Svarsbilaga till Fourieranalys med MatLab

Transkript

1 Svarsbilaga till Fourieranalys med MatLab Namn: ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ Uppgifterna 1-9 Šr obligatoriska och redovisas pœ svarsbilagan. Du fœr všlja fritt en av uppgifterna 10-14, vilka skall redovisas med lšmpliga figurer och kommentarer. Du kan t.ex klippa ur plottar av signaler och spektra ur MatLab och klistra in i MicroSoft Word tillsammans med kommentarer till dina resultat. FrŒgorna i svarsbilagan skalla besvaras tillsammans med den bilaga som du bifogar till uppgifterna. Jag har ur uppgifterna valt uppgift nr. ÉÉÉ Alternativt till att gšra en av uppgifterna 10-14, kan du všlja en egen uppgift tillsammans med handledaren som illustrerar anvšndning av Fouriertransformen. NŒgra fšrslag kan vara: JŠmfšr spektrum hos en signal lagrad som en.wav-fil och samma signal komprimerad som en.mp3-fil med olika komprimeringsgrad. Vilken signal Šr bšst som testsignal? Spela in signal frœ en musikinstrument - orgel, gitarr etc. och studera spektrum. Hos en gitarr kan man studera effekten av olika anslag av stršngarna, flageolotter och identifiering av ackord samt innehœll fšr de olika stršngarna med samma ton. Hur kan man gšra en CD-skiva fšr att testa sin Hi-Fi anlšggning? Vilka testsignaler skall man anvšnd och hur kan man generera dem i MatLab?

2 FrŒgor pœ Laboration i Fourieranalys med MatLab Uppgift 1. Svara pœ fšljande frœgor: Hur mœnga sampel har signalen? N = Vad Šr samplingsen? fs = Vad Šr samplingstiden fšr varje sampel ts = Hur stor Šr den totala samplingstiden? T = Hur stor Šr upplšsnineng hos spektrum? Df = Hur hšg som kan Œterges i spektrum? fmax = I MatLab anvšnder man sig av FFT vid Fouriertransform om antalet sampel Šr en jšmn potens av 2. Annars beršknas transformen med DFT (Direkt Fourier Transform), vilket tar betydligt lšngre tid. Nedan finns de formler som MatLab anvšnder fšr DFT. Fyll i det som fattas vid berškningen av DFT i uppgift 1. F k x n e x ¼ å ( )= ( ) n= 0 ¼ 1 xn F k e å ( )= ¼¼ ( ) k = 0 Markera i diagrammen spektrum fšr den transformerade signalen i uppg. 1. SŠtt ut och. Glšm inte de negativa erna. ¼¼ x ¼¼ negativ Magnitudspektrum negativ Realdel negativ ImaginŠrdel FrŒgor pœ Fourieranalys med MatLab sid. 1

3 Antag att vi har en vektor (komplex) som innehœller Fouriertransformen av en reell signal. Hur gšr man fšr att plotta signalen? Problemet Šr att rškna ut en tidsskala, inverstransformera transformen och plotta rštt del av inverstransformen (komplex) mot tidsskalan. UtgŒ frœn att vi har ett spektrum med N = 1000 st er (a + negativa). Frekvensupplšningen Šr Df = 2 Hz. Vad blir samplingstiden Dt? Dt = Hur hšg Šr samplingsen? f s = Hur stor tid upptar signalen? T = Skiv ner nœgra MatLab-kommandon som generarar en tidsvektor, beršknar inversa transformen och plottar signalen. AnvŠnd rutan nedan. Uppgift 2. Rita in spektrum fšr den kvadrerade signalen. negativ Magnitudspektrum Uppgift 3. Markera den maximala en i spektrum (Nyqvisten). Markera den aliaserade (vikta) en som erhœlles dœ man samplar och transformerar 767 Hz. Var Œterfinns erna f 1 = 400 Hz, f 2 = 1200 Hz och f 3 = 2000 Hz? Ta hjšlp av figurerna pœ nšsta sida dšr figurerna visar hur man kan representera spektrum av en sinussignal med en f. Fšr samplade signaler Šr spektrum periodiskt. r de aliaserade erna a eller negativa? Hur kan man visa detta? Magnitudspektrum FrŒgor pœ Fourieranalys med MatLab sid. 2

4 Uppgift 3 forts. Fšljande aliaserade er upstœr dœ vi samplar med fs = 1024 Hz F in F ut 767 Hz ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ 400 Hz ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ 1200 Hz ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ 2000 Hz ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ Vilka er Šr negativa.? Studera real och imaginšrdel och fas. Uppgift 4. Beskriv skillnaden mellan transformen av en sinus med och utan fšnsterfunktion. I uppgiften fšreslogs ett Hanningfšnster med en sinus pœ Hz. É É É Varfšr breddas spektrum hos en sinussignal med en icke heltalig med, ex. 67,2 Hz? Samplingsen Šr fortfarande 1024 Hz. É É É É Uppgift 5. Vilka komponenter har ett symmetriskt pulstœg med periodtiden 100 ms? É É Studera komponenter har ett pulstœg med dutycycle 25% och periodtiden 125 ms? JŠmfšr med motsvarande symmetriska pulstœg. Kommentar:.ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ É É FrŒgor pœ Fourieranalys med MatLab sid. 3

