tid

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 tid"

Transkript

1 Kapitel 3 Dynamiska system 3. Enkla systemtyper och deras stegsvar F r att knna konstrera reglatorer f r dynamiska system b r systemens egenskaper vara k nda. Innan vi g r vidare till att behandla modeller f r dynamiska system skall vi ge en kortfattad kvalitativ beskrivning av de viktigaste systemtyperna som man b r k nna till. F r att ge en kvalitativ inblick i de olika systemtyperna kommer vi att betrakta deras stegsvar, dvs tsignalen yètè efter en stegf r ndring i insignalen ètè. F rsta ordningens system. Stegsvaret hos ett system av f rsta ordningen har getts i exempel 2.4, gr 2.8. Karakteristisk f r ett system av denna typ r att tidsderivatan dy= r olikt noll omedelbart efter stegf r ndringen. Exemplen i kapitel 2 illstrerar hr system av denna typ kan f s genom fysikalisk modellering. System med tv tidskonstanter. Genom att ha tv system av f rsta ordningen i serie f s ett system med tv tidskonstanter. Stegsvaret karakteriseras av en l ngsammare respons i b rjan, med dy= =vid t =,jfr gr 3.. System av denna typ f s i praktiken p samma s tt som f rsta ordningens system. Ett system med tv tidskonstanter f s t.ex. genom att modellera motorn i exempel 2. som ett f rsta ordningens system. System med versv ng. Figr 3.2 visar stegsvaret hos ett system med versv ng. Detta r typiskt f r system mekaniska system med fj drande element. N gra exempel r en kran med en h ngande last, en pendel, fj dringen i en bil eller varvtalet hos en motor med exibel koppling. Systemets tendens till sv ngningar g r det sv rare att reglera. En viktig ppgift f r regleringen r att d mpa sv ngningarna. F r att knna g ra detta b r man ha en tillr ckligt god modell av systemet. System med d id. D id eller tidsf rdr jning èeng. dead time, time delay;. kollt aika, aikaviiveè inneb r att det tar en tid L innan en f r ndring i insignalen syns i tsignalen. Stegsvaret hos ett 22

2 y tid Figr 3.: Responsen hos ett system med tv tidskonstanter. system av f rsta ordningen med d id illstreras i gr 3.3. Eftersom styrsignalen inverkan syns f rst efter en tid r system med d id sv ra att reglera. F r att knna via korrekt regler tg rd p basen av m tningen yètè vid tiden t b r reglatorn knna f rtse hr systemet kommer att bete sig mellan tiden t och t + L, d regler tg rdens inverkan p tsignalen kan observeras. D ider f rorsakas i praktiken vanligen av olika typer av transporttider, s som vid f ryttning av material eller vid v tske- eller gas den. System med d id r d rf r mycket vanliga i processindstrin. System med integration. Om tsignalen best ms av integralen hos insignalen, enligt Z t yètè =k èèè, èd è3.è nns det endast ett v rde p insignalen f r vilket tsignalen y h lls konstant. Varje avvikelse fr n f r y antingen att st ndigt ka eller st ndigt minska. Se gr 3.4. Typiska exempel p system med integration r m ngden av material y som man har i ett lager med konstant tstr mning. M ngden y h lls konstant endast om in det till lagret r exakt lika stort som tstr mmen. F r é kar y med konstant hastighet och f r é minskar y med konstant hastighet till lagret r tomt. Ett konkret exempel r v tskeinneh llet y i en beh llare med konstant t de och in det. Ett annat viktigt exempel p ett system med integration r servomotorer som anv nds vid positionsreglering. Positionen y styrs med sp nningen till motorn. R relsehastigheten r proportionell mot sp nningen, dvs dy= = k. En avvikelse fr n =ger d rf r pphov till en ih llande f r ndring i positionen. System med inverssvar. Figr 3.5 visar stegsvaret hos en process med inverssvar. K nnetecknande f r dessa system r att svaret startar t motsatta h llet innan det n rmar sig det station ra v rdet. Behovet 23

3 y tid Figr 3.2: Responsen hos ett system med versv ng. att beakta den initiala motsatta verkan av en regler tg rd g r att system med inverssvar r mycket sv ra att reglera. System med inverssvar ppst r t.ex. d tv delprocesser i ett system verkar t motsatt h ll. Om en av processerna har ett snabbt svar och den andra har ett l ngsamt svar, kommer den snabba processen till en b rjan att f tsignalen att g mot ett h ll innan den l ngsamma processen hinner p verka tsignalen. Ett exempel p denna typs system r vid f rbr nning av fasta br nslen ès som isè. En kning av br nslem ngden f r temperatren i eldh rden f rst att minska eftersom det inkommande br nslet har en l gre temperatr. Efter att f rbr nningen av det tillf rda br nslet kommit i g ng kar temperatren. Andra exempel p system med inverssvar nns t.ex. vid reglering av vissa ygplan. Inom ekonomiska system r inverssvar vanliga: t.ex. en skattes nkning s nker till en b rjan skatteinkomsterna pga den l gre skatten, men kan senare resltera i en st rre skatteint kt tack vare kad ekonomisk aktivitet. Instabila system. Instabila system karakteriseras av att de divergerar fr n sitt begynnelsetillst nd om de l mnas t sig sj lva. Ett enkelt exempel p ett instabilt system r en inverterad pendel, som faller om den inte kontinerligt balanseras. Det enda s ttet att h lla ett instabilt system vid ett b rv rde r genom att anv nda terkoppling. Vissa ygplan r instabila och beh ver d rf r st ndiga regler tg rder f r att h lla krsen. Exempel p instabila system inom processindstrin r vissa reaktorer med exoterma reaktioner, som b r kylas tillr ckligt f r att h lla reaktionen nder kontroll. Ett annat exempel p instabilitet r att backa ett fordon med sl p. Systemet r instabilt eftersom den minsta avvikelse i krsen f r sl pet att driva t sidan. Det enda s ttet att h lla krsen r att st ndigt kompensera krsavvikelserna med styrningen. En reglator som stabiliserar systemet kan backa ett fordon med sl p tan sv righet. 24

4 y tid Figr 3.3: Responsen hos ett system av f rsta ordningen med d id èl =è. 3.2 Linj ra system I kapitel 2 har vi sett att dynamiska system beskrivs av dierentialekvationer. Vi skall i detta kapitel n rmare introdcera modeller av de vanligaste typerna av dynamiska system. Generellt kan ett linj rt dynamiskt system G med insignalen och tsignalen y beskrivas med en linj r dierentialekvation av formen d n yètè n + a d n, yètè d m ètè +æææ+a n, n, + a n yètè =b m +æææ+b dètè m, + b m ètè è3.2è Med systemets ordning avses ordningen n hos dierentialekvationen. F r fysikaliskt realistiska system g ller m n. Systemekvationen è3.2è kan skrivas i en bekv mare form genom att introdcear beteckningen f r dierentialoperatorn. Eftersom d 2 2 y = d p = d f ljer generellt att d k k y = pk y Ekvation è3.2è kan s ledes skrivas i formen è3.3è d y = p 2 y è3.4è è3.5è eller p n y + a p n, y + æææ+a n,py + a n y = b p m + b p m, + æææ+b m,p + b m Aèpèy = Bèpè è3.6è è3.7è 25

5 y tid Figr 3.4: Responsen hos ett system med integration. d r vi introdcerat polynomen Aèpè = p n + a p n, + æææ+a n,p+a n Bèpè = b p m + b p m, + æææ+b m,p+b m è3.8è è3.9è L ser vi t y r ekvation è3.7è f s yètè = Bèpè Aèpè ètè è3.è eller d r vi denierat yètè =Gèpèètè Gèpè = Bèpè Aèpè è3.è è3.2è Eftersom dierentialoperatorn p r en operator kan ven Gèpè ppfattas som en operator som transformerar signalen ètè till en annan signal yètè. Operatorn Gèpè kallas systemets verf ringsoperator. Alternativt kan man betrakta Gèpè som en fnktion av operatorn p, varf r man ocks kallar Gèpè verf ringsfnktion èeng. transfer fnction;. siirtofnktioè. Av n gon orsak r den f rra termen brklig i svenskan, medan den senare anv nds i engelskspr kig text. Anm rkning 3. Begreppet verf ringsoperator kan deneras mera rigor st via Laplace-transformen som en operator som opererar p en Laplace-transformerad signal. Denna metod r mera generell n den som anv nds h r, men verf ringsoperatorn har samma form i b gge fallen. Laplacetransformen kommer att behandlas i senare krser. 26

