Vektorrum 43 Exempel 4.. M ngden E av alla m=n-matriser, f rsedd med vanlig matrisaddition och vanlig multiplikation av en matris med en skal r, r ett

Transkript

1 4. Vektorrum Tidigare har vi r knat upp en rad av r kneregler som g ller f r m=n-matriser. Dessa regler g ller inte bara f r varje matristyp m=n utan ocks f r m nga andra objekt som t.ex. funktioner, talf ljder, matrisf ljder osv. F r att inte beh va upprepa alla bevis f r varje typ av objekt, inf r vi begreppet vektorrum som en m ngd av abstrakta objekt (vektorer), som kan representera vilket som helst av de ovann mnda slagen av objekt. Allt som kan bevisas f r vektorer i vektorrum, kommer d automatiskt att g lla f r varje slag av objekt som underlyder vissa gemensamma grundr kneregler som vi kallar axiom. P samma s tt har ju det abstrakta talet 2 inf rts f r att man inte skall beh va ha skilda bevis f r multiplikation med tv liter och f r multiplikation med tv grodor. Axiom f r vektorrum Det matematiska begreppet vektorrum r centralt i den linj ra algebran. Vi inf r det genom att r kna upp en rad av axiom (= r kneregler) som ett vektorrum skall uppfylla. Dessa axiom r ett urval bland de r kneregler som vi tidigare har konstaterat att g ller f r matriser. Denition 4.. En m ngd E s gs vara ett vektorrum och elementen i E kallas vektorer, om tv r kneoperationer, addition och multiplikation med skal r, r denierade i E s att de nedan uppr knade axiomen g ller. Additionen tillordnar varje par x; y i E en summa x + y i E och multiplikationen med skal r tillordnar varje par, x ( 2 R, x 2 E) en produkt x i E, s att f ljande g ller: I: (a) x + y = y + x (x; y 2 E); (kommutationslag) (b) x + (y + z) = (x + y) + z (x; y; z 2 E); (associationslag) (c) Det nns ett element i 2 E, kallat nollvektorn, s dant att x + = x (d) F r varje x 2 E nns ett element x 2 E, den motsatta vektorn, s dant att x + ( x) = II: (a) (x) = ()x; (; 2 R; x 2 E); (associationslag) (b) x = x (x 2 E) III: (a) ( + )x = x + x ; (; 2 R; x 2 E); (distributionslag) (b) (x + y) = x + y ; ( 2 R; x; y 2 E); (distributionslag) : Vi ger genast n gra exempel p m ngder som r vektorrum:

2 Vektorrum 43 Exempel 4.. M ngden E av alla m=n-matriser, f rsedd med vanlig matrisaddition och vanlig multiplikation av en matris med en skal r, r ett vektorrum, eftersom de ovan uppr knade axiomen l tt kan konstateras g lla f r dessa operationer. Speciella exempel p vektorrum r f ljaktligen m ngden R m av alla m=-matriser, dvs. kolonnvektorer, och m ngden R n av alla =n-matriser, dvs. radvektorer. Man brukar anv nda samma beteckning f r b gge, dvs. R m och R n, p grund av att skillnaden mellan en kolonnvektor och en radvektor r obetydlig: Den ena typen verg r ju i den andra genom transponering (det r bara vid matrismultiplikation som det r v sentligt hur man skriver en vektor). D m och n r 2 eller 3 representerar vektorrummen R 2 och R 3 p k nt s tt ett tv - respektive ett tredimensionellt koordinatsystem. Exempel 4.2. M ngden M av alla funktioner f : R! R med denitionsm ngden [a; b] r ett vektorrum d f ljande r kneoperationer r denierade i M: I: Om f 2 M och f 2 2 M s denieras f + f 2 genom (f + f 2 )(x) = f (x) + f 2 (x) ; x 2 [a; b] ; II: Om f 2 M och 2 R, denieras f genom (f )(x) = f (x) ; x 2 [a; b] : B de f + f 2 och f r funktioner i m ngden M. Att alla axiomen r uppfyllda r l tt att veriera (p grund av att de reella talen uppfyller axiomen). T.ex. r nollvektorn i axiom I (c) precis den funktion (betecknad med och kallad nollfunktionen), som har v rdet i hela intervallet [a; b]. Att axiom I (d) r uppfyllt ser vi av f ljande: Om f 2 M s v ljer vi f att vara ( )f. D r f + ( f ) =, ty (f + ( f ))(x) = f (x) + ( f )(x) = f (x) f (x) = ; x 2 [a; b] : Exempel 4.3. M ngden E av alla funktioner f : R! R n, med denitionsm ngden [a; b] och med v rden i vektorrummet R n, r ett vektorrum d operationerna denieras som i f reg ende exempel. Axiomen r l tta att veriera p grund av att v rdem ngden R n r ett vektorrum. Utg ende fr n axiomen kan hela teorin byggas upp systematiskt. Vi bevisar h r som exempel n gra grundl ggande saker:. Nollvektorn r entydig. Om b de och 2 r nollvektorer i ett vektorrum, s g ller: x + = x f r varje x =) 2 + = 2 x + 2 = x f r varje x =) + 2 = : Eftersom additionen r kommutativ, r d rmed = 2.

3 44 Bj rkfeltbjon 2. Vektorn x r entydig, d vektorn x r given. Om b de ( x) och ( x) 2 r motsatta vektorer till x, r ( x) +x = och x+( x) 2 = och d rmed r de lika: ( x) = ( x) + (x + ( x) 2 ) = (( x) + x) + ( x) 2 = ( x) 2 : P grund av denna entydighet och kommutativiteten kommer x och x att vara varandras motsatta vektorer, s att ( x) = x : 3. F r givna x och y har ekvationen x + t = y den entydiga l sningen t = y + ( x). P grund av associativiteten beh ver man inte skriva ut parenteser i summor. Vi f r d f ljande ekvivalenser genom att addera x (eller x) till b gge leden: x + t = y, ( x) + x + t = ( x) + y, t = ( x) + y : I forts ttningen kommer vi oftast att anv nda beteckningen y x i st llet f r y + ( x). 4. Det g ller att x = om och endast om = eller x =. F rst ses att x =, ty om man l ser ut x ur x + x = ( + )x = x = x ; f r man att x = x + ( x) = (enligt 3). Med hj lp av detta f s x + ( )x = ( + ( ))x = x =, varf r ( )x = x enligt 2. Detta ger att = (x + ( )x)) = (x) + ( x) = : Antag omv nt att x =. Om nu 6=, s r x = (=)(x) = (=) =. r igen x 6=, s r = (vore n mligen 6= s vore x = enligt f reg ende mening). Minst en av faktorerna m ste allts vara noll om x =. Underrum Ofta ligger ett vektorrum inne i ett annat vektorrum. Om b gge vektorrummen har samma addition och multiplikation med skal r, s ger man att det mindre vektorrummet r ett underrum av det st rre. Nedanst ende denition r mera praktisk att anv nda men inneb r nd precis detta. Denition 4.2. Antag att E r ett vektorrum. En delm ngd U av E r ett underrum av E om m ngden U r sluten med avseende p operationerna addition och multiplikation med skal r i f ljande mening: x + y 2 U x; y 2 U; 2 R =) : x 2 U

