Intitutionen för tillämad mekanik, Chalmer teknika högkola TENTAMEN I HÅFASTHETSÄRA KF OCH F MHA 08 7 OKTOBER 06 Tid och lat: 8.30.30 i M huet. ärare beöker alen ca 9.30 amt.30 Hjälmedel: öningar. ärobok i hållfathetlära: Han undh, Grundläggande hållfathetlära, Stockholm, 000.. Handbok och formelamling i hållfathetlära, KTH, eller utdrag ur denna; vid Int. for tillämad mekanik utarbetad formelamling. 3. ublicerade matematika, fika och teknika formelamlingar. Medtagna böcker får innehålla normala marginalanteckningar, men inga löningar till roblemugifter. öa anteckningar i övrigt är inte tillåtna. Vid tvekamma fall: kontakta krivningvakten innan hjälmedlet använd. 4. Tgodkänd miniräknare. ärare: eter Möller, tel (77) 505 öningar: Anlå vid ingången till intitutionen lokaler, lan 3 i norra trahuet, Na M huet, 0/0. Se även kurhemidan. oängbedömning: Varje ugift kan ge maimalt 5 oäng. Maoäng å tentan är 5. Betggräner: 0 4 ger betg 3; 5 9 ger betg 4; för betg 5 kräv mint 0. Ytterligare oäng ge för varje korrekt löt inlämningugift under kuren gång (l 4 06) dock kräv ovillkorligen mint 7 oäng å tentamen. För att få oäng å en ugift ka löningförlaget vara läligt och utällda ekvationer/amband motivera (det ka vara möjligt att följa tankegången). Använd entdiga beteckningar och rita tdliga figurer. Kontrollera dimenioner och (där å är möjligt) rimligheten i varen. Reultatlita: Grankning: Anlå 7/0 06 å amma tälle om löningarna. Reultaten änd till betgeeditionen enat /0. Ondag 9/0 00 3 00 amt tordag 0/0 00 3 00 å int. (lan 3 i norra trahuet, na M huet). Ugifterna är inte ordnade i vårighetgrad 06 0 07/WM
. En tång tillvekad av ett lineärt elatikt material, elaticitetmodul E, har längd och är fierad i in väntra ände. Stången belata med en friktionlat med kontant intenitet (kraft/ 0 f A 0 längd) f utmed hela in längd. Betäm tången tvärnittarea A( ) å att änningen σ( ) varie- f rar lineärt mellan σ( 0) ----- vid inänningen och σ( ) 0 vid den fria änden. Här är A 0 tvärnittarean vid 0 (5). Två kuber med kantlängd h aar i obelatat tilltånd eakt in i en tel ränna. De är tillverkade av lineärt elatika material med elaticitetmoduler och ν tvärkontraktiontal E och ν, reektive E och --. Kuberna belata med ett vertikalt trck och är fria att utvidga i z led (ut ur aret lan). Friktion i alla kontakttor kan förumma. a: Betäm kontaktrcket mot idoväggarna (3) b: Beräkna hur mcket, δ, den väntra kuben trck iho () Stelt E, ν δ E, ν 3. En konolbalk med längden m har tillverkat av två brädor om båda har tjockleken t 5 mm och bredden b 00 mm. Brädorna har limmat iho till ett enkelmmetrikt T tvärnitt. Materialet elaticitetmodul är E Ga och tillåten kjuvänning i limfogen är τ till 5 Ma. Hur långt,, kan konoländen trcka ner utan att den tillåtna kjuvänningen t b z z limfog överkrid? (5) 06 0 07/WM
4. Ramen ABCD betår av tre balkar om alla har längd och B, C böjtvhet. Den är fat inänd vid A; vid D är den rullagrad å ådant ätt att vertikalförkjutning är förhindrad. En,, horiontell kraft angrier vi hörnet B. Beräkna amtliga tödreaktioner om ukommer vid A och D. (5) A D 5. En lineärt elatik balk med böjtvheten och längden är elatikt inänd med tvheten i båda ändar, dv ambandet mellan infätningmomentet M in och änden rotation θ är M in θ. Balken belata med en aiellt trckande kraft enligt figuren. a: Betäm en övre och undre grän för elatik tabilitet (knäcklaten) () b: Härled knäckekvationen för balken, dv den ekvation var löning ger det kritika värdet å (4) öning : Vi har givet att σ( ) f ----- -- A 0 () och tången differentialekvation d du EA d d f (formelamling id eller undh ekv 3 7). Vi har du d ockå att σ Eε E, å vi får [ σa] f. Inättning av σ( ) enligt () och utveckling ger då d d da + A ----------- d A 0 A. Man finner löningen (e t.e Beta avnitt 9.) 0 + C ----------- A( ) ------------------. Integration- kontanten C betäm av villkoret A( 0) A 0 : C A 0. Alltå få A( ) A 0 (kontant) Alternativt: Kontruktionen är tatikt betämd, å vi kan beräkna nittkrafter med enbart jämvikt. Snitta vid ett godtckligt ; reultanten av den ttre belatningen å delen till höger om nittet är N( ) Q( ) Q fd f( ). Jämvikt kräver då normalkraften N( ) f( ), å änningen blir σ( ) N( ) f ----------- ---------- -- ; jämförele med den givna änningfunktionen, ekv (), ger att A( ) A A( ) A( ) 0 3 06 0 07/WM