6 y tid Figr 3.5: Responsen hos ett system med inverssvar. System som beskrivs av linj ra dierentialekvationer av typen è3.2è har ett antal viktiga egenskaper, vilka g r deras behandling speciellt enkel. Egenskaperna f ljer direkt r dierentialoperatorns egenskaper. æ Sperpositionsprincipen: om insignalen till systemet G ger tsignalen y = G, och insignalen 2 ger tsignalen y 2 = G 2, g ller att insignalen + 2 ger tsignalen y + y 2, dvs yètè =Gèpèè ètè + 2 ètèè = Gèpè ètè +Gèpè 2 ètè=y ètè+y 2 ètè è3.3è æ Parallellkoppling av tv system med verf ringsoperatorerna G och G 2 r ekvivalent med ett system med verf ringsoperatorn G + G 2,ty tsignalen fr n parallellkopplade system ges av Jfr gr 3.7. yètè =G èpèètè+g 2 èpèètè= G èpè+g 2 èpè ètè è3.4è æ Seriekoppling av tv system med verf ringsoperatorerna G och G 2 r ekvivalent med ett system med verf ringsoperatorn G 2 G = G G 2, ty tsignalen fr n seriekopplade system ges av Jfr gr 3.8. yètè =G 2 èpè G èpèètè =G 2 èpèg èpèètè=g èpèg 2 èpèètè è3.5è æ Observera att det r ovan f ljer att ordningsf ljden hos seriekopplade system inte spelar n gon roll, ty yètè =G èpèg 2 èpèètè=g 2 èpèg èpèètè è3.6è 27

7 y tid Figr 3.6: Responsen hos ett instabilt system. - G y = G - y =èg +G 2 è - G 2 y 2 = G 2 Figr 3.7: Parallellkopplade system. Problem 3. Betrakta tv f rsta ordningens system G och G 2, d r G denieras av dierentialekvationen och G 2 denieras av dierentialekvationen dy ètè + y ètè = ètè è3.7è dy 2 ètè +2y 2 ètè=3 2 ètè è3.8è - Best m systemens verf ringsoperatorer. - H rled dierentialekvationen som beskriver en parallellkoppling av G och G 2. Veriera att verf ringsoperatorn hos det parallellkopplade systemet ges av è3.4è. - H rled dierentialekvationen som beskriver en seriekoppling av G och G 2. Veriera att verf ringsoperatorn hos det seriekopplade systemet ges av è3.5è. 28

8 - G y = G - - G 2 y = G 2 y = G 2 G Figr 3.8: Seriekopplade system. Sambandet è3.è s ger att tsignalen y kan ttryckas genom att mltiplicera insignalen med verf ringsoperatorn Gèpè. Att detta kan g ras f ljer r dierentialoperatorns linj ritet. Det faktm att dierentialekvationssambandet kan ttryckas i form av enmltiplikation g r det m jligt att h rleda dierentialekvationer f r kopplade system genom rent algebraiska maniplationer, best ende av endast mltiplikationer och additioner. Betrakta t.ex. den terkopplade reglerkretsen i gr 3.9. Genom att ttrycka signalsambanden med hj lp av verf ringsoperatorerna G p èpè och G c èpè och eliminera signalerna e och med hj lp av algebraiska maniplationer f r vi att sambandet mellan signalen r och tsignalen y beskrivs av verf ringsoperatorn yètè =Gèpèrètè è3.9è d r Gèpè = G pèpèg c èpè +G p èpèg c èpè è3.2è Motsvarande dierentialekvation kan sedan best mmas genom att tnyttja sambandet è3.2è mellan verf ringsoperatorn och dierentialekvationen. Problem 3.2 H rled sambandet è3.9è, è3.2è mellan r och y. Problem 3.3 Betrakta det terkopplade systemet i gr 3.9, och antag att systemet G p beskrivs av dierentialekvationen + yètè =ètè è3.2è och reglatorn G c beskrivs av dierentialekvationen dètè +2ètè=2eètè è3.22è Best m dierentialekvationen som beskriver sambandet mellan signalerna r och y. 3.3 Modellering av enkla standardsystem I detta avsnitt skall vi mera detaljerat stdera de enkla standardsystemtyperna som beskrevs i avsnitt 3.. Speciellt skall vi visa hr enkla dierentialekvationsmodeller ger pphov till 29

9 r +, e 6 e G c G p y Figr 3.9: terkopplad krets. de olika stegsvaren. stegformad, enligt samt yètè =;t é. Vi skall allts best mma den tsignal yètè som f s, d insignalen r, f r té ètè = è3.23è steg, f r t 3.3. F rsta ordningens system Ett stabilt system av f rsta ordningen beskrivs av dierentialekvationen d r aé. Man brkar ofta skriva systemekvationen i formen + ayètè = bètè è3.24è T d r T ==a och K = b=a. Systemets verf ringsoperator r och det har stegsvaret Gèpè = + yètè =Kètè è3.25è b p+a = K Tp+ y steg ètè =Kè, e,t=t è steg Jfr gr 2.8. Systemets statiska f rst rkning r lika med K, dvs è3.26è è3.27è y steg ètè! K steg ; d t! è3.28è Parametern T kallas systemets tidskonstant èeng. time constant;. aikavakioè, och r ett m tt p hr snabbt systemet reagerar; j mindre T èé è, desto snabbare respons. Speciellt g ller, att vid tiden t = T har è, e, è æ è = 63:2è av den totala f r ndringen n tts. Problem 3.4 Veriera att systemet è3.25è har stegsvaret è3.27è. 3

10 3.3.2 System med tv tidskonstanter Ett system med tv tidskonstanter best r av tv seriekopplade f rsta ordningens system. L t det f rsta systemet, G, beskrivas av T dy ètè + y ètè =K ètè è3.29è med tsignalen y ètè, som r insignal till det andra systemet, G 2, som beskrivs av T 2 + yètè =K 2 y ètè è3.3è Enligt tidigare har vi att det seriekopplade systemet har verf ringsoperatorn èjfr è3.5èè Gèpè =G 2 èpèg èpè= K èt 2 p+ èèt p +è è3.3è d r K = K K 2. Detta r ett andra ordningens system. Stegsvaret hos det seriekopplade systemet G 2 G kan best mmas genom att observera att om T 6= T 2 kan Gèpè skrivas i formen Gèpè = KT =èt, T 2 è T p + + KT 2=èT 2, T è T 2 p + è3.32è Detta karakteriserar Gèpè i form av tv parallellkopplade system av f rsta ordningen. Enligt è3.4è ges stegsvaret av smman av de enskilda systemens stegsvar i è3.32è, vilket enligt è3.27è r KT + KT 2 y steg ètè = = K T, T 2, e,t=t, e,t=t 2 T 2, T steg, T T, T 2 e,t=t, T 2 T 2, T e,t=t 2 steg è3.33è Man kan visa att om T = T 2 = T ges stegsvaret av y steg ètè =K,è + tt èe,t=t steg è3.34è Figr 3. visar stegsvaret f r ett system med tv tidskonstanter. J mf rt med ett f rsta ordningens system har stegsvaret hos ett system med tv tidskonstanter en kontinerligt varierande derivata, s att = =vid t =. I analogi med ett f rsta ordningens system sker f r ndringen monotont fr n begynnelsev rdet till det station ra v rdet, och stegsvaret saknar allts versv ng. P motsvarande s tt kan man bilda system med era tidskonstanter genom seriekoppling av era f rsta ordningens system. Problem 3.5 Veriera att systemet è3.3è har stegsvaret è3.34è i fallet T = T 2 = T. 3