4 Vektorrum 45 Eftersom axiomen f r vektorrum g ller i E, s g ller de automatiskt ocks i underrummet U. S ledes g ller: Varje underrum av E r ett vektorrum. Ett underrum av ett vektorrum E r allts ett annat vektorrum som r kar nnas inne i E. Exempel 4.4. Betrakta i vektorrummet R 3 delm ngden U av alla vektorer av formen ( x x 3 ), dvs. x x 3 -planet. D r m ngden U sluten med avseende p r kneoperationerna, ty summan av tv vektorer, vilkas andra komponent r, har andra komponenten, och produkten av en skal r med en vektor, vilkens andra komponent r, har som andra komponent. Allts r x x 3 -planet ett underrum av R 3. Exempel 4.5. S tt U = f( x y ) 2 R 2 j x + y = g och f rse U med samma r kneoperationer som i R 2 (dvs. addition och multiplikation med skal r). Geometriskt r U en r t linje genom origo. Om man f r som uppgift att visa att U r ett vektorrum, r cker det att visa att U r ett underrum av R 2, som vi redan vet att r ett vektorrum. Vi unders ker d rf r om U r slutet med avseende p r kneoperationerna: Tag u = ( x y ) 2 U och v = ( x 2 y 2 ) 2 U. D r x + y = och x 2 + y 2 = och summan av komponenterna i vektorerna u + v = ( x + x 2 y + y 2 ) u = ( x y ) ; ( 2 R); blir d noll, varf r de enligt denitionen r vektorer i U: (x + x 2 ) + (y + y 2 ) = (x + y ) + (x 2 + y 2 ) = ; (x ) + (y ) = (x + y ) = : F ljaktligen r U ett underrum av R 2 och d rmed ocks ett vektorrum. Exempel 4.6. Om vi s tter U = f( x y ) 2 R 2 j x + y = g s r U inget underrum av R 2. M ngden U r n mligen inte sluten med avseende p t.ex. multiplikation med skal r: Om ( x y ) 2 U, s r x + y = och d r 2 ( x y ) 62 U, eftersom (2x) + (2y) = 2(x + y) = 2. Allm nt g ller att ett underrum m ste inneh lla nollvektorn, eftersom varje underrum ju r ett vektorrum. Om E r ett vektorrum, s r delm ngderna fg och E underrum av E. Dessa kallas triviala underrum. kta underrum kallas varje underrum, som inte omfattar hela vektorrummet E. Det r l tt att inse att en delm ngd U av R 2 r ett icke-trivialt underrum om och endast om U r en r t linje genom origo. P samma s tt r en delm ngd V av R 3 r ett icke-trivialt underrum, om och endast om V r en r t linje genom origo eller r ett plan genom origo. Exempel 4.7. M ngden P av alla polynomfunktioner r ett underrum av vektorrummet M (i exempel 4.2) av alla funktioner, som r denierade p intervallet [a; b]. M ngden P n av alla polynomfunktioner av h gst graden n r ett underrum av b de P och M.

5 46 Bj rkfeltbjon Kolonnrummet och nollrummet till en matris Med varje matris kommer vi att associera fyra underrum. I detta avsnitt introducerar vi tv av dem. Redan tidigare har vi sett, att i en matrisekvation Ax = b kan v nsterledet Ax uppfattas som en linj rkombination av kolonnvektorerna i matrisen A. I t.ex. i ekvationen A u v = b b 2 b 3 A kan v nsterledet skrivas u 5 2 A + v 4 4 A (Se Sats 2.) : Den generella denitionen r: Denition 4.3. Antag att v, v 2, : : :, v p r vektorer i ett vektorrum E (dvs. element i m ngden E). En linj rkombination av v, v 2, : : :, v p r en vektor av formen c v + c 2 v c p v p ; d r koecienterna c, c 2, : : :, c p r reella tal. Genom att variera dessa koecienter f s alla linj rkombinationer av vektorerna v i, i = ; : : : ; p. M ngden av alla dessa, U = spn fv ; : : : ; v p g = fc v + + c p v p j c ; : : : ; c p 2 Rg ; kallas spannet av v, v 2, : : :, v p. Man s ger att spannet U sp nns upp av vektorerna v i, i = ; : : : ; p. Sats 4.. Om v ; : : : ; v p r vektorer i ett vektorrum E, s r spannet ett underrum av E. Bevis. U och om 2 R, s r U = spn fv ; : : : ; v p g Om x = c v + + c p v p och y = d v + + d p v p r godtyckliga vektorer i x + y = (c + d )v + + (c p + d p )v p 2 U ; x = (c )v + + (c p )v p 2 U : Enligt denitionen r U d ett underrum av E. } Antag nu att A = ( a : : : a n ) r en m=n-matris med kolonnvektorerna a ; : : : ; a n. Denition 4.4. Kolonnrummet R(A) till A r spannet av kolonnerna i A, dvs. R(A) = spn fa ; : : : ; a n g :

6 Vektorrum 47 Exempel 4.8. Kolonnrummet R(A) till matrisen A = 2 2 A r spannet av kolonnerna ( 2 ) T och ( 2 ) T. Geometriskt r R(A) det plan i R 3 som g r genom origo och som inneh ller dessa tv vektorer. Ibland beh vs inte alla kolonner i matrisen f r att beskriva kolonnrummet. T.ex. i matrisen 2 B = ( b b 2 ) = 4 2 r b = 2b 2. En godtycklig linj rkombination av b och b 2 kan d rf r skrivas som en linj rkombination av enbart b 2 : c b + c 2 b 2 = (2c + c 2 )b 2 : Allts r R(B) = spn fb ; b 2 g = spn fb 2 g. Giltigheten hos det f rsta p st endet i n sta sats f ljer ur Sats 4. medan det andra r en f ljd av att v nstra ledet i ekvationen Ax = b r en linj rkombination av A:s kolonner: Sats 4.2. Antag att A r en m=n-matris. D g ller: (i) R(A) r ett underrum av R m ; (ii) Systemet Ax = b har en l sning (dvs. r konsistent) om och endast om b 2 R(A). Vi har sett att ett homogent system Ax = alltid har tminstone den triviala l sningen x =. Om det existerar fria variabler s nns det dessutom andra l sningar. Denition 4.5. L t A vara en m=n-matris. M ngden av alla l sningar till den homogena ekvationen Ax =, dvs. kallas nollrummet till matrisen A. N (A) = fx 2 R n j Ax = g ; Sats 4.3. Nollrummet N (A) till en m=n-matris r ett underrum av R n. Bevis. Antag att x och y r vektorer i N (A) och l t 2 R vara godtyckligt. D r Ax = och Ay =, och d rmed r A(x + y) = Ax + Ay = A(x) = Ax = : och Allts r x + y 2 N (A) och x 2 N (A), varf r N (A) r ett underrum (av R n ). }

7 48 Bj rkfeltbjon Exempel 4.9. Nollrummet till en matris A = kan framst llas i form av ett spann genom att man l ser ekvationen Ax =. F rst verf rs r kneschemat i reducerad echelonform: A!! A 3=5 3=5 6=5 =4 De fria variablerna ges godtyckliga v rden, x 3 = s, x 4 = t, och l sningen skrivs ut slutgiltigt i vektorform: x x 2 x 3 x 4 = = = = 3 5 s 6 5 s s + 3 t 5 t 5 t ; dvs: x = s 5 B A : 3 6 C A + t 5 5 B 3 C A : 5 En vektor x r allts i N (A) om och endast om den r en linj rkombination av vektorerna v = ( ) T och v 2 = ( 3 5 ) T. Allts r N (A) = spn fv ; v 2 g : Strukturen hos l sningen till ett system Ett exempel visar den allm nna strukturen hos m ngden av l sningar till ett system: Exempel 4.. Betrakta systemet Ax = b, d r A = A och b = Vi l ser systemet med hj lp av basoperationer och nner den reducerade echelonformen, (A j b)!! j 2 =3 j j Variablerna x 2 och x 4 r fria och ges godtyckliga v rden, x 2 = s och x 4 = t, och vi avl ser att x = 2 3s t x 2 = s x 3 = t 3 x 4 = t: A : A :

