En studie av schršdingerekvationen. Ð numeriska berškningar fšr nœgra modellpotentialer

Relevanta dokument
ATLAS-experimentet på CERN (web-kamera idag på morgonen) 5A1247, modern fysik, VT2007, KTH

Räkneövning i Termodynamik och statistisk fysik

Fasta tillståndets fysik.

Hittills på kursen: E = hf. Relativitetsteori. vx 2. Lorentztransformationen. Relativistiskt dopplerskift (Rödförskjutning då källa avlägsnar sig)

Umeå Universitet Institutionen för fysik Daniel Eriksson/Leif Hassmyr. Bestämning av e/m e

Förra gången: fördelningar Omfattande system med många partiklar kan praktiskt bara beskrivas i statistiska termer.

Föreläsning 1. Metall: joner + gas av klassiska elektroner =1/ ! E = J U = RI = A L R E = J = I/A. 1 2 mv2 th = 3 2 kt. Likafördelningslagen:

TRAFIKUTREDNING SILBODALSKOLAN. Tillhör detaljplan för Silbodalskolan Årjängs kommun. Upprättad av WSP Samhällsbyggnad,

5~ Atomer, joner och kemiska reaktioner

Ekosteg. En simulering om energi och klimat

TEORETISKT PROBLEM 3 VARFÖR ÄR STJÄRNOR SÅ STORA?

GRAFISK PROFILMANUAL SUNDSVALL NORRLANDS HUVUDSTAD

Atomer: rörelsemängdsmoment och spinn. Pauliprincipen och periodiska systemet.

Föreläsning 10 Kärnfysiken: del 2

Lšneadministration Handbok

DatortillŠmpningar. Det har hšnt nœgot!

DEMONSTRATION TRANSFORMATORN I. Magnetisering med elström Magnetfältet kring en spole Kraftverkan mellan spolar Bränna spik Jacobs stege

där a och b är koefficienter som är större än noll. Här betecknar i t

Räkneövningar populationsstruktur, inavel, effektiv populationsstorlek, pedigree-analys - med svar

spänner upp ett underrum U till R 4. Bestäm alla par av tal (r, s) för vilka vektorn (r 3, 1 r, 3, 22 3r + s) tillhör U. Bestäm även en bas i U.

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN

Tentamen i SG1140 Mekanik II, Inga hjälpmedel förutom: papper, penna, linjal, passare. Lycka till!

Åstorps kommun. Revisionsrapport nr 4/2010. Granskning av kommunens kommunikation med medborgarna

Samband mellan resurser och resultat

Lösningsförslag: Tentamen i Modern Fysik, 5A1246,

Social kompetens/všrdegrund

Bengt Sebring September 2002 Sida: 1 Ordförande GRANSKNINGSRAPPORT 2/2002

Per Sandström och Mats Wedin

F R O R D. Stockholm i december Katja KerŠnen. E-post: katja.keranen@swipnet.se

Newtons metod i en och flera variabler

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 22 dec 2016 Skrivtid 8:00-12:00

TNA003 Analys I Lösningsskisser, d.v.s. ej nödvändigtvis fullständiga lösningar, till vissa uppgifter kap P4.

Enkšping-HŒbo TrŠdgŒrdssŠllskap Hšsten 2013 PROGRAM H STEN Enkšping-HŒbo TrŠdgŒrdssŠllskap

S E D K N O F I AVM 960 AVM 961 AVM

Svarsbilaga till Fourieranalys med MatLab

Kontrollskrivning Introduktionskurs i Matematik HF0009 Datum: 25 aug Uppgift 1. (1p) Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

Tentamen TMV210 Inledande Diskret Matematik, D1/DI2

Kontinuerliga fördelningar. b), dvs. b ). Om vi låter a b. 1 av 12

Föreläsning 5 och 6 Krafter; stark, elektromagnetisk, svag. Kraftförening

Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.

