Definition: Linjär avbildning

Definition: vektorrum Ett vektorrum V är en icke-tom mängd v vektorer vilk mn kn dder och multiplicer med en sklär enligt reglern nedn. För vektorern u, v, w V, och sklärern c, d R sk gäll: Föreläsning Ove Edlund Rum: A3448 Tel: 0920-495 E-post: ove.edlund@sm.luth.se Hemsid: http://www.sm.luth.se/ jove Kursens hemsid: http://www.sm.luth.se/mth/mam3-42/3/. u + v V 2. u + v = v + u 3. (u + v)+w = u +(v + w) 4. Det finns en nollvektor 0 så tt u + 0=u 5. För ll u V eisterr en vektor u så tt u +( u) =0 6. c u V 7. c(u + v) =c u + c v 8. (c + d)u = c u + d u 9. (cd)u = c(d u) 0. u = u Eempel Definition: underrum Ett underrum H till ett vektorrum V är en delmängd v V som hr egenskpern:. Nollvektorn i V finns också i H. 2. H är sluten under vektorddition, dvs u, v H u + v H. 3. H är sluten under multipliktion med sklär, dvs u H, c R c u H. Ett underrum som spänns upp v två vektorer: Sts 3 0 v v 2 Om v, v 2,...v p är i vektorrummet V så är Spn{v, v 2,...v p} ett underrum till V. 2 Definition: nollrum Nollrummet till en m n-mtris A, dvs Nul(A), är mängden v lösningr till den homogen ekvtionen A = 0, dvs Sts 2 Nul(A) ={ R n A = 0} Nollrummet till en m n-mtris A är ett underrum till R n. Definition: kolonnrum Kolonnrummet till en m n-mtris A, dvs Col(A), är mängden v ll linjärkombintioner v kolonnern i A. Dvs om A = [ 2... n ] såär Sts 3 Col(A) = Spn{, 2,..., n} Kolonnrummet till en m n-mtris A är ett underrum till R m. Definition: Linjär vbildning En vbildning T är linjär om. T (u + v) =T (u)+t(v) för ll u, v i definitionsmängden för T. 2. T (c u) =c (T (u)) för ll u och sklärer c. Definitionen leder till följnde egenskper: T (0) =0 T (c u + d v) =ct(u)+dt(v) T (c v + c 2 v 2 + + c p v p) = c T (v )+c 2 T (v 2 )+ + c p T (v p) Föreläsning 2

Sts 4 En mängd {v, v 2,...,v p} v minst två vektorer, där v 0, är linjärt beroende om och endst om något v j kn uttrycks som en linjärkombintion v de föregående vektorern v, v 2,...,v j. Definition: Bs Om H är ett underrum till V, så är vektormängden B = {b, b 2,...,b p} i V en bs för H om (i) B är en linjärt oberoende mängd, och (ii) underrummet som spänns upp v B är hel H, dvs H = Spn{b, b 2,...,b p}. Sts 5 Låt S = {v, v 2,...,v p} där v i V,ochlåt H = Spn{v, v 2,...,v p}.. Om v k kn uttrycks som en linjärkombintion v de övrig elementen i S, såknv k ts bort ur S, utn tt Spn(S) påverks. b. Om H {0}, så finns en delmängd v S som är bs för H. Sts 6 Pivåkolonnern i mtrisen A bildr en bs för Col(A). Sts 7 Låt B = {b, b 2,...,b n} vr en bs för vektorrummet V.För vrje V finns då unik sklärer c,c 2,...,c n så tt = c b + c 2 b 2 + + c n b n. Definition: Koordinter Om B = {b, b 2,...,b n} är en bs för vektorrummet V och V, så ges koordintern för is bsen B v viktern c,c 2,...,c n som uppfyller = c b + c 2 b 2 + + c n b n. Vektorn i R n med c,c 2,...,c n som element klls B-koordintvektorn för, och skrivs c c [] B = 2.. c n Koordintbytesmtris från B till R m Givet bsen B = {b, b 2,...,b n}, där b k R m gäller tt = P B [] B där R m, [] B R n och P B är m n-mtrisen P B = b b 2... b n. Om m = n ges vbildningen [] B v [] B = PB Sts 8 Låt B = {b, b 2,...,b n} vr en bs för vektorrummet V. Koordintvbildningen [] B är då en linjär vbildning från V till R n som både är injektiv och surjektiv. Om det finns en injektiv och surjektiv vbildning från ett vektorrum till ett nnt är vektorrummen isomorf, dvs de hr smm form. Sts 9 Om ett vektorrum V hr bs B = {b, b 2,...,b n}, såär vrje mängd v mer än n vektorer i V linjärt beroende. Sts 0 Om ett vektorrum V hr en bs bestående v n vektorer, så består ll bser som spänner upp V v n vektorer. Definition: Dimension Om det finns en ändlig mängd som spänner upp V, så är V ändligtdimensionellt, och dim(v ) är dimensionen för V och ges v ntlet element