8 Vektorrum 49 I vektorform blir detta x = 2 B C A + s 3 B C A + t 3 Om vi skriver l sningen x i den mer hanterliga formen x = x + sy + ty 2, s representerar linj rkombinationen sy +ty 2 vilket som helst element i N (A), dvs. en godtycklig l sning (den allm nna l sningen) till den homogena ekvationen Ax = (om b = s blir ju x = ). Den f rsta termen x r en speciell l sning (en partikul rl sning) till Ax = b som f s d man s tter s = och t =. M ngden x + N (A) av alla l sningar r allts underrummet N (A) f rskjutet bort fr n origo O med hj lp av en vektor x : B 3 3 C A : x + N(A) O x N(A) g. Denna struktur terkommer hos m ngden an l sningar till varje ekvationssystem men l t oss f rst sl fast denitionerna: Denition 4.6. Med den allm nna l sningen till en ekvation Ax = b avses ett l sningsuttryck inneh llande parametrar s; t; : : :, s dant att alla l sningar till ekvationen kan f s genom att man varierar dessa parametrars v rden. En partikul rl sning r n gon speciell l sning till Ax = b. Sats 4.4. Den allm nna l sningen till en konsistent ekvationen Ax = b har formen x = x + y, d r x r n gon (vilken som helst) partikul rl sning till Ax = b och y r den allm nna l sningen till motsvarande homogena ekvation Ax =. Bevis. Det framg r av l sningsproceduren (se exempel 4.) att varje l sning har den form som satsen anger. F r att vi skall se att partikul rl sningen x kan vara vilken l sning som helst till Ax = b, byter vi ut x mot en annan partikul rl sning x = x + y (y 2 N (A)) genom att skriva uttrycket f r x i formen x = x + (y y ), d r y y nu r en l sning till Ax =. }

9 5 Bj rkfeltbjon Linj rt beroende och oberoende Exempel 4.. Betrakta t.ex. vektorerna a = ( 2 ) ; a 2 = ( ) ; a 3 = ( 2 2 ) i R 3. Mellan dessa g ller ett linj rt samband i den meningen att a 3 = a + a 2, vilket ocks kan skrivas a + a 2 a 3 =. Dessa vektorer s gs d rf r vara linj rt beroende (av varandra). Denition 4.7. Vektorer a, a 2,: : :, a p i ett vektorrum E (eller m ngden fa ; : : : ; a p g av dessa vektorer) r linj rt beroende om det existerar ett linj rt samband () c a + c 2 a c p a p = ; d r minst en av koecienterna c i r olik noll. Vektorerna r linj rt oberoende om de inte r linj rt beroende. Detta inneb r att () inte kan g lla med mindre n att alla koecienterna r noll: (2) 8 >< >: a ; : : : ; a p r linj rt oberoende om och endast om c a + c 2 a c p a p = =) c = c 2 = = c p = : Om vektorerna a, : : :, a p r linj rt beroende s g ller (), d r minst en av koecienterna r olik noll. Om t.ex. c p 6= s r a p = c c p a c p c p a p ; dvs. en linj rkombination av de andra vektorerna. Detta g ller generellt: Om vektorerna a, : : :, a p r linj rt beroende s g ller om p >, att minst en av vektorerna r en linj rkombination av de andra, och om p =, att a =. Exempel 4.2. D vi skall unders ka om ett antal vektorer a = ( ) ; a 2 = ( ) ; a 3 = ( 2 ) ; r linj rt beroende eller oberoende anv nder vi oss av ekvation () (f r p = 3), c ( ) + c 2 ( ) + c 2 ( 2 ) = ; som vi betraktar som en homogen ekvation med obekanta c, c 2, c 3. Vi skall unders ka om denna ekvation har icke-triviala l sningar eller inte. Om vi skriver ut ekvationen som ett system, f r vi c + c 2 = c + 2c 3 = ; c + c 2 + c 3 =

10 Vektorrum 5 dvs. r kneschemat blir den matris ( a T a T 2 a T 3 ), som best r av de kolonner som man f r d de ursprungliga radvektorerna transponeras. Allm nt g ller: D man unders ker det linj ra beroendet och oberoendet hos vektorer i R n r det naturligt och tillr dligt att alltid placera de ifr gavarande vektorerna som kolonner i en matris oberoende av om de fr n b rjan r givna som kolonnvektorer eller radvektorer. Vi verf r r kneschemat p echelonform, 2 A! 2A ; och ser att det inte nns n gra fria variabler. S ledes r den triviala l sningen c = c 2 = c 3 = den enda, vilket betyder att vektorerna a, a 2, a 3 r linj rt oberoende. Exempel 4.3. Vektorerna ( 2 ) T, ( 2 8 ) T och ( 3 9 ) T r linj rt beroende: D vi bildar ett r kneschema med dessa som kolonner, f r vi A!! A : Eftersom det nns en fri variabel, r vektorerna linj rt beroende. Om vi explicit vill r kna ut koecienterna c i (i = ; 2; 3) i det linj ra beroendet, forts tter vi till den reducerade echelonformen s tter c 3 = s, eftersom denna variabel r fri, och f r att c = s och c 2 = s. Till slut kan vi v lja s = eller n got annat v rde olikt noll. A ; Exempel 4.4. M ngden fg av enbart nollvektorn r linj rt beroende, ty =. Allm nnare g ller att en m ngd f; a ; : : : ; a p g av vektorer, d r nollvektorn ing r, r linj rt beroende, eftersom Exempel 4.5. Matriserna + a + + a p = : och r linj rt oberoende i vektor- rummet av alla 2=2-matriser, ty ekvationen c c = r ekvivalent med ekvationssystemet c + 3c 2 =, 2c 2 =, 2c =, 3c + c 2 =, som har den enda l sningen c = c 2 =.

11 52 Bj rkfeltbjon Exempel 4.6. Funktionerna f (x) = e x och f 2 (x) = x i vektorrummet M av alla funktioner denierade p R r linj rt oberoende: Ekvation (), som nu har formen c e x + c 2 x = ; skall tolkas som en likhet som g ller f r varje v rde p x, eftersom nollan i h gerledet i detta fall representerar nollfunktionen. Likheten b r allts g lla speciellt f r t.ex. x = och x =, vilket ger ekvationssystemet c =, ec + c 2 =, som har den enda l sningen c = c 2 =. Denition 4.8. Tv vektorer a och a 2 i ett vektorrum s gs vara parallella om de r linj rt beroende. Om a och a 2 r parallella, r c a + c 2 a 2 =, d r minst en av koecienterna r olik noll. Om c 6=, r a = c 2 c a 2 en multipel av a 2. Om igen c 2 6=, r a 2 en multipel av a. Tv vektorer r allts parallella om och endast om den ena r en multipel av den andra. En liknande geometrisk tolkning har vi f r t.ex. tre vektorer i R 3 : Tre vektorer a, a 2 och a 3 i R 3 r linj rt beroende om och endast om alla benner sig i ett och samma plan inneh llande origo. En av dem, t.ex. a 3, r n mligen d en linj rkombination av de tv andra, dvs. ligger i spannet av a och a 2, som i sin tur r en delm ngd av ett plan genom origo. Sats 4.5. Om a, a 2, : : :, a k r vektorer i R m och om k > m s r dessa vektorer linj rt beroende. Bevis. Vi kan anta att vektorerna a i r kolonnvektorer (i annat fall transponerar vi!) och s tter A = ( a a k ). D r ekvationen x a + + x k a k = ekvivalent med den homogena ekvationen Ax =, som enligt Sats.3 har icke-triviala l sningar. Satsens p st ende g ller allts. } Om rader och kolonner i en echelonmatris I detta avsnitt visar vi att de s kallade pivotkolonnerna och -raderna i en echelonmatris r linj rt oberoende. Denition 4.9. Radrummet till en matris A r spannet av raderna i A. F r radrummet anv nder vi beteckningen R(A T ) p grund av att radrummet f r A vid transponering f rvandlas till kolonnrummet f r A T. L t f rst U vara en upp t triangul r n=n-matris med n pivotelement: U = B u u 2 u n u 22 u 2n u nn C A ; d r u ii 6= f r i = ; : : : ; n : D r U icke-singul r, dvs. U:s kolonner u, u 2, : : : u n r linj rt oberoende. Vi skall visa att ocks U:s rader u, u 2, : : :,u n r linj rt oberoende: Den transponerade matrisen U T = ( u T u T 2 : : : u T n )