Lektionsuppgifter i regressionsanalys

Mobilister och nallar i forskningens tjšnst Jan Einarsson

Principskiss av vingbalk

Teoretisk Elektroteknik. Repetition i ellšra. Henrik Otterheim. Copyright 2003 Teoretisk Elektroteknik, KTH

Robin Ekman och Axel Torshage. Hjälpmedel: Miniräknare

Barnets ršttigheter utifrœn barnets rštt att komma till tals

Revisionsrapport 7/2010. Åstorps kommun. Granskning av intern kontroll

1 (3k 2)(3k + 1) k=1. 3k 2 + B 3k(A + B)+A 2B =1. A = B 3A =1. 3 (3k 2) 1. k=1 = 1. k=1. = (3k + 1) (n 1) 2 1

kylskåp BRUKSANVISNING ERM

om de är minst 8 år gamla

SYSTEMUTVECKLING. - en jšmfšrelse mellan teoretiska modeller och ett praktikfall

Arkitekturell systemförvaltning

ANALYS AV DITT BETEENDE - DIREKTIV

Referensexemplar. Vi önskar er Lycka till! 1. Välkommen till Frö-Retaget

Kommunrevisionen i Åstorp ÅSTORPS KOMMUN GRANSKNING AV SJUKFRÅNVARO. Bengt Sebring Februari 2004 Sida: 1 Ordförande GRANSKNINGSRAPPORT 4/2003

Tanken och handlingen. ett spel om sexuell hälsa och ordassociationer

24 poäng. betyget Fx. framgår av. av papperet. varje blad.

UtvŠrdering av North Swedens verksamhet Œren

BESITTNINGSBEGREPPET

Lösningar till tentamen i Kärnkemi ak den 18 december 2000

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 8 juni 2009 Tid:

Om i en differentialekvation saknas y, dvs om DE har formen F ( x, . Ekvationen z ) 0. Med andra ord får vi en ekvation av ordning (n 1).

Integrerade ledningssystem artikelsamling

TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA APRIL 2016

OLYCKSUNDERSÖKNING. Teglad enplans villa med krypvind Startutrymme: Torrdestillation av takkonstruktion Insatsrapport nr:

Lösta exempel och gamla tentor i Materialfysik för E, IF1602 M. Göthelid Materialfysik, KTH-Electrum, Kista

EgenmŠktighet med barn

Personuppgifter pœ Internet. Undantag frœn fšrbudet i 33 personuppgiftslagen

Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.

SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER

Yrkes-SM. tur och retur. E n l ä r a r h a n d l e d n i n g k r i n g Y r k e s - S M

MŠtningar med Oscilloskop

TESAURUSKONSTRUKTION I ÄMNET LANDSKAPSPLANERING

TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA AUGUSTI 2018

2. Bestäm en ON-bas i det linjära underrummet [1 + x, 1 x] till P 2 utrustat med skalärprodukten

Del 1 Teoridel utan hjälpmedel

Lust och risk. ett spel om sexuell hälsa och riskbeteenden

Konkursbos ansvar fšr konkursgšldenšrens miljšfarliga verksamhet

Vad tyckte du om grundutbildningen?

Maj Sofia Kolmodin

Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN2 (Analys) Datum: 21 augusti 2015 Skrivtid 8:15 12:15. Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Elias Said

Fakturering Kund & Leverantšrsreskontra. Handbok

Utbildning via Internet

Laboration 1 Svartkroppsstrålning Wiens lag

Undervisande lärare: Fredrik Bergholm, Elias Said, Jonas Stenholm Examinator: Armin Halilovic

Bolagsordningen i fšrsvaret mot

Liv & hälsa. en undersökning om hälsa,levnadsvanor och livsvillkor

Friskrivningsklausuler En jšmfšrelse av svensk och italiensk rštt

GrŠnsšverskridande konkurser och utlšndska tilllgœngars betydelse vid insolvensbedšmningen

WIPO:s tvistlšsningssystem fšr tvister gšllande

Temadag på CID Användarcentrerad systemutveckling och kravhantering

Jan Einarsson, Offentlig privathet i nšrradion denna version 2000, Studentlitteratur och fšrfattaren. Offentlig privathet i nšrradion Jan Einarsson

not notismœl NUTEK NŠrings- och teknikutvecklingsverket prop proposition ref referat

arctan x tan x cot x dx dz dx arcsin x x 1 ln x 1 log DERIVERINGSREGLER och några geometriska tillämpningar

