2 Bj rkfeltbjon Elementen a ii, i ;;n, i en kvadratisk matris bildar matrisens èhuvudèdiagonal. En enhetsmatris r en diagonalmatris med enbart ettor i

Transkript

1 2. Matriser och vektorer Denition 2.. En matris r ett rektangul rt schema A B a a 2 æææ a n a 2 a 22 æææ a 2n,,,, a m a m2 æææ a mn CA av reella tal, som kallas matriselement. Matrisen A har m rader och n kolonner och s gs d rf r vara en mn-matris, d r mn utg r matrisens typ. D man vill framh lla beteckningen f r As matriselement, skriver man ofta A èa ik è. Talet a ik r allts matriselementet i rad i och kolonn k eller som man s ger matriselementet p platsen èi; kè. Denition 2.2. Tv matriser A èa ik è och B èb ik è s gs vara lika èa Bè, om de r av samma typ och a ik b ik f r varje i och k. Exempel 2.. Ett r kneschema som t.ex. det h r till v nster, 2 3 j j j 2 A ;,2 5 3 A ;,,3 r en 34-matris. Att vi har skrivit in streck som utm rker var likhetstecknen skall st, hindrar inte att vi kallar schemat en matris. Till h ger har vi en 32-matris. Denition 2.3. F r varje typ mn kan vi skriva ut en nollmatris, dvs. en matris som best r av enbart nollor. Dessa betecknas alla med. En radvektor respektive kolonnvektor r en matris av formen a èa a 2 æææ a n è ; respektive b B b b 2 b m CA En mn-matris s gs vara kvadratisk om m n. En kvadratisk matris A èa ik è r en diagonalmatris om a ik f r alla i och k med i 6 k, dvs. om den har utseendet A B a æææ a 22 æææ,,,, CA æææ a nn

2 2 Bj rkfeltbjon Elementen a ii, i ;;n, i en kvadratisk matris bildar matrisens èhuvudèdiagonal. En enhetsmatris r en diagonalmatris med enbart ettor i diagonalen. Alla enhetsmatriser betecknas med I. D man vill framh lla enhetsmatrisens typ nn, kan man skriva I n. Kroneckers delta, æ ik ; om i k ; om i 6 k r den g ngse beteckningen f r matriselementen i en enhetsmatris I èæ ik è. En upp t respektive ned t triangul r matris har den allm nna formen B æ æ æ æææ æææ æ æ,,,, æ CA resp B æ æ æ,,,, æ æ æææ æ d r vi har anv nt konventionen att en stj rna symboliserar vilket tal som helst medan ett tomrum st r f r en nolla. Addition och multiplikation med skal r Vi skall nu deniera tv r kneoperationer f r matriser. Antag att A èa ik è och B èb ik è r tv matriser av samma typ mn och l t vara ett reellt tal, en skal r. Denition 2.2. Addition av matriser denieras genom A + B èa ik + b ik è ; dvs. matriser adderas s att motsvarande matriselement adderas. Multiplikation med skal r denieras genom A èa ik è ; dvs. en matris multipliceras med en skal r s att varje matriselement multipliceras med. Exempel 2.2. Vi har t.ex. att è,2è,2 3, ,2 4,6 8 ; CA ; F ljande egenskaper èr knereglerè kan l tt verieras f r addition och multiplikation med skal r Om A, B, C r mn-matriser och æ och æ r reella tal, dvs. skal rer, s g ller èiè A + B B + A èa + Bè+C A+èB+Cè èkommutationslagenè; èassociationslagenè;