i vektorrummets bs. Nollvektorrummet {0} hr dimension 0. Om V ej är ändligtdimensionellt så är det oändligtdimensionellt. Sts Låt H vr ett underrum till ett ändligtdimensionellt vektorrum V.. Vrje linjärt oberoende mängd i H kn, om så behövs, kompletters/utöks till en bs för H. b. H är också ändligtdimensionellt och dim(h) dim(v ). Föreläsning 4 Definition: rdrum Rdrummet till en m n-mtris A, dvs Row(A), är mängden v ll linjärkombintioner v rdern i A. Dvs om T T A = 2. T m såär Row(A) = Spn{, 2,..., m} vilket också innebär tt Row(A) = Col(A T ). Sts 2 Låt V vr ett p-dimensionellt vektorrum, där p.. Vrje mängd v p linjärt oberoende vektorer i V är en bs för V. b. Vrje mängd v p vektorer som spänner upp V är en bs för V. Sts 3 Om två mtriser A och B är rdekvivlent så hr de smm rdrum. (A B Row(A) =Row(B)) Om B är på trppstegsform, bildr rdern som ej endst består v nollor, en bs för Row(A).

Definition: rng Rngen v en mtris A, är lik med dimensionen hos kolonnrummet, dvs Sts 4 rnk(a) = dim(col(a)). Dimensionern hos kolonnrummet och rdrummet är lik. Båd hr dimension rnk(a) vilket också är lik med ntlet pivåpositioner i A. Om A är en m n-mtris gäller också tt rnk(a) + dim(nul(a)) = n. Sts: Inverterbrhet Låt A vr en n n-mtris. Då är de följnde påståenden ekvivlent, dvs om ett är snt så är ll snn.. A är inverterbr. b. A är rdekvivlent med I n. c. A hr n pivåpositioner. d. Den homogen ekvtionen A = 0 hr endst den trivil lösningen = 0. e. Kolonnern i A är linjärt oberoende. f. Avbildningen A är injektiv. g. A = b hr lösning för vrje b. h. Kolonnern i A spänner upp R n. i. Avbildningen A är surjektiv. j. Det finns en mtris C så tt CA = I n. k. Det finns en mtris D så tt AD = I n. l. A T är inverterbr. Om A är en n n-mtris som ej är inverterbr säger vi tt A är singulär. Sts: Inverterbrhet, forts Låt A vr en n n-mtris. Då utökr vi listn med de följnde ekvivlent påståenden: m. Kolonnern i A bildr bs för R n. n. Col(A) =R n. o. dim(col(a)) = n. p. rnk(a) =n. q. Nul(A) ={0}. r. dim(nul(a))=0. Eempel: bsbyten B = {b, b 2 } och C = {c, c 2 } är båd bser i R 2. Figuren nedn visr hur en vektor R 2 bilds i de båd bsern: b 2 Sts 5 Om B = {b, b 2,...,b n} och C = {c, c 2,...,c n} är bser för vektorrummet V, så eisterr en n n-mtris P så tt C B 0 [] C = P [] B. C B b () c 2 4c 2 3b Kolonnern i P C B ges v bsvektorern b, b 2,...,b n uttryckt som C- koordintvektorer, dvs P = [b ] C [b 2 ] C... [b n] C. C B Föreläsning 5 0 c Uppenbrligen är dvs 6c (b) =3b +b 2 och =6c +4c 2 [] B = 3 och [] C = 6 4 Mtrisen P ovn, klls koordintsbytesmtrisen. Mtrisen är inverterbr vilket C B medför tt ( ) []C P =[] B C B lltså gäller P = ( ). P B C C B Definition: determinnt Determinnten till en -mtris är mtrisens sklär värde (e. det[5] = 5). Determinnten till en n n-mtris, då n 2, är en viktd summ v determinnter till n st. (n ) (n )-mtriser enligt formeln det(a) = det(a) 2 det(a2)+ +( ) +n n det(an) n = ( ) +j j det(aj) j= där Aij är den mtris som erhålls om rd i och kolonn j ts bort från A. Utveckling efter rd och kolonn Låt C ij =( ) i+j det(a ij ) beteckn kofktorn för rd i och kolonn j till mtrisen A. Dågäller enligt definitionen v determinnt det(a) = C + 2 C 2 + + n C n. Dett är utvecklingen efter rd. Mn kn dock utveckl efter en godtycklig rd eller kolonn Sts Utveckling efter rd i: det(a) = i C i + i2 C i2 + + in C in Utveckling efter kolonn j: det(a) = j C j + 2j C 2j + + nj C nj Sts 2 Om A är en tringulär mtris, så är det(a) produkten v elementen på digonlen v A. Sts 3: Rdopertioner Låt A vr en kvdrtisk mtris.. Om mtrisen B bilds genom tt t en multipel v en rd i A och lägg till en nnn, så gäller det(b) = det(a). b. Om B bilds genom tt byt plts på två rder i A, sågäller det(b) = det(a). c. Om B bilds genom multiplicer en rd i A med k, sågäller det(b) =k det(a).