Alternativa vœrdformer

Lösningar till ( ) = = sin x = VL. VSV. 1 (2p) Lös fullständigt ekvationen. arcsin( Lösning: x x. . (2p)

Jan Einarsson, Barns sprœk i klassamhšlle denna version 2000, Studentlitteratur och fšrfattaren. Barns sprœk i klassamhšlle Jan Einarsson

Revisionsrapport Hylte kommun. Granskning av överförmyndarverksamheten

Störningsupplevelse av buller i klassrum

Vid tentamen måste varje student legitimera sig (fotolegitimation). Om så inte sker kommer skrivningen inte att rättas.

Transkript:

Jan Wstrgrn Molkylfysik Fysiska institutionn Chalmrs tkniska hšgskola & Gštborgs univrsitt Sptmbr 1999 En studi av schršdingrkvationn Ð numriska brškningar fšr nœgra modllpotntialr FrŒn vœgfysikn kšnnr vi till hur lktromagntisk strœlning bskrivs som n vœgršrls. Flra xprimnt som utfšrds i bšrjan av 19-talt visad dock att ljus Švn had partiklgnskapr och man bšrjad tala om fotonr. Exprimnt (t.x. av Davisson & Grmr) visad att lktronr och nutronr som man tidigar tšnkt sig som partiklar ocksœ had vœgnatur md d Brogli-vŒglŠngdn λ=h/p. Om vi vill studra hur partiklar av makroskopisk storlk ršr sig nšr d všxlvrkar md varandra anvšndr vi Nwtons kvationr. Mn om vi studrar n lktron gr dssa kvationr bara rštt rsultat fšr fria lktronr, t.x. i tt TV-ršr. I n vštatom dugr int Nwtons kvationr. NŒgot blir annorlunda i dn mikroskopiska všrldn. En lktron har bœd partikl- och vœgnatur. 196 lad Erwin Schršdingr fram n kvation som grundad sig pœ att n lktron Šr nœgot annat Šn n partikl. vn om tankn kund vrka svœr att accptra sœ fanns n stor fšrdl, kvationns rsultat stšmd md xprimnt. Eftrsom smœ systm int uppfšr sig som dn makroskopiska všrldn vi har rfarnht av och ftrsom schršdingrkvationn (SE) Šr n partill diffrntialkvation dšr lšsningarna kan vara svœra att "gissa" Šr dt ibland svœrt att fšrutspœ hur dn mikroskopiska všrldn fungrar. Md dagns snabba datorr md fin grafik finns dt mšjlight att anvšnda SE praktiskt, int bara i d fœ fall dšr dn gœr att lšsa analytiskt. I dtta projkt skall du fœ lšsa SE fšr nœgra olika systm fšr att lšra kšnna dn kvantmkaniska všrldn lit mr. En dl av systmn gœr Švn att lšsa analystiskt sœ att du kan s hur pass bra d numriska mtodrna fungrar. Vi skall mstadls titta pœ partiklar som bara kan ršra sig i n dimnsion. Lšsningarna till tt vrkligt, trdimnsionllt systm tar dls lšngr tid att brškna mn framfšrallt Šr d svœrar att illustrra grafiskt. Principrna fšr lšsningarna Šr ŠndŒ dsamma. 1