öning a: I löningen använder vi ubkrit och för den väntra reektive högra kuben, närhelt det är nödvändigt att kilja å någon kvantitet. Jämvikt ger att σ σ σ σ (i båda kuberna) och att de horiontella normalänningarna måte uflla σ σ ; de enare beteckna hädanefter med σ. Fri eanion i z led ger att σ z 0. Vi kan nu teckna normaltöjningen i led i de båda kuberna: undh ekv 0 7 ger ε -- ( σ E ν( σ + σ z )) -- ( σ E + ν) ε ------ ν σ E -- ( σ + σ z ) -- σ ν ----- + ----- E 4 Totala utvidningen i led måte vara noll (komatibilitet): 3σ 5ν h( ε + ε ) 0 -------- + --------- 0 σ 4 5ν ------------ 6 Kontakttrcket mot idoväggarna är alltå σ 5ν --------- 6 öning b: Den vertikala normaltöjningen i den väntra kuben blir (undh ekv 0 8) ε -- ( σ E ν( σ + σ z )) -- 5ν ν ------------ + 0 5ν ----- -------- E 6 E 6 å vi får δ ε h h ------ ( 6 5ν ) 6E öning 3: Vi öker kjuvänningen i limfogen, dv i övergången mellan liv och flän. Denna kan beräkna H 0 T om (undh ekv 7 48) τ TS A -----------. Här är tvärkraften It M( 0) M( ) T kontant läng hela konolen. Sambandet mellan V och hämta enklat ur elementarfall; formelam- lingen id 0 ger 3 3 3ES, å. Inättning ger A --------- T -------- τ ---------------, å 3 t 3 3 τ till t 3 till --------------- 3ES A () För att beräkna det tatika momentet, av den utnittade biten, med aveende å z tngdunktaeln ortogonalt tvärkraften, måte vi hitta tngdunkten läge. Statikt moment med aveende å en horiontell ael genom tvärnittet under- A kant ger z t z t A ( 5 00 mm 5 ) 00 + ----- mm ( 5 00 mm 00 mm + ) ------------------- 4 06 0 07/WM
där A ( 5 00 mm ) är tvärnittarean; vi finner z t 8,5 mm. Vi får då 5 S A 00 + -----, där är den utnittade arean torlek; vi får mm z t A A 5 00 mm S A 78,5 0 6 m 3. Inättning i ekv (3) ger tillamman med givna data att till 44 mm öning 4: Frilägg ramen och inför amtliga krafter och moment enligt figuren. Kraft och momentjämvikt ger då V A 0 H A 0 M A + 0 (3) Vi har alltå 3 obekanta men bara 3 jämviktekvationer. För att få tterligare ett amband kan vi beräkna den vertikala förkjutningen av unkten D; villkoret 0 ger en etra H A M A ekvation om behöv. Vi använder o här av Catigliano a VA W at, undh ekv 5 96: där (undh 5 5) VD W M -------- d om bara böjdeformation beakta; koordinaten går läng hela bärverket. Vi får M M M -------- d -------- d M VD M M ----- d (4) Vi öker nu det böjande momentet M läng hela ramen. Snitta genom delan AB, å ett godtckligt avtånd från B. (I figuren ör varken tvärkraft eller normalkraft i nittet utritade); momentjämvikt kring nittet ger M( ) M( ) M (5) Momentjämvikt för att nitt genom delen BC, å ett godtckligt avtånd från C, ger (återigen är varken tvär och normalkraft utritade) I delen CD, lutligen, är det böjande momentet noll; enda nitttorheten är en trckande normalkraft N M( ) M. Inättning av (5) och (6) i (4) ger då (6) M( ) ----------------------------- d + ------------ d 0 0 ----- 4 --------- -- 3 3 Villkoret 0 ger alltå 3 ------ 8 (7) 5 06 0 07/WM
Ur (3) och (7) finner vi H A 3 5 V A ------ M 8 A --------- 8 öning 5a: Om 0 å har vi Euler a knäckfall, medan leder till 4e knäckfallet. Med > 0 π 4π och ändligt får vi då en knäcklat däremellan: ----------- < kr < -------------- öning 5b: ägg en koordinatael utmed balken och låt mittunkten vara origo. Balken utböjning blir då w( ) A + B + Cco( n) + Din( n), ----- --, där n ----- (undh ekv 8 66). Integrationkontanterna betäm av randvillkoren, men beräkningarna underlätta om man iner att tranveralförkjutningen måte vara mmetrik (förta knäckmoden): w( ) w( ) kräver att B D 0. Randvillkoret w ± -- ger då att, å vi har 0 n A Cco ----- n w( ) C co( n) co ----- Jämviktvillkoret M -- dw (alternativt M ----- ) till- d dw d d w amman med ambandet mellan nittmoment och krökning, M, d d w dw ger, där vi att. Inättning leder till d + -- 0 -------- d -- -- -- C n n co ----- n n ----- in ----- 0 ----- M -- w' -- Icke triviala löningar ( C 0 leder till w 0 ) kräver att uttrcket inom arente är noll; dividera n nco ----- n n uttrcket med ------------------------------, kan knäckekvationen kriva ----- + tan -----. Knäckkraften få om 0 kr ( n) -----, där n är lägta oitiva roten till knäckekvationen; från delugift a vet vi denna n rot ka öka i intervallet [ π, π]. Numerikt finner man -----,08 å kr 6,45,67π ----- ---------------------- 6 06 0 07/WM