kretsen och terv nder, ges den terv ndande signalen av d1 = G p G c è,1èd. Men denna st rning g r i sin tur runt kretsen och terv nder, och den terv n

Transkript

1 Kapitel 5 Inst llning av regulatorer I detta avsnitt skall vi i korthet betrakta problemet att st lla in regulatorer s att den slutna kretsen f r nskade egenskaper. Situationen illustreras av reglerkretsen i gur 5.1, d r G p r systemet som skall regleras och G c r regulatorn. Vi skall i denna kurs endast behandla enkla standardregulatorer, dvs P-, PI- och PID-regulatorer. Vi s g i avsnitt 2.4 att genom att ka f rst rkningen hos en P-regulator kunde den transienta responsen hos ett system av f rsta ordningen g ras godtyckligt snabb. Det visar sig emellertid att det i praktiken r viktigt att beakta stabiliteten hos den slutna kretsen, vilket s tter gr nser f r hur stora regulatorf rst rkningar som kan till tas. Man b r ven beakta att systemmodellen i praktiken alltid endast ger en approximation av det verkliga systemets dynamiska beteende. Den slutna kretsens stabilitet b r d rf r kunna garanteras ven i det fall att man har modelleringsfel. 5.1 Slutna kretsens stabilitet Det r l tt att inse att alltf r stora f rst rkningar i den slutna kretsen i gur 5.1 kan ge upphov till instabilitet. Antag att det kommer in en st rning d. D st rningen g r runt d r + e u y e -, 6 e G c G p +? Figur 5.1: Sluten krets. 48

2 kretsen och terv nder, ges den terv ndande signalen av d1 = G p G c è,1èd. Men denna st rning g r i sin tur runt kretsen och terv nder, och den terv ndande komponenten efter tv varv ges av d2 = G p G c è,1èd1 = è,g p G c è 2 d, osv. Om nu den terv ndande signalen,g p G c d r s dan att summan dètè +d1ètè+d2ètè+æææ = 1,G p G c +è,g p G c è 2 +æææ dètè è5.1è divergerar, v xer den ursprungliga signalen dètè ver alla gr nser, och kretsen i gur 5.1 r instabil. Stabiliteten kan enkelt unders kas genom att betrakta vad som h nder med sinusformade signaler. Dessa r speciellt enkla att studera, eftersom endast deras amplitud och fas èmen ej frekvensenè p verkas av systemen. Dessutom kan varje signal representeras med hj lp av sinus- och cosinusfunktioner, varf r det ej inneb r n gon begr nsning att unders ka enbart dessa signaltyper. Betrakta allts st rningen dètè = sinè!tè è5.2è St rningen ger upphov till f ljande signaler i kretsen èjfr gur 5.1, antas r =0è e1ètè =,dètè=,sinè!tè = sinè!t, è è5.3è u1ètè =,G c d = A Gc è!è sinè!t, + ' Gc è!èè è5.4è d1ètè =,G p G c d = A GcGp è!è sinè!t, + ' GcGp è!èè è5.5è d r A GcGp è!è = A Gc è!èa Gp è!è ' GcGp è!è = ' Gc è!è +' Gp è!è è5.6è è5.7è r f rst rkningen respektive fasf rskjutningen hos seriekopplingen G p G c. Om nu den totala fasf rskjutningen r,2 =,360 æ, vilket g ller om èjfr è5.5è ' GcGp è!è =,=,180 æ è5.8è f s att d1ètè = A GcGp è!è sinè!t, 2è è5.9è = A GcGp è!è sinè!tè è5.10è dvs signalen r i fas med den inkommande st rningen efter att den g tt runt kretsen, och summan è5.1è divergerar. Villkoret f r att summan è5.1è inte divergerar r att A GcGp è!è =A Gc è!èa Gp è!èé1 è5.11è 49

