DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 1. Vilken typ av ekvation är detta: LÖSNINGAR γ y 1 G τ y Ange vad storheterna γ y, τ y, och G betyder och ange storheternas enhet (dimension) i SI-enheter. Ett materialsamband (Hookes lag). Här är γ y skjuvtöjning (skjuvning), som är dimensionslös (mäts i radianer), τ y (N/m 2 )är skjuvspänning och G är en materialparameter med enhet N/m 2. 2. En dragstång av linjärt elastiskt material, E-modulen E, har längden 2L och tvärarean 3A. Vad blir stångens förlängning δ om den belastas med en dragkraft? δ 2L E 3A 2 L 3 EA Kan fås ur δ 2L ε; εσ E och σ 3A 7
DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 3. Två konsolbalkar, AB (längd 2L, böjstyvhet ) och CD (längd L, böjstyvhet 2), är monterade så att balken CD stödjer balken AB i B. Balken 2 L, MD L, 2 AB belastas med kraften i B. Bestäm A B MA C D inspänningsmomenten i A och D på grund av lasten. Elementarfall: Konsolbalk w() L3 6 3 2 L 3 L, 2 L 3 z w() w(l) L3 w (L) L2 3 2 z L, w() M w() ML2 2 w(l) ML2 2 2 L 2 w (L) ML Vid övergången mellan B och C överförs lasten R. Knutarna B och C kommer att förskjutas sträckan δ B δ C ( R)(2L)3 3 varur R 16/17 löses. Inspänningsmomentet M A blir M A ( R)2L 2L/17, och inspänningsmomentet M D blir M D RL 16L/17. RL3 3 2 8
DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 4. Spänningstillståndet i en punkt i ett material ges av σ 100 Ma, σ y 100 Ma och τ y 100 Ma. Vad blir effektivspänningen? (Mohrs spänningscirkel kan vara ett bra hjälpmedel på vägen fram till effektivspänningen). (100, 100) (, y) 2 100 1 (Ma) (100, - 100) ( y, - y) Mohrs spänningscirkel (se figur) ger huvudspänningarna σ 1 200 Ma och σ 2 0 Ma (tredje huvudspänningen är också noll). Effektivspänningen enligt Tresca blir σ e σ hsp ma σ hsp min σ 1 0 200 Ma 9
DEL 2 - (roblemdel med hjälpmedel) (6) (5) /4 (4) L, E, A 2 L, E, A (1) (3) (2) L, E, A 5. Ett stångbärverk bär lasten enligt figur (fyra stänger med E-modul E, area A, längd L och två stänger med E, A och 2 L, vinklar π/4 respektive π/2). Bestäm samtliga stångkrafter i bärverket. S6 S5 S4 S3 S1 S 2 Snitta och för in snittkrafter S i i stängerna. OBS att stödreaktionerna vid väggen inte ritats ut (men de finns där ändå). Teckna kraftjämvikt för knutarna. Man får för knuten längst ut : S 1 2 0 som ger S 1 2 : S 2 + S 1 2 0 som ger S 2 För nedre knuten : : För övre knuten : : S 4 S 2 0 som ger S 4 S 3 0 S 1 2 + S 3 + S 5 2 0 som ger S 5 S 1 2 S 6 + S 5 2 S 1 2 0 som ger S 2 6 (Kraften S 6 kan även fås ur momentjämvikt med avseende på nedre vänstra knuten för hela bärverket: S 6 L 2L. å knutarna vid väggen verkar även stödreaktioner som kan bestämmas nu när stångkrafterna är kända. 10
DEL 2 - (roblemdel med hjälpmedel) 6. En konsolbalk ABC är 3L lång och belastas q (N/m) med en jämnt utbredd last q (N/m) längs den yttre delen BC, som är 2L. Balken har E-modul L 2 L, E och yttröghetsmoment I. Bestäm balkens A B C utböjning δ ( w(l)) och vinkel (snedställning) Θ ( w (L)) vid B. (Valfri metod, men elementarfall kan vara en god idé). Snitta i B och lägg in tvärkraft och moment M på delen AB i B. Konsolbalken AB belastas alltså med kraften q 2L (N) och momentet M q 2L 2 (Nm) i B. Kraften och momentet M ger förskjutningen δ L3 3 + ML2 q2l L3 + q2l 2 L 2 5 ql4 2 3 2 3 och vinkeln Θ L2 2 + ML q 2L L2 2 + q 2L 2 L 3 ql3 11
DEL 2 - (roblemdel med hjälpmedel) A L B y q (N/m) 2 L, 3t t t 3 t C 7. Balken i uppgift 6 har ett tvärsnitt som består av tre lika delar (3t gånger t) monterade enligt figur. Bestäm maimal skjuvspänning i balken på grund av lasten q. t z Skjuvspänningen bestäms med formeln Här gäller, för erhållande av maimal skjuvspänning, som blir vid y-aeln, T q 2L S A för halva tvärsnittet: S A 3t t 2t + 1, 5t t 0, 75t 7, 125t 3 I beräknas med Steiners sats: I 2 3t t 3 12 och b t Man får + 3t t (2t)2 + t(3t)3 12 107 4 t 4 τ TS A Ib q 2L 7, 125t 3 (107 t 4 /4) t τ TS A Ib 57 ql 107 t 2 12
DEL 2 - (roblemdel med hjälpmedel) 8. En konsolbalk (L, ) bär lasten i sin fria ände, figur (a). Man finner att den upplagrade L, (a) töjningsenergin i balken blir för hög, varför man vill nedbringa den till hälften. Detta gör man genom att understödja balkens ytterände med en L, (b) fjäder med styvhet k, figur (b). k Upplagrad energi i balken på grund av tvärkraft kan försummas. (a) Vilken kraft R erfordras i fjädern? (b) Vilken styvhet k ska fjädern ha? (c) Hur mycket elastisk töjningsenergi lagras i fjädern? Utan fjäder upplagras töjningsenergin (enligt elementarfall, med momentet M 0 i ena änden och M L i den andra) U 1 (L)2 L 6 (a) Inför fjäderkraften R. Balken belastas då med kraften ( R), vilket ger upplagrad elastisk töjningsenergi U 2 (( R) L)2 L 6 Men U 2 U 1 /2, vilker ger U 2 (( R) L)2 L 1 6 2 U 1 (L) 2 L 1 2 6 Härur löses R. Man får R (1 1/ 2 ) 0,293. (b) Balkens deformation vid ytteränden ska vara lika med fjäderns deformation. Det ger ( R) L 3 R 3 k som med R insatt ger k 1,24/L 3. (c) Upplagrad energi i fjädern blir U 3 Rδ 2 R 2 (0, 293)2 0, 0345 2 L 3 2k 2k (vilket är ca 40% av den energi U 2 som lagras i balken. 13