11 3.3.3 System med versv ng Det seriekopplade systemet i ekvation è3.3è r ett system av andra ordningen med tv reella tidskonstanter. verf ringsoperatorns n mnarpolynom Aèpè har i detta fall de tv reella nollst llena,=t och,=t 2. System med versv ng beskrivs av dierentialekvationer med den egenskapen att polynomet Aèpè har komplexkonjgerade nollst llen. Ett generellt system av andra ordningen beskrivs av d 2 yètè 2 + a och motsvarande verf ringsoperator + a 2 yètè =b dètè + b 2 ètè è3.35è Gèpè = b p+b 2 p 2 +a p+a 2 è3.36è F r att belysa de karakteristiska egenskaperna hos system av andra ordningen r cker det med att betrakta fallet d b =. Systemets statiska f rst rkning, den transienta responsens snabbhet samt versv ngens storlek best ms d entydigt av systemparametrarna. Det visar sig att dessa tre systemegenskaper kan karakteriseras explicit genom att skriva systemekvationen i formen d 2 yètè 2 och motsvarande verf ringsoperator +2! n +! n 2 yètè =K!2 nètè è3.37è Gèpè = K! 2 n p 2 +2! n p +! 2 n è3.38è H r r K systemets statiska f rst rkning, kallas relativ d mpning, och! n r systemets od mpade egenfrekvens. Alla stabila system av andra ordningen kan skrivas i formen è3.37è med é och! n é. Den relativa d mpningen best mmer formen hos systemets stegsvar. I fallet é s gs systemet vara verd mpat. Polynomet Aèpè =p 2 +2! n p +! n 2 har h rvid tv negativa reella nollst llen och systemet r ekvivalent med tv seriekopplade system av f rsta ordningen èjfr avsnitt 3.3.2è. I fallet és gs systemet vara nderd mpat. Polynomet Aèpè har i detta fall tv komplexkonjgerade nollst llen med negativa realdelar, och systemets stegsvar har en versv ng, jfr gr 3.2. I gr nsfallet = kallas systemet kritiskt d mpat. Polynomet Aèpè har d ett dbbelt nollst lle som r reell och negativ. Den od mpade egenfrekvensen best mmer tidskalan hos systemets respons; j st rre! n, desto snabbare respons. Stegsvaren f r verd mpade och kritiskt d mpade system ges av è3.33è respektive è3.34è. I det nderd mpade fallet è éè ges stegsvaret av y steg ètè = K = K, æ e,!nt ë sinèæ! n tè+æcosèæ! n tèë, æ e,!nt sinèæ! n t + 'è steg steg è3.39è d r æ = q, 2 è3.4è 32

12 och ' = arccosèè è3.4è Man kan visa att versv ngens maximala storlek M ges av èangivenièav station ra v rdetè, M = exp æ è è3.42è æ och tiden t M vid vilken den maximala versv ngen f s r t M =! n æ è3.43è Figr 3. illstrerar stegsvar hos verd mpade, kritiskt d mpade och nderd mpade system av andra ordningen. Problem 3.6 Veriera att systemet è3.37è har stegsvaret è3.39è om é y tid Figr 3.: Responsen hos system av andra ordningen med relativa d mpningarna = 2; ; :5 och : ènerifr n r knatè samt od mpade egenfrekvensen! n = och statiska f rst rkningen K =. Vi skall nn visa hr stegsvaret hos ett system è3.35è av andra ordningen med b 6=kan h rledas. verf ringsoperatorn è3.36è kan skrivas Gèpè =G èpè+g 2 èpè è3.44è d r och G èpè = G 2 èpè = b p p 2 +a p+a 2 b 2 p 2 +a p+a 2 è3.45è è3.46è 33

13 Stegsvaret hos G 2 har givits ovan. Stegsvaret hos G kan best mmas genom att skriva G èpè =p b p 2 +a p+a 2 è3.47è Detta representerar G i form av en seriekoppling av ett system vars stegsvar ges av è3.39è tf ljd av dierentialoperatorn p = d. Stegsvaret hos G kan d rf r best mmas genom att derivera ttrycket è3.39è iavseende tiden System med d id Ett system med d id har en tidsf rdr jning som f rdr jer insignalens eekt p tsignalen. Ett system av f rsta ordningen med d iden L beskrivs s ledes av dierentialekvationen + ayètè = bèt, Lè è3.48è Vi kan h rleda ett ttryck f r verf ringsoperatorn hos en tidsf rdr jning genom att ttrycka denna med hj lp av dierentialoperatorn d = p. En Taylor-serietveckling av ètè ger èt + hè = ètè +h dètè = = è è +h d + h2 2! +hp + èhpè2 2! + h2 d 2 ètè 2! 2 d 2 hk + æææ+ 2 k! + æææ+ èhpèk k! + æææ+ hk d k ètè k! k + æææ! d k k + æææ ètè + æææ! ètè = e hp ètè è3.49è d r vi i det sista steget tnyttjat Taylor-serietvecklingen av exponentialfnktionen e x. F r h =,L ger sambandet è3.49è ett ttryck f r tidsf rdr jningen med hj lp av dierentialoperatorn, èt, Lè =e,lp ètè è3.5è Det f ljer att ett tidsf rdr jningen har verf ringsoperatorn G L èpè =e,lp è3.5è Systemet è3.48è best r av en seriekoppling av en tidsf rdr jning och ett system av f rsta ordning, och kan s ledes ttryckas med hj lp av verf ringsoperatorer èdvs med hj lp av dierentialoperatornè i formen yètè = b p+a e,lp ètè è3.52è System med integration Ett system med integration inneh ller ett delsystem av formen = k ëètè, ë è3.53è jfr ekvation è3.è. Utsignalen y f r ndras s l nge ètè 6=. I praktiken ing r systemet è3.53è vanligen som ett led i en seriekoppling med era delsystem. 34

14 3.3.6 System med inverssvar System med inverssvar kan beskrivas med hj lp av en parallellkoppling av delsystem vars statiska f rst rkningar har olika tecken. Figr 3.5 visar t.ex. stegsvaret hos ett system med verf ringsoperatorn G inv èpè = 2 p+ + è,5è è3.54è p +5 Genom att skriva ttrycket i è3.54è p gemensam n mnare f s G inv èpè =,3p+5 p 2 +6p+5 è3.55è Detta r ett system av andra ordningen. Observera att t ljarpolynomet Bèpè =,3p +5 hos verf ringsoperatorn è3.55è har ett positivt reellt nollst lle. Man kan visa att system med inverssvar generellt har ett t ljarpolynom Bèpè med minst ett nollst lle med en positiv realdel Instabila system Vi har ovan antagit att de stderade systemen r stabila, tan att kvantitativt ange n r ett system r stabilt. Systemet i ekvation è3.24è r t.ex. inte stabilt f r alla parameterv rden. Fr n è3.27è ser vi att systemet har ett begr nsat stegsvar endast om T é, eller ekvivalent a é. Om a = r systemet integrerande och stegsvaret yètè kar opph rligt i enlighet med ekvation è3.53è och gr 3.4 tan att ppn n got station rt v rde, och omaég ller enligt è3.27è att yètè divergerar exponentiellt, s som visas i gr 3.6. Stabiliteten kan i detta enkla fall h nf ras till parametern a, eller ekvivalent ttryckt l sningen till ekvationen p + a = è3.56è Systemet è3.24è r allts stabilt endast om l sningen till è3.56è r negativ. Det visar sig att det helt allm nt g ller f r ett system med verf ringsoperatorn Gèpè = Bèpè=Aèpè att villkoret f r stabilitet r att alla l sningar till ekvationen har har en negativ realdel System av h gre ordning Aèpè = è3.57è De ovan h rledda stegsvaren kan anv ndas f r att best mma stegsvar hos system av h gre ordning. Det generella fallet kan helt enkelt behandlas genom att verf ringsoperatorn è3.2è partialbr kppdelas enligt rx Gèpè = Bèpè Aèpè = G k èpè è3.58è Detta karakteriserar Gèpè som en parallellkoppling av r stycken system med verf ringsoperatorerna G k èpè. Utsignalen hos G kan h rvid best mmas som smman av de enskilda systemens tsignaler. Om polynomet Aèpè saknar mltipla nollst llen kan partialbr ksppdelningen è3.58è g ras s att verf ringsoperatorerna G k èpè r av f rsta eller andra ordningen, och deras stegsvar kan s ledes ber knas med de formler som givits i detta kapitel. k 35

kretsen och terv nder, ges den terv ndande signalen av d1 = G p G c è,1èd. Men denna st rning g r i sin tur runt kretsen och terv nder, och den terv n

kretsen och terv nder, ges den terv ndande signalen av d1 = G p G c è,1èd. Men denna st rning g r i sin tur runt kretsen och terv nder, och den terv n Kapitel 5 Inst llning av regulatorer I detta avsnitt skall vi i korthet betrakta problemet att st lla in regulatorer s att den slutna kretsen f r nskade egenskaper. Situationen illustreras av reglerkretsen

Läs mer

2 Bj rkfeltbjon d r k èk =;:::;pè betecknar A:s olika egenv rden och n k r den algebraiska multipliciteten hos egenv rdet k. Om multipliciteten hos et

