SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr nu en Lplcetrnsform för h(t) enligt H(s) L[h(t)] h(t)e iωt. h(t)e st där s kn nt ll komplex värden. När s iω så ser vi tt Lplcetrnsformen smmnfller med Fouriertrnsformen. Lplcetrnsformen är lltså generellre än Fouriertrnsformen. För viss s kn det händ tt integrlen ovn inte konvergerr, så vi definierr konvergensområdet till en Lplcetrnsformerd funktion H(s) som de värden på s σ + iω där H(s) är ändlig, dvs för de s-värden där integrlen konvergerr. Exempel. Beräkn Lplcetrnsformen till Dircpulsen δ(t) och bestäm trnsformens konvergensområde. Lösning. δ(t). δ(t)e st δ(t) δ(t)e s Integrlen konvergerr för ll s, så konvergensområdet är hel plnet. Exempel 2. Beräkn Lplcetrnsformen till Hevisidefunktionen u(t) om t, om t < och bestäm trnsformens konvergensområde. Typeset by AMS-TEX
Lösning. u(t) [ e st s u(t)e st ] om Re s >, s odefiniert om Re s. e st Integrlen blir odefinierd eftersom uttrycket e st går mot då t går mot om Re s <. Om s så delr vi med noll, också otillåtet. Så konvergensområdet blir Re s >. Exempel 3. Beräkn Lplcetrnsformen till x(t) e t u(t) där är reelt och bestäm trnsformens konvergensområde. Lösning. Vi hr e t u(t) e t u(t)e st [ ] e (s+)t (s + ) om Re{s + } >, s + odefiniert om Re{s + }. e (s+)t Integrlen blir odefinierd eftersom uttrycket e (s+)t går mot då t går mot om Re{s + }. Så konvergensområdet blir Re{s} >. Exempel O.W. 9..e. Beräkn Lplcetrnsformen till x(t) e 5t och bestäm trnsformens konvergensområde. Lösning. e 5t e st + x(t) X(s) e 5t e st. e 5t e st Den först integrlen konvergerr om Re{s} < 5, den ndr om Re{s} > 5, till respektive s 5 och s+5. Konvergensområdet för summn s+5 + s 5 s 2 25 blir 5 < Re{s} < 5. O.W. 9.2. () Bestäm Lplcetrnsformen till x(t) e 5t u(t ). (b) Bestäm A och t så tt g(t) Ae 5t u( t t ) hr smm Lplcetrnsform som x(t). 2
Lösning. () x(t) e 5t u(t )e st e (s+5)t ] [ e (s+5)t (s + 5) om Re{s + 5} ; e (s+5) s + 5 om Re{s + 5} >. (b) g(t) A Ae 5t u( t t )e st t e (s+5)t ] t [ e (s+5)t A (s + 5) om Re{s + 5} ; A e(s+5)t s + 5 om Re{s + 5} <, dett ger tt A och t. Det finns lltså två funktioner med smm Lplcetrnsform, de skiljer sig åt på konvergensområdet. O.W. 9.3. Låt x(t) e 5t u(t)+e βt u(t), och låt X(s) vr Lplcetrnsformen till x(t). Om konvergensområdet till X(s) uppfyller Re{s} > 3, vd måste då gäll för β? Absolutintegrbl funtktioner. En funktion x(t) klls bsolutintegrbel om x(t) <. En bsolutintegrbel funktion hr Re{s} i sitt konvergensområde, ty H(iω) när s iω, dvs Re{s}. h(t)e iωt h(t) e iωt h(t) < Funktioner med ändligt definitionsområde. En funktion x(t) sägs h ändligt definitionsområde om x(t) för t utnför ett intervll [, b] fön någr, b. 3