Sts 4 En kvdrtisk mtris A är inverterbr, om och endst om det(a) 0. Sts 5 Om A en kvdrtisk mtris så gäller Sts 6 det(a T ) = det(a) Om A och B är n n-mtriser så gäller det(ab) = det(a) det(b) Sts: Inverterbrhet, forts Låt A vr en n n-mtris. Då utökr vi listn med de följnde ekvivlent påståenden: m. Kolonnern i A bildr bs för R n. n. Col(A) =R n. o. dim(col(a)) = n. p. rnk(a) =n. q. Nul(A) ={0}. r. dim(nul(a))=0. t. det(a) 0. Sts 9 Om A är en 2 2-mtris så är det(a) ren v prllellogrmmet som spänns upp v kolonnern i A. Om A är en 3 3-mtris så är det(a) volymen v prllellepipeden som spänns upp v kolonnern i A. Föreläsning 6 Sts 0 Låt T : R 2 R 2 vr den linjär vbildning som lstrs v 2 2-mtrisen A. OmS är ett prllellogrm i R 2, såär {ren v T (S)} = det(a) {ren v S} Låt istället T : R 3 R 3 vr den linjär vbildning som lstrs v 3 3-mtrisen A. Om S är en prllellepiped i R 3,såär {volymen v T (S)} = det(a) {volymen v S} Ett generellt område pproimert med prllellogrm : 0 0 Linjär vbildning v pproimert område: R 0 0 T T(R ) Slutsts: Sts 0 gäller för generell begränsde områden. Föreläsning 7

Sts : Summtionsformler n = n =+++ + }{{} n st. () i= n(n +) 2 n i =+2+3+ + n = (b) i= n(n + )(2n +) 6 n i 2 = 2 +2 2 +3 2 + + n 2 = (c) i= n r i =+r + r 2 + r 3 + + r n = rn+ r (d) i=0 Prtition En prtition är en ordnd mängd med punkter på ett intervll [, b], så tt prtitionen P som ges v P = { 0,, 2,... n} uppfyller = 0 < < 2 < 3 < < n = b. Dett ger upphov till n st. delintervll [ i, i ]. Längden på vrje delintervll beteckns i = i i, och den störst v dess längder klls normen för prtitionen P = m i. i Över- och undersumm Givet en funktion f och en prtition P definiers undersummn enligt L(f, P) =f(l ) + f(l 2 ) 2 + + f(l n) n n = f(l i ) i i= där f(l i ) är det minst funktionsvärdet i intervllet [ i, i ]. Översummn definiers v U(f, P) =f(u ) + f(u 2 ) 2 + + f(u n) n n = f(u i ) i i= där f(u i ) är det störst funktionsvärdet i intervllet [ i, i ]. Bestämd integrl Om det för ll prtitioner P finns endst ett värde I som lltid uppfyller L(f, P) I U(f, P) säger vi tt f är integrerbr i intervllet [, b]. Vi benämner I den bestämd integrlen v f på [, b], och skriver b I = f() d. Riemnnsumm Givet en funktion f och en prtition P definiers Riemnnsummn enligt R(f, P) =f(c ) + f(c 2 ) 2 + + f(c n) n n = f(c i ) i i= där c i väljs godtyckligt i intervllet [ i, i ]. Uppenbrligen gäller då L(f, P) R(f, P) U(f, P). Pg instängning följer därv tt b lim R(f, P) = f() d P 0 Sts 2 Om f är kontinuerlig på [, b], såär f integrerbr på [, b]. Sts 3: Egenskper () f() d =0 b (b) f() d = f() d b b (c) (Af()+Bg())d b b = A f() d + B g() d b c c (d) f() d + f() d = f() d b (e) Om b och f() g() b b f() d g() d (f) Tringelolikheten: Om b b b f() d f() d (g) Om f är udd (f( ) = f()) f() d =0 (h) Om f är jämn (f( ) = f()) f() d =2 f() d 0