3 Matriser och vektorer 3 A +A; Mot varje matris A svarar en matris A, s dan att A + A èv lj A è,èaè. èiiè èææèa æèæaè; A A; A ; æ. èiiiè æèa + Bè æa + æb èæ + æèa æa + æa èdistributionslagè; èdistributionslagè. Som ett exempel verierar vi kommutationslagen f r matriser med hj lp av kommutationslagen f r reella tal Om A èa ik è och B èb ik è, r uppenbarligen A + B èa ik + b ik èèb ik + a ik èb+a Matrismultiplikation Vi inf r nnu en r kneoperation f r matriser, n mligen multiplikation av matriser med varann. Ett exempel motiverar de denitioner som skall sl s fast Exempel 2.3. Betrakta ett linj rt ekvationssystem èè 3x +2x 2 +3x 3 5 2x, x 2 + x 3 4 x + x 2, x 3 6 Med detta system r det naturligt att associera matrisen A 2, A ;, den s.k. koecientmatrisen, och kolonnvektorerna x x x 2A och b 5 4 x 3 6 Vi vill deniera matrisprodukten Ax av A och x s, att systemet èè kan skrivas Ax b. Detta betyder att v r denition m ste bli s dan att Ax 2,, A x x 2 A A 3x +2x2+3x3 2x,x 2 +x 3A x 3 x +x 2,x 3 F r att f t.ex. det andra elementet 2x,x 2 +x 3 i matrisprodukten Ax, v ljer vi den andra raden a 2 i A och bildar summan av produkterna av element p motsvarande platser i a 2 och x.

4 4 Bj rkfeltbjon Exemplet visar hur denitionerna b r g ras Denition 2.3. Produkten av en radvektor a och enkolonnvektor b med lika m nga element ren-matris denierad genom abèa a 2 æææ a n è B b b 2 CAèa b +a 2 b 2 ++a n b n è b n Man identierar sedan -matrisen èa b + æææ+a n b n è med talet a b + æææ+a n b n. Denition 2.4. Produkten Ax av en mn-matris A èa ik è och enkolonnvektor x a x B x x 2 CA av typ n, x n r en kolonnvektor av typ m, i vilken element nummer i f s som produkten a i x av rad i i A med x Ax A a m x Om vi betecknar element nummer i i Ax med èaxè i, r allts èaxè i a i x + a i2 x 2 + æææ+a in x n k a ik x k èi ;;mè Det r h r p sin plats att g ra en nyttig observation. I exempel 2.4 ovan f r vi enligt reglerna f r addition och multiplikation med skal r Ax 3x +2x 2 +3x 3 2x,x 2 +x 3,x 2 A 3x3 2x A+ 2x2 x +x 2,x 3 x x 2 x 3 2A +x2 2, A +x3 3 A, A+ 3x3 x 3 A,x 3 Ax r en s kallad linj rkombination av kolonnerna i A. Koecienten framf r varje kolonn r motsvarande komponent ivektorn x. Allm nt bevisas p samma s tt som ovan Sats 2.. Om A èa a 2 æææ a n è r en mn-matris med kolonnerna a, a 2,, a n och x r en kolonnvektor med komponenterna x, x 2,, x n, s g ller att Ax r en linj rkombination, Ax x a + x 2 a 2 + æææ+x n a n ; av a, a 2,, a n.

5 Matriser och vektorer 5 L t oss nu anta att A r en mn-matris och att B è b æææ b p è r en npmatris. D r Bs kolonner b j avtypen n, s att produkterna Ab j kan bildas. Denition 2.5. Med matrisprodukten AB av de ovann mnda matriserna avses den matris vars kolonner èi ordningsf ljdè r Ab,, Ab p, dvs. AB èab æææ Ab p è Hur ser matriselementet èabè ik p platsen èi; kè i matrisen AB ut? Enligt denitionen r èabè ik element nummer i ikolonnen Ab k, dvs. produkten av rad i i A med kolonn k i B è b k è, èabè ik èa i æææ a in è b k b nk A a i b k + a i2 b 2k + æææ+a in b nk j a ij b jk Vi sammanfattar tre s tt att se p matrismultiplikationen i en sats Sats 2.2. L t A vara en mn-matris och B en np-matris. Vi betecknar raderna i A med a i och kolonnerna i B med b k s att D g ller A a A och B èb æææ b p è a m èiè èabè ik j a ij b jk ; èiiè AB èab æææ Ab p è; èiiiè AB a B a m B Bevis. Vi har redan verierat èiè medan èiiè r sj lva denitionsuttrycket. D terst r det bara att veriera èiiiè Enligt denitionerna 2.5 och 2.4 r AB èab æææ Ab p è A a b æææ a b p A ab a m b æææ a m b p a m B A í Anm rkning. Observera att produkten av tv matriser A och B av typen mn respektive pq r denierad bara om n p och att AB d detta g ller kommer att vara av typen mq. Om n 6 p s r produkten AB allts inte denierad.