AtomŠra nhtr Dn tidsobrond SE i n dimnsion lydr h d Ψ x m dx ( ) + V ( x ) Ψ ( x ) = EΨ ( x ) D vanliga SI-nhtrna Šr lit klumpiga fšr atomšra systm och dšrfšr infšr vi atomšra nhtr istšllt fšr nhtrna As, kg, Js rspktiv As/Vm. D nya nhtrna avpassas sœ att = 1, m = 1, = 1 och 4πε = 1 i rspktiv nht. och m Šr lktronns laddning rspktiv massa. Vi lœtr bohrradin vara 1 atomšr lšngdnhtn nligt a 4πε m h 1 lšngdnht (, 59 ) = ( ) = Enrginhtn, som kallas hartr, dfiniras som 4 m 1 H = 7 4 (, V) ( πε ) h Om vi nu skrivr schršdingrkvationn utan nhtr fœs 1 d Ψ x m dx ( ) + V ( x ) Ψ ( x ) = EΨ ( x ) ( A ) Rsultatt frœn kvationn, som Šr n gnvšrdskvation, Šr dls vœgfunktionrna och dls dras gnvšrdn som motsvarar vœgfunktionrnas totalnrgir. NŠr rsultatn har bršknats kan d Œtrfšras till SI-nhtr. Finita lmntmtodn I kvation (A) kan vi s att dt nda som skiljr tvœ olika systm Œt Šr massan m pœ partikln och potntialn dn upplvr, V(x). NŠr dssa Šr bstšmda skall diffrntialkvationn lšsas. Md hjšlp av MatLab-programpaktt schropac kan man tsta olika potntialr och s vad som hšndr md partikln. Via http://fy.chalmrs.s/~f3cjw/kvantmkanik.html kan du ladda nd schropac till ditt gt konto och ocksœ lšsa hur man laddar nd dt. schropac anvšndr sig av finita lmntmtodn (FEM) fšr att lšsa SE. I kortht dlar FEM upp x-axln i smœ intrvall och antar att lšsningn Ψ Šr t.x. kvadratisk pœ varj sœdant intrvall. I schropac bršknas styckvis kvadratiska funktionr Ψ fšrutom fšr dn tvœdimnsionlla partikln i lœda dšr styckvis linjšra lšsningar tas fram. Fšr FEM-brŠkningarna mœst man mata in antal dlintrvall, N. Flt i gnvšrdna fšljr ungfšr N -4. N mllan 5 och 15 kan vara lšmpligt brond pœ hur snabb datorn Šr.

Din uppgift Huvudsyftt md dtta projkt Šr int kvantitativt utan kvalitativt. Fšrhoppningsvis fœr du lit kšnsla fšr SE. Du lkr sœ myckt du vill md schropac och sdan skrivr du n uppsats om hur SE fungrar, riktad till andra F3-tknologr. Som n hjšlp fœr du n dl frœgor att fundra ignom och tsta md programmt. Du kan naturligtvis Švn hšnvisa till och jšmfšra md tortiska rsultat du har stt. NŠr du anvšndr schropac skall n dl paramtrar matas in. Fšr att fœ vttiga svar bhšvr potntialn anpassas till massan. Du fœr n viss ldning mn fœr ocksœ prova dig fram. Tolkning av Ψ som n sannolikhtsfšrdlning Max Born infšrd fšljand tolkning av n partikls vœgfunktion: sannolikhtn fšr partikln att vara vid x Šr proportionll mot Ψ (x). (S vidar i appndix). OBS! I programmt skrivs Ψ som. Modllpotntialr En partikl i n ndimnsionll lœda (V = ) Dnna potntial kan vrka hlt konstrurad mn dn Šr nkl att rškna pœ. Dssutom kan dn vara n fšrsta approximation till situationr som mœnga partiklar upplvr: d Šr innstšngda i tt litt utrymm mn kan ršra sig ganska fritt dšrinn. GŒ in pœ "Standard ( V = )". LŠmplig lšngd pœ lœdan kan vara tt par Œngstršm. LŒt partikln vara n lktron. L 1 N 1 Hur všxr nrgin E n md kvanttalt n? Hur všxr (E n+1 Ð E n )/( E n+1 + E n ) md kvanttalt n? Vad innbšr dt nšr n blir myckt stort? Fšr framtida bruk: ungfšr pœ vilka všrdn liggr totalnrgin fšr olika nivœr? Framšvr skall jag rfrra till dssa lšsningar som "standard". JŠmfšr rsultatn md d analytiska vœgfunktionrna. (Dt kan du t..x gšra gnom "Sav " och sdan gšra gna diagram i MATLAB.) 3