Sts 4: Medelvärdesstsen Om f är kontinuerlig på [, b] så eisterr en punkt c i intervllet [, b] så tt b f() d =(b )f(c). Med ledning v stsen ovn så definierr vi medelvärdet f v en funktion enligt f = b f() d. b Anlysens huvudsts Antg tt f är kontinuerlig på intervllet I och tt I.. Låt funktionen F vr definerd på I v F () = f(t) dt. Då är F deriverbr på I och F () =f(), dvs F är primitiv funktion till f, dvs d f(t) dt = f(). d 2. Om G är en primitiv funktion till f på I och b I såär b f() d = G(b) G(). Föreläsning 8 Elementär obestämd integrler 7. 8. r d = r+ r+ + C, (r ) d =ln + C 9. sin d = cos + C, ( 0) 0. cos d = sin + C, ( 0). 5. 6. cos 2 d = tn + C, ( 0) d = rcsin + C, ( >0) 2 2 2 + 2 d = rctn + C, ( 0) 7. e d = e + C, ( 0) Substitution i obestämd integrl Om f är kontinuerlig med primitiv funktion F, och g är deriverbr, så är f ( g() ) g () d = F ( g() ) + C. Substitution i bestämd integrl Sts 6 Om g är deriverbr på [, b], och f är kontinuerlig på värdemängden v g, och A = g(), B = g(b), såär b f ( g() ) B g () d = f(u) du, A där u = g() och du = g () d. Trigonometrisk integrler () tn d= ln cos + C (b) cot d=ln sin + C (c) (d) cos sin + sin d =ln cos + C + cos d = ln sin + C Integrl (c) och (d) kräver gnsk märklig substitutioner för tt härleds. Trigonometrisk integrler Integrler v typen sin m cos n d där m, n N, hnters på ett v två sätt:. Om m och/eller n är udd kn substitutionsmetoden utnyttjs. 2. Om både m och n är jämn utnyttjs smbnden cos 2 = ( + cos 2) 2 sin 2 = ( cos 2) 2 för tt reducer grdtlet hos eponentern. Föreläsning 0 Definition: Egenvektor, egenvärde En egenvektor till en n n-mtris, är en vektor skilld från nollvektorn, som uppfyller A = λ för någon sklär λ. Denn sklär λ klls för ett egenvärde till mtrisen. Definition: Smm sk igen Om mn vänder på steken, kn mn uttryck sig såhär :Ensklär λ är ett egenvärde till mtrisen A om det finns en icketrivil lösning till A = λ. En sådn lösning klls för en egenvektor som hör till egenvärdet λ.

Egenvektor, egenvärde, egenrum Egenvärden och egenvektorer till en n n- mtris A kn undersöks med det homogen linjär ekvtionssystemet (A λi) = 0. Sklären λ är ett egenvärde om och endst om systemet hr icketrivil lösning. Givet ett egenvärde λ, är vrje icketrivil lösning en egenvektor som hör till λ. Mängden v ll egenvektorer som hör till egenvärdet λ, tillsmmns med nollvektorn 0, bildr ett underrum till R n och benämns därför egenrummet. Egenrummet som hör till egenvärdet λ ges följdktligen v Nul(A λi). Sts Om A är en tringulär mtris, så ges egenvärden v digonlelementen. Sts 2 Om v, v 2,...,v r är egenvektorer som svrr mot vr sitt unikt egenvärde λ,λ 2,...,λ r till en kvdrtisk mtris A, så är mängden {v, v 2,...,v r} linjärt oberoende. Sts: Inverterbrhet, forts Låt A vr en n n-mtris. Då utökr vi listn med de följnde ekvivlent påståenden: m. Kolonnern i A bildr bs för R n. n. Col(A) =R n. o. dim(col(a)) = n. p. rnk(a) =n. q. Nul(A) ={0}. r. dim(nul(a))=0. s. Tlet 0 är inte ett egenvärde till A. t. det(a) 0. Krkteristisk ekvtion En sklär λ är ett egenvärde till n n- mtrisen A om och endst om λ uppfyller den krkteristisk ekvtionen det(a λi)=0. Mn kn vis tt tt det(a λi) bildr ett n-tegrdspolynom i λ. Dett polynom klls det krkteristisk polynomet. Egenvärden ges v nollställen till dett polynom. Nollställens multiplicitet blir också multipliciteten för egenvärden. Similritet Om A och B båd är n n-mtriser, så är A och B similär om det finns en inverterbr n n-mtris P så tt Sts 4 P AP = B. Om n n-mtrisern A och B är similär, så hr de smm krkteristisk polynom, dvs de hr smm egenvärden. Föreläsning Digonliserbrhet En mtris A sägs