrik Fant 17 november 2000 3 differensekvationer med konstanta koefficienter 31 T Med en menar vi en av rella eller komplexa tal varje heltal ges ett reellt eller komplext
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I
Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs
Läs merLinjär algebra. 1 Inledning. 2 Matriser. Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1. CTH/GU STUDIO 1 TMV036b /2013 Matematiska vetenskaper
CTH/GU STUDIO 1 TMV06b - 2012/201 Matematiska vetenskaper Linjär algebra Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1 1 Inledning Vi fortsätter även denna läsperiod att arbete med Matlab i matematikkurserna
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs mer