2 Bj rkfeltbjon d r k èk =;:::;pè betecknar A:s olika egenv rden och n k r den algebraiska multipliciteten hos egenv rdet k. Om multipliciteten hos et 7. Egenv rden och egenvektorer L t A beteckna en n=n-matris. I vissa riktningar x 6= beter sig matrisen A enkelt i den meningen att x och Ax r kar vara parallella: Denition 7.. Talet s gs vara ett egenv

Läs mer

Kapitel 2 Grundbegrepp 2.1 Introducerande exempel F r att introducera den problematik och de fr gest llningar som r aktuella inom reglertekniken skall vi i det f ljande betrakta ett par enkla exempel p

Läs mer

1.6 Exempel p terkoppling terkoppling r en mycket kraftfull metod f r att p verka systems beteende ven i s dana fall d systemets dynamik eller st rningarna r endast ofullst ndigt k nda. S som vi sett kan

Läs mer

tid

tid Kapitel 4 Frekvensanalys 4.1 Allm nt En av de viktigaste signaltyperna vid studiet av dynamiska system r de periodiska sinusformade signalerna av formen yètè =Asinè!t + 'è è4.1è Orsakerna till att de sinusformade

Läs mer

tala är silver dela är guld

tala är silver dela är guld En utvecklingsartikel publicerad för Pedagog Stockholm tala är silver dela är guld hur ett formativt arbetssätt kan lägga grunden för en mer likvärdig bedömning av den muntliga förmågan Författare: Marie

Läs mer

Nr 1 Va ren 2013. Almö. Foto: Håkan Nilsson

Nr 1 Va ren 2013. Almö. Foto: Håkan Nilsson L I N S L U S E N M e d l e m s t i d n i n g f ö r K a r l s k r ö n a F ö t ö k l u b b Nr 1 Va ren 2013 Almö Foto: Håkan Nilsson Innehållsförteckning Ordfö randen har ördet 3 Ma nadsmö ten hö sten 2013

Läs mer

Kapitel 1 Grundbegrepp 1.1 Vad r reglerteknik? M ls ttningen med denna kurs r att ge en informell introduktion till reglertekniken. F r att svara p fr

Kapitel 1 Grundbegrepp 1.1 Vad r reglerteknik? M ls ttningen med denna kurs r att ge en informell introduktion till reglertekniken. F r att svara p fr BO AKADEMI KEMISK-TEKNISKA FAKULTETEN Laboratoriet f r reglerteknik DEPARTMENT OF CHEMICAL ENGINEERING Process Control Laboratory REGLERTEKNIKENS GRUNDER HANNU TOIVONEN Biskopsgatan 8 FINç20500 bo Finland

Läs mer

Plan mot diskriminering och kränkande behandling Smedjebackens förskola 2014

Plan mot diskriminering och kränkande behandling Smedjebackens förskola 2014 1 2014-10-16 Plan mot diskriminering och kränkande behandling Smedjebackens förskola 2014 Utdrag ur FN:s barnkonvention Alla barn är lika mycket värda. Inga barn får bli diskriminerade, det vill säga sämre

Läs mer

2 Bj rkfeltçbjon Exempel.2. Systemet 2x + x 2, x 3 + x 4 =5 x 2 + x 3, x 4 =3 3x 3 +6x 4 =6 r inte triangul rt èdet r ju inte kvadratisktè. Ger vi d r

2 Bj rkfeltçbjon Exempel.2. Systemet 2x + x 2, x 3 + x 4 =5 x 2 + x 3, x 4 =3 3x 3 +6x 4 =6 r inte triangul rt èdet r ju inte kvadratisktè. Ger vi d r . Gausseliminering Vi skall till att b rja med s ka l sningen èl sningarnaè till ett s kallat linj rt ekvationssystem. Ett s dant system med m ekvationer och n obekanta èm; n 2 Z + è har formen a x + a

Läs mer

Vektorrum 43 Exempel 4.. M ngden E av alla m=n-matriser, f rsedd med vanlig matrisaddition och vanlig multiplikation av en matris med en skal r, r ett

Vektorrum 43 Exempel 4.. M ngden E av alla m=n-matriser, f rsedd med vanlig matrisaddition och vanlig multiplikation av en matris med en skal r, r ett 4. Vektorrum Tidigare har vi r knat upp en rad av r kneregler som g ller f r m=n-matriser. Dessa regler g ller inte bara f r varje matristyp m=n utan ocks f r m nga andra objekt som t.ex. funktioner, talf

Läs mer

Reglerteknik 1. Kapitel 1, 2, 3, 4. Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln. William Sandqvist william@kth.se

Reglerteknik 1. Kapitel 1, 2, 3, 4. Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln. William Sandqvist william@kth.se Reglerteknik 1 Kapitel 1, 2, 3, 4 Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln Reglerteknik 1. Givare för yttertemperatur 2, 3. Givare för inomhustemperaturer Behaglig innetemperatur med hjälp av reglerteknik!

Läs mer

Skalle Histogram

Skalle Histogram Tentamen 980603 Medicinsk Bildbehandling, 5p Skrivtid 9:00 15:00 Betygsgr nser U: 0-34 3: 35-46 4: 47-57 5: 58-70 Svara p alla fr gor p nytt blad. M rk bladet med namn och fr genummer. Disponera tiden

Läs mer

Besvara frågorna genom att sätta ett kryss i lämplig ruta. Kom ihåg att det alltid frågas efter, vad Du anser eller hur Du brukar göra!

Besvara frågorna genom att sätta ett kryss i lämplig ruta. Kom ihåg att det alltid frågas efter, vad Du anser eller hur Du brukar göra! 1 Besvara frågorna genom att sätta ett kryss i lämplig ruta. Kom ihåg att det alltid frågas efter, vad Du anser eller hur Du brukar göra! 1a Är Du man eller kvinna? 1 Man 2 Kvinna 1b Hur gammal är Du?

Läs mer

Övningar i Reglerteknik. Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys. y(0) = 2,

Övningar i Reglerteknik. Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys. y(0) = 2, Differentialekvationer Övningar i Reglerteknik Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys.. Lös följande begynnelsevärdesproblem dy dt y =, t > 0 y(0)

Läs mer

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3. Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3. Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3 Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula Sammanfattning av förra föreläsningen 2 Vi modellerar system

Läs mer

MODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM OCH INLUPP 2

MODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM OCH INLUPP 2 UPPSALA UNIVERSITET AVDELNINGEN FÖR SYSTEMTEKNIK EKL och PSA, 2002, rev BC 2009, 2013 MODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM DATORSTÖDD RÄKNEÖVNING OCH INLUPP 2 1. Överföringsfunktioner 2. Tillståndsmetodik Förberedelseuppgifter:

Läs mer

Stockholm 2013-01-08 Till de organisationer som undertecknat beslutet om samverkan

Stockholm 2013-01-08 Till de organisationer som undertecknat beslutet om samverkan Stockholm 2013-01-08 Till de organisationer som undertecknat beslutet om samverkan Samordningsgruppen har under a ret 2012 vid ett antal tillfa llen bero rt fra gan om inriktningen fo r det kommande a

Läs mer

3. Matematisk modellering

3. Matematisk modellering 3. Matematisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3.. Modelltyper För att knna göra design och analys av reglersystem behöver man en matematisk modell, som beskriver systemets dynamiska beteende. Vi kan

Läs mer

REPETITION (OCH LITE NYTT) AV REGLERTEKNIKEN

REPETITION (OCH LITE NYTT) AV REGLERTEKNIKEN REPETITION (OCH LITE NYTT) AV REGLERTEKNIKEN Automatisk styra processer. Generell metodik Bengt Carlsson Huvudantagande: Processen kan påverkas med en styrsignal (insignal). Normalt behöver man kunna mäta

Läs mer

Nr 1 Våren 2012. Foto: Håkan Nilsson

Nr 1 Våren 2012. Foto: Håkan Nilsson L I N S LU S E N M e d l e m s t i d n i n g f ö r Ka r l s k ro n a F o t o k l u b b Nr 1 Våren 2012 Tromtö Foto: Håkan Nilsson Innehållsförteckning Ordfö randen har ördet 3 Ma nadsmö ten hö sten 2012

Läs mer

2. Reglertekniska grunder

2. Reglertekniska grunder 2.1 Signaler och system 2.1 Signaler och system Ett system växelverkar med sin omgivning via insignaler, som påverkar systemets beteende utsignaler, som beskriver dess beteende Beroende på sammanhanget

