Föreläsning 7 Kap 6.1-6.7 732G71 aisik B
Muliplikaiv modell i Miniab Time eries Decomposiion for Försäljning Muliplicaive Model Accurac Measures Från föreläsning 6 Daa Försäljning Lengh 36 NMissing 0 MAPE 1.8649 MAD 8.1232 MD 87.5051 Fied Trend Equaion Y = 382 + 9.49* easonal Indices Vid handräkning: r 3863 9. 489 Period Index 1 0.49327 2 0.59561 3 0.59544 4 0.67995 5 0.56426 6 8554 7 1.46700 8 1.69288 9 1.99001 10 1.30723 11 1.02876 12 0.60005 Vid handräkning: Månad sn 0.493 Feb 0.596 Mar 0.595 Apr 0.680 Maj 0.564 Jun 86 Jul 1.467 Aug 1.693 ep 1.99 Ok 1.307 Nov 1.029 Dec 0.6 2
Mean square deviaion, MD Klassisk komponenuppdelning Från föreläsning 6 MD 1 n n ˆ 1 2 MD är e må på anpassning som kan jämföras mellan olika modeller. orleksmässig kan MD jämföras med ME från idsserieregression: är skillnaden markan kan vi också se vilken av modellerna som får bäs anpassning (den som har lägs MD eller ME). 3
Mean absolue deviaion, MAD Klassisk komponenuppdelning MAD 1 n n 1 ˆ Haen hade falli bor när pdf-filen skapades! MAD mäer anpassning såsom MD men skillnaden är a vi här ar absoluavvikelser isälle för kvadraiska avvikelser. De blir allså sor skillnad på värdena mellan MAD och MD och de skall ine jämföras inom en modell. MAD är mindre känslig för avvikande värden och blir mer användbar när vi har någo ensaka värde som uppräder konsig. Yerligare en fördel med MAD är a dess värde är i samma skala som -observaionerna själva, vilke i vissa sammanhang kan vara prakisk. Vid jämförelser gäller a ju lägre MAD deso bäre modell. Från föreläsning 6 4
Från föreläsning 6 Mean absolue percenage error, MAPE Klassisk komponenuppdelning MAPE 1 n n 1 ˆ MAPE går också på absolua avvikelser, men mäer dem relaiv nivån hos. Vi får allså relaiva (procenuella) avvikelser isälle för absolua avvikelser. Måe är prakisk för muliplikaiva modeller där den oregelbundna komponenen (IR ) är ganska bedande, efersom avvikelserna då blir sora när vi har sora värden på och vice versa. Gemensam för alla re måen är a de skall vara så små som möjlig. Vid val mellan ex addiiv modell och muliplikaiv modell kan de hända a någo av måen är högre för den ena modellen medan e anna må är lägre. De gäller allså a olka måen med viss förnuf. 5
Prognosmodeller Vi har hiills sudera idsserieregression och klassisk komponenuppdelning och hur prognoser kan göras med sådana. Dessa modeller hjälper också ill a förklara de hisoriska skeende. Inom idsserieanals är dock prognosicering i allmänhe de vikigase skäle a bgga en modell och beskrivning av hisoriken av mindre inresse. Vi suderar nu en klass av modeller hel inrikade mo prognosicering, och de lämpar sig i snnerhe för idsserier där rend- och säsongskomponenen förändrar sig över iden: exponeniella ujämningsmeoder. Idé: observaionerna vikas med hjälp av ujämningskonsaner, och de normala förfarande är a senare observaioner vikas ngre än äldre, så a de får mer påverkan i prognoserna. Vi ska sudera enkel exponeniell ujämning: för daa uan säsongsvariaion eller rend men där medelvärde kan förändras över iden dubbel exponeniell ujämning (Hols meod): för daa uan säsongsvariaion men med rend Winers meod (addiiv och muliplikaiv) som föruom rend även hanerar säsongsvariaion 6