12 Vektorrum 53 r en ned t triangul r matris, vars diagonalelement r olika noll. Vi g r en serie fram tsubstitutioner och f r att U T x = bara om x =. F ljaktligen r U T ickesingul r och kolonnerna i denna matris d rf r linj rt oberoende. Men d r ocks de transponerade kolonnerna, dvs. u, u 2, : : :,u n, linj rt oberoende (en unders kning av det linj ra beroendet leder ju i b gge fallen till samma ekvationssystem). Allts g ller: B de rader och kolonner i U r linj rt oberoende. Vad kan vi s ga om det linj ra beroendet eller oberoendet hos rader och kolonner i en echelonmatris? L t oss ta ett numeriskt exempel: Exempel 4.7. Betrakta echelonmatrisen U = B C A : 4 2 Vi vill utnyttja det som vi ovan kom till r rande upp t triangul ra matriser (och vill ha enklare beteckningar). D rf r yttar vi om kolonnerna s att de tre pivotkolonnerna (= de kolonner som inneh ller pivotelement) kommer f rst: U = B 3 : 2 2 : 4 : 2 :: :: :: : :: :: : C A ( u v ) ( u 2 v 2 ) ( u 3 v 3 ) Uppe i det v nstra h rnet av U f r vi d ett upp t triangul rt block T. L ngst till h ger har vi inf rt beteckningar ( u i v i ) f r de tre f rsta raderna, d r u i och v i r den del av raden som r till v nster respektive h ger om den prickade linjen. P samma s tt inf r vi beteckningar u ; u2 ; u3 f r de tre f rsta kolonnerna i U. Omyttning av kolonner p verkar inte kolonners eventuella linj ra beroende eller oberoende, ty dessa egenskaper r oberoende av ordningsf ljden. Inte heller den resulterande omnumreringen av radernas komponenter p verkar raders eventuella linj ra beroende eller oberoende. I det upp t triangul ra blocket T r raderna u i och kolonnerna u i linj rt oberoende. Men d r ocks de tre f rsta raderna och de tre f rsta kolonnerna i U linj rt oberoende, ty t.ex. ekvationen c ( u v ) + c 2 ( u 2 v 2 ) + c 3 ( u 3 v 3 ) = ( ) s nderfaller i tv ekvationer c u + c 2 u 2 + c 3 u 3 = c v + c 2 v 2 + c 3 v 3 = ;

13 54 Bj rkfeltbjon av vilka redan den f rsta ger att c = c 2 = c 3 = (en f rl ngning av linj rt oberoende vektorer med extra komponenter kan allts bara g ra vektorerna mera oberoende). Allm nt f s p detta s tt: Sats 4.6. Antag att U r en echelonmatris med r pivotelement. D g ller: (i) De r pivotkolonnerna i U r linj rt oberoende i kolonnrummet R(U ); (ii) De r pivotraderna i U r linj rt oberoende i radrummet R(U T ). Baser, koordinater och dimension De naturliga enhetsvektorerna e = A ; e2 = A ; e3 = i R 3 r linj rt oberoende eftersom matrisen ( e e 2 e 3 ) = I r icke-singul r. Dessutom uppsp nner dessa vektorer hela R 3, ty varje x = ( x x 2 x 3 ) 2 R 3 r en linj rkombination x = x e + x 2 e 2 + x 3 e 3 : Dessa tv egenskaper tar vi som denition p begreppet bas i ett vektorrum E: Denition 4.. En m ngd fa ; a 2 ; : : : ; a n g av vektorer a i 2 E r en bas i E, om (i) A vektorerna a ; a 2 ; ; : : : ; a n r linj rt oberoende (ii) och spn fa ; a 2 ; ; : : : ; a n g = E : Alternativt kan vi s ga att vektorerna a ; a 2 ; : : : ; a n bildar (eller utg r) en bas i E. Vektorerna a ; a 2 ; : : : ; a n i basen kallas basvektorer. Exempel 4.8. Vi unders ker om vektorerna v = ( 2 ) ; v 2 = ( 2 ) ; v 3 = ( 3 ) bildar en bas i R 3. F rst det linj ra oberoendet: Vi s tter V = ( v T v T 2 v T 3 ). D r ekvationen x v + x 2 v 2 + x 3 v 3 = ekvivalent med V x = och motsvarande kalkyler, V = A!! visar att fria variabler saknas. S ledes r vektorerna linj rt oberoende. F r att p visa att spn fv ; v 2 ; v 3 g = R 3, b r vi i princip l sa x v + x 2 v 2 + x 3 v 3 = b, dvs. V x = b T, f r varje b 2 R 3. Om en l sning existerar f r varje b s omfattar spannet av vektorerna v i hela R 3. Existensen av en l sning r A ;

14 Vektorrum 55 emellertid garanterad, eftersom V r icke-singul r (enligt kalkylen ovan) och d rmed inverterbar: V x = b T () x = V b T : Den senare delen av exemplet ovan beh ver i praktiken aldrig utf ras p grund av f ljande sats, som bevisas ungef r som i exemplet: Sats 4.7. Om a, a 2, : : :, a n r n stycken linj rt oberoende vektorer i R n s bildar dessa vektorer en bas i R n. Bevis. Om vi s tter A = ( a a n ), s r A en kvadratisk, icke-singul r matris. Allts existerar A. F r varje b 2 R n har ekvationen Ax = b d l sningen x = A b, dvs. b r en linj rkombination S ledes bildar a, : : :, a n en bas i R n. } b = x a + + x n a n 2 spn fa ; : : : ; a n g : Antag att E r ett vektorrum och att b, : : :, b n utg r en bas i E. Denition 4.. F r ett givet x 2 E kallas talen x, : : :, x n koordinaterna f r x i basen fb ; : : : ; b n g. Sats 4.8. Om fb ; : : : ; b n g r en bas i ett vektorrum E, s r koordinaterna f r ett givet x 2 E entydiga. Bevis. Antag att b de x, : : :, x n och y, : : :, y n r koordinater f r ett givet x i den givna basen. D r vilket leder till att x = x b + + x n b n x = y b + + y n b n ; = x x = (x y )b + + (x n y n )b n : Eftersom basvektorerna r linj rt oberoende, r alla koecienterna i linj rkombinationen i h gerledet noll, dvs. x = y, : : :, x n = y n. } Exempel 4.9. Antag att vi f tt som uppgift att b de visa att vektorerna b = ( ) T ; b 2 = ( 2 ) T ; b 3 = ( 2 ) T bildar en bas i R 3 och att best mma koordinaterna f r a = ( ) T i denna bas. D kan dessa tv uppgifter l sas samtidigt p f ljande s tt: Vi l ser det ekvationssystem som svarar mot r kneschemat ( b b 2 b 3 j a ) och ser redan d vi har n tt n gon echelonform, ( b b 2 b 3 j a ) = j 5 2 j 5 2 j 8 A!! j 5 j 3 3 j 6 A ;