Läs mer

Flytt av försäkringssparande

Flytt av försäkringssparande Finansutskottets betänkande 2006/07:FiU14 Flytt av försäkringssparande Sammanfattning I betänkandet behandlas regeringens proposition 2006/07:26 Flytt av försäkringssparande. Regeringen föreslår att den

Läs mer

Trivselregler Brf Ronnebyga rden

Trivselregler Brf Ronnebyga rden Trivselregler Brf Ronnebyga rden Hej nya, eller gamla granne! Har du ta nkt pa att vi a ger ett hus ihop? Ra ttare sagt ett hus fra n 1936. Det a r ju riktigt ha ftigt. I huset har vi en bostadsra ttsfo

Läs mer

Enhetsr d Apen senheten 2012-05-03

Enhetsr d Apen senheten 2012-05-03 PROTOKOLL ENHETSR D Aspen senheten 2012-05-03 LERU M100, v 1.0, 08-07-25 L rande Aspen sskolan Enhetsr d Apen senheten 2012-05-03 Gemensam del 1.N rvarande: Ordf rande Christina Ottoson rektor F-2 Sekreterare

Läs mer

1 3H 0 2gre ordningens procedurer

1 3H 0 2gre ordningens procedurer 1 3H 0 2gre ordningens procedurer 6 1 Anonyma procedurer DA2001 (F 0 2rel 0 1sning 8) Datalogi 1 H 0 2sten 2013 1 / 18 1 3H 0 2gre ordningens procedurer 6 1 Anonyma procedurer 6 1 Objekt DA2001 (F 0 2rel

Läs mer

AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET. M. Enqvist TTIT62: Föreläsning 3 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET

AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET. M. Enqvist TTIT62: Föreläsning 3 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Martin Enqvist Överföringsfunktioner, poler och stegsvar Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Repetition: Reglerproblemet 3(8) Repetition: Öppen styrning & återkoppling 4(8)

Läs mer

1 3F 0 1rre kvinnliga f 0 2retagare vill v 0 1xa

1 3F 0 1rre kvinnliga f 0 2retagare vill v 0 1xa 1 3 Ingela Hemming, SEB:s F 0 2retagarekonom Tisdag den 8 mars 2011 SEB:s F 0 2retagarpanel om kvinnor som driver f 0 2retag: Kvinnor som driver f 0 2retag har f 0 2rsiktigare tillv 0 1xtplaner och mindre

Läs mer

x - Px U = R(A) = R(P)

x - Px U = R(A) = R(P) 8. Ortogonala projektioner Antag att a (6= ) och b r tv vektorer i R n. Vi skall bilda den ortogonala projektionen av b p det endimensionella underrummet L = spn fag. Enligt resonemanget i beviset av Schwarz

Läs mer

Figur 2: Bild till uppgift 1 a) b) Figur 3: Bilder till uppgift 7 5

Figur 2: Bild till uppgift 1 a) b) Figur 3: Bilder till uppgift 7 5 Tentamen 990416 Medicinsk Bildbehandling, 5p Skrivtid 9:00 15:00 Betygsgr nser U: 0-29 3: 30-39 4: 40-49 5: 50-60 Svara p alla fr gor p nytt blad. M rk bladet med namn och fr genummer. Disponera tiden

Läs mer

2. Reglertekniska grunder

2. Reglertekniska grunder 2. Reglertekniska grunder 2.1 Signaler oc system Ett system växelverkar med sin omgivning via insignaler, som åverkar systemets beteende, oc utsignaler, som beskriver dess beteende. Beroende å sammananget

Läs mer

Minsta kvadratfelet som funktion av packningst theten Packning (ggr)

Minsta kvadratfelet som funktion av packningst theten Packning (ggr) Bildkomprimering med JPEG, Fraktaler och Krusningar èwaveletsè Projektarbete i Bildanalys av Jacob Str m, D-91 Handledare: Sven Spanne maj 1994 1 1 Inledning F rgrika datorbilder av h g uppl sning tar

Läs mer

Skapa remissvar till regeringen, skicka för godkännande, godkänna, diarieföra och skicka svar

Skapa remissvar till regeringen, skicka för godkännande, godkänna, diarieföra och skicka svar Pontus Va rmhed 2017 04 18 Skapa remissvar till regeringen, skicka för godkännande, godkänna, diarieföra och skicka svar Denna manual inneha ller en beskrivning av flo det fra n att skapa dokument skicka

Läs mer

Grundlande A/D- och D/A-omvandling. 1 Inledning. 2 Digital/analog(D/A)-omvandling

Grundlande A/D- och D/A-omvandling. 1 Inledning. 2 Digital/analog(D/A)-omvandling Grundlande A/D- och D/A-omvandling. 1 Inledning Anvningen av datorer kar alltmer i allt er sammanhang. Men eftersom vd nalog, behver vi nt s att omvandla t.ex. men till digital form, fr att datorn ska

Läs mer

SNI + NA + TE = sant. Anna Lodén, anna.loden@umea.se, Dragonskolan, Umeå Helen Forsgren, helen@oedu.se, Örnsköldsvik. Forsgren, Örnsköldsviks

SNI + NA + TE = sant. Anna Lodén, anna.loden@umea.se, Dragonskolan, Umeå Helen Forsgren, helen@oedu.se, Örnsköldsvik. Forsgren, Örnsköldsviks SNI + NA + TE = sant Anna Lodén, anna.loden@umea.se, Dragonskolan, Umeå Helen Forsgren, helen@oedu.se, Anna Lodén, Örnsköldsviks Dragonskolan, Umeå Helen gymnasium, Forsgren, Örnsköldsviks Örnsköldsvik

Läs mer

ETE115 Ellära och elektronik, vt 2016 Laboration 1

ETE115 Ellära och elektronik, vt 2016 Laboration 1 ETE5 Ellära och elektronik, vt 206 Laboration Sammanfattning Syftet med denna laboration är att ge tillfälle till praktiska erfarenheter av elektriska kretsar. Grundläggande mätningar görs med hjälp av

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19)

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19) Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT9) 26-3-6. (a) Systemet är stabilt och linjärt. Därmed kan principen sinus in, sinus ut tillämpas. Givet insignalen u(t) sin (t) sin ( t) har vi G(i )

Läs mer

1. M öt et s öp pn an d e S ve n fö r k la r a r mö t et ö p p nat k lo c k a n 13. 5 0 i me d le ms k o nt o r et.

1. M öt et s öp pn an d e S ve n fö r k la r a r mö t et ö p p nat k lo c k a n 13. 5 0 i me d le ms k o nt o r et. Styrels e möte 7mars 2010 Bila gor: 1. D ago r d ning 2. N är va r o lis t a 1. M öt et s öp pn an d e S ve n fö r k la r a r mö t et ö p p nat k lo c k a n 13. 5 0 i me d le ms k o nt o r et. 2. F o rma

Läs mer

YoungTabl er och m nsterundvikande Sverker Lundin September 200 YoungTabl er och m nsterundvikande Examensarbete i matematik Sverker Lundin Examinator: Einar Steingr msson Matematik Chalmers tekniska

Läs mer

INSIGHTLAB: KOMPETENSKORT 2014. EXECUTIVE SUMMARY Gör dina val medvetet

INSIGHTLAB: KOMPETENSKORT 2014. EXECUTIVE SUMMARY Gör dina val medvetet INSIGHTLAB: KOMPETENSKORT 2014 EXECUTIVE SUMMARY Gör dina val medvetet Föreläsningsanteckningar Raymond Ahlgren Stockholm, Oscarsteatern 18 november 2014 EXECUTIVE SUMMARY: Gör dina val medvetet INSIGHTLAB:

Läs mer

rsredovisning BRF Skopan 716422-0159 Styrelsen f r h rmed l mna sin redog relse f r f reningens utveckling under r kenskaps ret 2013-01-01-2013-12-31.

rsredovisning BRF Skopan 716422-0159 Styrelsen f r h rmed l mna sin redog relse f r f reningens utveckling under r kenskaps ret 2013-01-01-2013-12-31. 1(11) rsredovisning f r BRF Skopan 716422-0159 Styrelsen f r h rmed l mna sin redog relse f r f reningens utveckling under r kenskaps ret 2013-01-01-2013-12-31. Inneh llsf rteckning Sida - F rvaltningsber

