4 Bj rkfeltbjon Det andra elimineringssteget è3è! è3è, èè svarar enligt samma m nster mot multiplikation fr n v nster med E = I, J 3, E ; som ger
|
|
- Berit Håkansson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 3. Gausseliminering genom matrismultiplikation Vi skall visa att den omformning, som man f r genom att utf ra en basoperation p ett r kneschema, ocks kan f s genom att man multiplicerar r kneschemat fr n v nster med en viss matris E. Detta r ekvivalent med att man transformerar motsvarande ekvation x = b genom att multiplicera den fr n v nster med E, vilket ger Ex = Eb. L t oss f rst se hur detta fungerar f r èboè Exempel 3.. Betrakta ekvationssystemet x +x +3x 3 =6 x +5x + x 3 =9 x +4x,6x 3 =; som vi skriver som ett r kneschema èjbè genom att s tta 3 5 4,6 och b = Det f rsta elimineringssteget, èè! èè, èè, r S tt 3 j 6 5 j 9 4,6 6 3 j 6,5 j,3 4,6 j E = I, J ; =èu jb è d r J r en 3=3-matris som har nollor p alla andra platser n è; è, d r den har en etta. D svarar multiplikation med E mot det f rsta elimineringssteget, ty d r enligt distributionslagen E =èi,j è =, J = och p samma s tt E èjbè =èe je bè; E b = b, J b , = 3 = U
2 4 Bj rkfeltbjon Det andra elimineringssteget è3è! è3è, èè svarar enligt samma m nster mot multiplikation fr n v nster med E = I, J 3, E ; som ger èu jb 3 j 6,5 j,3,9 j,5 Det tredje, è3è! è3è, èè, svarar i sin tur mot multiplikation med E 3 = I, J 3, E 3 ; och ger èu3 jb 3 3 j 6,5 j,3 j Systemet x = b har nu verf rts p echelonform genom multiplikation fr n v nster med E = E 3 E E. llm nt g ller f r ett system x = b, d r r en m=n-matris, att èboè-operationen multiplikation fr.v. med fèiè! èiè, èkèg motsvarar ; E = I, J ik d r J ik r en m=m-matris som best r av bara nollor utom p platsen èi; kè d r den har en etta. F r èboè har vi sambandet Operationen motsvarar multiplikation fr n v nster med èè E = èiè $ èkè æææ æ æ æ æ æ æ æææ d r èenligt konventionenè ett tomrum st r f r en nolla. Matrisen E r i detta fall en s.k. enkel permutationsmatris, som f s ur en enhetsmatris I s att man i denna l ter raderna èiè och èkè byta plats. F r èbo3è g ller Operationen èiè! èiè svarar mot multiplikation fr n v nster med diagonalmatrisen E = C C èiè èiè èkè ;
3 Gausseliminering genom multiplikation 5 Exempel 3.. F r tv radiga system har vi t.ex. a b j e c d j f 7 c d j f a b j e c d j f = ; èboè ; a b j e a b j e = ; èbo3è 7c 7d j 7f Det faktum, att èboèèbo3è svarar mot multiplikation èfr.v.è med vissa matriser, kommer att till ta oss att dra l ngtg ende slutsatser. F r att kunna dra dessa slutsatser, m ste vi emellertid utveckla mera grundteori. Matrisinverser F r en basoperation g ller alltid èse Sats.è att en l mplig annan basoperation kan upph va den eekt som den f rsta basoperationen hade. Om n gon basoperation s ledes transformerar systemet x = b till Ex = Eb, s kan dess verkan upph vas genom multiplikation fr n v nster med en ny matris E, som svarar mot den inversa basoperationen E Ex = E Eb Detta system b r nu vara identiskt med det ursprungliga, s att E E = I, vilket leder till f ljande denition Denition 3.. Tv n=n-matriser och B r varandras inverser om B = I och B = I En kvadratisk matris som har en invers s gs vara inverterbar. Exempel 3.3. Vi konstaterar f rst att det nns matriser, som r olika nollmatrisen men som saknar invers. Betrakta t.ex. matrisen a F r varje B = c b d B = = r n mligen dvs. ingen matris B r invers till. a c b d æ æ = æ 6=I; Sats 3.. En kvadratisk matris har h gst en invers. Bevis. Om B och B r inverser till s r B = I och B = I llts r B = BI = BèB è=èbèb = IB = B. í
4 6 Bj rkfeltbjon F r inversen till en matris skall vi fr n och med nu anv nda beteckningen,. Observera att om B =, s r enligt denitionen = B,, vilket genom ins ttning ger att è, è, =. Detta r den f rsta av r knereglerna i f ljande sats Sats 3.. Om r en inverterbar n=n-matris s r, inverterbar och r inverterbar om dessutom 6=. Under de n mnda antagandena r èiè è, è, = ; èiiè èè, =, è 6= è Om b de och B r inverterbara n=n-matriser, s r B inverterbar och èiiiè èbè, = B,, Bevis. Vi bevisade redan èiè. F r att bevisa èiiè r cker det, p grund av Sats 3., att visa att, r en invers till Eftersom skal ra faktorer kan placeras var som helst i en matrisprodukt r èè, =, = I, èè =, =I F r verieringen av èiiiè r cker det att visa att B,, r en invers till B èbèèb,, è=èbb, è, =, = I; èb,, èèbè =B, è, èb=b, B=Ií Vi har sett att èboè svarar mot multiplikation fr.v. med en matris av formen E = I, J ik èi 6= kè. Eftersom J ik best r av nollor utom p platsen èi; kè, d r den har en etta, inses l tt att Jim ; om k = l, èè J ik J lm = ; om k 6= l. P grund av detta r E, = I + J ik,ty vi har t.ex. att EE, =èi,j ik èèi + J ik è P samma s tt ser man att E, E = I. = I + J ik, J ik, J ik J ik = I Exempel 3.4. Om E = I, 5J r en 3=3-matris, r E och E, 5