r vœgfunktionrna ortogonala? SkalŠrproduktn dfiniras som i Hla intrvallt Ψ * ( x ) Ψ ( x ) dx j En partikl i lœda md n ramp GŒ in pœ "Gnrat your own potntial" och konstrura n ramppotntial. VŠlj samma lšngd pœ lœdan som i standardlœdan och lœt potntialskillnadn švr rampn vara stšrr Šn totalnrgin fšr d lšgsta standardnivœrna. L 1 N 1 Hur liggr nrginivœrna? PŒ vilkn sida Šr partikln oftast fšr d lšgsta kvanttaln? Fšr hšgr kvanttal? Kan du tšnka dig n fšrklaring till skillnadn? LŒt nu potntialskillnadn vara sœ stor švr rampn att dn mšrks Švn fšr n =. h Ψ I SE tolkar vi som tt mœtt pœ dn kintiska nrgin. Studra vad m x Ψ x, frkvnsn pœ Ψ x och dn klassiska kintiska nrgin i x har fšr rlation. ( ) ( ) En partikl i lœda md n fyrkantsbarrišr Myckt inom kmin byggr pœ barrišrr. Exmplvis kan tvœ molkylr A och B kopplas ihop vid n kollision om d har tillršcklig nrgi fœr att ta sig švr n potntialbarrišr. Till skillnad frœn i klassisk mkanik kan n partikl tršnga ignom n barrir som Šr hšgr Šn vad dn gntlign har nrgi fšr. Dtta kallas tunnling. GŒ in pœ "Squar barrir" och dfinira n potntialbarrišr. VŠlj samma lšngd pœ lœdan som i standardlœdan och lœt barrišrhšjdn vara stšrr Šn totalnrgin fšr d lšgsta standardnivœrna. Tsta md olika barrišrbrdd. 4

L W BE 1 N 1 Hur liggr nrginivœrna? Vad hšndr md Ψ nšr totalnrgin nšrmar sig barrišrhšjdn? Vad hšndr md Ψ nšr totalnrgin Šr nœgot hšgr Šn barrišrhšjdn? Om du lšggr n lœg barrišrhšjd, hur liggr nrginivœrna jšmfšrt md standard? Tsta md n ngativ barrišr. Hur Šndrar sig Ψ nšr kvanttaln škar? Tunnling gnom n fyrkantsbarrišr Som n xtrauppgift skall vi brškna sannolikhtn fšr att n partikl som kommr in mot n fyrkantsbarrišr md n viss hastight tunnlar ignom. Sannolkhtn fœs som dšr W / D W / D ( ) P = 1+ E E 16 1 BE BE 1 D = h ( ) m BE E BE Šr potntialbarrišrn och E Šr partiklns kintiska nrgi nšr dn kommr in mot barrišrn. W Šr barrišrviddn och m Šr partiklns massa. schropac anvšndr int FEM i dnna uppgift. Hur och i vilkn grad pœvrkar m, W och BE/E transmissionn av partikln? 5

Egna potntialr GŒ in pœ "Gnrat your own potntial" och hitta pœ gna potntialr. Du kan bhšva ška N om du gšr komplicrad sœdana. L 1 N 1 Tsta ifall vœgfunktionrna forfarand Šr ortogonala mot varandra. 6