6 6 Bj rkfeltbjon Exempel 2.4. En produkt av tv matriser av typerna 32 och 22 r denierad och resultatet blir en 32-matris 2 4 3,2, A æ 5+æ7 4æ5+3æ7,2æ5,æ7 2æ6+æ8 4æ6+3æ8,2æ6,æ8 A A,7,2 Vi kommer i forts ttningen att beh va en formel r rande summatecken. Giltigheten hos denna formel beror i grunden p att termernas ordningf ljd i en summa av tal kan bytas om hur som helst och p att termer kan grupperas med parenteser hur som helst Betrakta mn stycken dubbelindicerade tal, som vi skriver i form av ett rektangul rt schema a a 2 æææ a n a 2 a 22 æææ a 2n,,,, a m a m2 æææ a mn Om vi f rst summerar talen i kolonnerna och d refter bildar summan av kolonnsummorna, s f r vi X a ik! a ik i;k k è m X andra sidan, om vi f rst summerar talen i raderna och d refter bildar summan av radsummorna, f r vi X a ik mx! a ik i;k èx m i Eftersom dessa tv summor r lika, f s formeln k i a ik! i è n X k mx èx n i k a ik! ; som l st uttryckt s ger att ordningsf ljden p summatecken kan bytas om. Beteckningen M ik f r matriselementet p platsen èi; kè i en matris M r ofta bekv m att anv nda. Vi anv nder den i beviset av n sta sats. Sats 2.3. èaè Om matrisen A r av typen mn, B av typen np och C av typen pr, s g ller associationslagen AèBCèèABèC èbè Om matrisen A r av typen mn samt B och C av typen np, s g ller distributionslagen AèB + Cè AB + AC

7 Matriser och vektorer 7 Bevis. èaè F r ett matriselement p engodtycklig plats èi; kè i AèBCè r èaèbcèè ik A ij èbcè jk è p A ij X! B jl C lk j px A ij B jl C lk px l l j px X n A ij B jla Clk px j j l j l l A ij B jl C lk èabè il C lk èèabècè ik ; dvs. AèBCèèABèC. èbè F r ett matriselement p engodtycklig plats èi; kè i AèB + Cè r èaèb + Cèè ik j A ij èb + Cè jk j èa ij B jk + A ij C jk è A ij èb jk + C jk è A ij B jk + j j j dvs. AèB + Cè AB + AC. í M rk. Multiplikation med en enhetsmatris r speciellt enkel, dvs. A ij C jk èab + ACè ik ; IA A och AI A om matrisprodukterna r denierade. M rk 2. Matrismultiplikationen beh ver inte vara kommutativ. Om A r av typen mn och B av typen np, s rab denierat medan BA inte r denierat om m 6 p. Men ocks d m p kan AB och BA vara olika, vilket f ljande exempel visar ; M rk 3. En matrisprodukt kan kan bli noll utan att n gondera faktorn r noll AB 2 6,2 2 4,3 P grund av detta beh ver f rkortningsregeln inte g lla, dvs. ur AB AC beh ver inte f lja att B C. Med samma matriser A och B som nyss kan vi v lja C. D r ju AB AC men B 6 C.