3 skall g lla vid den frekvens d r è5.8è h ller. Denna frekvens, f r vilken den totala fasf rskjutningen hos den slutna kretsens element èexklusive teckenbytetè r, =,180 æ,kallas ibland kretsens kritiska frekvens, och brukar betecknas! c. Vi f r f ljande villkor f r stabilitet, som g ller f r det fall att G c och G p r stabila system. Bodes stabilitetskriterium Den slutna kretsen i gur 5.1 r stabil om f rst rkningen hos seriekopplingen G p G c r mindre n ett vid den kritiska frekvensen! c, vid vilken fasf rskjutningen hos seriekopplingen G p G c r,180 æ. A(ω) A(ω c ) φ(ω) ω c Figur 5.2: Bodes stabilitetskriterium. Den slutna kretsens stabilitet kan avl sas ur ett Bodediagram f r det seriekopplade systemet G p G c. Den slutna kretsen r stabil om f rst rkningen uppfyller Aè! c è é 1 vid den kritiska frekvensen! c, vid vilken fasf rskjutningen r,180 æ. Med hj lp av Bodes stabilitetskriterium kan den slutna kretsens stabilitet direkt avl sas utg ende fr n ett Bode-diagram f r seriekopplingen G p G c : f rst rkningen vid den frekvens d r fasf rskjutningen r,180 æ b r vara mindre n ett f r stabilitet. Situationen illustreras gur 5.2. En konsekvens av stabilitetskriteriet r att regulatorns f rst rkning A Gc è! c è vid den kritiska frekvensen begr nsas av villkoret è5.11è. F r stabila system g ller d rf r, att det existerar en maximal f rst rkning som regulatorn kan ha f r att den slutna kretsen skall vara stabil. Fr n stabilitetskriteriet f ljer vidare, att ett system vars f rst rkning A Gp è! c è vid den kritiska frekvensen r liten i f rh llande till f rst rkningen vid frekvensen noll r i allm nhet l ttare att reglera n system vars f rst rkning r stor vid den kritiska frekvensen. I det 50

4 senare fallet m ste regulatorn konstrueras s att den bidrar den fordrade d mpningen vid kritiska frekvensen. Detta r fallet f r d dtidssystem, eftersom en d dtid bidrar med endast fasf rskjutning men ger ingen d mpning èjfr frekvenssvaret, ekvationerna è4.37è och è4.38è. System med l nga d dtider r s ledes i allm nhet sv ra att reglera. Exempel 5.1 Unders k stabiliteten hos reglerkretsen i gur 5.1 d systemet G p r en ren d dtid L, dvs G p uètè = uèt, Lè, och regulatorn r en P-regulator, dvs G c eètè = K c eètè. Unders k vad som h nder d en kortvarig och verg ende st rning d kommer in. F r vilka v rden p K c r reglerkretsen stabil? J mf r slutsatserna med Bodes stabilitetskriterium, d man anv nder det faktum att frekvenssvaret hos ett d dtidselement ges av ekvationerna è4.37è och è4.38è. 5.2 Inst llning av standardregulatorer Vi skall till slut ge n gra enkla regler f r inst llning av standardregulatorer. M ls ttningen med regleringen r dels att ge god reglerprestanda, och dels att garantera stabiliteten hos reglerkretsen. Reglerprestandan inneb r i praktiken t.ex.: æ snabb respons vid f r ndringar i b rv rdet, dvs y skall snabbt f lja ndringar i r utan att sacka efter. æ snabb kompensation av st rningar, dvs inverkan av st rningarna d p utsignalen y skall snabbt elimineras av regleringen, æ fullst ndig eliminering av stegst rningar, dvs yètè! r efter stegformade st rningar, æ alltf r snabba variationer i styrsignalen u skall undvikas, t.ex. f r att ej n ta p apparaturen. Samtidigt som reglerprestandan skall vara god, b r man garantera stabiliteten hos den slutna kretsen. Stabiliteten b r kunna garanteras ven i det fall att systemmodellen G p inte r exakt utan inneh ller modelleringsfel. En regulator som garanterar stabilitet trots os kerheter i systemmodellen s gs vara robust. Bodes stabilitetskriterium ger ett enkelt kriterium f r robusthet. Om regulatorns f rst rkning v ljs s att A m æ A Gc è! c èa Gp è! c è=1; d r A m é 1 è5.12è vid den kritiska frekvensen! c,kan f rst rkningen hos G p till tas ka med faktorn A m utan att slutna kretsen blir instabil. Faktorn A m kallas kretsens f rst rkningsmarginal eller amplitudmarginal, och r ett m tt p regulatorns robusthet mot os kerheter i systemets f rst rkning. Kraven p god reglerprestanda och robusthet r i praktiken of renliga. Extremt god prestanda inneb r vanligen d lig robusthet mot modellos kerheter, eftersom regulatorn d tvingas ta i med kraftiga regler tg rder, vars inverkan p utsignalen kan best mmas med tillr cklig noggrannhet endast med en noggrann modell. God robusthet inneb r andra sidan d lig prestanda, eftersom regulatorn inte kan till tas g ra n got alls om stabilitet skall kunna garanteras f r mycket stora modellos kerheter. I praktiken inneb r regulatorsyntes 51