5 Gausseliminering genom multiplikation 7 Detta betyder att om man utf r èboè-operationerna èè! èè, 5 èè och èè! èè + 5 èè efter varandra, s f rblir r kneschemat èeller ekvationssystemetè of r- ndrat. Exempel 3.5. Den enkla permutationsmatrisen = r sin egen invers, ty Detta svarar mot att om man utf r èboè-operationen èè $ èè tv g nger p ett r kneschema, s terf r man det ursprungliga r kneschemat. Exempel 3.6. Matrisen E 3 har inversen E, =3 ; vilket r liktydigt med att èbo3è-operationerna èè! 3 èè och èè! èè upph ver 3 varandra. Utr kning av inverser tt best mma inversen X =, till en n=n-matris inneb r att man l ser matrisekvationen X = I. Vi kommer n mligen senare att se, att om en matris X satiserar denna ekvation s satiserar samma X automatiskt ocks ekvationen X = I. P bl.a. detta grundar sig f ljande metod att r kna ut inversen till en matris Vi inf r beteckningar f r kolonnerna i X och I genom att s tta X = èx æææ xnè och I =èe æææ enè. Matrisekvationen X = I kan d skrivas som n ekvationssystem med samma koecientmatris x = e ; x = e ; ; xn = en Dessa kan l sas var och en f r sig med hj lp av r knescheman èje è,, èjenè. Men d det ju r koecientmatrisen, som best mmer vilka basoperationer man anv nder, kommer man att upprepa èn stanè samma kalkyl n g nger. F r att undvika dessa upprepningar anv nder man sig av ett enda sammanslaget r kneschema èje enè=èjiè; d r alla h gerled beaktas samtidigt genom att man skriver dem efter varandra. Om en l sning X existerar, kan detta schema f s i reducerad echelonform med hj lp av basoperationer enligt m nstret èjiè!æææ! èijx æææxnè=èijxè
6 8 Bj rkfeltbjon L sningen xi till det ite ekvationssystemet nner man d p den plats d r h gerledet bi ursprungligen fanns. Detta inneb r att d det i r kneschemat st r en enhetsmatris I p v nstra sidan om det vertikala strecket, st r inversen X =, p den h gra sidan om strecket. Exempel 3.7. Vi inverterar matrisen med hj lp av f ljande kalkyler BO, j!, j BO3! =,, BO, j! j,=3,=3 BO, j!, j j,=3,=3 j,=3,=3, j,3 j Inversen r allts, =, 3 Exempel 3.8. Matrisen har ingen invers, ty den andra raden blir inkon- 4 sistent j 4 j! j j, LU-faktorisering I exempel 3. har vi genom till mpning av èbo + è f tt ett system p echelonform. Detta svarade mot att ekvationen x = b multiplicerades fr n v nster med E = E 3 E E s att en ny ekvation U 3 x = b 3 uppstod, d r U 3 r en echelonmatris. Nu r ju E = U 3, vilket ger, d vi multiplicerar fr n v nster med L = E, = E, E, E, 3 = LU 3 Hur ser L ut? Inverserna av E, E och E 3 f s p samma s tt som i exempel 3.4 L @
7 Gausseliminering genom multiplikation 9 Observera att elementen p platserna è; è, è3; è och è3; è i L r just precis de multipler =,och som vi anv nde i de tre elimineringsstegen d vi subtraherade en multipel av en ekvation fr n en annan. Detta r ingen slump utan vi kan formulera en generell regel. F r att f rtydliga detta skall vi se n rmare p hur produkten L i v rt exempel uppstod P grund av den speciella ordning, i vilken vi eliminerat èf rst i kolonn, sedan i kolonn osv.è, blir enligt formel èè produkter av minst tv faktorer J ik en nollmatris, s att L =èi+j èèi +J 3 èèi +J 3 è=i+j +J 3 +J 3 Detta betyder att matrisen L kan skrivas ut utan att man utf r n gon multiplikation. Talet hamnar alltid p platsen èi; kè i L d man utf r operationen èiè! èiè, èkè Sats 3.3. Om en m=n-matris kan verf ras p echelonform U enbart med hj lp av èbo + è,s kan LU-faktoriseras ienprodukt = LU Om elimineringen skett i normal ordning s att man eliminerat i s kolonner fr n v nster till h ger, kan matrisen L skrivas ut enligt regeln L r en ned t triangul r m=m-matris, s dan att L har ettor i diagonalen; multipeln s tts p plats èi; kè under diagonalen i L om man eliminerat med operationen èiè! èiè, èkè; vriga matriselement r nollor. Om r en n=n-matris och antalet pivotelement i U r precis n, s r U en upp t triangul r matris, vilkens diagonalelement è= pivotelementè alla r olika noll. Vid LU-faktorisering av en matris speler h gerledet ingen roll. Vi skriver d rf r inte ut n got h gerled i r kneschemat. Exempel 3.9. Om man skall LU-faktorisera matrisen 4 5 g r man f ljande kalkyler med hj lp av èbo = U; 3 è3è d r de multipler som anv nts i operationerna antecknats under pilarna. T.ex. operationen è3è! è3è, 3 èè ger upphov till talet 3 p plats è3; è i L L 3 Om man numrerar pivotkolonnerna i è= de kolonner som inneh ller pivotelementè fr n v nster till h ger, kan man ocks uttrycka regeln i Sats 3.3 p f ljande s tt D man eliminerar i pivotkolonn nummer k i, skall de anv nda multiplerna skrivas i kolonn nummer k i L.
8 3 Bj rkfeltbjon Permutationsmatriser Ibland kan en matris inte f s i echelonform enbart med hj lp av èbo + è. Den kan d inte LU-faktoriseras direkt. Detta g ller exempelvis f r matrisen = 3 4 Ett ekvationssystem som svarar mot r t.ex. x = b 3x +4x =b Om man permuterar ekvationerna, dvs. anv nder èboè, blir systemet d remot genast upp t triangul rt. Koecientmatrisen f r det nya systemet blir 3 4 och f s ur genom multiplikation fr n v nster med en permutationsmatris P av det slag som beskrivs i ekvation èè. Denition 3.. En matris, som f s ur en enhetsmatris I genom att man l ter raderna i I byta ordning, kallas en permutationsmatris. En permutationsmatris r enkel och betecknas med P ik om den f s ur I genom att man l ter raderna èiè och èkè i I byta plats èi 6= kè. Notera att P ik = P ki och att P ik r inverterbar och r sin egen invers P, ik = P ik. Vi har sett att multiplikation av en matris fr n v nster med den enkla permutationsmatrisen P ik stadkommer att raderna èiè och èkè i byter plats. N got liknande g ller f r alla permutationsmatriser Exempel 3.. Betrakta t.ex. permutationsmatrisen P = e e 3 e e 4 C ; d r ei betecknar rad i i enhetsmatrisen I 4. Ordningsf ljden p raderna i P kan f s ur den ursprungliga èden som de har i I 4 è med hj lp av en f ljd av enkla permutationer P P 3 3,!,! S ledes r P = P 3 P. Om vi nu bildar en produkt P s kommer P att byta om raderna èè och èè i, varefter P 3 byter om raderna èè och è3è i P. Resultatet blir att P yttar om raderna i s att de f r ordningsf ljden èè, è3è, èè, è4è.