Enkel exponeniell ujämning För daa som varken innehåller rend- eller säsongskomponen. - Teoreisk modell: där är genomsnisnivå och slumpkomponen vid idpunk. Genomsnisnivån illås a långsam förändras för de observerade daa, men ine enlig en radiionell rendsrukur. Isälle försöker man jämna u serien och eliminera den slumpmässiga variaionen, genom a låa äldre och nare värden spela olika sor roll. Dea görs genom prognosmodellen: - Prognosmodell: där ( 1) 1 0 1 ˆ är uppdaeringsschema (kallas också rekursionsformel) med som ujämningskonsan är anal idpunker framå som vi prognosicerar för. 7
Enkel exponeniell ujämning - Hur ska vi välja? - Hur sarar vi rekursionsformeln (hur väljs 0 )? => väljs genom rial-and-error, olika värden esas och modellvalskrierier (MAPE, MAD, MD) jämförs => 0 = -1 för idpunk 1 väljs enlig (vi har flera alernaiv) Om daa innehåller många observaioner: Använd 10-50% av de hisoriska värdena och beräkna e medelvärde av dessa. Dea medelvärde blir de värde vi säer 0 ill. Lå 1 vara endera den försa observaionen i de reserande daamaeriale och börja ujämningen från denna eller den försa observaionen i hela daamaeriale och börja ujämningen från denna. Om daa innehåller få observaioner: Använd samliga hisoriska daa och beräkna e medelvärde av dessa. Dea medelvärde blir också de värde vi säer 0 ill. Lå 1 vara den försa observaionen i hela daamaeriale och börja ujämningen från denna. 8
Exempel Year ales values Försäljning av dagligvaror i en viss region i UA åren 1985-2000. Prognosicera försäljningen 2001-2004! amma daa med annan skala på -axeln! 1985 151 1986 151 1987 147 1988 149 1989 146 1990 142 1991 143 1992 145 1993 141 1994 143 1995 145 1996 138 1997 147 1998 151 1999 148 2000 148 (million $) 9
10 146.043 145.826 148 145.826 145.584 148 145.584 144.982 151 144.982 144.758 147 144.758 145.509 138 145.509 145.566 145 145.566 145.851 143 145.851 146.390 141 146.390 146.544 145 146.544 146.938 143 146.938 147.487 142 147.487 147.652 146 147.652 147.502 149 147.502 147.5575 147 147.558 147.175 151 147.175 146.75 151 15 16 16 14 15 15 13 14 14 12 13 13 11 12 12 10 11 11 9 10 10 8 9 9 7 8 8 6 7 7 5 6 6 4 5 5 3 4 4 2 3 3 1 2 2 0 1 1
Year ales val. Ujämna Prognos Prognosfel Forecass 1985 1 151 147.175 * * * 1986 2 151 147.558 147.175 3.82500 * 1987 3 147 147.502 147.558-0.55800 * 1988 4 149 147.652 147.502 1.49825 * 1989 5 146 147.486 147.652-1.65158 * 1990 6 142 146.938 147.486-5.48642 * 1991 7 143 146.544 146.938-3.93778 * 1992 8 145 146.390 146.544-1.54400 * 1993 9 141 145.851 146.390-5.38960 * 1994 10 143 145.566 145.851-2.85064 * 1995 11 145 145.509 145.566-0.56557 * 1996 12 138 144.758 145.509-7.50902 * 1997 13 147 144.982 144.758 2.24188 * 1998 14 151 145.584 144.982 6.01770 * 1999 15 148 145.826 145.584 2.41593 * 2000 16 148 146.043 145.826 2.17433 * 2001 17 ˆ 146.043 2002 18 ˆ 146.043 2003 19 ˆ 146.043 2004 20 ˆ 146.043 17 18 19 20 Prognoser - Punkskaning: ˆ där är anale idpunker framå - Prognosinervall: där s z s 1 n 1 n 2 1 i1 2 11