5 -Fmax +Fmax - -f +f + Representation av en sinus med < Fsampl./2 I Fourieranalysprogrammet visas bara den a axeln Fšr samplade signaler Šr Fouriertransformen periodisk, vilket gšr att vi kan repetera ovanstœende figur: -Fmax +Fmax -3áFs/2 Fs -Fs/2 -f +f Fs/2 Fs 3áFs/2 Negativa er Positiva er Negativa er Positiva er Negativa er Positiva er Ett annat sštt att representera ett periodiskt spektrum Šr att rita axeln runt en cirkel ImaginŠr axel Positiva er + +Fmax -Fmax Reell axel Negativa er - Uppgift 5 forts. Hur Šr fšrhœllandet mellan švertoner och grundton hos en fyrkantvœg? Fšrklara var de aliaserade erna hamnar dœ grunden Šr 128 Hz. Hur Šr fšrhœllandet mellan švertoner och grundton hos en triangelvœg? FrŒgor pœ Fourieranalys med MatLab sid. 4

6 Uppgift 6. Hur karaktšriseras spektrum hos en enhetspuls (en signal som bara innehœller ett sampel skild frœn noll)? Vad fœr vi fšr spektrum om vi anvšnder en signal bestœende av tvœ enhetspulser separerade pœ ett avstœnd Dt? Kan du ge ett matematiskt uttryck pœ Fouriertransformen? Vad blir magnitudspektrum av en puls med pulsbredden Dt och vad hšnder om vi minskar resp. škar Dt? Uppgift 7. Vilka er ingœr i spektrum fšr en bšrvœg pœ 100 Hz modulerad med en fyrkantvœg pœ 10 Hz. Modulationsindex = 0.5. Ange de 5 erna som har stšrsta. Uppgift 8. Uppskatta hur stort signal/brus-fšrhœllande man kan ha fšr att kunna hitta en sinussignal. Ange fšrhœllandet i db. Svar: ÉÉÉÉÉÉÉÉ kolumner Uppgift 9. Fyll i erna fšr knappsatsen. Vad kan man rškna med fšr noggrannhet om man tar med alla sampel i signalerna som definierar de olika siffrorna? Df» ÉÉÉÉ Hz rader * 0 # FrŒgor pœ Fourieranalys med MatLab sid. 5

7 Uppgift 10. Vilken ton genereras av orgeln med signalen samplad i filen 'org1.wav' och hur noggrann Šr bestšmningen? Svar: tonen Šr ÉÉÉÉ och en har en posškerhet pœ ÉÉÉ Hz Vilket ackord finns i filen 'org2.wav'? Svar: ackordet innehœller tonerna ÉÉÉÉÉ Vilken grundton finns i signalen 'org3.wav'? Svar: ÉÉÉÉÉ Uppgift 11. Vilken stršng har flest švertoner, E1, A2, D2, G2, B3, E3? Svar: ÉÉÉÉ Hur Šr gitarren stšmd? Avviker stšmningen frœn den tempererade skalan och vilken stšmton fšr A4 har man anvšnt (se uppg. 10). De olika stršngarna Šr stšmda med fšljande er: E1 = ÉÉÉ Hz A2 = ÉÉÉ Hz D2 = ÉÉÉ Hz G2 = ÉÉÉ Hz B3 = ÉÉÉ Hz E3 = ÉÉÉ Hz Kan du bestšmma erna noggrannare om du anvšnder en fšnsterfunktion ( typ Hanning) pœ signalerna? Kommentarer kring stšmtonen A4 och fšrhœllandet mellan erna jšmfšrt med den tempererade skalan kan kommenteras pœ ett extra papper. Uppgift. 12 Hur stor Šr den harmoniska distortionen fšr respektive signalgenerator? THD_Farnell = ÉÉÉÉÉ% THD_HP = ÉÉÉÉÉ% THD_Oltronix = ÉÉÉÉÉ% Alternativt kan du sampla lšmpliga signaler frœn nœgra signalgeneratorer pœ labbet och jšmfšra dem. Uppgift. 13 Uppgiften kan redovisas genom att plotta signalen fšre och efter filtrering. Plottarna kan tillsammans med kommentarer klistras in i ett MS-Word-dokument. Analys och filtrering kan ocksœ gšras pœ en egen EKG-signal som du samplar till en PC-dator via ett ljudkort. FrŒgor pœ Fourieranalys med MatLab sid. 6

8 Uppgift 14. HŠr kan du generera olika mšnster i en 2-dimensionell matris som du Fouriertransformerar i MatLab. Resultatet kan jšmfšras med diffraktion. En deluppgift kan vara att skriva en funktion son genererar en spalt (rektangel) med valfri hšjd, bredd lutning och placering som kan anvšndas som testobjekt. Hur kan man gšra en funktion som genererar en cirkel med olika diameter och placering? Alternativt kan du fotografera en bild med en digitalkamera, bearbeta bilden i t.ex Photoshop och lagra den i ett format som kan lšsas in i MatLab. Fouriertransformen kan sedan studeras. Om man beskšr bilden i transformen och inverstransformerar, erhœlles en komprimering av bildfilen. Hur mycket kan man komprimera en bild utan att fšr mycket information gœr fšrlorad. Vad hšnderf om man beskšr olika delar av transformen? FrŒgor pœ Fourieranalys med MatLab sid. 7