vr digonliserbr om den är similär med någon digonlmtris, dvs om det finns en inverterbr mtris P så tt A = PDP för någon digonlmtris D. Sts 5: Digonlisering En n n-mtris A är digonliserbr om och endst om A hr n st. linjärt oberoende egenvektorer. Mtrisen P bilds då med n-st linjärt oberoende egenvektorer som kolonner, och D bilds v egenvärden som digonlelement, på så sätt tt egenvärdet för egenvektorn i vrje kolonn i P hmnr på digonlen i motsvrnde kolonn i D. Sts 6 Om en n n-mtris hr n st. unik egenvärden så är mtrisen digonliserbr. Sts 7 Låt A vr en n n-mtris med p st. unik egenvärden λ,λ 2,...,λ p.. Dimensionen hos egenrummet för λ k är mindre än eller lik med multipliciteten för λ k b. Mtrisen A är digonliserbr om och endst om summn v egenrummens dimensioner är lik med n. Dett inträffr endst om dimensionern för ll egenrum är lik med multipliciteten för motsvrnde egenvärden. c. Om A är digonliserbr, bildr bsvektorern för smtlig egenrum, tillsmmns en bs för R n. Mtrisen för linjär vbildning Låt T : V W vr en linjär vbildning, B = {b, b 2,...,b n} vr en bs för V, och C = {c, c 2,...,c m} vr en bs för W. Då ges vbildningsmtrisen M för koordintvektorer i respektive bs, motsvrnde vbildningen T,v M = [T (b )] C [T (b 2 )] C... [T (b n)] C, dvs [T ()] C = M[] B, Avbildning från V till V Om vbildningen är från V till V, så skrivs mtrisen [T ] B, dvs [T ] B = [ [T (b )] B [T (b 2 )] B... [T (b n)] B ], och [T ()] B =[T ] B [] B. Mtrisen [T ] B klls B-mtris.

Egenvektorbser i R n Om mn låter n st. linjärt oberoende egenvektorer till en vbildningsmtris vr en bs i R n,så blir vbildningsmtrisen i egenvektorbsen en digonlmtris med egenvärden på digonlen. Sts 8 Antg tt A = PDP,där D är en digonl n n-mtris. Om B är den bs för R n som bilds v kolonnern i P,såär D den B-mtris som motsvrr vbildningen A. Föreläsning 2 Eempel: Dynmisk system 0,95 0,03 400000 Om A = och 0,05 0,97 0 = så 600000 ger differensekvtionen k+ = A k upphov till serien 400000 39059 0 = 600000 6 = 60984 398000 388946 = 602000 7 = 6054 39660 387830 2 = 603840 8 = 6270 394467 386804 3 = 605533 9 = 6396 39290 385860 4 = 607090 0 = 6440 5 = 39477 608523 = 38499 65009 50 = 375387 62463 5 = 375356 624644 Prtiell integrtion Föreläsning 3 Vi söker lös f()g() d. Om någon primitiv funktion F () till f() är känd och vi lätt kn bestämm F ()g () d så är prtiell integrering ett intressnt lterntiv: f()g() d = F ()g() F ()g () d. Min minnesregel ser ut såhär: f() g() d = F () g() F () g () d. Omvänd substitution Använd Sts 6 bklänges, dvs gör integrlen till synes mer komplicerd. Så istället för tt lös b f() d, löser vi g (b) f ( g(u) ) g (u) du. g () Integrler v rtionell funktioner Omvänd substitution med sinus Integrler som innehåller ( 2 2) /2 blir iblnd enklre med substitutionen = sin θ. Omvänd substitution med tngens Integrler som innehåller ( 2 + 2) /2 eller 2 + 2 blir iblnd enklre med substitutionen = tn θ. Föreläsning 4 All integrler v rtionell funktioner kn stycks sönder till följnde komponenter:. 2. 3. d =ln + + C + 2 + 2 d = 2 ln(2 + 2 )+C 2 + 2 d = rctn + C, ( 0) och då grdtlen i nämnrn är högre: 4. 5. d = ( + ) n ( 2 + 2) n d n + C, ( + ) n = 2(n ) ( 2 + 2) n + C, 6. { långt och tråkigt ( 2 + 2) n d = uttryck, se tbell!