En bsolutintegrbel funktion x(t) med ändligt definitionsområde hr hel plnet i sitt konvergensområde: x(t) X(s) dvs integrlen konvergerr lltid. x(t)e st x(t) e st mx{ e s, e sb } x(t)e st x(t) < Höger- och vänstersidig funktion. En funktion x(t) sägs vr högersidig om x(t) för t < T, och vänstersidig om x(t) för t > T, för någr T och T. En högersidig funktion med Re{s} σ i konvergensområdet hr Re{s} > σ i konvergensområdet. En vänstersidig funktion med Re{s} σ i konvergensområdet hr Re{s} < σ i konvergensområdet. Det vill säg, en högersidig funktion hr konvergensområde ett höger hlvpln, en vänstersidig ett vänster hlvpln. Vrje funktion x(t) kn skriv som en summ v en högersidig funktion x H (t) och en vänstersidig funktion x V (t); dett kn underlätt Lplcetrnsformering. Lplcetrnsformen v x(t) konvergerr där Lplcetrnsformen v både x H (t) och x V (t) konvergerr. En funktion med ändligt definitionsområde är både vänstersidig och högersidig. O.W. 9.6. Antg tt x(t) är bsolutintegrbel med en pol för Lplcetrnsformen vid s 2. () Kn x(t) h ändlig utsträckning? (b) Kn x(t) vr vänstersidig? (c) Kn x(t) vr högersidig? (d) Kn x(t) vr dubbelsidig? Lösning. () Vi vet tt X(s) hr en pol vid s, dvs X(2) x(t)e 2t. Men om x(t) då t ligger utnför [, b], så måste och x(t)e 2t x(t)e 2t < e 2b x(t) < e 2b x(t). Alltså måste x(t) och x(t), så då är inte x(t) bsolutintegrbel. Alltså kn inte x(t) h ändlig utsträckning. Svr: nej. är en sådn. (c) Nej, för x(t) är bsolutintegrbel, så då är imginärxeln med i konvergensområdet, och då skll llt höger om denn också vr i konvergensområdet: men då kn det inte finns en pol i s 2. (d) J, för en vänstersidig funktion kn ses som en dubbelsidig som råkr vr noll åt höger. (b) J, e 2t u( t) s 2 4
Poler och nollställen för rtionell funktioner. En funktion X(s) är rtionell om den kn skrivs som en kvot X(s) N(s) D(s) där N(s) och D(s) är polynom. Nollställen till N(s) klls nollställen till X(s), och nollställen till D(s) klls poler till X(s) (det är där X(s) går mot oändligheten). Om X(s) går mot noll då s går mot oändligheten, så sägs X(s) h ett nollställe vid oändligheten, om X(s) går mot oändligheten då s går mot oändligheten, så sägs X(s) h en pol vid oändligheten. En rtionell funktion hr ing poler i sitt konvergensområde. O.W. 9.5. Bestäm ntlet noller för ändlig s, och ntlet nollor vid oändligheten. () s+ + s+3 (b) s+ (c) s 2 s 3 s 2 +s+. Lösning. () s+ + s+3 2s+4 (s+)(s+3) som är noll då s 2, och går mot noll då s går mot oändligheten. (b) s+ s 2 s+ (s+)(s ) s som inte är noll för någr ändlig s, då s går mot oändligheten går uttrycket dock mot noll. (c) s 3 s 2 +s+ (s )(s2 +s+) s 2 +s+ s, noll vid s, ingen noll vid oändligheten. Lineritet. Om x (t) hr Lplcetrnsform X (s) med konvergensområde R och x 2 (t) hr Lplcetrnsform X 2 (s) med konvergensområde R 2, så är x (t) + bx 2 (t) X (s) + bx 2 (s) med ett konvergensområde som innehåller R R 2. Bevis. x (t) + bx 2 (t) (x (t) + bx 2 (t))e st x (t)e st + b x 2 (t)e st X (s) + bx 2 (s), där den först integrlen konvergerr i R och den ndr i R 2, så summn konvergerr åtminstone i R R 2. Tidsskift. Om x(t) hr Lplcetrnsform X(s) med konvergensområde R, så är x(t t ) e st X(s) med konvergensområde R. 5
Bevis. x(t t ) x(t t )e st e st x(t )e s(t +t ) e st X(s), x(t )e st där integrlen konvergerr för smm s som för X(s), dvs R. Tidssklning. Om x(t) hr Lplcetrnsform X(s) med konvergensområde R, så är x(t) X( s ) med konvergensområde R. Bevis. x(t) x(t)e st x(t)e s (t) X( s ), x(t )e s t med vribelbytet t t. Integrlen konvergerr för s så tt s R, dvs s R. Inverstrnsform. Antg tt x(t) hr Lplcetrnsform X(s) med k.o. R, och tt Res σ ligger i R. Vi hr tt X(σ + iω) x(t)e σ t e iωt F [ x(t)e σ t ] dvs x(t)e σt hr Fouriertrnsform X(σ + iω). Vi kn nu nvänd inversfouriertrnsformen till tt få x(t)e σ t F [X(σ + iω)] 2πi och multiplicerr vi på bägge sidor med e σ t så får vi dvs x(t) 2πi X(σ + iω)e σ t e iωt dω x(t) σ +i X(s)e st ds. 2πi sσ i X(σ + iω)e iωt dω Dett sist är således Inverstrnsformen till lplcetrnsformen. 6