Läs mer

Trygghetsplan för Solhagas förskola

Trygghetsplan för Solhagas förskola 1(6) 2016-10-24 Trygghetsplan för Solhagas förskola 2016-2017 Trygghetsplan och plan mot diskriminering och kränkande behandling för Solhagas förskola 2016-2017 Förskolan vilar på demokratins grund. Människolivets

Läs mer

SSAB:s stålrörspålar. www.ssab.com

SSAB:s stålrörspålar. www.ssab.com SSAB:s stålrörspålar www.ssab.com ALLMÄNT SSAB a r en av de ledande leverantörerna av grundla ggningskonstruktioner av stål i Europa. Vår hemmamarknad a r Norden och O stersjöregionen, men vi kan a ven

Läs mer

Åtgärder för att motverka ett value gap. En ny syn på mellanhänders rättsliga ställning? Daniel Westman

Åtgärder för att motverka ett value gap. En ny syn på mellanhänders rättsliga ställning? Daniel Westman Åtgärder för att motverka ett value gap. En ny syn på mellanhänders rättsliga ställning? Daniel Westman Nya skyldigheter för vissa lagringstjänster Rättslig och affärsmässig bakgrund Kommissionens policyproblem:

Läs mer

Datum Kursens bena mning: Fortsa ttningskurs i ledarskap under pa frestande fo rha llanden

Datum Kursens bena mning: Fortsa ttningskurs i ledarskap under pa frestande fo rha llanden 1 (6) Kursplan Kursens bena mning: Fortsa ttningskurs i ledarskap under pa frestande fo rha llanden Engelsk bena mning: Basic course II in Leadership under demanding conditions Kurskod: 1LL048 Ga ller

Läs mer

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2 Föreläsningar / TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning 2 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.

Läs mer

SYMETRI KOMMUNDAGAR. Agenda 14-15 september 2016

SYMETRI KOMMUNDAGAR. Agenda 14-15 september 2016 SYMETRI KOMMUNDAGAR Agenda 14-15 september 2016 välkommen Välkommen till Symetri Kommundagar 14-15 september i Göteborg. Under dessa dagar fokuserar vi på nyheter, effektiviserande verktyg och metoder

Läs mer

Skapa rapport till regeringen, skicka för godkännande, godkänna, diarieföra och skicka rapport

Skapa rapport till regeringen, skicka för godkännande, godkänna, diarieföra och skicka rapport Pontus Va rmhed 2017 04 11 Skapa rapport till regeringen, skicka för godkännande, godkänna, diarieföra och skicka rapport Denna manual inneha ller en beskrivning av flo det fra n att skapa dokument skicka

Läs mer

En mobil strategi fö r PLM-anvä ndare

En mobil strategi fö r PLM-anvä ndare En mobil strategi fö r PLM-anvä ndare White paper Bä ttre beslut var som helst, nä r som helst Teamcenter -programvarans Mobility-app ansluter smidigt din mobila arbetsstyrka till din Teamcenter-aktiverade

Läs mer

En trygg och stabil finansiell partner n 0 1ra dig. Vi vill g 0 2ra det enklare f 0 2r f 0 2retagare i kommunen. G 0 2r det m 0 2jligt

En trygg och stabil finansiell partner n 0 1ra dig. Vi vill g 0 2ra det enklare f 0 2r f 0 2retagare i kommunen. G 0 2r det m 0 2jligt 1 32 Vi vill g 0 2ra det enklare f 0 2r f 0 2retagare i kommunen TEAM N 0 2RINGSLIV HAR SATT M 0 3L F 0 0R ATT F 0 0RENKLA VARDAGEN F 0 0R F 0 0RETAGEN I ENK 0 0PINGS KOMMUN. C Vi ska n 0 2 m 0 2len genom

Läs mer

DIA S1. IAB Sverige Certifiering av Onlinesäljare Digital Audio

DIA S1. IAB Sverige Certifiering av Onlinesäljare Digital Audio DIA.170310.S1 IAB Sverige Certifiering av Onlinesäljare Digital Audio DEFINITION AUDIO Digitalt ljud kategoriseras ofta som musiktja nster, radio eller podcasts men skillnaderna blir allt mindre. Idag

Läs mer

MANUAL- PROJEKTVERTYG

MANUAL- PROJEKTVERTYG MANUAL- PROJEKTVERTYG Innehåll Starta ett projekt... 2 La gga till information om projektet... 4 Bygga upp en mapp-struktur... 6 La gga till en produkt fra n systemet... 7 La gga till en egen produkt...

Läs mer

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 1. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts.

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 1. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts. Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 1 / 32 Sammanfattning av Föreläsning 1 TSRT9 Reglerteori Föreläsning 2: Beskrivning av linjära system Daniel Axehill Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet

Läs mer

Industriell reglerteknik: Föreläsning 3

Industriell reglerteknik: Föreläsning 3 Industriell reglerteknik: Föreläsning 3 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 19 1 Sekvensstyrning: Funktionsdiagram, Grafcet. 2 Grundläggande

Läs mer

10. Kretsar med långsamt varierande ström

10. Kretsar med långsamt varierande ström 1. Kretsar med långsamt varierande ström [RMC] Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.1 1.1. Villkor för långsamt varierande I detta kapitel behandlas den teori som kan användas för att analysera

Läs mer

FRAMTIDEN A R REDAN HA R

FRAMTIDEN A R REDAN HA R 1 FRAMTIDEN A R REDAN HA R Va r tids sto rsta utmaning a r klimatfo ra ndringarna och att naturresurserna a r a ndliga Fo r att kunna sta lla om samha llet kra vs det att vi ser utmaningarna redan nu Hur

Läs mer

Likabehandlingsplan Lunnekullens förskola

Likabehandlingsplan Lunnekullens förskola 2016-11-14 Likabehandlingsplan Lunnekullens förskola 2016-2017 Ansvarig: Gerd Andersson, förskolechef Vision/målsättning för Härryda Kommun I Härryda Kommun strävar vi mot att alla barn, elever och personal

Läs mer

TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp

TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp - 0 Tid: måndag 8 Maj 0, kl 4-9 Plats: Polacksbacken Ansvarig lärare: Bengt Carlsson, tel 070-674590. Bengt kommer till tentasalen ca kl 6 och besvarar ev frågor.

Läs mer

Signaler och reglersystem Kapitel 1-4. Föreläsning 1, Inledning Reglerteknik

Signaler och reglersystem Kapitel 1-4. Föreläsning 1, Inledning Reglerteknik Signaler och reglersystem Kapitel 1-4 Föreläsning 1, Inledning Reglerteknik 1 Lärare Leif Lindbäck leifl@kth.se Tel 08 790 44 25 Jan Andersson janande@kth.se Tel i Kista 08 790 444 9 Tel i Flemingsberg

Läs mer

Tillväxtverkets interna regler (2017:6) om bevarande av elektroniska handlingar

Tillväxtverkets interna regler (2017:6) om bevarande av elektroniska handlingar Datum 2017-11-03 Upprättad av Pontus Värmhed Version 1.0 Diarienr/Projektnr Ä 2016-1868 Godkänd av Jenny Forkman Tillväxtverkets interna regler (2017:6) om bevarande av elektroniska handlingar Detta styrdokument

Läs mer

Syftet med rutinen. Ansvarsfördelning. Flödesschema rutin för revisionshantering

Syftet med rutinen. Ansvarsfördelning. Flödesschema rutin för revisionshantering Datum 2016-09-19 Upprättad av Kjell Wenna Michael Jacobsson Version 1.0 Diarienummer 1.3.6-Ä-2016-847 Godkänd av Mattias Åsander Syftet med rutinen Denna rutin syftar till att ge praktisk va gledning fo

Läs mer

rsredovisning BRF R da Stugans Smycke 769618-9922

rsredovisning BRF R da Stugans Smycke 769618-9922 rsredovisning f r BRF R da Stugans Smycke 769618-9922 Styrelsen f r h rmed l mna sin redog relse f r f reningens utveckling under r kenskaps ret 213-1-1-213-12-31. Inneh llsf rteckning Sida - F rvaltningsber

Läs mer

LABORATIONSINSTRUKTION DIGITAL REGLERTEKNIK. Lab nr. 3 DIGITAL PI-REGLERING AV FÖRSTA ORDNINGENS PROCESS

LABORATIONSINSTRUKTION DIGITAL REGLERTEKNIK. Lab nr. 3 DIGITAL PI-REGLERING AV FÖRSTA ORDNINGENS PROCESS LABORATIONSINSTRUKTION DIGITAL REGLERTEKNIK Lab nr. 3 DIGITAL PI-REGLERING AV FÖRSTA ORDNINGENS PROCESS Obs! Alla förberedande uppgifter skall vara gjorda innan laborationstillfället! Namn: Program: Laborationen

Läs mer

Föreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system

Föreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system Föreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system Reglerteknik, IE1304 1 / 26 Innehåll Kapitel 18.1. Skillnad mellan analog och digital reglering 1 Kapitel 18.1. Skillnad mellan analog och digital reglering

Läs mer

Modellering av Dynamiska system. - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 2010

Modellering av Dynamiska system. - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 2010 Modellering av Dynamiska system - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 21 Innehållsförteckning 1. Repetition av Laplacetransformen... 3 2. Fysikalisk modellering... 4 2.1. Gruppdynamik en sciologisk modell...