8 8 Bj rkfeltbjon Transponerade matriser L t A vara en godtycklig mn-matris. Denition 2.6. Med As transponerade matris A T èofta uttalat A-transponatè f rst s den matris som f s d man i A l ter rader och kolonner byta plats. Om A r av typen mn, ra T avtypen nm. Vidare g ller f r matriselementen i dessa matriser att èa T è ik A ki. Exempel 2.5. Om 4 A A s r A T F r transponeringsoperationen g ller f ljande r kneregler Sats 2.4. Om A och B r matriser av s dan typ att ifr gakommande operationer r denierade och om 2 R, r èiè èa + Bè T A T + B T ; èiiè èaè T A T ; èiiiè èabè T B T A T ; èivè èa T è T A Bevis. Vi bevisar t.ex. regel èiiiè Matriselementet p en godtycklig plats èk; iè i èabè T r èèabè T è ki èabè ik X A ij B jk XèA T è ji èb T è kj S ledes g ller regeln èiiiè. í j X j j èb T è kj èa T è ji èb T A T è ki Anm rkning. En f ljd av detta r en annan variant av distributionslagen n den i Sats 2.3 Om matriserna A, B och C r s dana att ifr gakommande operationer r denierade, r è2è èa + BèC AC + BC Enligt Sats 2.3 r n mligen C T èa T +B T èc T A T +C T B T och genom att transponera b gge leden och till mpa reglerna i Sats 2.4 f s è2è.

9 vningsuppgifter. L s matrisekvationen a b R kna ocks ut c d Matriser och vektorer 9, 2 2, 2 2 a. c b d 2. Best m alla kolonnvektorer x s dana att Ax b, d r 2 A, A och b 2 A A L s matrisekvationen AX B, d r och B L t x n och y n beteckna inv narantalet i centrum respektive f rorterna i en stad r n. rligen yttar 3è av m nskorna i centrum ut till f rorterna och 2è av f rortsbefolkningen in till centrum. Dessutom yttar è av hela inv nartalet fr n orten èfr n varje stadsdelè varje r medan 5 yttar till staden. Av de sistn mnda bos tter sig 5 i centrum medan 45 bos tter sig i f rorterna. Best m de rekursionsformler, som ger x n+ och y n+ uttryckta med hj lp av x n och y n samt skriv dessa i matrisform èa r en 22-matrisè xn+ xn b A + y n+ y n b 2 5. Best m m ngden M av alla matriser X som kommuterar med A 2, dvs. 2 3 som har egenskapen XA AX. 6. Om A r en kvadratisk matris s denieras sp ret av A èbetecknas trèaè eller spèaèè som summan av èhuvudèdiagonalelementen i A. èaè Visa att trèa + Bè trèaè + trèbè och trèaè trèaè, è 2 Rè. èbè Bevisa att om B r av typen mn och C av typen nm s r trèbcè trècbè. 7. Visa att om A r en godtycklig matris s r AA T och A T A symmetriska èen matris M r symmetrisk om M T Mè. Visa med exempel att dessa tv produkter inte beh ver vara lika. Visa ocks att A + A T r symmetrisk, om A r kvadratisk. Hur r det med A, A T? 8. èaè Visa att det inte nns n gra 22-matriser A och B s dana att AB, BA I genom att studera det ekvationssystem som matrisekvationen denierar èa, B betyder A +è,èbè. èbè Visa att ekvationen AB, BA I r om jlig f r vilka nn-matriser A och B som helst. Ledning Anv nd uppgift 6.

10 2 Bj rkfeltbjon 9. Bevisa att om matrisekvationen AX B har er n en l sning, s har den o ndligt m nga. Ledning Om X och X 2 r l sningar, unders k X 3 sx +tx 2 ès; t 2 Rè.. En kvadratisk matris s gs vara idempotent, oma 2 A. èaè Visa att 2,2,4 A, 3 4 A r idempotent.,2,3 èbè Visa att om AB A och BA B, s raoch B idempotenta.. S k en matris A som satiserar ekvationen 2 2 2, A A 2 A 2. Unders k om det nns n gon matris A som satiserar ekvationen è 2 3èA 3, 2 3. En kvadratisk matris A èa ik è s gs vara stokastisk om a ik, f r varje i och k, och om alla kolonnsummor blir èdvs. Pi a ik, k ; 2;è. Visa att produkten av tv stokastiska matriser r en stokastisk matris. 4. Visa att om A r en idempotent matris, s r ocks f ljande matriser idempotenta èaè A T ; èbè I, A; ècè A n ; n2 Z + 5. L t A èa ik è, B èb ik è och C èc ik è beteckna mn-matriser. èaè Antag f rst att y T Cx f r alla kolonnvektorer y och x av typerna m respektive n. Visa att e T i Ce k c ik, d r e j è è T har en etta som jte komponent men i vrigt best r av nollor. Dra slutsatsen att C. èbèvisa med hj lp av èaè att om y T Ax y T Bx f r alla s dana y och x som i èaè, s r A B. ècè Visa med hj lp av èbè att om Ax Bx f r varje n-vektor x, s rab. 6. L s matrisekvationen a +2b 3a,b 4 3 c+2d 3c,d 2 7. Proteiner èp è, kolhydrater èkè och fetter èf è b r nnas i en viss foderblandning i f rh llandena Dessa f rekommer èm tt i gram per gè i fettfri mj lk èmè, sojamj l èsè och vassla èv è enligt tabellen èmè èsè èv è èp è èkè èf è 7