9 Gausseliminering genom multiplikation 3 Eftersom enkla permutationsmatriser r sina egna inverser, g ller dessutom att P r inverterbar och att P, = P P 3. Detta g ller generellt Sats 3.4. L t P vara den permutationsmatris som f s ur I m genom att man ordnar om raderna i ordningsf ljden samt l t vara en m=n-matris. D r èiè P en produkt P = P i j æææp ip j p av enkla permutationsmatriser; èiiè P inverterbar och P, = P ip j p æææp i j ; èiiiè P r likamed den matris som man f r ur genom att skriva s rader iordningsf ljden. Mera om LU-faktorisering Vi har sett att en matris kan LU-faktoriseras om den kan verf ras i echelonform enbart med hj lp av èbo + è. Detta r inte alltid m jligt utan man kan bli tvungen att permutera rader med hj lp av èboè f r att komma till en echelonform. F r att inkludera ocks s dana fall kr vs en ny formulering av satsen om LU-faktorisering. ntag att r en m=n-matris, som èeventuelltè inte kan f s p echelonform enbart med hj lp av èbo + è s att ocks èboè m ste tas till hj lp. D kan man t nka sig att genast i b rjan g ra de radbyten som kommer att beh vas èdvs. bilda en matris P d r P r en permutationsmatrisè f r att i forts ttningen uteslutande anv nda èbo + è, varvid man LU-faktoriserar P. Detta r m jligt f r alla m=n-matriser, ty èbo3è beh vs str ngt taget inte vid omformning till echelonform. D remot beh vs èbo3è nog om man vill f fram en reducerad echelonform. Vi kan allts formulera f ljande sats Sats 3.5. F r varje m=n-matris nns en permutationsmatris P, s dan att P kan LU -faktoriseras P = LU I praktiken beh ver man inte g ra alla radbyten f rst, utan man kan under r kningens g ng modiera sina listor med multipler efter varje radbyte, s att listorna g ller som om radbytet hade gjorts redan i b rjan Exempel 3.. I f ljande sekvens av r knescheman skriver vi f rst ut en prelimin r lista med multipler ènedan med index è, som byts ut mot en ny lista èmed index è s snart operation èboè anv nds. En multipel h r ju ihop med en viss rad, varf r multiplerna b r byta plats p samma s tt som motsvarande rader èè è3è = U 3 èè
10 3 Bj rkfeltbjon Samtidigt har vi noterat att den ursprungliga ordningen èè, èè, è3è p raderna i har omvandlats till èè, è3è, èè i U, vilket ger oss permutationsmatrisen P. Vi har allts att P = LU, d r P och L Denition 3.3. En n=n-matris s gs vara icke-singul r om den med hj lp av èvilka som helstè basoperationer kan f s i en upp t triangul r form U, som inneh ller n pivotelement. Om antalet pivotelement r mindre n n s gs matrisen vara singul r. Exempel 3.. Matrisen r icke-singul r, ty echelonformen nedan inneh ller tre pivotelement D remot r matrisen singul r, ! B Nedanst ende ekvivalenser f r en n=n-matris med den motsvarande echelonformen U, r singul r èè èè pivotelementè én èè ekvationen U x = har icke-triviala l sningar èè ekvationen x = har icke-triviala l sningar ; ger en enkel karakterisering av enicke-singul r matris, vilken vi i forts ttningen kommer att beh va i m nga sammanhang r kvadratisk och è3è r icke-singul r èè x = bara om x = Vi kan nu g ra ett till gg till Sats 3.5
11 Gausseliminering genom multiplikation 33 Sats 3.6. ntag att r kvadratisk och att P = LU r LU -faktoriseringen av P, d r P r en permutationsmatris. Om r icke-singul r, s g ller èiè èiiè Diagonalelementen i U r olika noll; ekvationen x = b har exakt en l sning èf r varje bè. Om r singul r s r n got av diagonalelementen i U en nolla. Bevis. Det sista p st endet och èiè f ljer direkt ur denition 3.3. Ekvationen x = b r ekvivalent med en ekvation av formen U x = b. Eftersom varje kolonn i U inneh ller ett pivotelement om r icke-singul r, s r ingen variabel fri och systemet r konsistent. Bak tsubstitution ger d rf r exakt en l sning. llts g ller èiiè. í LU-faktoriseringen av en kvadratisk matris r osymmetrisk s tillvida att L har ettor i diagonalen medan U inte beh ver ha det som t.ex. i LU-faktoriseringen = LU Detta sk nhetsfel r l tt att korrigera. Vi skriver U som en produkt av en diagonalmatris D och enny upp t triangul r matris U med ettor i diagonalen, = = = DU ; och f r = LDU. En s dan LDU-faktorisering av èeller Pè r alltid m jlig om diagonalelementen i U r olika noll, dvs. om r icke-singul r. Sats 3.7. Om r en icke-singul r kvadratisk matris s nns det en permutationsmatris P och en s kallad LDU-faktorisering P = LDU av P, d r L r en ned t triangul r matris med ettor i diagonalen, D r en diagonalmatris, vilkens diagonalelement r olika noll, U r en upp t triangul r matris med ettor i diagonalen. nv ndningar av LU- och LDU-faktoriseringar Om man samtidigt l ser era ekvationssystem, x = b ; x = b ; ; xp = bp; med samma koecientmatris, kan man g ra som vi gjorde vid invertering av en matris I st llet f r att g ra skilda kalkyler i era r knescheman èjb è,,èjbpè, vilket leder till upprepningar av r kneoperationer, sl r vi ihop dessa till ett enda r kneschema èjbè =èjb bpè;