En partikl i n tvœdimnsionll lœda (V = ) Vi skall titta pœ standardfallt, mn nu kan partikln ršra sig i tvœ dimnsionr. Dtta skull kunna vara n approximation fšr n partikl som sittr pœ n yta och Šr innstšngd i tt litt omrœd. Fšrutom att vi fœr vœgfunktionr i tvœ dimnsionr och att brškningarna tar lšngr tid kommr n ny gnskap fram: dgnrring. Dt kan finnas olika vœgfunktionr md samma nrgi. Skapa n rktangulšr lœda md sidlšngdr pœ tt par Œngstršm. Programmt Šr gjort sœ att dlintrvalln Šr lika lœnga i x- och y-ld. Studra nrginivœrna fšr nœgra olika fall. N = (N X Ð 1)( N y Ð 1) bšr int vara mr Šn 3. r dt nœgon skillnad mllan rktangulšra och kvadratiska lœdor? JŠmfšr md d analytiska všrdna. L y L x Dn harmoniska oscillatorn Atomr i molkylr vibrrar mot varandra i sina bindningar. r vibrationr tillršckligt smœ kan potntialn anpassas md n parabl och atomrna oscillrar harmoniskt. Vi skall alltsœ md SE fšrsška studra hur tvœ partiklar ršr sig. Mn systmt kan fšrnklas till att studra dras bindningslšngd och dœ vi kan anvšnda vœr vrsion av SE. I dn kvantmkaniska všrldn kan bindningn stršckas ut llr tryckas ihop mr Šn vad totalnrgin gntlign ršckr till fšr. D bindingslšngdr som motsvarar dssa klassiskt fšrbjudna omrœdn Šr markrad md grœa fšlt i schropacs:s grafr švr Ψ. Sannolikhtn minskar dock drastiskt nšr potntialn gœr alltfšr hšgt. S till att bstšmma L sœ att man i rsultatt sr att dt finns marginalr pœ kantrna dšr Ψ =. Annars kan man int lita pœ varkn vœgfunktionrna llr nrginivœrna. LŠngst ut pœ sidorna dšr nu Ψ =, sšttr vi n ošndlig potntial. Man matar in hur potntialn skall s ut gnom att ang E(wall), dvs potntialn alldls innanfšr kantrna. SŠtt p = % fšr att fœ n hlt rn hamronisk oscillator. O -molkyln Studra hur O vibrrar. (SŠtt p = %). RŠkna om "fjšdrkonstantn" k = 1177 N/m till E(wall) i atomšra nhtr. Massan som kommr in i SE Šr dn rducrad massan m = m m 1 m + m 1 7

Hur všxr nrgin E n md kvanttalt n? Hur všxr (E n+1 Ð E n )/( E n+1 + E n ) md kvanttalt n? r vœgfunktionrna ortogonala? Vid hšga nrgir, var finns partiklarna mst, runt jšmviktslšgt llr vid všndlšgna? Vad gšllr fšr n klassisk harmonisk oscillator? Vad Šr dn lšgsta nrgin vibrationn kan ha? Vilkn vibrationsnrgi kommr 1 mol O -molkylr att ha vid tmpraturn K? Excitation av n dipol Vi kan ocksœ anvšnda modlln fšr n harmonisk oscillator fšr att studra hur n foton xcitrar n dipol. Om n molkyl har tt dipolmomnt lšngs x-axln sœ kan n foton xcitra molkyln frœn tillstœnd Ψ 1 till Ψ ndast om švrfšringsdipolmomntt µ 1. Fšr d ndimnsionll vœgfunktionrna som vi fœr ut av dn harmoniska oscillatorn gšllr att µ 1 = xψ 1 Ψ dx foton vibration x Till vilka tillstœnd j kan n foton fšra molkyln om dn frœn bšrjan Šr I tillstœnd i? Dt nkla samband du skall komma fram till kallas fšr n urvalsrgl. Dn "riktiga" O -molkyln Gnom att gœ till "From fil" kan man ladda in n fil som angr n valfri potntial. i filn syrmolkyln_data.m finns n bšttr approximation till dn vrkliga potntialn Šn vad n parabl Šr. Funtionsformn kallas mors-potntial. BrŠkna lšsningarna till SE md dnna potntial. 8