Läs mer

Vad är systemteknik och reglerteknik? Föreläsning 1. Systemteknik handlar om dynamiska system

Vad är systemteknik och reglerteknik? Föreläsning 1. Systemteknik handlar om dynamiska system 1 Föreläsning 1 Vad är systemteknik oc reglerteknik? Grundläggande begrepp Grafiska representationer Styrstrategier Öppen styrning, framkoppling Sluten styrning, återkoppling Vad är systemteknik oc reglerteknik?

Läs mer

K rnkraft och k rnvapen - Tv sidor av samma mynt Almedalen 3 juli 2013

K rnkraft och k rnvapen - Tv sidor av samma mynt Almedalen 3 juli 2013 K rnkraft och k rnvapen - Tv sidor av samma mynt Almedalen 3 juli 2013 I den p g ende milj debatten s f rs k rnkraften fram som det b sta alternativet f r att r dda v r jord. K rnkraftslobbyn driver offensiv

Läs mer

Reglerteknik, TSIU 61

Reglerteknik, TSIU 61 Reglerteknik, TSIU 61 Föreläsning 8 Störningar, modellfel och svårstyrda system Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Innehåll 2(15) 1. Sammanfattning av föreläsning 7 2. Känslighet mot störningar

Läs mer

Reglerteknik 6. Kapitel 10. Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln. William Sandqvist william@kth.se

Reglerteknik 6. Kapitel 10. Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln. William Sandqvist william@kth.se Reglerteknik 6 Kapitel Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln Föreläsning 6 kap Reglersystemets egenskaper Stabilitet är den viktigaste egenskapen. Ett ostabilt system är oanvändbart. Stabilitet är

Läs mer

4 Bj rkfeltbjon Det andra elimineringssteget è3è! è3è, èè svarar enligt samma m nster mot multiplikation fr n v nster med E = I, J 3, E ; som ger

4 Bj rkfeltbjon Det andra elimineringssteget è3è! è3è, èè svarar enligt samma m nster mot multiplikation fr n v nster med E = I, J 3, E ; som ger 3. Gausseliminering genom matrismultiplikation Vi skall visa att den omformning, som man f r genom att utf ra en basoperation p ett r kneschema, ocks kan f s genom att man multiplicerar r kneschemat fr

Läs mer

Fiskars avdelning pä Finlands Mässas 50-àrs jubileumsmässa.

Fiskars avdelning pä Finlands Mässas 50-àrs jubileumsmässa. Fiskars avdelning pä Finlands Mässas 50-àrs jubileumsmässa. O Y F IS K A R S A B Verksamhetsberättelse för 1969, bolagets 86 verksamhetsär. E x t e m f ö r s ä l j n i n g o c h e x p o r t ( 1 0 0 0 m

Läs mer

KAPITALSKYDD. Swedbank AB

KAPITALSKYDD. Swedbank AB SPAX Europa ha llbar Den europeiska a terha mtningen har a ntligen fa tt fotfa ste. SPAX Europa följer ett index med 30 europeiska bolag med god tillva xtpotential. Ett index som a ven bygger pa FN:s globala

Läs mer

TSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning av föreläsning 8 (2/2) Andra reglerstrukturer. ˆ Sammanfattning av föreläsning 8 ˆ Framkoppling från störsignalen

TSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning av föreläsning 8 (2/2) Andra reglerstrukturer. ˆ Sammanfattning av föreläsning 8 ˆ Framkoppling från störsignalen TSIU61 Föreläsning 9 HT1 2016 1 / 26 Innehåll föreläsning 9 TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 9 Andra reglerstrukturer hendeby@isy.liu.se ˆ Sammanfattning av föreläsning 8 ˆ Framkoppling från referenssignalen

Läs mer

ANTAL OMKOMNA TILL FÖLJD AV DRUNKNING UNDER 2016

ANTAL OMKOMNA TILL FÖLJD AV DRUNKNING UNDER 2016 ANTAL OMKOMNA TILL FÖLJD AV DRUNKNING UNDER Många is-olyckor, flest sedan 2005 Enligt Svenska Livra ddningssa llskapets, SLS, sammansta llning har 5 personer omkommit i drunkningsolyckor under. Det a r

Läs mer

Laboration med MINITAB, Del 2 Om Fyris ns global uppv rmning

Laboration med MINITAB, Del 2 Om Fyris ns global uppv rmning Laboration med MINITAB, Del 2 Om Fyris ns global uppv rmning Silvelyn Zwanzig, Matematiska Statistik NV1, 2005-03-03 1. Datamaterial I de uppgifter som f ljer skall du l ra dig hur Minitab anv ndas f r

Läs mer

Va xjö Islamiska Skolas plan mot diskriminering och kra nkande behandling för skola och fritidshem

Va xjö Islamiska Skolas plan mot diskriminering och kra nkande behandling för skola och fritidshem Va xjö Islamiska Skolas plan mot diskriminering och kra nkande behandling för skola och fritidshem La sår 2016/17 Ansvariga fo r uppra ttande av planen Rektor och bitra dande rektorer. Ansvariga att fo

Läs mer

Quiz name: Lagar och regler Date: 05/12/2015 Question with Most Correct Answers: #0 Total Questions: 19 Question with Fewest Correct Answers: #0

Quiz name: Lagar och regler Date: 05/12/2015 Question with Most Correct Answers: #0 Total Questions: 19 Question with Fewest Correct Answers: #0 Quiz name: Lagar och regler Date: 05/12/2015 Question with Most Correct Answers: #0 Total Questions: 19 Question with Fewest Correct Answers: #0 1. Var kan man hitta alla lagar? i den svenska lag boken.

Läs mer

Spolen. LE1460 Analog elektronik. Måndag kl i Omega. Allmänna tidsförlopp. Kapitel 4 Elkretsanalys.

Spolen. LE1460 Analog elektronik. Måndag kl i Omega. Allmänna tidsförlopp. Kapitel 4 Elkretsanalys. F6 E460 Analog elektronik Måndag 005--05 kl 3.5 7.00 i Omega Allmänna tidsförlopp. Kapitel 4 Elkretsanalys. Spolen addningar i rörelse ger pphov till magnetfält. Detta gäller alltid. Omvändningen är ej

Läs mer

Lösningar till tentamen i styr- och reglerteknik (Med fet stil!)

Lösningar till tentamen i styr- och reglerteknik (Med fet stil!) Lösningar till tentamen i styr- och reglerteknik (Med fet stil!) Uppgift 1 (4p) Figuren nedan visar ett reglersystem för nivån i en tank.utflödet från tanken styrs av en pump och har storleken V (m 3 /s).

Läs mer

Junior- och ungdomsta vlingar

Junior- och ungdomsta vlingar Junior- och ungdomsta vlingar Under veckorna 3-4 genomfo rdes fyra distriktsbeso k fo r att diskutera svensk innebandys junior- och ungdomsta vlingar. Samtliga 22 distrikt var representerade pa ett eller

Läs mer

Fo rskolan har tillsammans med skola och fritids tillga ng till en fin gymnastiksal. En ga ng i ma naden kommer Bokbussen till skola och fo rskola.

Fo rskolan har tillsammans med skola och fritids tillga ng till en fin gymnastiksal. En ga ng i ma naden kommer Bokbussen till skola och fo rskola. Verksamhetsplan Hardemo förskola 2016-2017 Inledning Det som ligger till grund fo r Hardemo fo rskolas verksamhetsplan 2016-2017 a r: La roplan fo r fo rskolan, Lpfo 98/16 och fo rskolans trygghetsplan.