12 34 Bj rkfeltbjon genom att skriva h gerleden efter varandra i B =èb bpè. L sningarna till alla dessa system kan sedan l tt skrivas ut d schemat èjbè verf rts i reducerad echelonform. Observera att detta r ekvivalent med att l sa matrisekvationen X = B, d r X =èx xpè èse uppgift 3 i kapitel è. Ovanbeskrivna metod, som r bra vid r kning f r hand, har ol genheten att alla h gerled m ste vara k nda innan man kan p b rja kalkylerna. En annan metod anv nder sig av LU-faktoriseringen = LU av èeller av P = LU av P, varvid h gerleden r P b,, Pbpè. Ekvationen xi = bi kan skrivas LU xi = bi, och denna i sin tur som tv ekvationer è4è Lyi = bi U xi = yi ; èi =;;pè d r man har inf rt en tempor r variabel yi. F rst l ser man x = b och f r LUfaktoriseringen p k pet. Efter det anv nder man sig av è4è, f r i = ;;p, s att man l ser den f rsta ekvationen med r kneschemat èljbiè, vilket ger yi, varefter man l ser den andra ekvationen med r kneschemat èujyiè, vilket ger xi. Det r uppenbart att alla h gerled inte beh ver vara k nda fr n b rjan d man anv nder denna metod, utan nya h gerled kan l ggas till n r som helst èse uppgifterna 3 och è. P grund av att b de L och U r triangul ra, kr vs bara fram t- respektive bak tsubstitutioner vid l sningen, dvs. ett relativt litet antal r kneoperationer. De b da beskrivna metoderna kr ver ungef r lika stor arbetsinsats. Man kan visa att om r en n=n-matris s kr vs i b gge fallen 3 n3 +pn r kneoperationer med de fyra r knes tten. Exempel 3.3. Om vi skall l sa systemen u = b och v = b, d r =, 3 ; b = och b =, st ller vi enligt den f rst beskrivna metoden upp ett gemensamt r kneschema, som verf rs i reducerad echelonform èjb b è=, j, 3 j!æææ!,5 j,,7 j 3 B de u 3 och v 3 r fria, s vi kan s tta u 3 = s och v 3 = t. Med hj lp av den f rsta kolonnen i h gerledet f r vi l sningarna till det f rsta systemet och med hj lp av den andra kolonnen i h gerledet l sningarna till det andra systemet ; u u u 3 =, + 5s = =, s s och v v v 3 =,7 + 5t = = 3, t t
13 Gausseliminering genom multiplikation 35 Enligt den andra metoden st ller vi upp r kneschemat f r den f rsta ekvationen och kan, d vi har n tt echelonform èmed hj lp av èbo + è och eventuellt èboèè, j 3 j skriva utlu-faktoriseringen = LU =! èè, j ; j, Sedan forts tter vi tills r kneschemat r i reducerad echelonform och kan d skriva ut l sningarna till det f rsta systemet. F r att l sa det andra systemet betraktar vi f rst Ly = b, j, j,, èljb è=! ; och f r att y = j j 3 3 D refter l ser vi U v = y,, j, j 3!,5 j,7 ; j 3 och nner den tidigare n mnda l sningen. Kom ih g att v rt exempel med sm matriser bara visar principen f r hur metoderna fungerar. F rdelarna hos dessa tv metoder blir betydande f rst d systemen r stora ochèeller antalet system stort. Vi skall nu se vilka teoretiska f ljder Sats 3.7 om LDU-faktorisering har. Vi visar f rst att om r en icke-singul r n=n-matris med LDU-faktoriseringen = LDU, s r varje faktor L, D och U inverterbar Faktorn L r en produkt L = E, æææe p, èbo + èèoch r d rmed sj lv inverterbar enligt Sats 3. èiiiè. Faktorn D d d n har inversen D, = av inverterbara faktorer èsom svarar d, Varje diagonalelement d i r n mligen olik noll enligt Sats 3.6. Den upp t triangul ra matrisen U slutligen, kan verf ras p en reducerad echelonform som r I med hj lp av bak tsubstitutioner èbo, è, dvs. genom att man multiplicerar med inverterbara matriser F j av formen I, J ik F q æææf U = I Om man multiplicera fr n v nster med i tur och ordning F q,,, F,, f r man att U r en produkt av inverterbara faktorer, U = F, æææf q,. llts r ocks U inverterbar. Med hj lp av detta kan vi visa att LDU-faktoriseringar r entydiga d, n
14 36 Bj rkfeltbjon Sats 3.8. ntag att r en icke-singul r kvadratisk matris och att èeller P, d r P r en permutationsmatrisè har LDU -faktoriseringarna = L D U och = L D U D r L = L, D = D och U = U. Bevis. Ur L D U = L D U f ljer, d man multiplicerar fr n v nster med L, och D, och fr n h ger med U,, att U U, = D, L, L D V nstra ledet r en produkt av tv upp t triangul ra matriser med ettor i diagonalen och har d rf r sj lv samma form èse uppgift 9è medan h gra ledet r en ned t triangul r matris. Detta medf r att b gge leden m ste vara I è5è U U, = I och D, L, L D = I Multiplikation av den f rsta likheten i è5è med U fr n h ger ger att U = U. Genom att multiplicera den andra likheten fr n v nster med D och fr n h ger med D, f s L, L = D D, ; d r v nsterledet r ned t triangul rt med ettor i diagonalen och h gerledet en diagonalmatris. B gge leden m ste d vara en enhetsmatris L, L = I och D D, = I. F ljaktligen r L = L och D = D. í nm rkning. Observera att det i allm nhet nns era olika permutationsmatriser P, s dana att P kan LDU-faktoriseras f r en given icke-singul r matris. Dessa faktoriseringar r olika f r olika P men d P r best mt r faktorerna i LDU-faktoriseringen av P entydiga. En viktig konsekvens av inverterbarheten hos faktorerna L, D och U i en LDUfaktorisering r f ljande sats Sats 3.9. En kvadratisk matris r icke-singul r om och endast om den r inverterbar. Bevis. ntag att r icke-singul r. D nns det en permutationsmatris P och en tillh rande LDU-faktorisering P = LDU. Eftersom permutationsmatriser r inverterbara èsats 3.4è, r = P, LDU ; d r alla faktorer r inverterbara. Enligt Sats 3. èiiiè r d ocks inverterbar. ntag omv nt att r inverterbar. F r att visa att r icke-singul r, antar vi att x r en n gon l sning till ekvationen x =. Genom multiplikation fr n v nster med, f s att x =, = r den enda l sningen. S ledes r en icke-singul r matris enligt è3è. í