15 56 Bj rkfeltbjon att inga variabler r fria, varf r vektorerna b i r linj rt oberoende. Eftersom vi nu har tre linj rt oberoende vektorer i R 3 s bilder dessa en bas i R 3 enligt Sats 4.7. F r att f fram koordinaterna f r a, forts tter vi tills vi har en reducerad echelonmatris och kan d avl sa dessa: x = 3, x 2 =, x 3 = 2. Exempel 4.2. Vi skall visa att polynomen ; x ; x 2 ; : : : ; x n bildar en bas i vektorrummet P n av alla polynom av h gst graden n. varje polynom p i P n har formen Eftersom p(x) = c + c x + c 2 x c n x n ; r det klart att de givna polynomen uppsp nner hela P n. Vi beh ver allts bara visa att de ocks r linj rt oberoende. F r detta ndam l s tter vi en linj rkombination av dem lika med nollfunktionen: c + c x + c 2 x c n x n = : Denna likhet g ller f r varje x, allts speciellt ocks f r x =, vilket ger att c =. S ledes r x(c + c 2 x + + c n x n ) = f r varje x, dvs. c + c 2 x + + c n x n = f r varje x 6=. Men polynom r kontinuerliga, s polynomet c +c 2 x+ +c n x n i v nsterledet m ste vara noll ocks f r x =, vilket ger att c = osv. Ett antal upprepningar av detta resonemang ger att c = c = = c n = (str ngt taget borde man anv nda induktion!). De givna polynomen bildar allts en bas i P n. N sta sats visar att antalet vektorer i en bas r entydigt: Sats 4.9. Om b de vektorerna a, a 2, : : :, a m och vektorerna b, b 2, : : :, b n bildar baser i ett vektorrum E, s r m = n. Antag som en antites att det motsatta g ller, t.ex. att m < n (om m > n kan Bevis. man l ta de tv baserna byta plats i beviset). Vi skall visa att detta antagande leder till en mots gelse. Varje vektor b i kan skrivas som en linj rkombination av vektorerna a, a 2, : : :, a m : b i = mx k= ki a k (i = ; : : : ; n) : S tt B = ( ki ). D har det homogena systemet Bx = icke-triviala l sningar enligt Sats.3, ty antalet rader m r mindre n antalet obekanta n. Men andra sidan kan vi bevisa det motsatta genom att sluta oss till att systemet bara kan ha den triviala l sningen:

16 Vektorrum 57 Bx = =) nx i= =) = ki x i = (k = ; : : : ; m) mx k= nx i= =) x = : : : = x n = ; ki x i! a k = nx i= x i m X k= ki a k! = d r vi f r den sista implikationen har utnyttjat att b, : : :, b n r linj rt oberoende. Men detta r en mots gelse. P grund av detta m ste vi dra slutsatsen att m = n. } Antalet vektorer i en bas r enligt Sats 4.9 ett tal som karakteriserar ett visst vektorrum. Vi inf r d rf r f ljande denition: Denition 4.2. Med dimensionen, dim E, hos ett vektorrum E menas antalet vektorer i en bas i E. Anm rkning. Man kan visa att varje vektorrum E 6= fg har en bas, ndlig eller o ndlig. O ndliga baser denieras p samma s tt som ndliga. Skillnaden r bara att med en linj rkombination av en o ndlig m ngd av vektorer avses en linj rkombination av n gon ndlig delm ngd av denna. Om ett vektorrum E har en o ndlig bas, s ger man att E r o ndligtdimensionellt och skriver att dim E =. nx i= x i b i Exempel Tydligen r dim R n = n ; eftersom de naturliga enhetsvektorerna e, : : :, e n bildar en bas i R n, och dim P n = n + ; eftersom polynomen, x, x 2, : : :, x n bildar en bas i P n. Vektorrummet P av alla polynom, liksom vektorrummet av alla funktioner, m ste vara o ndligtdimensionellt, eftersom den o ndliga m ngden av alla potenser x n av x r linj rt oberoende. I beviset av Sats 4.9 utnyttjade vi inte alla antaganden i satsen efter att antitesen var gjord: Vi anv nde oss bara av att a, : : :, a m uppsp nner E och att b ; : : : ; b n r linj rt oberoende. Precis samma slag av resonemang ger oss d rf r f ljande generalisering av Sats 4.7: Sats 4.. Om b, : : :, b m r linj rt oberoende vektorer i ett vektorrum E och dim E = m, s bildar b, : : :, b m en bas i E. Bevis. Antag som en antites att spn fb ; : : : ; b m g 6= E s att vi kan v lja en vektor b m+ 2 E utanf r det n mnda spannet. D r b, : : :, b m+ linj rt oberoende (enligt uppgift 4 (a)). Beviset f r f reg ende sats (med n = m + ) ger nu en mots gelse. Allts r spn fb ; : : : ; b m g = E, dvs. fb ; : : : ; b m g r en bas. } Exempel 4.2. Vi skall visa att polynomen p (x) = + x + x 2 ; p 2 (x) = + 2x + x 2 ; p 3 (x) = 2 + x ;

17 58 Bj rkfeltbjon bildar en bas i vektorrummet P 2 av polynom av h gst graden 2. Eftersom vi redan vet att de tre polynomen, x och x 2 bildar en bas, r cker det enligt Sats 4. att visa att p, p 2 och p 3 r linj rt oberoende. Vi unders ker d rf r ekvationen = c p (x) + c 2 p 2 (x) + c 3 p 3 (x) = (c + c 2 + 2c 3 ) + (c + 2c 2 + c 3 )x + (c + c 2 )x 2 ; som g ller f r varje x om och endast om ekvationssystemet c + c 2 + 2c 3 = c + 2c 2 + c 3 = c + c 2 = r satiserat. En kalkyl med motsvarande r kneschema visar att den triviala l sningen r den enda. S ledes bildar p, p 2 och p 3 en bas i P 2. Bas och dimension f r kolonn- och radrum L t oss terkalla i minnet att om A r en matris s r kolonnrummet R(A) spannet av A:s kolonner, radrummet R(A T ) spannet av A:s rader samt nollrummet N (A) vektorrummet av alla l sningar till Ax =. Vi kommer nu att h rleda algoritmer som ger baser i R(A), R(A T ) och N (A). F r kolonn- och radrummens del kommer vi att st da oss p Sats 4.6. Vi b rjar med den algoritm, som ger en bas i R(A T ): Sats 4.. Antag att A r en m=n-matris och antag att vi med hj lp av basoperationer har transformerat A till n gon echelonform U. D g ller: (i) Matriserna A och U har samma radrum; (ii) Pivotraderna i U bildar en bas i radrummet R(A T ). Bevis. (i) L t X = x : A x m BO! Y = y : y m vara en godtycklig anv ndning av en basoperation i kedjan A!! U. D r varje y j en linj rkombination av vektorerna x, : : :, x m, ty varje anv ndning av en basoperation inneb r att man bildar en (enkel) linj rkombination av rader. Eftersom alla basoperationer r omv ndbara, g ller ocks det omv nda: Varje vektor x j r en linj rkombination av y, : : :, y m. Ur detta f ljer att A spn fx ; : : : ; x m g = spn fy ; : : : ; y m g ; dvs. att X och Y har samma radrum. D detta g ller f r varje l nk i kedjan fr n A till U, r R(A T ) = R(U T ).

18 Vektorrum 59 (ii) Det r klart att pivotraderna i U bildar en bas i R(U T ) = R(A T ), ty de r linj rt oberoende enligt Sats 4.6 och uppsp nner hela radrummet, eftersom de vriga raderna i U r. } Exempel Om vi verf r matrisen A nedan till en echelonmatris, A = A!! 4 A = U ; s ser vi att U har pivotelement i de tv f rsta raderna, som allts bildar en bas f( ) ; ( 4 )g i R(A T ). Observera att vi kan anv nda vilken echelonform som helst. Om vi anv nder t.ex. den reducerade echelonformen, hittar vi en annan bas i R(A T ). L gg m rke till att vektorerna skall tas ur U, inte ur A. Vi ger ett motexempel: Exempel Sats 4. ger p basen av kalkylen A =! = U ; att den f rsta raden i U bildar en bas f( )g i R(A T ). D remot bildar inte den f rsta raden i A n gon bas i R(A T ), ty den r ju linj rt beroende. F r kolonnrummet R(A) har vi en n got annorlunda algoritm f r konstruktion av en bas. Orsaken r att matrisen A och en motsvarande echelonmatris U i regel har olika kolonnrum. Detta i sin tur sammanh nger med att basoperationerna r radoperationer, inte kolonnoperationer. Sats 4.2. L t A vara en m=n-matris och antag att vi med hj lp av basoperationerna transformerat A till n gon echelonmatris U. D bilder de kolonner i A, som har samma nummer som pivotkolonnerna i U, en bas i kolonnrummet R(A). Bevis. Vi inf r beteckningar f r kolonnerna i A och U: A = ( a a n ) ; U = ( u u n ) : Echelonmatrisen U f s genom multiplikation fr n v nster med (i tur och ordning) matriser E, E 2, : : :, E p, som svarar mot basoperationer. Om vi s tter E = E p E s r E inverterbar och (3) U = EA ; u i = Ea i (i = ; : : : ; n) :