Differentiering. Om x(t) hr lplcetrnsform X(s) med konvergensområde R, så är dx(t) sx(s) med ett konvergensområde som innehåller R. Bevis. Med hjälp v inverstrnsformen får vi tt dx(t) d 2πi 2πi 2πi 2πi σ +i sσ i σ +i sσ i σ +i sσ i σ +i sσ i X(s)e st ds X(s) d est ds X(s)se st ds (sx(s))e st ds och dett sist är inverstrnsformen v en funktion som hr sx(s) som lplcetrnsform, dvs dx(t) sx(s). Fltning. Om x (t) hr lplcetrnsform X (s) med konvergensområde R och x 2 (t) hr lplcetrnsform X 2 (s) med konvergensområde R 2, så är x (t) x 2 (t) x (τ)x 2 (t τ)dτ X (s) X 2 (s) med ett konvergensområde som innehåller R R 2. Integrtion. Om x(t) hr lplcetrnsform X(s) med konvergensområde R, så är t x(τ)dτ s X(s) med ett konvergensområde som innehåller R. Bevis. Dett följer v tt u(t) s x(t) X(s) t x(τ)dτ enligt fltningsregeln ovn. x(τ)u(t τ)dτ x(t) u(t) s X(s) 7
Ytterligre övningr. O.W. 9.4. O.W. 9.7. O.W. 9.9. Vi vet tt e t u(t) s + Re{s} > Re{ }. Bestäm inverstrnsformen till Lösning. Vi hr tt X(s) 2(s + 2) s 2 ; Re{s} > 3. + 7s + 2 2(s + 2) s 2 + 7s + 2 2(s + 2) (s + 3)(s + 4) A s + 4 + B s + 3 där A(s + 4) + B(s + 3) 2s + 4 dvs A 2 och B 4. Så X(s) 2 s + 3 + 4 s + 4. Nu nänder vi lineritet och formeln ovn för tt ur få 2e 3t u(t) + 4e 4t u(t) e t u(t) ; Re{s} > Re{ } s + e 3t u(t) ; Re{s} > 3 s + 3 2e 3t u(t) 2 ; Re{s} > 3 s + 3 e 4t u(t) ; Re{s} > 4. s + 4 4e 4t u(t) 4 ; Re{s} > 4. s + 4 2 s + 3 + 4 ; Re{s} > 3 och Re{s} > 4 s + 4 så konvergensområdet blir Re{s} > 3 och ursprungsfunktionen blir 2e 3t u(t) + 4e 4t u(t). O.W. 9.3. Låt och g(t) x(t) + αx( t) x(t) βe t u(t) 8
och nt tt lplcetrnsformen v g(t) är Bestäm α och β. Lösning. dvs X(s) β s+ G(s) x(t) X(s) s s 2 ; < Re{s} <. β β s + x(t)e st βe t u(t)e st e (s+)t om Re{s + } > fö r Re{s} >. Ur tidssklning får vi tt x( t) x(( )t) X( s ) X( s) β s + β s, med konvergensområde ( ) (Re{s} >, dvs Re{s} <. Nu är g(t) x(t) + αx( t) så lplcetrnsformerr vi dett får vi G(s) L[x(t)] + αl[x( t)] X(s) + αx( s) β ( s + + α β ) s β(s ) αβ(s + ) (s )(s + ) med konvergensområde snittet v konvergensområden till summndern, dvs < Re{s} <. Dett är lik med G(s) om β(s ) αβ(s+) s så tt α och β 2. s s 2 s (s )(s+) O.W. 9.5. Betrkt de två kopplde högersidig signlern dx(t) 2y(t) + δ(t) dy(t) 2x(t). Bestäm X(s) och Y (s) smt konvergensområden. Lösning. Vi lplcetrnsformerr och nvänder deriveringsregeln till tt få [ ] dx(t) L L [ 2y(t)] + L [δ(t)] [ ] dy(t) L L [2x(t)]. 9
och sx(s) 2Y (s) + sy (s) 2X(s). Så X(s) s 2Y (s) och in i först ekvtionen ger och s 2 Y (s) 2Y (s) + 2 s 2 + 4 Y (s) 2 Y (s) 2 s 2 + 4 X(s) s 2 Y (s) s s 2 + 4 Både X(s) och Y (s) hr poler vid s 2i, s 2i, så konvergensområdet blir Re{s} > då funktionern vr högersidig. O.W. 9.6. O.W. 9.9. O.W. 9.2. KTH, S- 44 STOCKHOLM, Sweden E-mil ddress: fredrik@mth.kth.se