11 Matriser och vektorer 2 Best m èom m jligtè en blandning som ger de r tta proportionerna. decimaltal i kalkylerna.è èanv nd 8. L t x vara en n-radvektor och B en np-matris. Visa att matrisprodukten xb kan skrivas som en linj rkombination av raderna i B. 9. L t A vara en mn-matris s dan att AA T r en mm-nollmatris. Visa att A. 2. St ll upp ett ekvationssystem, vilkets l sning anger hur m nga molekyler x i av varje slag som b r skrivas in i den kemiska formeln f r att antalet atomer av de olika grund mnena skall vara detsamma b de f re och efter reaktionen èaè x MnS + x 2 As 2 Cr O 35 +x 3 H 2 SO 4! x 4 HMnO 4 +x 5 AsH 3 +x 6 CrS 3 O 2 +x 7 H 2 O; èbè x PbN 6 +x 2 CrMn 2 O 8! x 3 Pb 3 O 4 +x 4 Cr 2 O 3 +x 5 MnO 2 +x 6 NO ècè x NaHCO 3 +x 2 H 3 C 6 H 5 O 7!x 3 Na 3 C 6 H 5 O 7 +x 4 H 2 O+x 5 CO 2 2. Betrakta en ekonomi best ende av tre sektorer Kemikalier & Metaller èkè, Energi èeè och Maskiner èmè. Antag att varje sektor s ljer en viss procent av sin produktion till de tv andra enligt schemet 3 K 8 E M g. och anv nder resten sj lv. Best m priset p varje sektors produktion èper tidsenhetè s att ekonomin r i balans èvarje sektors utgifter r lika stora som sektorns inkomsterè. Bortse fr n andra inkomster och utgifter n de som h rr r fr n ovann mnda handel. 22. En bj lke, som st ds under b gge ndorna, p verkas av tre krafter f, f 2, f 3 som i g. 2, varvid bj lken f rskjuts ned t str ckorna y, y 2, y 3. L t f och y vara y y 2 y 3 f f 2 f 3 g. 2

12 22 Bj rkfeltbjon kolonnvektorerna med komponenterna f i respektive y i. Enligt Hookes lag r y Df, d r D r en 33-matris. F rklara hur kolonnerna i D èexibilitetsmatrisenè kan best mmas èm tasè genom att applicera l mpliga krafter. Vilken fysikalisk tolkning har kolonnerna i D, èstyvhetsmatrisenè? 23. èaè I g. 3 èaè r tv rsnittet genom en metallbj lke uppritad. Den v nstra, h gra, vre respektive undre sidan av bj lken har av yttre orsaker temperaturen æ C, 4 æ C, 3 æ C respektive 2 æ C grader. Eftersom termisk j mvikt antas r da, r temperaturen T k ivarje nod ènoderna r utm rkta med cirklar i gurernaè approximativt medeltalet av temperaturerna i de angr nsande noderna èt.ex. r 4T T 2 + T 3 è. Best m temperaturen i varje nod. (a) 3 3 (b) T T 2 4 T T 2 T 3 4 T 3 T 4 4 T 4 T 5 T g. 3 èbè G r detsamma f r tv rsnittet i g. 3 èbè. Ledning Utnyttja symmetrin i temperaturf rdelningen f r att f renkla kalkylerna.