15 Symmetriska matriser Gausseliminering genom multiplikation 37 Denition 3.4. En matris r symmetrisk om T =. Om r av typen m=n s r T avtypen n=m. S ledes m ste vara kvadratisk f r att kunna vara symmetrisk. Dessutom b r a ik = a ki f r varje i och k hos en symmetrisk matris. Sats 3.. Om matrisen r inverterbar, r ocks T inverterbar och è T è, =è, è T Bevis. Om r inverterbar, r dvs. è, è T r inversen till T. í Ur Sats 3. f ljer è T èè, è T =è, è T =I T =I; è, è T è T è=è, è T = I T = I; Sats 3.. Om r inverterbar och symmetrisk s r ocks, symmetrisk. Bevis. Detta g ller eftersom è, è T =è T è, =,. í LDU-faktoriseringen av en symmetrisk, inverterbar matris r speciellt enkel Sats 3.. Om r symmetrisk och inverterbar och kan LDU -faktoriseras, s har faktoriseringen utseendet = LDL T, dvs. U = L T. Bevis. Genom transponering av = LDU f s att = T =èldu è T = U T D T L T = U T DL T ; vilket r en LDU-faktorisering av. Entydigheten hos LDU-faktoriseringar èsats 3.8è ger att U T = L och L T = U. í vrundningsfel. Partiell pivotering D man l ser linj ra ekvationssystem, utf rs ett stort antal r kneoperationer. F r ett system med n ekvationer och n obekanta kr vs ungef r n 3 =3 r kneoperationer f r att f fram l sningen. Vid varje r kneoperation m ste vi r kna med ett avrundningsfel èkoecienterna avrundas kanske till 3 signikanta sirorè och detta p verkar naturligtvis l sningen, som d bara blir approximativ. Ibland kan koecientmatrisen ha en inneboende k nslighet, som g r att en liten ndring av ett matriselement i r kneschemat, ett avrundningsfel, oundvikligen f r stor inverkan p èden approximativaè l sningen. En annan felk lla kan vara att kalkylerna g rs p ett s dant s tt att felen f rstoras i on dan. Vi skall om en stund beskriva en enkel metod att undvika s dana fel, som inte beror p genuin k nslighet. F ljande r ett exempel p en koecientmatris som r genuint k nslig
16 38 Bj rkfeltbjon Exempel 3.4. v de tv systemen u + v = u+;v = och u + v = u +;v =; med samma koecientmatris, har det f rsta systemet l sningen u =, v =, medan det andra har l sningen u =, v =. Orsaken r helt enkelt att de tv r ta linjerna u + v = æ och u +;v = æ r n stan parallella, varf r en ndring i femte siran i ett tal i h gerledet f rorsaker en ndring i f rsta siran i sk rningspunkten èdvs. l sningenè. Eliminering ger j æ ; j æ! j æ ; j æ, æ Parallelliteten hos de tv linjerna visar sig h r i att det uppst r ett pivotelement, som r n ra noll. I forts ttningen av kalkylerna kommer vi att dividera med detta tal n ra noll, och d rf r f rstoras eventuella avrundningsfel. H r hj lper det inte heller att permutera ekvationerna och d rf r r k nsligheten genuin. Om det r m jligt, b r man undvika att g ra kalkylerna s att n got pivotelement blir ett tal n ra noll. Metoden med partiell pivotering anger en enkel regel f r detta Varje g ng man skall eliminera med hj lp av èbo + è f r att f ett system i echelonform, b r man f rst permutera de terst ende raderna s, att det till beloppet st rsta elementet i resten av kolonnen blir pivotelement. Ikoecientmatrisen è= v nstra delen av ett r kneschemaè d æ æææ æ a æææ æ a 3 æææ æ,,,, a m æææ æ C har vi redan ett pivotelement, d è6= è. I n sta steg b r vi allts bland talen a, a 3,, a m v lja det som r st rst till beloppet och sedan l ta den rad, som talet ing r i, bli rad nummer tv s att det utvalda talet blir n sta pivotelement èifall inte alla dessa tal r noll, varvid man naturligtvis g r vidare till tredje kolonnenè. vningsuppgifter. Vad h nder med en 3=3-matris om man multiplicerar den èaè fr n v nster, èbè fr n h ger med matriserna E 3 respektive E3 5? 4
17 Gausseliminering genom multiplikation 39. I ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta gausseliminerades genom att i tur och ordning basoperationerna èiè èiiè èiiiè èè! èè, 4 èè è3è! è3è, èè è3è! è3è, 3 èè anv ndes, varvid det triangul ra systemet u, v + 3w = uppstod. Hur s g systemet ut fr n b rjan? 3. L s ekvationen x = b, d =LU och L ; U = 9v, 3w =,4 4 3 w = 4 ; b 4 4. ntag att P ij och P kl r enkla permutationsmatriser av samma typ. N r kommuterar de, dvs. n r r P ij P kl = P kl P ij? 5. Hur m nga permutationsmatriser nns det èaè av typ 3=3, èbè av typ n=n? 6. Finn faktorerna L, och U i LU-faktoriseringen av matrisen èaè ; èbè 3, 7. Vilka v rden p a och b leder till radbyte vid triangulering av och vilka v rden g r singul r, d a 8 3 b 3 8. Best m LDU-faktoriseringen av P, d r P r en l mplig permutationsmatris, d èaè = ; èbè 3 ; ècè 3 4 4, 3 9. Best m en permutationsmatris P s dan att P har en LDU-faktorisering och ber kna denna, d, B,,4 5, C 6 4,, 4,3
18 4 Bj rkfeltbjon. ntag att LU-faktoriseringen = LU r given men att systemet som skall l sas r T y = b. Finn en ndam lsenlig metod att ber kna y.. Best m inversen @,a. Ber kna inverserna, ifall de existerar, till 3 ; èbè 3 C, ntag att, B och C r inverterbara matriser. Vad r inversen till B, C? r inverterbar? r + B inverterbar? Visa att, è + BèB, =, + B,. 4. Best m inversen till cos èaè sin, sin cos ; 5. Finn alla =-matriser, som r sin egen invers. 6. nge de v rden p a f r vilka nedanst ende matris saknar 3 a, a, 7. Visa att det nns o ndligt m nga v nsterinverser till matrisen 3 èdvs. matriser B s dana att B = Iè men ingen h gerinvers till èdvs. ingen matris C s dan att C = Iè. 8. Best m den symmetriska LDU-faktoriseringen = LDL T av èaè ; èbè Visa att produkten av tv upp t triangul ra n=n-matriser med ettor i diagonalen r en matris av samma typ.