19 6 Bj rkfeltbjon Antag att U inneh ller r pivotkolonner. Vi kan anta att de r f rsta, u, : : :, u r, r kar vara pivotkolonner. Om inte s kan vi ju tempor rt numrera om kolonnerna! U = B u u 2 u r P :: :: P :: :: : : : : : : : P :: :: :: : : : : : :: :: C A : (H r betecknar P ett pivotelement). D r dessa r pivotkolonner linj rt oberoende enligt Sats 4.6. Vilken som helst av de vriga kolonnerna, s g u k (k > r), r en linj rkombination av u, : : :, u r, ty u k kan betraktas som ett h gerled i ett r kneschema (u u r j u k ) och bak tsubstitution ger d koecienterna i linj rkombinationen x u + + x r u r = u k : Allts r R(U ) = spn fu ; : : : ; u n g = spn fu ; : : : ; u r g, dvs. fu ; : : : ; u r g r en bas i R(U ). D vi nu vet att pivotkolonnerna i U bildar en bas i R(U ), kan vi anv nda (3) till att visa att motsvarande kolonner i A, dvs. a, : : :, a r, bildar en bas i R(A). F rst det linj ra oberoendet: Om vi multiplicerar ekvationen c a + + c r a r = fr n v nster med matrisen E och beaktar (3), f r vi = c Ea + + c r Ea r = c u + + c r u r ; vilket ger att c = = c r = d ju u, : : :, u r r linj rt oberoende. F r att visa att spannet av a, : : :, a r r hela R(A), tar vi en godtycklig vektor x 2 R(A). D r Ex 2 R(U ), enligt (3), och kan d rf r skrivas som en linj rkombination Ex = u + + r u r : S ledes r x = E u + + r E u r = a + + r a r. Varje vektor x 2 R(A) nns allts i spn fa ; : : : ; a r g och satsen r d rmed bevisad. } Denition 4.3. Rangen hos en matris A r dimensionen dim R(A) hos kolonnrummet. Dimensionen hos nollrummet, dim N (A), s gs vara A:s defekt (eller nolldefekt). Enligt satserna 4. och 4.2 r F ljaktligen g ller: dim R(A) = dim R(U ) = #(pivotelement) = dim R(A T ) :

20 Vektorrum 6 Sats 4.3. A och A T har samma rang f r varje matris A. Med hj lp av detta kan vi skriva ut en stor m ngd p st enden, som alla r ekvivalenta med att en n=n-matris A r inverterbar: A inverterbar, A icke-singul r, dim N (A) = m dim R(A) = n m dim R(A T ) = n m A T inverterbar, A T icke-singul r, dim N (A T ) = : Exempel Som ett exempel p hur man anv nder Sats 4.2 betraktar vi en matris A och en echelonform U av denna: A = A!! A = U : Eftersom den f rsta och den tredje kolonnen i U r pivotkolonner, bildar den f rsta och den tredje kolonnen i A en bas i R(A): f( 2 ) T ; ( ) T g : Anm rkning. (i) Man kan naturligtvis anv nda (t.ex.) proceduren f r att best mma en bas i ett radrum till att best mma en bas i R(A) genom att helt enkelt till mpa den p matrisen A T i st llet f r A. (ii) En bas i ett vektorrum r ju alltid precis detsamma som en maximal m ngd av linj rt oberoende vektorer i ett vektorrum. Om man bland ett antal givna vektorer i R n vill v lja en bas i spannet av dem, skriver man d rf r vektorerna som kolonner i en matris A och anv nder Sats 4.2 till att best mma en bas i R(A), som ju r spannet av de givna vektorerna. Sambandet mellan rang och defekt F rst kan vi konstatera att den procedur som vi anv nde i exempel 4.9 f r att skriva ett nollrum som ett spann, i sj lva verket alltid ger en bas i nollrummet: Exempel Matrisen A verf rs i reducerad echelonform !! de fria variablerna ges godtyckliga v rden, x 2 = s och x 4 = t, varefter l sningen f rst skrivs ut komponentvis x x 2 x 3 x 4 = = = = 3s s + 3t 4t t ;

21 62 Bj rkfeltbjon och sedan i vektorform x = s B 3 C A + t B 3 4 C A = sv + tv 2 : De komponenter som svarar mot de fria variablerna har h r f rsetts med en stj rna. Nollrummet r nu spannet av v och v 2 men dessa vektorer r ocks linj rt oberoende, ty ekvationen sv + tv 2 = ger direkt att s = t = d vi utnyttjar de stj rnf rsedda komponenterna som svarar mot fria variabler. Vektorerna v och v 2 bildar allts en bas i N (A). Generellt g ller precis som i v rt exempel, att dim N (A) = #(fria variabler) s att dim R(A) = #(pivotkolonner) dim N (A) = #(icke-pivotkolonner) dim R(A) + dim N (A) = #(kolonner) : Sats 4.4. Antag att A r en m=n-matris. D g ller: (i) dim R(A) + dim N (A) = n ; (ii) En bas fv ; : : : ; v p g i nollrummet N (A) f s genom att man i l sningen till Ax =, x = s v + + s p v p ; i tur och ordning s tter en fri variabel s i lika med medan de vriga f r v rdet. Om man enbart skall best mma defekten hos en matris A, r cker det att verf ra A i echelonform. Antalet fria variabler anger d antalet vektorer i en bas i N (A), dvs. defekten. Antalet basvariabler anger p samma s tt matrisens rang. Exempel F r matrisen A nedan, f s en echelonform med tv fria variabler och tv basvariabler: A = A!! A : S ledes r b de defekten och rangen likamed 2.

22 V nsternollrum. Matriser med rangen ett Vektorrum 63 Vi har redan sett att kolonnrummet R(A T ) till den transponerade matrisen A T p ett naturligt s tt (via transponering) kan identieras med radrummet till A. D det g ller nollrummet till A T, f r vi genom transponering: A T x =, (A T x) T =, x T A = : Detta ger anledning till f ljande ben mning: Denition 4.4. V nsternollrummet till en m=n-matris A r m ngden N (A T ) = fx j x T A = g : Denna r identisk med nollrummet till A T och r allts ett underrum av R m. Med varje m=n-matris har vi nu associerat fyra underrum, kolonnrummet, radrummet, nollrummet och v nsternollrummet, av vilka det sistn mnda r det minst viktiga. Om A har rangen r s g ller sammanfattningsvis: R(A) A:s kolonnrum; dimensionen = r R(A T ) A:s radrum; dimensionen = r N (A) A:s nollrum; N (A T ) A:s v nsternollrum; dimensionen = n r dimensionen = m r Vi skall nu unders ka strukturen hos en m=n-matris A = ( a a n ) med rangen. N gon av kolonnerna, t.ex. b = a k 6=, bildar en bas i R(A). Varje a i r allts en linj rkombination a i = c i b av b, dvs. A = ( c b c n b ) = b ( c c n ) = bc ; d r c i 6= f r minst ett i (annars r ju A:s rang noll). Omv nt: Om A = bc, d r b 6=, r en kolonnvektor och c 6= r en radvektor r A = ( c b c n b ). Men d uppsp nns ju R(A) av b s att dim R(A) =. En matris A har allts rangen om och endast om A = bc, d r b 6= r en kolonnvektor och c 6= r en radvektor. Ett liknande resonemang ger att en matris A har rangen 2 om och endast om den har formen A = b c + b 2 c 2, d r b, b 2 r linj rt oberoende kolonnvektorer och c, c 2 r linj rt oberoende radvektorer (och A har rangen 3 om och endast : : : ) Exempel I matrisen A = B C A ; som har rangen, bildar (t.ex.) f rsta kolonnen b en bas i R(A) s att d r c = ( =2 =2 ). A = ( b (=2)b (=2)b ) = bc ;