.7.6 Syrmolkyln.5.4.3 Harmonisk potntial..1 -.1 Mors-potntialn -. 1.5.5 3 3.5 4 Vad blir skillnadn i nrginivœr jšmfšrt md dn harmoniska oscillatorn fšr smœ och stora kvanttal? VŠtatomns radialdl LŒt oss rškna pœ vštatomn. Dn har n kšrna och n lktron vilkt gr oss n partill diffrntialkvation md sx koordinatr. Om vi antar att kšrnan ršr sig myckt lœngsammar Šn lktronn kan vi dla upp SE i tvœ obrond kvationr, n fšr atomns masscntrum och n fšr lktronn. Dt Šr bara dn sista som vi intrssrar oss fšr hšr. Ψ(r,θ,ϕ) Šr lktronns vœgfunktion i punktn r,θ,ϕ dšr d sfšriska koordinatrna Šr rlativt kšrnan (origo). h Ψ ( r, θ, ϕ) + V( r, θ, ϕ) Ψ ( r, θ, ϕ) = E Ψ ( r, θ, ϕ) m vn dnna kvation kan vi dla upp ftrsom dt visar sig att man kan sparra variablrna: Ψ(r,θ,ϕ) = P(r)/ráY(θ,ϕ). Vi skall till att bšrja md ndast studra P(r). NŠr vi dlar SE fšr r, θ och ϕ fœr vi fšljand kvation fšr P(r). h ( ) + ( ) ( ) = ( ) m P r v r P r EP r r dšr vi kan s v r (r) som n ffktiv potntial: v r r h 4πε r m ( ) = + ( ) l l + 1 r l =, 1,... Šr banimpulskvanttalt. Fšr varj l vi sšttr in fœr vi n uppsšttning lšsningar md tillhšrand nrgir. NŠr n lktron fšljr n viss sannolikhtsfšrdlning Ψ, sšgr vi att dn finns i orbitaln Ψ. Fšr atomr har man infšrt btckningarna s, p, d, f, g... fšr l =, 1,, 3, 4.... T..x kallas orbitaln md n =, l = 1 fšr p. NŠr vi skall lšsa dnna kvation numriskt bhšvr vi Šndra om axlindlningn. IstŠllt fšr n linjšr sœdan anvšndr vi n xponntill: r =, r = i i 1 ( ln L+ 8) N 1 8 9

LŠmpligt L kan vara 1. Om n vœgfunktion int planar ut mot noll utan snabbt tvingas nd till noll vid L sœ har man satt L fšr litt i programmt fšr att passa dn vœgfunktionn. NŠr man kšnnr P(r) kan man brškna sannolikhtn att lktronn finns vid n viss radi, p(r): π π ( ) P r dr p( r) = dr Y( θ, ϕ) r sinθdθdϕ p r P r r ( ) ( ) Att illustrra sannolikhtsfšrdlningn fšr lktronn i hla rymdn Šr svœrt ftrsom dt skull kršvas n fyrdimnsionll bild. Gnom att klicka pœ ÒShow 3D orbitalsó kan du fœ s fšrsšk till n illustration. I figurrna till hšgr kan man fœ s d vanligt fšrkommand polšra bildrna. D Šr hlt nklt n polšr bild švr Y(θ,ϕ). I dn kan man t.x. s att p-orbitalr Šr riktad lšngs n axl. Figurrna har dock vissa nackdlar. T.x. kommr p och 3p att s likadana ut fast d int Šr dt. Som tt komplimnt finns figurn upptill. I dn har orbitaln skurits mitt itu lšngs xy-plant och man s sannolikhtn att hitta lktronn i punktn (x,y,). Rita P(r) och jšmfšr md d analytiska lšsningarna. Finns dt dgnrrad tillstœnd i vštatomn? Hur stšmmr P(r) md Bohrs atommodll? Fšr orbitaln s Šr Ψ s (r = ) =. Hur fšrklarar du att lktronn ŠndŒ kan ta sig frœn r < till r >? 1