Sts Om P och Q är polynom och P hr lägre grdtl än Q sågäller tt () Q kn fktorisers enligt Q = k( ) m ( 2 ) m 2 ( j ) m j }{{} reell rötter ( 2 + b + c ) n ( 2 + b k + c k ) n k }{{} komple rötter (b) Den rtionell funktionen P kn prtilbråksuppdels: Q Vrje fktor ( ) m i Q ger upphov till termer A + A 2 Am +...+ ( ) 2 ( ) m. Vrje fktor ( 2 + b + c) n i Q ger upphov till termer B + C 2 + b + c +...+ Bn + Cn ( 2 + b + c) n. Summn v ll sådn termer bildr prtilbråksuppdelningen v P. De okänd Q konstntern bestäms genom tt sätt ll bråken på gemensm nämnre, och se till tt täljren blir P. Föreläsning 5 Generliserde integrler () Om den en integrtionsgränsen är oändligheten (± ), definierr vi den generliserde integrlen som eller R f() d = lim f() d R b b f() d = lim R f() d. R Om gränsvärdet eisterr, säger vi tt den generliserde integrlen konvergerr. Annrs divergerr den. Sklärprodukt, inre produkt Generliserde integrler (2) Om funktionen f är obegränsd (± ) i en integrtionsgränsen, definierr vi den generliserde integrlen som eller b b f() d = lim c + f() d c b c f() d = lim c b f() d. Om gränsvärdet eisterr, säger vi tt den generliserde integrlen konvergerr. Annrs divergerr den. Föreläsning 6 Om vi hr två vektorer u v u u = 2 v och v = 2.. u n v n så ges sklärprodukten eller inre produkten v u v = u T v = u v + u 2 v 2 + + u nv n Sts Låt u, v och w vr vektorer i R n,ochc vr en sklär. Då gäller. u v = v u b. (u + v) w = u w + v w c. (cu) v = c(u v) =u (cv) d. u u 0, ochu u =0 u = 0. OBS! Stsen ger tt (c u + c 2 u 2 + + c pu p) w = c u w + c 2 u 2 w + + c pu p w Längd, norm Längden (eller normen) v en vektor v i R n är den ickenegtiv sklär v som definiers v v = v v = v 2 + v2 2 + + v2 n För ll sklärer c gäller tt cv = c v. En enhetsvektor är en vektor vrs längd (norm) är. Givet en vektor v får vi en enhetsvektor som pekr i smm riktning som v genom tt normer den, dvs bild v v. Avstånd Ortogonl vektorer Två vektorer u och v i R n är ortogonl om u v =0. Sts 2: Pythgors sts Två vektorer u och v är ortogonl om och endst om u + v 2 = u 2 + v 2. Ortogonl komplementet Om en vektor z är ortogonl mot vrje vektor i ett underrum W,iR n,såsäger vi tt z är ortogonl mot W. Mängden v ll vektorer z som är ortogonl mot W klls ortogonl komplementet till W, och beteckns W.. En vektor tillhör W om och endst om är ortogonl mot vrje vektor i en mängd som spänner upp W. 2. W är ett underrum till R n. Sts 3 Om A är en m n-mtris, så är Avståndet melln vektorern u och v skrivs dist(u, v), och definiers som längden (normen) v u v, dvs dist(u, v) = u v. och (Row(A)) = Nul(A) (Col(A)) = Nul(A T ).

Ortogonl mängder En mängd vektorer {u, u 2,...,u p} är en ortogonl mängd om vrje vektor i mängden är ortogonl mot ll ndr, dvs u i u j =0 då i j. Sts 4 Om S = {u, u 2,...,u p} är en ortogonl mängd v vektorer skild från nollvektorn 0, så är S linjärt oberoende och därmed en bs för Spn(S). Ortogonl bser En ortogonl bs för ett underrum W,är en bs för W som också är en ortogonl mängd. Sts 5 Låt {u, u 2,...,u p} vr en ortogonl bs för W.För vrje vektor y W gäller då y = c u + c 2 u 2 + + c pu p där viktern c,c 2,...,c p ges v c i = y u i. u i u i Ortogonl projektion Ortogonl projektionen v y på u ges v ŷ = y u u u u Komposnten v y som är ortogonl mot u ges v z = y y u u u u Ortonormerde mängder En mängd vektorer {u, u 2,...,u p} är en ortonormerd mängd om det är en ortogonl