Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är ett v nturvetenskpens viktigste områden Ämnesområdet heter Linjär lger och det är en oligtorisk kurs i vrje teknisk-nturvetenskplig utildning Vi etrktr därför åter ett ekvtionssystem, t ex x + x + 3 x 3 x + x + 3 x 3 Dett kn enligt föregående vsnitt om vektorrum skrivs på formen x + x 3 3 Vänsterledet är lltså en linjär komintion v tre kolonner, där vrje kolonn är en vektor i R All dess linjär komintioner klls kolonnrummet Högerledet är också en vektor i R och ekvtionssystemet hndlr om tt estämm den linjär komintion v kolonnvektorern som ger vektorn i högerledet Dett är ett i grunden geometriskt prolem
EXEMPEL I ekvtionssystemet x + x x + x x + x är kolonnrummet ll linjär komintioner v kolonnen Dess komintioner ildr en rät linje i R genom origo och vektorn Ekvtionssystemet hr då lösning om högerledet är en vektor på linjen, men ingen lösning om högerledet ligger utnför linjen
ÖVNING Avgör, t ex med Guss elimintion, huruvid följnde ekvtionssystem hr lösning eller inte ) x + x x + x x + x, ) x + x x + x 4 x + x 4, c) x + x x + x x + x Illustrer kolonnrummet och mrker den vektor som svrr mot respektive högerled
Nu sk vi studer ll möjlig lösningr till ett ekvtionssystem Vi etrktr åter ekvtionssystemet ovn men nu med högerledet lik med noll Ett sådnt ekvtionssystem klls ett homogent ekvtionssystem x + x + 3 x 3 x x + x + 3 x 3 + x 3 3 Ett homogent ekvtionssystem hr lltid lösning, t ex finns lltid lösningen x x x 3, den så kllde trivil lösningen Lösningrn till systemet ges v vrilern (de oeknt) x, x, x 3 som kn etrkts som vektorer x x x 3 R 3 All lösningrn till ett homogent ekvtionssystem ildr en mängd vektorer som klls nollrummet EXEMPEL Vi löser ekvtionssystemet x x + x x + x + x med Guss elimintion först delen Då får vi som i övning x + x x + x Vi väljer x s, x 3 t som fri vriler och erhåller lösningrn x s t, x s, x 3 t På vektorform lir lösningrn x x x 3 s t s t s + +t
Den sist likheten erhålles med räknereglern för vektorrum (kontroller gärn tt det stämmer genom tt räkn från höger till vänster) Lösningrn, nollrummet, är lltså ll linjär komintioner v vektorern och Dess komintiner ildr ett pln i rummet R 3 genom origo och de två vektorern (punktern) och ÖVNING Lös följnde ekvtionssystem med Guss elimintion ) x + x x + x x + x, ) x + x x + x 4 x + x Försök tolk lösningrn geometriskt 4 I näst exempel sk vi studer ett ekvtionssystem som hr ett större kolonnrum än i EXEMPEL EXEMPEL 3 I ekvtionssystemet x x + x x + x
är kolonnrummet ll linjär komintioner v kolonnern,, Dess komintioner ger ll vektorer i R, kolonnrummet är i dett fll lik med hel R Därför hr ekvtionssystemet lösning för ll högerled Lösningrn lir i dett ekvtionssystem en rät linje i rummet R 3 ÖVNING 3 Lös ekvtionssystemet med Guss elimintion x x + x x + x Beskriv lösningrn på vektorform i R 3 Någr oservtioner OBSERVATION I EXEMPEL och är kolonnrummet en linje och lösningrn ildr ett pln I EXEMPEL 3 är kolonnrummet ett pln och lösningrn ildr en linje Det verkr som tt summn v dimensionern är konstnt lik med tre i dess exempel Dett är ett specilfll v en llmän sts Utn tt exkt definier egreppet dimension tillåter vi oss tt formuler DIMENSIONSSATSEN Kolonnrummets dimension plus lösningsrummets dimension är lik med ntlet oeknt Det kn vr v intresse tt kontroller snningshlten i denn sts vrje gång mn löser ett ekvtionssystem OBSERVATION Kolonnrummet i EXEMPEL 3 är ll linjär komintioner v tre olik kolonner Redn de två först pekr åt olik håll och linjärkomintionern v dess ger hel R Den tredje kolonnen ger inget extr utrymme Kolonner (vektorer) i plnet som pekr åt olik håll, är icke-prllell, enämnes linjärt oeroende Den tredje kolonnen (vektorn) sägs vr linjärt eroende v de två först
ÖVNING 4 Lös ekvtionssystemet med Guss elimintion x + x x 3 x + x RÄTA LINJER OCH PLAN Eftersom kolonnrummet och lösningsrummet (nollrummet) till ett ekvtionssystem kn vr en rät linje ör vi studer den rät linjen mer i detlj För tt egräns frmställningen nöjer vi oss med tt studer linjer i plnet Linjer i rummet kn studers med smm metodik RÄT LINJE I PLANET En rät linje i plnet R genom punkten (x, y ), prllell med vektorn eskrivs v ekvtionern eller på vektorform x y x x + t y y + t x y, + t Tlet t genomlöper ll reell tl och klls prmeter Vektorn klls riktningsvektor En rät linje är entydigt estämd om vi vet tt den går genom två olik fix punkter (x, y ) och (x, y ) Vi kn estämm linjens ekvtioner genom tt låt t ex x x y y vr en riktningsvektor och som punkten (x, y ) välj (x, y ) eller (x, y ) Klick på Figur