19 Gausseliminering genom multiplikation 4. En kvadratisk, inverterbar matris s gs vara ortogonal om, = T. Visa, èaè att produkten av tv ortogonala matriser r en ortogonal matris, èbè att om r ortogonal s r ocks, ortogonal.. ntag att r en kvadratisk, icke-singul r matris. Visa att b de och T ger upphov till samma pivotelement, om enbart èbo + è anv nds.. ntag att r en inverterbar matris och att matriserna och B kommuterar, dvs. att B = B. Visa èaè èbè att ocks, och B kommuterar, att om och B dessutom r symmetriska, s r ocks, B symmetrisk. 3. Visa att varje idempotent matris, som inte r I, m ste vara singul r è r idempotent om =è. 4. R kna ut LU-faktoriseringen av matrisen èaè 4 ; èbè 5. Best m matrisen d vi vet att r inverterbar och att inversen till matrisen r 7, 6. L t vara en n=n-matris, som har talen d ;;d n i diagonalen men i vrigt best r ettor. ntag att d i é f r varje i. Visa att x T x é f r varje n=-vektor x 6= och slut h rav att r icke-singul r. èledning Skriv som summan av en diagonalmatris med talen d i, i diagonalen och en matris som best r av enbart ettor.è 7. En kubisk ri-funktion f èxè genom givna punkter èx ;y è,, èx n ;y n è r denierad i varje intervall ëx i, ;x i ëèi=;;nè som ett tredjegradspolynom q i èxè. Dessa polynom r valda s att f èxè, f èxè och f èxè blir kontinuerliga i skarvningspunkterna x,, x n,. Om man dessutom kr ver att f èx è=f èx n è=s s gs den kubiska ri-funktionen vara naturlig. Om alla intervall har samma l ngd h = x i, x i,, i =;;n, s r f r den naturliga kubiska ri-funktionen q i èxè =ty i +è,tèy i, +htè, tèëèk i,,d i èè, tè, èk i, d i ètë ; d r x = x i, + th, d i =èy i,y i, è=h och talen k ;;k n f s ur matrisekvationen 4 4,,,,,, 4 C k k k, k n, k n C =3 d d +d d +d 3, d n, +d n d n èaèbest m LU-faktoriseringen av koecientmatrisen i det fall att den r en 4=4- matris. èbè Best m den naturliga kubiska ri-funktionen genom è; è, è; 3è och è; è. C
2 Bj rkfeltbjon d r k èk =;:::;pè betecknar A:s olika egenv rden och n k r den algebraiska multipliciteten hos egenv rdet k. Om multipliciteten hos et
7. Egenv rden och egenvektorer L t A beteckna en n=n-matris. I vissa riktningar x 6= beter sig matrisen A enkelt i den meningen att x och Ax r kar vara parallella: Denition 7.. Talet s gs vara ett egenv
Läs mer2 Bj rkfeltçbjon Exempel.2. Systemet 2x + x 2, x 3 + x 4 =5 x 2 + x 3, x 4 =3 3x 3 +6x 4 =6 r inte triangul rt èdet r ju inte kvadratisktè. Ger vi d r
. Gausseliminering Vi skall till att b rja med s ka l sningen èl sningarnaè till ett s kallat linj rt ekvationssystem. Ett s dant system med m ekvationer och n obekanta èm; n 2 Z + è har formen a x + a
Läs merVektorrum 43 Exempel 4.. M ngden E av alla m=n-matriser, f rsedd med vanlig matrisaddition och vanlig multiplikation av en matris med en skal r, r ett
4. Vektorrum Tidigare har vi r knat upp en rad av r kneregler som g ller f r m=n-matriser. Dessa regler g ller inte bara f r varje matristyp m=n utan ocks f r m nga andra objekt som t.ex. funktioner, talf
Läs mer9 Bj rkfeltçbjon Oftast anv nder man beteckningen f r determinanten detèaè. Exempel 6.4. Matrisen a a 2 a n a 2 a 22 a 2n,,,, a n a n2 a nn A =ç a a 2
6. Determinanter Innan vi sl r fast en deçnition av begreppet determinant, beh ver vi vissa f rberedande f rklaringar En permutation av talen ;;n r en uppr kning èj ;;j n è av dessa samma tal i n gon ordning.
Läs merx - Px U = R(A) = R(P)
8. Ortogonala projektioner Antag att a (6= ) och b r tv vektorer i R n. Vi skall bilda den ortogonala projektionen av b p det endimensionella underrummet L = spn fag. Enligt resonemanget i beviset av Schwarz
Läs mer2 Bj rkfeltbjon Elementen a ii, i ;;n, i en kvadratisk matris bildar matrisens èhuvudèdiagonal. En enhetsmatris r en diagonalmatris med enbart ettor i
2. Matriser och vektorer Denition 2.. En matris r ett rektangul rt schema A B a a 2 æææ a n a 2 a 22 æææ a 2n,,,, a m a m2 æææ a mn CA av reella tal, som kallas matriselement. Matrisen A har m rader och
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =
Läs merLinjär Algebra M/TD Läsvecka 2
Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2 Omfattning och Innehåll 2.1 Matrisoperationer: addition av matriser, multiplikation av matris med skalär, multiplikation av matriser. 2.2-2.3 Matrisinvers, karakterisering
Läs mer1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser
Krister Svanberg, april 1 1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser Inom ickelinjär optimering, speciellt kvadratisk optimering, är det viktigt att på ett effektivt sätt kunna avgöra huruvida
Läs merDagens program. Linjära ekvationssystem och matriser
Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,
Läs mer6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =
62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader
Läs merDeterminanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-4.
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna -. Föreläsningarna, 6/9 /9 : I sammanfattningen kommer en del av det vi tagit
Läs mer15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra
5 september, 5 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition och beräkning av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess
Läs merDagens program. Linjära ekvationssystem och matriser
Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,
Läs merMatriser. En m n-matris A har följande form. Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. 0 1, 0 0. Exempel 1
Matriser En m n-matris A har följande form a 11... a 1n A =.., a ij R. a m1... a mn Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. Exempel 1 1 0 0 1, 0 0 ( 1 3 ) 2, ( 7 1 2 3 2, 1 3, 2 1
Läs merKapitel 4 Inst llning av regulatorer I detta avsnitt skall vi i korthet betrakta problemet att st lla in regulatorer s att den slutna kretsen f r nska
Kapitel 4 Inst llning av regulatorer I detta avsnitt skall vi i korthet betrakta problemet att st lla in regulatorer s att den slutna kretsen f r nskade egenskaper. Situationen illustreras av reglerkretsen
Läs merSjälvkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merMATRISTEORI. Pelle Pettersson MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens
MATRISTEORI Pelle Pettersson ALLMÄN MATRISKUNSKAP MATRISER En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens element Exempel Matrisen 2 3 4 5 6 har två rader och
Läs merObjective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0
DEFINITIONEN AV LINJÄRT BEROENDE MED EXEMPEL Objective:: Linjärt beroende och oberoende version. Definitionen av linjärt beroende med exempel Vi börjar med ett inledande exempel för att motivera definitionen
Läs merLÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra II LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING Lös ekvationssystemet x + y + z 9 x + 4y 3z 3x + 6z 5z med hjälp av Gausselimination Lösning:
Läs mer14 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra
14 september, 2016 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess lösningar
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v
Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2
Läs merMoment 6.1, 6.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T6.1-T6.6
Moment 6., 6. Viktiga exempel 6.-6. Övningsuppgifter T6.-T6.6 Matriser Definition. En matris är ett schema med m rader och n kolonner eller kolumner, som vi kallar dem i datalogin innehållande m n element.