mängd v enhetsvektorer. Om mängden är en bs för ett underrum W säger vi tt det är en ortonormerd bs för W. Sts 6 En m n-mtris U hr ortonormerde kolonner om och endst om U T U = I. Sts 7 Om U är en m n-mtris med ortonormerde kolonner, och, y R n,såär. U = b. (U) (Uy) = y c. (U) (Uy) =0 y =0 Ortogonl projektion Sts 8 Låt W vr ett underrum till R n.dåkn vrje y R n entydigt uttrycks v y =ŷ + z där ŷ W och z W. Om {u, u 2,...,u p} är en ortogonl bs för W, uttrycks dess vektorer v ŷ = y u u u u + y u 2 u 2 u 2 u 2 + + y up u p u p u p och z = y ŷ. Vektorn ŷ ovn klls för den ortogonl projektionen v y på W, och beteckns proj W (y). Sts 9 Låt W vr ett underrum till R n, y R n och ŷ = proj W (y). Dåär ŷ den punkt i W som är närmst y, i vseendet tt y ŷ < y v för ll v W som är skild från ŷ. Dvs ŷ är den vektor i W som är den bäst pproimtionen v y. Sts 0 Om {u, u2,...,up} är en ortonormerd bs för W,så är proj W (y) =(y u)u +(y u2)u2 + +(y up)up. Om vi bildr mtrisen U =[u u2... up ], kn dett uttrycks enligt proj W (y) =UU T y. ON-mtriser, ortogonl mtriser Om U är en n n-mtris vrs kolonner bildr en ortonormerd bs, så är Col(U) =R n.av sts 0 följer, tt för ll y R n gäller y = proj R n(y) =UU T y = I y, dvs UU T = I. Enligt sts 6 gäller också Slutsts: U T U = I. U T = U om U är en kvdrtisk mtris med ortonormerde kolonner. En sådn mtris klls för en ON-mtris eller ortogonl mtris. Föreläsning 7

Grhm-Schmidt-ortogonlisering Sts Givet en bs {, 2,...,p} för ett underrum W till R n,låt v = v v2 = 2 2 v v v v2 v 3 v2 v2 v2 v3 = 3 3 v v v. vp v2 p v p vp vp v p v 2 v2 v2 vp = p p v v v Dåär {v, v2,...,vp} en ortogonl bs för W. Ortonormerd bs Vi kn nturligtvis lätt skp en ortonormerd bs, efter Grhm-Schmidt-ortogonliseringen, genom tt normer bsen. QR-fktorisering Sts 2 Om A är en m n-mtris med linjärt oberoende kolonner, så kna fktorisers enligt A = QR där Q är en m n-mtris vrs kolonner är en ortonormerd bs för Col(A), ochr är en övertringulär n n-mtris. Minstkvtdrtproblemet Om A är en m n-mtris och b är en vektor i R n,såär minstkvdrtlösningen till A = b en vektor ˆ i R n så tt b A ˆ b A för ll i R n. Sts 3 Mängden v minstkvdrtlösningr till A = b smmnfller med den icke tomm mängden v lösningr till normlekvtionen A T A = A T b. Sts 4 Mtrisen A T A är inverterbr om och endst om kolonnern i A är linjärt oberoende. Om såär fllet hr minstkvdrtproblemet A = b endst en lösning ˆ, som ges v ˆ =(A T A) A T b. Sts 5 Om A är en m n-mtris med linjärt oberoende kolonner, och A hr QRfktorisering A = Q R, så hr ekvtionen A = b minstkvdrtlösning ˆ = R Q T b. Föreläsning 8 Definition: inre produkt, inreproduktrum En inre produkt i ett vektorrum V. är en funktion som givet två vektorer u och v i V, ger tillbk ett reellt tl u, v, och som dessutom uppfyller följnde räknelgr:. u, v = v, u 2. u + v, w = u, w + v, w 3. cu, v = c u, v 4. u, u 0, och u, u =0 u = 0. Ett vektorrum med inre produkt, klls för ett inreproduktrum. Känd begrepp i ny tppning I ett inreproduktrum V definiers längden eller normen v en vektor v v = v, v. Uppenbrligen gäller då också tt v 2 = v, v. En enhetsvektor är en vektor vrs längd/norm är. Avståndet melln två vektorer u och v är u v. Vektorern u och v är ortogonl om u, v =0. 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 t Sts 6: Cuchy-Schwrz olikhet För ll u, v V gäller u, v u v. Sts 7: Tringelolikheten För ll u, v V gäller u + v u + v.