23 64 Bj rkfeltbjon H ger- och v nsterinverser Antag att A r en m=n-matris. F r A:s rang r(a) g ller b de r(a) = dim R(A) n och r(a) = dim R(A T ) m, dvs. om min(m; n) r det mindre av talen m och n, r (4) r(a) min(m; n) : Vi kommer att visa att likhet g ller i denna formel om och endast om matrisen A har en s kallad h ger- eller en v nsterinvers. S dana ensidiga inverser denieras p f ljande s tt: Denition 4.5. Om AB = I s r B en h gerinvers till A och A r en v nsterinvers till B. Vi ser av denna denition, att inversen till en kvadratisk matris A r en matris som r b de h ger- och v nsterinvers till A. Villkoret f r existensen av en h gerinvers f ljer ur nedanst ende resonemang, d r vi har anv nt oss av beteckningar f r kolonnerna i en (obekant) h gerinvers X = ( x x m ) och enhetsmatrisen I = ( e e m ): AX = I m r l sbar, A ( x x m ) = ( e e m ) r l sbar, Ax i = e i r l sbar (i = ; : : : ; m), e i 2 R(A) (i = ; : : : ; m), R(A) = R m, r(a) = dim R(A) = m : Ur detta kan vi utl sa nedanst ende sats: Sats 4.5. F r en m=n-matris A r f ljande p st enden ekvivalenta: (i) Ekvationen Ax = b har minst en l sning f r varje b 2 R m ; (ii) R(A) = R m ; (iii) r(a) = dim R(A) = m ; (iv) A har en h gerinvers. Observera att enligt (4) r det m jligt att uppfylla (iii) bara om m n. F r att r kna ut en h gerivers till A l ser man matrisekvationen AX = I med hj lp av r kneschemat (A j I). Detta svarar, som vi har sett i kapitel 3, mot samtidig l sning av m ekvationssystem med samma koecientmatris A: Exempel Om A r av typen 2=3 s har en eventuell h gerinvers X typen 3=2, s att om A = s r X = x y x 2 y 2 x 3 y 3 A

24 Vektorrum 65 och de obekanta elementen i X f s ur en reducerad echelonmatris: (A j I) = 2 3 j 3 3 j!! 5 j j Eftersom x 3 och y 3 r fria, s tter vi x 3 = s och y 3 = t och f r variablerna x i genom att beakta den f rsta kolonnen i h gerledet och variablerna y i genom att beakta den andra kolonnen i h gerledet: X = 3 5s + 6s s 2 5t + 6t t A = 3 2 A + s 5 6 A + t : 5 A : 6 F r varje insatt v rde p s och t r X en h gerinvers och varje h gerinvers har denna form. V nsterinverser Y till A f s genom att man l ser matrisekvationen Y A = I, som r ekvivalent med A T Y T = I. V nsterinverser till A svarar allts (via transponering) mot h gerinverser till A T och tv rtom. Enligt Sats 4.5 och Sats 4.3 har A T Y T = I en l sning Y T om och endast om dim R(A) = dim R(A T ) = n, ty A T r en n=m-matris. Detta ing r i beviset av n sta sats: Sats 4.6. F r en m=n-matris A r f ljande p st enden ekvivalenta: (i) Ekvationen Ax = b har h gst en l sning f r varje b 2 R m ; (ii) r(a) = dim R(A) = n ; (iii) (iv) Kolonnerna i A r alla linj rt oberoende; A har en v nsterinvers. Observera att enligt (4) r det m jligt att uppfylla (ii) bara om m n. Bevis. Vi har just visat att (ii) r ekvivalent med (iv) och dessutom r det uppenbart att (ii) r ekvivalent med (iii). Det r cker allts att visa att (i) r ekvivalent med (ii): Enligt Sats 4.4 har alla l sningar till en ekvation Ax = b formen x = x + y, d r x r en partikul rl sning till denna ekvation och y r n gon l sning till motsvarande homogena ekvation Ay =. Ur detta f ljer: Ax = b har h gst en l sning, Ay = bara om y =, #(fria variabler) =, dim R(A) = n : S ledes r (i) ekvivalent med (ii). } Som vi redan n mnde, s r knar man ut v nsterinverser till en matris A genom att man l ser ekvationen Y A = I eller r ttare sagt det transponerade systemet A T Y T = I med hj lp av r kneschemat (A T j I), vilket ger Y T och slutligen Y : Exempel 4.3. Om A r av typen 3=2 s b r en eventuell v nsterinvers Y ha typen 2=3. Detta betyder att om A = A x x och om vi s tter Y 2 x 3 = y y 2 y 3

25 66 Bj rkfeltbjon s ger kalkylerna (A T j I) = 2 3 j!! 2 4 j d r vi ser att x 2 och y 2 r fria, v nsterinverserna Y = 4 2s s 3 2t t 2 j 4 3 ; j (s; t 2 R) : Med hj lp av den teori som vi nu har utvecklat, kan vi bevisa att om en kvadratisk matris har en h gerinvers s har den ocks en v nsterinvers och att dessa inverser d r lika: Sats 4.7. Antag att A r en m=n-matris och l t A H och A V beteckna n gon h gerrespektive v nsterinvers till A. D g ller: (i) Om b de ett A H och ett A V existerar, s r m = n. (ii) Om m = n, s existerar ett A H om och endast om ett A V existerar och d r A H = A V ; dvs. A r inverterbar och A = A H = A V. Bevis. Med hj lp av satserna 4.5 och 4.6 f s A H existerar, dim R(A) = m A V existerar, dim R(A) = n ) m = n : Om m = n och och A H och A V existerar, s r A H = (A V A)A H = A V (AA H ) = A V, eftersom b de A V A och AA H r enhetsmatriser. } vningsuppgifter. Visa, att E = f( x x 2 ) j x ; x 2 2 R; x + x 2 = 2g med r kneoperationerna denierade genom r ett vektorrum. ( x x 2 ) + ( y y 2 ) = ( x + y x 2 + y 2 ) ; ( x x 2 ) = ( x + x 2 + ) 2. Vilka av f ljande delm ngder av R 3 r underrum d r kneoperationerna r de vanliga: (a) M ngden av vektorer med f rsta komponenten? (b) M ngden av vektorer med f rsta komponenten? (c) f( )g? (d) f( b b 2 b 3 ) j 3b b 2 + b 3 = g?

26 Vektorrum M ngden R = f( x x 2 ) j x j 2 R; j = ; 2; : : :g r ett vektorrum om ( x x 2 ) + ( y y 2 ) = ( x + y x 2 + y 2 ) ; ( x x 2 ) = ( x x 2 ) : Vilka av f ljande delm ngder av R r underrum: (a) M ngden av alla f ljder som inneh ller o ndligt m nga nollor (t.ex. ( ))? (b) Alla f ljder ( x x 2 ) med x j = fr n och med n got index j = j (t.ex. ( 2 3 ))? (c) Alla aritmetiska f ljder, dvs. s dana f r vilka x j+ x j har samma v rde f r varje j? 4. (a) Veriera att m ngden M av alla funktioner f : R! R med denitionsm ngden [a; b] r ett vektorrum, d r kneoperationerna denieras som i exempel 4.2. (b) Veriera att m ngden P n av alla polynom p(x) av h gst graden n r ett vektorrum genom att visa att det r ett underrum av M. 5. L s ekvationen ( 2 ) + 3 ( t t 2 ) = ( 3 ) i vektorrummet i uppgift. 6. Visa att m ngden av de positiva reella talen blir ett vektorrum d r kneoperationerna denieras enligt: Vektoradditionen x y r vanlig multiplikation xy; multiplikationen > x av en skal r med en vektor x r potensen x. 7. Unders k om vektorerna (a) ( ) ; ( ) ; ( 2 ) ; ( ) ; (b) ( ) ; ( 2 ) ; ( ) ; ( ) ; i R 4 r linj rt beroende eller oberoende. 8. Bevisa att snittet av tv underrum till ett vektorrum E ocks r ett underrum av E. Kan detsamma s gas om unionen? Om inte, ge ett motexempel. 9. Visa att (a) m ngden av alla symmetriska matriser av typen n=n, (b) m ngden av alla ned t triangul ra matriser av typen n=n, r ett underrum av m ngden av alla n=n-matriser. Vad r snittet av dessa tv underrum?. Beskriv kolonnrummet och nollrummet till matriserna A = och B = :