ÖVNING 5 Bestäm ekvtionern på vektorform för den rät linje i plnet som går genom punktern (, ) och (, ) Avgör sedn om punkten (5, ) ligger på linjen eller inte Vi sk nu studer generellt när en punkt (x, y) i plnet ligger på linjen genom (x, y ) och som är prllell med vektorn Villkoret är tt det finns ett tl t så tt som vi också kn skriv x t y + t x x y y Dett är ett ekvtionssystem med en oeknt t och två ekvtioner Oserver tt här är inte r (x, y ) en fix punkt i plnet utn också (x, y) Vi löser ekvtionssystemet med Guss elimintion Vi studerr här endst fllet då Multiplicer den ndr ekvtionen med och den först ekvtionen temporärt med och dder den först ekvtionen till den ndr Då får vi systemet t x y x x x + y (x + y ) Den ndr ekvtionen t x + y (x + y ) hr lösningr om och endst om x + y (x + y ) Dett är ett nödvändigt villkor för tt (x, y) sk kunn ligg på linjen Den först ekvtionen hr lltid lösningen t x x så det fullständig villkoret för tt en punkt (x, y) ligger på linjen är lltså x + y (x + y ) eller x y + (x + y ) Dett är linjens ekvtion på prmeterfri form
EXEMPEL 4 Linjen genom punkten (, ) och riktningsvektorn hr ekvtionen x y + C på prmeterfri form Vi etecknr den konstnt termen x + y med C Konstnten C estäms ur villkoret tt punkten (, ) ligger på linjen Dett ger + C C 3 och linjens ekvtion lir x y + 3 eller x + y 3 ÖVNING 6 Bestäm den rät linjen x y på prmeterform PLAN I RUMMET Ett pln i rummet R 3 genom punkten (x, y, z ), prllell med vektorern eskrivs v ekvtionern eller på vektorform x y z c och c, x x + t + s y y + t + s z z + c t + c s x y z + t c + s Tlet t och s genomlöper ll reell tl och klls prmetrr Vektorern och, c c klls riktningsvektorer c På smm sätt som för rät linjen i R kn mn estämm villkoret för tt en punkt (x, y, z) sk ligg i ett pln givet på prmeterform Villkoret lir v typen Ax + By + Cz + D,
där A, B, C, D är konstnter Ax + By + Cz + D, it ÖVNING 7 Ge ekvtionen för plnet nedn på formen Ax + By + Cz + D genom tt etrkt x y t + s z som ett ekvtionssystem i t och s och estämm villkoren på x, y, z för tt ekvtionssystemet sk h lösningr ÖVNING 8 Ge ekvtionen på prmeterform för plnet x y + 3z SKALÄRPRODUKT, AVSTÅND OCH ORTOGONALITET Ett viktigt prolem i mtemtiken och nturvetenskpen är tt eräkn vståndet från en punkt till en rät linje eller ett pln i rummet Avståndet är den kortste sträckn från punkten till linjen eller plnet Från den klssisk geometrin känner vi till tt den kortste sträckn från en punkt till en linje eller ett pln är normlen från punkten till linjen eller plnet En linje är norml till en linje eller pln om den är ortogonl (vinkelrät) mot linjen eller plnet Vi nöjer oss i dett vsnitt med tt etrkt vståndsprolemet i R Vi sk först härled ett viktigt villkor för tt två vektorer u (x, x ) och v (y, y ) i R sk vr ortogonl Vi ehöver då uttrycket för längden u, v, u v v u (x, x ), v (y, y ) respektive u v (x y, x y ) Den klssisk Pythgors sts ger u x + x, v y + y, u v Vektorern u, v och u v ildr hörn i en tringel (x y ) + (x y ) Figur
Enligt de klssisk stsern v Euklides gäller tt en tringel är rätvinklig om och endst om Pythgors sts gäller Vektorern u och v är lltså ortogonl om och endst om Dett villkor kn vi förenkl till Uttrycket u + v u v (x + x ) + (y + y ) (x y ) + (x y ) x y + x y x y + x y klls sklärprodukten v vektorern u och v och eteckns oft u v Två vektorer u (x, x ) och v (y, y ) är lltså ortogonl om och endst om u v x y + x y EXEMPEL 5 Linjen x y i EXEMPEL 4 är prllell med linjen x y eftersom åd linjern hr smm riktningsvektor Dett följer v tt den först linjen är x + t y och den ndr linjen är på prmeterform x y Ekvtionen x y kn vi tolk som tt sklärprodukten melln vektorern x och y är noll, vektorn t är ortogonl mot vrje vektor på linjen Vektorn
är lltså norml till plnet x y smt till plnet x y Generellt gäller tt vektorn är norml till linjen A B Ax + By + C ÖVNING 9 Beräkn vståndet från punkten (, 3) till linjen x y