Symmetrisk mtriser Föreläsning 9 En symmetrisk mtris är en mtris vrs element ovnför digonlen är en spegelvänd upplg v elementen under digonlen. Dett innebär tt A är symmetrisk om och endst om A = A T. Eempel på symmetrisk mtriser 2 3 2, 2 4 5, 3 3 5 6 9 5 0 0 5 7 2 0 0 0 2 5 0 0 5 3 0 0 0 3 4 Sts Om A är symmetrisk, så är två egenvektorer som hör till olik egenvärden, dvs är hämtde från olik egenrum, lltid ortogonl. Ortogonlt digonliserbr mtriser En mtris A sägs vr ortogonlt digonliserbr om det finns en ON-mtris (ortogonl mtris) P och en digonlmtris D så tt A = PDP T. Eftersom P T = P för ON-mtriser innebär det A = PDP T = PDP. Sts 2 En n n-mtris är ortogonlt digonliserbr om och endst om A är symmetrisk. Sts 3: Spektrlstsen En symmetrisk n n-mtris A hr följnde egenskper:. A hr n reell egenvärden, om mn räknr dem med multiplicitet. b. Dimensionen hos egenrummet för vrje egenvärde λ är smm som multipliciteten hos λ. c. Egenrummen är ortogonl mot vrndr, i den meningen tt två egenvektorer från olik egenrum är ortogonl. d. A är ortogonlt digonliserbr. Kvdrtisk former En kvdrtisk form i R n är en funktion Q : R n R som kn beräkns v ett uttryck på formen Q() = T A, där A är en symmetrisk n n-mtris. Eempel: Q() = 2 6 2 +0 2 2 = 3 2 3 0 2 Q() = 3 2 +82 2 +32 3 + 2 3 + 2 3 = 3 /2 /2 2 3 /2 8 /2 2 /2 /2 3 3 Uppenbrligen hmnr koefficienter frmför kvdrter på digonlen, medn koefficienter för blndde produkter hlvers och läggs på båd sidor v digonlen. Ellips och hyperbel i stndrdposition Ellips och hyperbel ej i stndrdposition 2 y 2 2 y Sts 4 Låt A vr en symmetrisk n n-mtris. Då finns en ON-mtris P som genom vribelbytet = Py omvndlr den kvdrtisk formen T A till en kvdrtisk form y T D y, där D är en digonlmtris, dvs det finns ing blndde produkter. b 2 2 2 + 2 = 2 b 2 > 0, b > 0 2 y 2 () 5 2 4 2 + 5 2 = 48 2 b 2 2 2 = 2 b 2 > 0, b > 0 y (b) 2 8 2 5 2 = 6 2

Grfer v kvdrtisk former 2 2 z z 2 2 () z = 3 2 + 7 2 2 (b) z = 3 2 z z 2 2 (c) z = 3 2 7 2 2 2 (d) z = 3 7 Definition En kvdrtisk form är. positivt definit om Q() > 0 för ll 0. b. negtivt definit om Q() < 0 för ll 0. c. indefinit om Q() ntr både positiv och negtiv värden. Om Q() 0 för ll 0, säger vi tt Q är positivt semidefinit. Om Q() 0 för ll 0, säger vi tt Q är negtivt semidefinit. Sts 5 Låt A vr en symmetrisk n n-mtris. Dåär den kvdrtisk formen T A :. positivt definit om och endst om ll egenvärden till A är positiv. b. negtivt definit om och endst om ll egenvärden till A är negtiv. c. indefinit om och endst om A både hr positiv och negtiv egenvärden. Föreläsning 20 Båglängd y D p 2. b/ 2 b b C Föreläsning 2 y b Längden v det svrt strecket melln och b klls båglängden och beräkns enligt b s = +(f ()) 2 d.

Aren under en polär kurv Om r = f(θ) gäller tt A = 2 β α (f(θ))2 dθ. Båglängd för polär kurv Om r = f(θ), så hr den blå kurvn längd β s = (f (θ)) 2 +(f(θ)) 2 dθ. α En kurv på prmeterform { = f(t) y = g(t) sägs vr gltt eller slät på ett intervll I, om kurvn hr tngentlinje för ll t i intervllet. Sts Låt C vr den kurv på prmeterform som ges v { = f(t) y = g(t) då t är i intervllet I. Om f (t) och g (t) är kontinuerlig på intervllet I, ochf (t) 0på intervllet I, så är C gltt/slät, och dy d = g (t) f (t). På smm sätt gäller tt g (t) 0 d dy = f (t) g (t). Dvs kurvn är gltt/slät, utom möjligtvis i de punkter där både f (t) =0och g (t) =0. Tngenten och normlen till en kurv i prmeterform Båglängd för kurv i prmeterform = f(t) y = g(t) = f(t) y = g(t) Tngenten i prmeterform = f(t 0 )+sf (t 0 ) y = g(t 0 )+sg (t 0 ) Normlen i prmeterform = f(t 0 )+sf (t 0 ) y = g(t 0 ) sg (t 0 ).. Båglängden för den blå kurvn, melln t = och t = b, är b s = (f (t)) 2 +(g (t)) 2 dt.