Ain Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR Guss divegenssts GAUSS IVERGESSATS Låt v ett vektofält definied i ett öppet oåde Ω Låt Ω v ett kopkt oåde ed nden so bestå v en elle fle to lödet v vektofält ut u koppen geno tn kn beäkns ed hjälp v GAUSS foel dä div å flödet ote tt ä ett - vektofält i och på nden Med nd od: Vi få nvänd GAUSS foel endst o och deivto ä kontinuelig i och på nden Uppgift Beäkn flödet v div ddd i j k ut u koppen so definies v : [ ] [ ] dd [ ] [ ] d divdv ddd d dd Sv: Uppgift Beäkn flödet v 5 i j k ut u koppen 4 5 v
Ain Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR Guss divegenssts divdv ddd Volen 4 8 Sv: 8 Uppgift Beäkn flödet v i j 5k ut u klotet 4 58 divdv 4 56 8ddd 8 Volen 8 4 Anäkning : Volen v klotet ed dien R ä lik ed V R Anäkning : O n inte kn foeln fö klotets vol då kn n nvänd sfäisk koodinte och beäkn diekt : 8 divdv dϕ sinθdθ 8ddd d 8 8 8 dϕ dθ 56 sinθd 56 Sv: Uppgift 4 Beäkn flödet v i j k ut u clinden 4 dv div ddd v
Ain Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR Guss divegenssts clindisk koodinte dϕ d cosϕ d cosϕdϕ dd Uppgift 5 Beäkn flödet v i j k ut u hlvsfäen 9 dv div ddd dϕ dϕ / / dθ cosθ sinθ cosθ dθ sinθ d sin θ / 8 8 d [ ] 4 Uppgift 6 Vi betkt clinden 9 ä Beäkn flödet v fältet 5 4 ut u clindens nteltn et ä enkle i den hä uppgiften tt beäkn flödet geno botten- och toppentn än flödet geno nteltn et ä också enkelt tt beäkn flödet geno hel tn ed hjälp v Gussstsen Anäkning: Guss sts gälle endst fö slutn to! äfö bestäe vi föst : flödet ut u clinden geno hel begänsningst tn flödet geno toppent ut u clinde s so flödet uppåt flödet geno bottent s so flödet nedåt v
Ain Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR Guss divegenssts och däefte flödet geno ntelt i öst beäkn vi flödet u den hel begänsningstn nteltn bsto ed hjälp v Guss sts div 549 lödet ut clinden geno hel begänsningstn ä 9 9 9 6 ii Toppentn: äfö nolen pek uppåt 4 å ä 8 8 8 7 iii Bottentn: Ut u clinden på bottent betde nedåt dvs i iktningen v 4 å ä Slutligen flödet geno ntelt M 6 7 9 Sv: lödet geno ntelt ä 9 4 v
Ain Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR Guss divegenssts Uppgift 7 Beäkn totlt flöde v fältet 5 i 5j 5k ut u clinden b Beäkn flödet v fältet ut u clinden geno clindens b bottent b toppent b ntelt Totlt flöde utåt Vi nvände Guss divegenssts och beäkn totlt flöde ut u clinden: P Q R Efteso div 5 h vi div ddd 5ddd 5 Volen 5 6 9 totl S b Bottentn 5 v
Ain Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR Guss divegenssts Efteso ut u clinde betde neåt på bottentn nvände vi nolen ed negtiv - koodint 55 5 botten o 5 5 botten b Toppentn 5dd 5Ae 5 : o top 555 5 top 5dd 5Ae 5 b Mnteltn Efteso h vi totl top boten ntel ntel totl top boten Sv: ntel 6 6 6 v
Ain Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR Guss divegenssts O vi vill nvänd Guss divegenssts fö t beäkn flödet v ett vektofält P Q R ut u en kopp åste vi kontolle tt ä C -vektofält i och på dvs tt P Q R ä kontinuelig och h kontinuelig ptiell deivto v föst odningen i och på O inte ä C -vektofält få vi inte nvänd Guss divegensstsen Uppgift 8 Vi betkt flödet v / / / ut u följnde kopp { : 4 } ett klot b { : } ett klot c { : } en ellipsoid 9 6 5 i Vis tt div fö ll ii å vi nvänd Guss divegenssts nä vi beäkn flödet ut u klotet? iii å vi nvänd Guss divegenssts nä vi beäkn flödet ut u klotet? iv Beäkn flödet ut u klotet v Beäkn flödet ut u klotet vi Beäkn flödet ut u ellipsoiden Lösning i öst beäkn vi ptiell deivto P 5/ 5 / Q och R 5 / Häv få vi divegensen div ii J efteso funktione P Q R och des deivto ä kontinuelig i och på nden iii ältet h en singuläpunkt i so ligge i äed få vi ITE nvänd Guss sts nä vi beäkn flödet ut u klotet iv 7 v
Ain Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR Guss divegenssts 8 v v So sgt i iii få vi inte nvänd Guss divegenssts Vi beäkn flöde ut u klotet diekt ed hjälp v flödesinteglen Vi del sfäen ndtn i två del A Öve hlvsfäen I öve delen ä iktning ut u klotet ekvivlent ed nolen iktd uppåt B ede hlvsfäen I nede delen v sfäen ä iktning ut u klotet ekvivlent ed nolen iktd nedåt A öst beäkn vi flödet uppåt geno den öve sfäen: Vi substitue i och få vektofältet på själv tn / / / olen på öve hlvsfäen : äfö: lödet uppåt geno öve hlvsfäen ä dd dd ä pojektionen v hlvklotet på plnet dvs cikeln Vi nvände polä koodinte
Ain Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR Guss divegenssts dd dθ d Anäkning: d beäkns ed hjälp v subst: t d dt Alltså flödet uppåt geno öve hlvsfäen ä B På s sätt beäkn vi flödet nedåt geno nede hlvsfäen olen iktd nedåt -negtivt ä Vektofältet på nede tn ä / / / s so i A ä pojektionen v nede hlvklotet på plnet dvs cikeln ; s cikel so i A delen äfö dd dd Totlt flödet ut u koppen ä 4 Sv v: 4 vi Låt v det oåde so ligge elln ellipsoiden och sfäen Efteso div h vi tt flödet u ut koppen ä 4 enligt v-delen Sv vi: 4 Anäkning: Mn nvände oft beteckningen och / i sbnd ed vektofält Med en sådn beteckning kn vektofältet i ovnstående uppgiften kote nges ed elle 9 v
Ain Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR Guss divegenssts v Uppgift 9 Låt beteckn Bestä flödet v ut u klotet } : { Vi få inte nvänd Guss divegenssts efteso fältet ä inte definied i so ligge i klotet Vi del sfäen i öve och nede delen och so i föegående uppgift beäkn flödet diekt: A delen: / / / På öve hlvsfäen h vi och och äfö dd dd B delen: På liknnde sätt på den nede tn få vi Häv dd dd och däed 4 Sv: 4