Enkel exponeniell ujämning i Miniab ingle Exponenial moohing for ales value Daa ales value Lengh 16 moohing Consan Alpha Accurac Measures MAPE 2.2378 MAD 3.2447 MD 14.4781 Forecass Period Forecas Lower Upper 17 146.043 138.094 153.992 18 146.043 138.094 153.992 19 146.043 138.094 153.992 20 146.043 138.094 153.992 12
Enkel exponeniell ujämning i Miniab ingle Exponenial moohing for ales value Daa Lengh 16 ales value moohing Consan Alpha 0.567101 Undersök vid anpassning allid a 0<<1, om ej så är modellen felakig vald! Avsevär lägre! Miniab har hjälp oss a hia en bäre modell Accurac Measures MAPE 1.7914 MAD 2.5940 MD 12.1632 Forecass Period Forecas Lower Upper 17 148.013 141.658 154.369 18 148.013 141.658 154.369 19 148.013 141.658 154.369 20 148.013 141.658 154.369 13
Dubbel exponeniell ujämning (Hols meod) För daa med rend men uan säsongskomponen. - Prognosmodell: där h är anale idpunker framå prognosen avser. Rekursionsformlerna ges av - För nivån: - För renden: ˆ T h ht T 0 1 ( 1) 1 [ 1 1 1] (1 ) T 0 1 0 och T 0 finnes genom a ansäa en enkel linjär regressionsmodell b 0 b1 ill daa (mängden daa kan vara från en frakion ill alla) och säa T0 b1 0 b 0 och väljes genom rial-and-error och jämförelse av modellvalsmå 14
Exempel Toalkvävehalen i Råån under juli månad 1987-2001. Prognosicera oalkvävehalen i juli 2002! Toalkvävehal År (g/l) 1987 11321 1988 3686 1989 2998 1990 3942 1991 7011 1992 2321 1993 3495 1994 3112 1995 4187 1996 4995 1997 2045 1998 4768 1999 2132 2000 4678 2001 1987 15
Dubbel exponeniell ujämning i Miniab Double Exponenial moohing for Toalkväve Daa Toalkväve Lengh 15 moohing Consans Alpha (level) 0.2 Gamma (rend) 0.2 Accurac Measures MAPE 49 MAD 1936 MD 5428508 Forecass Period Forecas Lower Upper 16 2406.28-2337.59 7156 16
Dubbel exponeniell ujämning i Miniab Double Exponenial moohing for ales value Daa Lengh 16 ales value moohing Consans Alpha (level) 0.21763 Gamma (rend) 1.12480 Accurac Measures MAPE 1.8209 MAD 2.6536 MD 1602 Forecass Period Forecas Lower Upper 17 152.459 145.958 158.961 18 154.460 143.659 165.261 19 156.461 141.200 171.721 20 158.461 138.688 178.234 17
(Hol-) Winers meoder Addiiv och muliplikaiv En uveckling av Hols meod, som går under namne Hol-Winers meod, ofas bara Winers meod, innehåller för varje idpunk uppdaering av re komponener: rendnivå rendökningsak säsongsfakorer Vi har vå meoder a välja på: Winers addiiva meod Winers muliplikaiva meod Vale mellan dessa meoder sker på samma sä som vid klassisk komponenuppdelning, allså främs basera på om säsongskomponenen kan bedömas vara muliplikaiv (slår mer vid höga nivåer på ) eller addiiv. 18