Läs merkretsen och terv nder, ges den terv ndande signalen av d1 = G p G c è,1èd. Men denna st rning g r i sin tur runt kretsen och terv nder, och den terv n
Kapitel 5 Inst llning av regulatorer I detta avsnitt skall vi i korthet betrakta problemet att st lla in regulatorer s att den slutna kretsen f r nskade egenskaper. Situationen illustreras av reglerkretsen
Läs mer1 De fyra fundamentala underrummen till en matris
Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,
Läs merSubtraktion. Räkneregler
Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera
Läs merLinjär Algebra M/TD Läsvecka 3
bild 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3 Omfattning och Innehåll Lay: 3.1-3.3 Determinanter. Definition, räkneregler och ett par viktiga satser. Huitfeldt: Om lösningsnoggrannhet: vektornorm, matrisnorm bild
Läs merAvsnitt 2. Matriser. Matriser. Vad är en matris? De enkla räknesätten
Avsnitt Matriser Vad är en matris? De enkla räknesätten Matrismultiplikation Produkt av en rad med en kolumn Produkt av rader med en kolumn Produkt av rader med kolumner När är matrismultiplikationen definierad?
Läs mer1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser
Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just
Läs merM0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 11
M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 11 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 41 Linjär Algebra, Föreläsning
Läs merLinjär algebra. Lars-Åke Lindahl
Linjär algebra Lars-Åke Lindahl 2009 Fjärde upplagan c 2009 Lars-Åke Lindahl, Matematiska institutionen, Uppsala universitet Innehåll Förord................................. v 1 Linjära ekvationssystem
Läs merAvsnitt 4, Matriser ( =
Avsnitt Matriser W Beräkna AB då ( a A ( - b A B B ( 8 7 6 ( - - - och Först måste vi försäkra oss om att matrismultiplikationen verkligen går att utföra För att det ska gå måste antalet kolumner i den
Läs merNorm och QR-faktorisering
Norm och QR-faktorisering Skalärprodukten på C n (R n ) hänger ihop med några viktiga klasser av matriser. För en komplex matris A betecknar vi med A H det Hermitiska konjugatet till A, dvs A H = A T.
Läs merYoungTabl er och m nsterundvikande Sverker Lundin September 200 YoungTabl er och m nsterundvikande Examensarbete i matematik Sverker Lundin Examinator: Einar Steingr msson Matematik Chalmers tekniska
Läs merFigur 2: Bild till uppgift 1 a) b) Figur 3: Bilder till uppgift 7 5
Tentamen 990416 Medicinsk Bildbehandling, 5p Skrivtid 9:00 15:00 Betygsgr nser U: 0-29 3: 30-39 4: 40-49 5: 50-60 Svara p alla fr gor p nytt blad. M rk bladet med namn och fr genummer. Disponera tiden
Läs merTMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra
TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska
Läs merc) Sarrus regel ger L6.2 Hur många lösningar har ekvationssystemen?
Avsnitt Determinanter L Använd determinanter för att avgöra om följande matriser är inverterbara ( ) a) b) 5 8 ( ) cos ϕ sin ϕ c) d) sin ϕ cos ϕ En matris A är inverterbar om och endast om det A Vi beräknar
Läs merVectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.
Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av
Läs merGausselimination fungerar alltid, till skillnad från mer speciella metoder.
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM, GAUSSELIMINATION. MATRISER. Läs avsnitten 4.-4.. Lös övningarna 4.ace, 4.2acef, 4., 4.5-4.7, 4.9b, 4. och 4.abcfi. Läsanvisningar Avsnitt 4. Det här avsnittet handlar om Gauss-elimination,
Läs merNumerisk Analys, MMG410. Exercises 2. 1/33
Numerisk Analys, MMG410. Exercises 2. 1/33 1. A är en kvadratisk matris vars alla radsummor är noll. Visa att A är singulär. Låt e vara vektorn av ettor. Då är Ae = 0 A har icke-trivialt nollrum. 2/33
Läs merBesvara frågorna genom att sätta ett kryss i lämplig ruta. Kom ihåg att det alltid frågas efter, vad Du anser eller hur Du brukar göra!
1 Besvara frågorna genom att sätta ett kryss i lämplig ruta. Kom ihåg att det alltid frågas efter, vad Du anser eller hur Du brukar göra! 1a Är Du man eller kvinna? 1 Man 2 Kvinna 1b Hur gammal är Du?
Läs merMoment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61
Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merMULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET MED MATRISINVERSER = = =
Matematiska institutionen Stockholms universitet CG Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 5 MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET
Läs mer5.7. Ortogonaliseringsmetoder
5.7. Ortogonaliseringsmetoder Om man har problem med systemets kondition (vilket ofta är fallet), lönar det sig att undvika normalekvationerna vid lösning av minsta kvadratproblemet. En härtill lämplig
Läs merInnehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13
LINJÄR ALGEBRA Innehåll Linjärt ekvationssstem (ES) 5 Grundläggande algebra 3 3 Matrisalgebra 5 3 Addition av matriser 5 3 Multiplikation mellan matriser 7 33 Enhetsmatris 34 Invers matris 34 Nollmatris
Läs merLinjära ekvationssystem
Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på denna för att
Läs merMVE022 Urval av bevis (på svenska)
MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.