Läs mer

3AMMANFATTNING AV INKOMNA REMISSVAR

3AMMANFATTNING AV INKOMNA REMISSVAR 0ROMEMORIA!RBETSMARKNADSDEPARTEMENTET!RBETSLIVSENHETEN 2EMISSAMMANST LLNING AV BET NKANDET -EDLINGSINSTITUT OCH LµNESTATISTIK 3/5 )NLEDNING "AKGRUNDEN TILL UTREDNINGEN OM -EDLINGSINSTITUT OCH L NESTATISTIK

Läs mer

Exempel: reglering av en plattreaktor. Varför systemteknik/processreglering? Blockdiagram. Blockdiagram för en (del)process. Exempel: tankprocess

Exempel: reglering av en plattreaktor. Varför systemteknik/processreglering? Blockdiagram. Blockdiagram för en (del)process. Exempel: tankprocess Systemteknik/reglering Föreläsning Vad är systemteknik oc reglerteknik? Blockdiagram Styrstrategier Öppen styrning, framkoppling Sluten styrning, återkoppling PID-reglering Läsanvisning: Control:..3 Vad

Läs mer

Quadrocopter Bygguide. Carl Westman December 29, 2015

Quadrocopter Bygguide. Carl Westman December 29, 2015 Quadrocopter Bygguide Carl Westman December 29, 2015 1 Innehållsförteckning 1 Introduktion 3 2 Material 4 3 Metod 5 4 Resultat 17 5 Diskussion och Slutsats 18 2 1 Introduktion Följande dokument kommer

Läs mer

Digital- och datorteknik

Digital- och datorteknik Digital- och datorteknik Föreläsning #3 Biträdande professor Jan Jonsson Instittionen för data- och informationsteknik Chalmers tekniska högskola Från data till digitala byggblock: Krsens inledande föreläsningarna

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT06)

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT06) Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT6) 216-1-15 1. (a) Känslighetsfunktionen S(iω) beskriver hur systemstörningar och modellfel påverkar utsignalen från det återkopplade systemet. Oftast

Läs mer

Problematiska gemensamhetsanläggningar mm mm

Problematiska gemensamhetsanläggningar mm mm Problematiska gemensamhetsanläggningar mm mm Dagens pass Tre val 2 Dagens pass, tre val Problematiska gemensamhetsanläggningar Utbyggnadsdirektivet, att tvinga sig in i annans infrastruktur. Hur passar

Läs mer

Utveckling och produktion av system för mätning samt loggning av temperatur i roterande elektriska maskiner

Utveckling och produktion av system för mätning samt loggning av temperatur i roterande elektriska maskiner ISRN UTH-INGUTB-EX-E-2013/05-SE Examensarbete 15 hp Juni 2013 Utveckling och produktion av system för mätning samt loggning av temperatur i roterande elektriska maskiner Johan Söderberg Max Ekström Abstract

Läs mer

Relationen mellan barn och föräldrar

Relationen mellan barn och föräldrar Relationen mellan barn och föräldrar Faktorer som har betydelse för bra relationer Ola Höckert och Anna Nyman Sociologiska Institutionen Kandidatuppsats i sociologi, 15 h.p. Vt 2011 Handledare: Magnus

Läs mer

REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL En tillståndsmodell ges t.ex. av den styrbara kanoniska formen: s 2 +4s +1.

REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL En tillståndsmodell ges t.ex. av den styrbara kanoniska formen: s 2 +4s +1. REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL20 Lösningsförslag till tentamen 2009 2 5, kl. 4.00 9.00. (a) Laplacetransform av () ger s 2 Y (s)+4sy (s)+y (s) =U(s), och överföringsfunktionen blir G(s)

Läs mer

Lathund årsbudget TEKNISK FYSIK OCH ELEKTROTEKNIK 15-3-2 MEDICINSK TEKNIK Sidan 1 av 5 LATHUND TILL ÅRSBUDGETEN 15/16

Lathund årsbudget TEKNISK FYSIK OCH ELEKTROTEKNIK 15-3-2 MEDICINSK TEKNIK Sidan 1 av 5 LATHUND TILL ÅRSBUDGETEN 15/16 MEDICINSK TEKNIK Sidan 1 av 5 LATHUND TILL ÅRSBUDGETEN 15/16 INLEDNING Detta dokument fo rklarar betydelsen av de olika posterna i a rsbudgeten. Sist i dokumentet finns a ven en lista med kommentarer till

Läs mer

Föreläsning 14-16, Tillståndsmodeller för kontinuerliga system

Föreläsning 14-16, Tillståndsmodeller för kontinuerliga system Föreläsning 14-16, Tillståndsmodeller för kontinuerliga system Reglerteknik, IE1304 1 / 50 Innehåll Kapitel 141 Introduktion till tillståndsmodeller 1 Kapitel 141 Introduktion till tillståndsmodeller 2

Läs mer

Guiden har sammansta llts inom utvecklingsprojektet Fo retagsam i Fo rening 2014 (uppdaterad 2016) FÖRENINGSBESKATTNING MOMSREGISTRERING

Guiden har sammansta llts inom utvecklingsprojektet Fo retagsam i Fo rening 2014 (uppdaterad 2016) FÖRENINGSBESKATTNING MOMSREGISTRERING Guiden har sammansta llts inom utvecklingsprojektet Fo retagsam i Fo rening 2014 (uppdaterad 2016) FÖRENINGSBESKATTNING MOMSREGISTRERING INNEHÅLL 1 BESKATTNING AV ALLMÄNNYTTIGA SAMFUND 2 MERVÄRDESSKATT

Läs mer

MODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM OCH INLUPP 2

MODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM OCH INLUPP 2 UPPSALA UNIVERSITET AVDELNINGEN FÖR SYSTEMTEKNIK EKL och PSA, 2002 BC, 2009 MODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM DATORSTÖDD RÄKNEÖVNING OCH INLUPP 2 1. Överföringsfunktioner 2. Tillståndsmetodik Förberedelseuppgifter:

Läs mer

Avtal om arbetstid. och arbetstidsberoende ersättningar för lärare och doktorander vid Kungl. Musikhögskolan i Stockholm

Avtal om arbetstid. och arbetstidsberoende ersättningar för lärare och doktorander vid Kungl. Musikhögskolan i Stockholm Avtal om arbetstid och arbetstidsberoende ersättningar för lärare och doktorander vid Kungl. Musikhögskolan i Stockholm Lokalt kollektivavtal tecknat 27 september 2012 mellan Kungl. Musikhögskolan i Stockholm

Läs mer

Allmänt. Eldning. Fo rvaring av brandfarliga vätskor

Allmänt. Eldning. Fo rvaring av brandfarliga vätskor SÄKERHET PÅ LÄGER Allmänt Sa kerheten pa la gret utga r ifra n grundtanken att deltagare, ledare och funktiona rer ska ha en god grundla ggande sa kerhetsmedvetenhet fo r att sja lva kunna upptra da sa

Läs mer

Digital- och datorteknik

Digital- och datorteknik LEU Digital- och datorteknik, Chalmers, /6 Föreläsning # Uppdaterad 6 september, Digital- och datorteknik Föreläsning # Biträdande professor Jan Jonsson SP- och PS-form: Vid förra föreläsningen konstaterade

Läs mer

EKEBYSKOLAN SALA: HO#STTERMINEN 2013 - NR:1. att man kanske inte anva nder som kan inga. hemsidan i det syftet. Ska man skicka mail och skriva allt i

EKEBYSKOLAN SALA: HO#STTERMINEN 2013 - NR:1. att man kanske inte anva nder som kan inga. hemsidan i det syftet. Ska man skicka mail och skriva allt i EKEBYSKOLAN SALA: HO#STTERMINEN 2013 - NR:1 Året utdelning av ipads MO#JLIGHETERNA ATT SPRIDA INFORMATION O#KAR I OCH MED ATT TEKNIKEN UTVECKLAS Fo r andra a ret i rad har ipads delats ut bland Ekebyskolans

Läs mer

EGENVÅRDSMARKNADEN 2015

EGENVÅRDSMARKNADEN 2015 FÖRSÄLJNINGSSTATISIK ÖVER KOSTTILLSKOTT, VITAMINER OCH SPORTNUTRITION I SVERIGE 2015 1. Den svenska fo rsa ljningsstatistiken Fo r tredje a ret presenterar Svensk Egenva rd och Euromonitor International

Läs mer

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e . Inledning I Linjär algebra kommer vi att stdera olika objekt samt deras egenskaper. Dessa objekt kan ha geometrisk tolkning såsom geometriska vektorer men också inte som t.e. matriser. Vi har tidigare

Läs mer