Winers muliplikaiva meod För daa med både rend och säsongsvariaion. - Prognosmodell där s beecknar anale säsonger och h är anale perioder framå vi vill prognosicera för Rekursionsformler: ˆ h ht Ish - För nivå - För rend - För säsong T I I 1 T 0 1 / s 1 1 T 0 1 1 1 1 / 1 I 0 1 s 19
Winers addiiva meod För daa med både rend och säsongsvariaion. - Prognosmodell där s beecknar anale säsonger och h är anale perioder framå vi vill prognosicera för Rekursionsformler ˆ h ht Ish - För nivå - För rend - För säsong T I I T 0 1 s 1 1 1 T 0 1 1 1 1 1 I 0 1 s 20
sales Exempel ear quarer sales 1991 1 124 1991 2 157 1991 3 163 Kvaralsvis försäljning av en viss vara 1991 4 126 1992 1 119 200 190 180 170 160 150 Time eries Plo of sales 1992 2 163 1992 3 176 1992 4 127 1993 1 126 1993 2 160 1993 3 181 1993 4 121 1994 1 131 140 1994 2 168 130 1994 3 189 120 1994 4 134 110 Quarer Q1 Year 1991 Q3 Q1 1992 Q3 Q1 1993 Q3 Q1 1994 Q3 Q1 1995 Q3 1995 1 133 1995 2 167 1995 3 195 1995 4 131 21
Winers muliplikaiva meod i Miniab Winers' Mehod for sales Muliplicaive Mehod Daa Lengh 20 sales moohing Consans Alpha (level) 0.2 Gamma (rend) 0.2 Dela (seasonal) 0.2 Accurac Measures MAPE 2.6446 MAD 3.8808 MD 23.7076 Forecass Period Forecas Lower Upper 21 135.625 126.117 145.133 22 174.430 164.773 184.087 22
Winers addiiva meod i Miniab Winers' Mehod for sales Addiive Mehod Daa Lengh 20 sales moohing Consans Alpha (level) 0.2 Gamma (rend) 0.2 Dela (seasonal) 0.2 Accurac Measures MAPE 2.9296 MAD 4.2836 MD 27.1561 Forecass Period Forecas Lower Upper 21 137.930 127.435 148.425 22 174.225 163.566 184.884 23
Number.of.cars Exempel 40000 Nregisrerade bilar 1975-1998 35000 30000 25000 20000 15000 10000 Monh Year 1975 1978 1981 1984 1987 1990 1993 1996 24
Number.of.cars Number.of.cars Winers' Mehod Plo for Number.of.cars Muliplicaive Mehod 40000 35000 30000 25000 Variable Acual Fis Forecass 95.0% PI moohing Consans Alpha (level) 0.2 Gamma (rend) 0.2 Dela (seasonal) 0.2 Muliplikaiv modell 20000 15000 Accurac Measures MAPE 11 MAD 1977 MD 6454254 10000 5000 Monh Year 1975 1978 1981 1984 1987 1990 1993 1996 Winers' Mehod Plo for Number.of.cars Addiive Mehod 40000 30000 20000 10000 Variable Acual Fis Forecass 95.0% PI moohing Consans Alpha (level) 0.2 Gamma (rend) 0.2 Dela (seasonal) 0.2 Accurac Measures MAPE 12 MAD 2024 MD 6928171 Addiiv modell Monh Year 0 1975 1978 1981 1984 1987 1990 1993 1996 25
Number.of.cars Med användande av Miniabs komponenuppdelning, muliplikaiv meod: 40000 35000 30000 25000 Time eries Decomposiion Plo for Number.of.cars Muliplicaive Model Variable Acual Fis Trend Forecass Accurac Measures MAPE 24 MAD 4381 MD 26602701 20000 15000 10000 Monh Year 1975 1978 1981 1984 1987 1990 1993 1996 Componen Analsis for Number.of.cars Muliplicaive Model Original Daa 2.0 Derended Daa 30000 20000 10000 1.5 1.0 0.5 Monh Year 1975 1982 1989 1996 Monh Year 1975 1982 1989 1996 easonall Adjused Daa eas. Adj. and Der. Daa 30000 10000 20000 0 10000 Monh Year 1975 1982 1989 1996-10000 Monh Year 1975 1982 1989 1996 26