Stabilitt i Na 4 Ett mtallklustr Šr tt antal mtallatomr som har klumpat ihop sig m.h.a. mtallbindningar. Na 4 har 4 kšrnor, 4 inr lktronr och 4 valnslktronr. Om man skull lšsa SE fšr Na 4 blir dt n diffrntialkvation md 144 koordinatr. Fšr att kunna brškna hur stabila dssa klustr Šr brond pœ hur mœnga atomr som ingœr fšrnklar man ibland situationn m.h.a. jlliummodlln. Ett Na 4 -klustr kan dlas upp i positiva jonr och valnslktronr nligt Na 4 = 4 Na + + 4 Ð. D 4 positiva jonrna, som bstœr av 11 protonr och 1 lktronr vardra, smtas ut i n sfšr som i diamtr skall motsvara klustrt. Dt blir alltsœ n sfšr md +4 lmntarladdningar jšmnt fšrdlad švr hla volymn. Vi kan sdan brškna n potntial som n valnslktron skull upplva om dn bfann sig inn i klustrt och všxlvrkad md dn utsmtad plusladdningn och d švriga 39 valnslktronrna. Dnna potntial Šr ritad i figurn ndan (r uttryckt i atomšra lšngdnhtr och v r (r) i hartr) och dn anvšndr vi i SE. Vi fœr pœ sœ sštt fram n uppsšttning orbitalr md motsvarand nrgir som rsultat. -.5 -.1 -.15 -. -.5 5 1 15 5 3 Schršdingrkvationn fšr n valnslktron Šr h h m P r v r r m ( ) + ( ) + l( l 1) P r r ( ) = EP ( r ) dšr v r (r) Šr dn funktion som Šr ritad i figurn. I dnna uppgift finns int potntialn som funktionsuttryck utan i form av tt antal datapunktr som programmt lšsr in. Problmt Šr nu všldigt likt dt fšr vštatomn. T.x. fœr man som fšr vštatomn flra orbitalr md l = 1 och i varj orbital fœr dt plats tvœ valnslktronr. Dtta skall vara md i uppsatsn: Rita tt nrginivœdiagram fšr d 4 valnslktronrna. Om antalt valnslktronr prcis fyllr n nrginivœ sœ blir dt klustrt xtra stabilt. Hur mœnga lktronr bhšvs fšr att fylla dn lšgsta nrginivœn, dn lšgsta plus dn nšsta lšgsta, osv.? Dssa tal brukar kallas magiska tal. r 4 tt magiskt tal fšr natriumklustr? 11

Appndix: Sannolikhtsfšrdlningar i klassisk- och kvantmkanik Vi har stt Ψ som sannolikhtsfšrdlningn fšr n partikl och int brytt oss om hur n partikl gntlign ršr sig. I klassisk mkanik kan vi ocksœ studra sannolikhtsfšrdlningar fšr partiklar. Dssa skull vi kunna anvšnda fšr att s skillnadr mn ocksœ likhtr mllan klassiska och kvantmkaniska brškningar. Fšr n klassisk partikl Šr dt naturligt att tšnka sig att sannolikhtn fšr n partikl att vara vid n position x Šr litn om dss hastight i x Šr hšg. DŒ fšrsvinnr dn ju snabbt dšrifrœn. Ingn friktion x x En ndimnsionll, klassisk brg-och-dalbana Fšr att studra dnna brg-och-dalbana bhšvr man vta hur banan sr ut och vilkn massa dt Šr pœ vagnn. 1) Enrgikonsrvring Formln fšr nrgikonsrvring Šr T( x) + V( x) = E tot Om vi vt llr bstšmmr E tot kan vi brškna fartn v x E V x / m ( tot ) ( ) = ( ) Sannolikhtn att hitta vagnn vid x Šr P x 1/ v x ( ) ( ) En kvantmkanisk partikl i n ndimnsionll potntial Fšr att studra dnna partikl bhšvr man vta hur potntialn sr ut och vilkn massa dt Šr pœ partikln. 1) Enrgikonsrvring Formln fšr nrgikonsrvring Šr SE h d Ψ x V x Ψ x E x totψ m dx ( ) + ( ) ( ) = ( ) Skillnad 1: Partikln kan int ha vilkn E tot som hlst. D všrdn som Šr tillœtna fœr vi ur SE. Skillnad : Sannolikhtn att hitta partikln vid x kan int bršknas ur fartn. IstŠllt fœs P(x) ur SE nligt P x Ψ x ( ) ( ) Mn ju stšrr E tot dsto mr nšrmar sig P(x) dn klassiska funktionn av fartn. PŒ stšlln dšr E tot < V(x) kan int vagnn finnas. Dssa stšlln kallas "klassiskt fšrbjudna" omrœdn. ) Tidsbrond Nu kan vi fortsštta och studra vad som hšndr nšr tidn gœr. Om vi sšgr att vid t = t Šr x(t ) = x och v(t ) = v sœ kan vi md Nwtons kvation brškna x(t) och v(t) fšr alla t. Skillnad 3: PŒ stšlln dšr E tot < V(x) kan partikln trots allt finnas. Mn om V(x) = kan dn int finnas dšr. ) Tidsbrond HŠr gr oss dn tidsobrond SE oss ingn information. 1