5 alltid en kompromiss mellan prestanda och robusthet, som beror p bl.a. noggrannheten hos den systemmodell som man har. Regulatorer som ger m jligast god prestanda under beaktande av givna robusthetskriterier kan ber knas med hj lp av s.k. optimal och robust reglerteori. Dessa metoder r emellertid ganska invecklade och deras till mpning r d rf r motiverad endast i kritiska och speciellt besv rliga reglerproblem. F r standardtill mpningar har man utvecklat ett antal enkla metoder f r inst llning av regulatorer av standardtyp. Metoderna r utvecklade s att de ger goda tumregler f r regulatorinst llning f r de esta 'normala' system. Man kan l st s ga att 99è av alla praktiska reglerproblem h r till dessa. D remot garanterar tumreglerna inte bra resultat f r mera komplicerade system. Vi skall h r betrakta en PID-regulator av den typ som diskuterades i avsnitt 2.4, jfr ekvation è2.28è. Man brukar vanligen skriva regulatorn i formen uètè =K c eètè+ 1 T i Z t =0 eè èd + T deètè d dt è5.13è d r K c r regulatorns f rst rkning, T i r den s.k. integrationstiden och T d r den s.k. deriveringstiden. Den enklaste metoden f r regulatorinst llning utnyttjar information enbart om den kritiska frekvensen och systemets f rst rkning vid den kritiska frekvensen. Flera metoder f r regulatorinst llning har f reslagits, men den b st k nda och vanligaste r en metod som ursprungligen presenterats av Ziegler och Nichols, och som kan sammanfattas enligt nedan. Ziegler och Nichols regulatorinst llning 1. Best m den kritiska frekvensen f r kretsen i gur 5.1 f r det fall d G c r en P-regulator èmed fasf rskjutningen nollè. Best m med andra ord den frekvens! c f r vilken ' Gp è! c è=,180 æ. 2. Ber kna den maximala f rst rkningen K c;max hos en P-regulator som man kan ha innan reglerkretsen blir instabil. Enligt stabilitetsvillkoret è5.11è ges K c;max av K c;max = 1 A Gp è! c è è5.14è 3. Ber kna regulatorparametrarna enligt f ljande tabell, d r P u anger perioden f r den od mpade sv ngningen med vinkelfrekvensen! c, dvs P u =2=! c. Regulator K c T i T d P 0:5K c;max - - PI 0:45K c;max 0:8P u - PID 0:6K c;max P u =2 P u =8 Observera att enligt rekommendationerna v ljs P-regulatorn s att f rst rkningsmarginalen r A m =2,medan f rst rkningarna hos PI- och PID-regulatorerna justeras n got p 52

6 grund av att regulatorns integrator ger en extra negativ fasf rskjutning, medan deriveringstermen bidrar med en positiv fasf rskjutning. Observera ocks att det i litteraturen f rekommer ett antal varianter av Ziegler-Nichols rekommendationerna som skiljer sig n got fr n dem som ges i tabellen ovan. Rekommendationerna skall emellertid uppfattas som riktgivande, och i praktiken b r ofta en njustering av regulatorinst llningen g ras. Ziegler-Nichols regulatorinst llningar ger t.ex. i allm nhet en n got f r kraftig regulatorf rst rkning, vilket leder till en en oskillerande respons efter b rv rdesf r ndringar. Exempel 5.2 Best m en PI-regulator enligt Ziegler-Nichols rekommendationer f r reglering av ett system som best r av en ren d dtid L. 53