Läs merBegrepp :: Determinanten
c Mikael Forsberg 2008 1 Begrepp :: Determinanten Rekursiv definition :: Kofaktorutveckling Låt oss börja definiera determinanten för en 1 1 matris A = (a). En sådan matris är naturligtvis bara ett vanligt
Läs merSkalle Histogram
Tentamen 980603 Medicinsk Bildbehandling, 5p Skrivtid 9:00 15:00 Betygsgr nser U: 0-34 3: 35-46 4: 47-57 5: 58-70 Svara p alla fr gor p nytt blad. M rk bladet med namn och fr genummer. Disponera tiden
Läs merEgenvärden och egenvektorer
Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merBlock 2: Lineära system
Exempel Från labben: Block : Lineära system Del 1 Trampolinens böjning och motsvarande matris (här 6060-matris) Matrisen är ett exempel på - gles matris (huvuddelen av elementen nollor) - bandmatris Från
Läs merLinjära avbildningar. Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. x 1 x 2. x = R n = x n
Linjära avbildningar Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. R n = { x = x x. x n } x, x,..., x n R. Vi räknar med vektorer x, y likandant som i planet och i rymden. vektorsumma:
Läs merM = c c M = 1 3 1
N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny
Läs merLinjära ekvationssystem
Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på
Läs merTMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 07 Chalmers tekniska högskola Datorlaboration Examinator: Tony Stillfjord TMV66 Linjär algebra för M Datorlaboration : Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning Allmänt Den
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merMinsta kvadratfelet som funktion av packningst theten Packning (ggr)
Bildkomprimering med JPEG, Fraktaler och Krusningar èwaveletsè Projektarbete i Bildanalys av Jacob Str m, D-91 Handledare: Sven Spanne maj 1994 1 1 Inledning F rgrika datorbilder av h g uppl sning tar
Läs merA. Grundläggande matristeori
A. Matristeori A. Grundläggande matristeori A.1 Definitioner A.1.1 Matriser och vektorer En matris är en rektangulär tabell av element ordnade i rader och kolonner (kolumner). Elementen i en matris kan
Läs merax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas
Läs merAlgebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U
Underrum till R n, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension. Påminnelse om R n s egenskaper: Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U v) c(u + v) = cu + cv ii) ( u + v)
Läs mertala är silver dela är guld
En utvecklingsartikel publicerad för Pedagog Stockholm tala är silver dela är guld hur ett formativt arbetssätt kan lägga grunden för en mer likvärdig bedömning av den muntliga förmågan Författare: Marie
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 2015 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs mer2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 tid
Kapitel 3 Dynamiska system 3. Enkla systemtyper och deras stegsvar F r att knna konstrera reglatorer f r dynamiska system b r systemens egenskaper vara k nda. Innan vi g r vidare till att behandla modeller
Läs merAlla kopplingar inkl. kringutrustning skall redovisas. Rapporten skall vara skriven med ordbehandlare. Kopplingsschemor kan dock vara handritade. Ni m
Labkompendium, laboration 2 èsensorer & f rf rst rkareè Bj rn Starmark, MINA, Fysik, CTHèGU 1999 29 april 1999 1 Introduktion Labuppgiften r att med tv olika operationsf rst rkare èop07cp och LF351è m
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v04, 7 augusti 05 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 05-08-7 kl 080-0 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs mertid
Kapitel 2 Dynamiska system 2. Enkla systemtyper och deras stegsvar F r att knna konstrera reglatorer f r dynamiska system b r systemens egenskaper vara k nda. Innan vi g r vidare till att behandla modeller
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v7, 7 januari 6 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 april 5 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 8- Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merFöreläsning 3: Ekvationer och olikheter
Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 016 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1.
Läs mer= ( 1) ( 1) = 4 0.
MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)
Läs mer1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden
Krister Svanberg, mars 202 LP-problem på standardform och Simplexmetoden I detta avsnitt utgår vi från LP-formuleringen (2.2) från föreläsning. Denna form är den bäst lämpade för en strömlinjeformad implementering
Läs merDiagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.
Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Variabelbyte i linjära system di erentialekvationer. Målet med det kapitlet i kursen är att lösa linjära system di erentialekvationer på
Läs merNr 1 Våren 2012. Foto: Håkan Nilsson
L I N S LU S E N M e d l e m s t i d n i n g f ö r Ka r l s k ro n a F o t o k l u b b Nr 1 Våren 2012 Tromtö Foto: Håkan Nilsson Innehållsförteckning Ordfö randen har ördet 3 Ma nadsmö ten hö sten 2012
Läs merTMV166 Linjär algebra för M, vt 2016
TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 Lista över alla lärmål Nedan följer en sammanfattning av alla lärmål i kursen, uppdelade enligt godkänt- och överbetygskriterier. Efter denna lista följer ytterligare
Läs mer8 Minsta kvadratmetoden
Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från
Läs merStockholm 2013-01-08 Till de organisationer som undertecknat beslutet om samverkan
Stockholm 2013-01-08 Till de organisationer som undertecknat beslutet om samverkan Samordningsgruppen har under a ret 2012 vid ett antal tillfa llen bero rt fra gan om inriktningen fo r det kommande a
Läs merJunior- och ungdomsta vlingar
Junior- och ungdomsta vlingar Under veckorna 3-4 genomfo rdes fyra distriktsbeso k fo r att diskutera svensk innebandys junior- och ungdomsta vlingar. Samtliga 22 distrikt var representerade pa ett eller
Läs mer5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA
5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn
Läs merSNI + NA + TE = sant. Anna Lodén, anna.loden@umea.se, Dragonskolan, Umeå Helen Forsgren, helen@oedu.se, Örnsköldsvik. Forsgren, Örnsköldsviks
SNI + NA + TE = sant Anna Lodén, anna.loden@umea.se, Dragonskolan, Umeå Helen Forsgren, helen@oedu.se, Anna Lodén, Örnsköldsviks Dragonskolan, Umeå Helen gymnasium, Forsgren, Örnsköldsviks Örnsköldsvik
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merLYCKA TILL! kl 8 13
LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade
Läs merLinjär algebra på 2 45 minuter
Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom
Läs merLinjär Algebra M/TD Läsvecka 1
Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination
Läs merStudiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1
Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Kapitel 1 och 11.2 alt. 11.9 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.)
Läs merMYSTERIER SOM ÅTERSTÅR
Matematiska institutionen Stockholms universitet C.G. Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 6 MYSTERIER SOM ÅTERSTÅR Mysteriet med matrisinversen. Det
Läs merChecklista som kan anva ndas för att komma igång med DigiExam och allma nna rekommendationer fo r att lyckas med provtillfa llet.
Checklista som kan anva ndas för att komma igång med DigiExam och allma nna rekommendationer fo r att lyckas med provtillfa llet. Introduktion till DigiExam-klienten/appen på elevens dator Det a r i DigiExam-klienten/appen
Läs merLinjär algebra på några minuter
Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen
Läs mer