27 68 Bj rkfeltbjon. Best m echelonformen f r matrisen A, d (a) A = 4 ; (b) A = 2 8 B 2C A : 4 8 Best m basvariabler och fria variabler i systemet Ax =. Vilket r A:s nollrum? Vilket villkor b r vara uppfyllt f r att systemet Ax = b skall vara konsistent? Best m den allm nna l sningen till detta system d det r konsistent. Vilken rang har A? 2. r f ljande delm ngder underrum av vektorrummet P av alla polynom: (a) U = fp 2 P j p(x) = ax 5 ; a 2 Rg ; (b) V = fp 2 P j p(x) = 2a + x + 2x 2 ; a 2 Rg ; (c) W = fp 2 P j p( 2) = p() = g ; (d) Z = fp 2 P j p(2) = p(3) = g? 3. Visa att m ngden M r ett underrum till vektorrummet av alla 2=2-matriser, d 2 (a) M r m ngden av alla matriser X som kommuterar med A = ; 2 3 a a + b (b) M r m ngden av alla 2=2-matriser av formen ; (a; b 2 R) ; 2b a b (c) M r m ngden av alla 2=2-matriser av formen ; (a; b 2 R) : b a (R kneoperationerna r matrisaddition och multiplikation av en matris med ett reellt tal.) 4. (a) Antag att a, : : :, a n r linj rt oberoende vektorer i ett vektorrum och antag att a n+ ligger utanf r spn fa ; : : : ; a n g. Visa att vektorerna a, : : :, a n+ r linj rt oberoende. (b) Antag att ena sidan fa, : : :, a m g och andra sidan fb, : : :, b n g r m ngder av linj rt oberoende vektorer i ett vektorrum samt antag att snittet av spannen spn fa ; : : : ; a m g och spn fb ; : : : ; b n g r fg. Visa att a ; : : : ; a m ; b ; : : : ; b n r linj rt oberoende. 5. Antag att a, a 2, a 3, a 4 r linj rt oberoende vektorer i ett vektorrum. r vektorerna a + 2a 2 + a 3 ; a 2 + 2a 3 + a 4 ; a 3 + 2a 4 + a a 4 + 2a + a 2 linj rt beroende? Ange, om de r linj rt beroende, en icke-trivial linj rkombination av dem som r likamed nollvektorn. 6. Best m en bas i radrummet, kolonnrummet och nollrummet till matrisen (a) A = A ; (b) A = B C A :

28 Vektorrum Best m dimensionerna f r kolonnrummet R(A) och nollrummet N (A) samt ange baser i dessa f r alla v rden p a, d A = a A : 8. V lj ut en maximal m ngd av linj rt oberoende vektorer ur f ljande vektorm ngder: (a) f( ) ; ( ) ; ( ) ; ( 2 )g ; (b) f( 2 3 ) ; ( 3 2 ) ; ( 2 3 ) ; ( 2 3 )g ; (c) f( ) ; ( ) ; ( 2 ) ; ( )g : 9. Ligger b = ( ) i det underrum av R 3 som sp nns upp av w = ( ) ; w 2 = ( 2 2 ) och w 3 = ( 2 )? 2. Bevisa att varje delm ngd av en m ngd av linj rt oberoende vektorer r linj rt oberoende. G ller det ven att en delm ngd av en m ngd av linj rt beroende vektorer r linj rt beroende? 2. Unders k om f ljande vektorm ngder r linj rt beroende eller oberoende (a) f( 2 2 ) ; ( 2 2 ) ; ( 2 2 )g ; (b) f( ) ; ( 3 2 ) ; ( 2 )g ; (c) f( ) ; ( 3 2 )g ; (d) f( 2 ) ; ( 2 4 )g ; (e) f( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )g : Vilka av dessa m ngder r en bas i R 3? 22. Visa att ( a 3 ) och ( 2 a ) r linj rt oberoende vektorer f r varje v rde p a. 23. Antag att v ; v ; : : : ; v k r linj rt oberoende vektorer i ett vektorrum E. Unders k om vektorerna v v ; v 2 v ; : : : ; v k v r linj rt beroende eller oberoende. 24. Ange en bas och best m dimensionen f r underrummet av 2=2-matriser denierat i uppgift 3 (a) (anv nd l sningen av uppgift 5 i kapitel 2), 3 (b) och 3 (c). Vilka r i fallet 3 (b) koordinaterna f r 2 6 i den konstruerade basen?

29 7 Bj rkfeltbjon 25. L t A beteckna en m=n-matris och antag att vi vet att b de raderna och kolonnerna i A r linj rt oberoende. Kan vi d s ga n gonting om typen m=n? 26. Avg r om f ljande utsagor r sanna eller falska. Ange motexempel i de fall d utsagan r falsk. (a) Om S = spn fx ; : : : ; x m g s r dim S = m. (b) (c) (d) (e) Snittet av tv underrum kan inte vara den tomma m ngden. Om Ax = Ay s r x = y (A r en matris och x och y r kolonnvektorer). Radrummet f r matrisen A har en entydig bas som kan r knas ut genom att man reducerar A till echelonform. Om en kvadratisk matris A har linj rt oberoende kolonner s har ven A 2 det. 27. Enligt uppgift 9 (a) r m ngden av alla symmetriska 3=3-matriser ett underrum av m ngden av alla 3=3-matriser. Best m en bas i detta underrum. Vad r underrummets dimension? 28. Visa att om V och W r tredimensionella underrum av R 5 s har V och W en vektor gemensam som r olik nollvektorn. 29. Visa att om fv ; v 2 ; v 3 g r linj rt oberoende s r ocks fw ; w 2 ; w 3 g linj rt oberoende d vektorerna w i r denierade genom w = v + v 2, w 2 = v + v 2 + v 3 och w 3 = v 2 + v Bevisa att om matriserna A och B r s dana att AB =, s r kolonnrummet R(B) en delm ngd av nollrummet N (A). 3. (a) Visa att polynomen p (x) =, p 2 (x) = + x och p 3 (x) = + x + x 2 bildar en bas i vektorrummet P 2 av alla polynom av h gst graden 2. R kna ut koordinaterna f r p(x) = x 2 i denna bas. (b) Betrakta baserna B = f; x; x 2 g och C = fp ; p 2 ; p 3 g i P 2 (se (a)). Antag att polynomet p har koordinaterna, och 2 i basen B. Vilka r koordinaterna f r p i basen C? Antag att polynomet q har koordinaterna, 2 och 5 i basen C. Vilka r koordinaterna f r q i basen B? (c) Visa att M = f x; + x + x 2 ; x 2 g r en bas i P 2. Vilket polynom har koordinaterna, och i basen M. 32. En 2n=2n-matris M kan delas horisontellt och vertikalt i lika delar s att fyra block A, B, C och D uppst r (varje block r en n=n-matris): A B M = : C D Om A existerar kan man s tta in en nollmatris p C:s plats med en BO- operation med matrisblock: A B! A B C D D CA : B Vilken matris E skall man multiplicera M med fr n v nster f r att stadkomma denna operation? Vilken r E:s invers?