Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekvioem Guelimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekvioem med oek m m m m () m ekvioer: E lföljd (-ippel) är e löig ill eme om uiuioe ifierr ll ekvioer i () Defiiio Mägde v ll löigr ill e ekvioem kll eme löigmägd Vi äger vå em är ekvivle om de hr mm löigmägd ANTAL LÖSNINGAR För e lijär ekvioem gäller preci e v följde leriv: Seme hr preci e löig Seme hr oädlig måg löigr Seme kr löig ( Seme är ikoie) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får gör följde elemeär operioer med ekvioer u ädr eme löigmägd: B pl på vå ekvioer Muliplicer e ekvio med e l Adder e mulipel v e ekvio ill e ekvio TOTALMATRIS När vi löer e lijär ekvioem () räkr vi ed med eme koefficieer Vi k kriv ll koefficieer i e ell om vi kllr eme olmri räk ed med mrie eleme Tolmri ill () m Om vi iför mrier m m m
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekvioem Guelimiio A B m m m m då är olmrie (A B) Amärkig: Mrie A kll ekvioeme koefficiemri Iälle kriv hel ekvioer räkr vi med rder i olmrie Vi får gör följde elemeär rdoperioer u ädr eme löigmägd: B pl på vå rder Muliplicer e rd med e l Adder e mulipel v e rd ill e rd GAUSSELIMINATION ( Succeiv elimiio) Med hjälp v elemeär operioer överför vi eme ill e ekvivle em på rppegform (om är ekel ler eveuell lö) Vi rr med de för ekv i eme De för ekv väder vi för elimier i ll ekvioer föruom för ( Om fi ie i de för ekvioe dv om er vi pl med de ekvio där fi ) Efer för eg får vi följde ekvioem ' ' ' ' m ' ' ' m ' ' ' m ( ) Därefer väder vi dr ekvioe elimierr på mm ä frå ll dr föruom ekv ( dv vi elimierr frå ekv ekv m) De k häd är elimierd efer för eg frå ll ekvioer uom för då går vi direk ill All eveuell kriver vi läg ed i eme A vi får eder e ekvio är e lijär komiio v dr ekvioer därför k förumm A) Får vi ågo gåg e ekvio v p där ( e ) hr eme INGEN LÖSNING (Självklr ehöver vi i de fll ie gör fler räkeoperioer)
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekvioem Guelimiio B) Om flle A ie förekommer är eme lör Vi foräer ill vi får eme på rpegform: ' ' ' k k ' ' eveuell ' ' läg ed i eme Då löer vi u de ledde vriler All dr om de fi ågr föruom ledde vrierr fri (fri vriler) Vi hr följde vå fll för (koie) lör em: B PRECIS EN LÖSNING om eme är koie (lör) me hr ig fri vriler B OÄNDLIGT MÅNGA LÖSNINGAR om eme är koie (lör) hr mi e fri vriler Amärkig: Vi iför e prmeer för vriel om vrierr fri Vi k uför Guelimiio med hjälp v eme olmri geom överför olmri ill rppegform Eempel på rppegform: 8 E olmri hr rppegform om Eveuell ollrder är läg ed E e (ledde e) är de för icke-oll eleme i vrje rd om ie eår er v ollor De ledde eor år lägre ill höger ju lägre ed vi läer - Ledde eor vrr mo ledde vriler om de år i för dele v olmrie - Vi iför e prmeer för vrje vriel om ie hr ledde e ( för vrje vriel om vrierr fri) A) INGEN LÖSNING om e ledde e år i dr dele v olmrie på rppegform
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekvioem Guelimiio Eempel för ige löig olmrie ) Movrde em: (e ledde e i dr dele v B) Om flle A ie förekommer då är eme lör: B PRECIS EN LÖSNING om eme är koie (lör) me ig fri vriler 9 8 Eempel för preci e löig re ledde eor re vriler (ig fri vriler) Lägg märke ill e ollrd ie eder uomik oädlig måg löigr u e ekvio är e lijär komiio v dr!!! Movrde em: 9 8 (Amärkig Vi upprepr i ekvioe eder e ekvio är e lijär komiio v dr ekvioer därför k förumm) B OÄNDLIGT MÅNGA LÖSNINGAR om eme är koie (lör) mi e fri vriler 9 8 Eempel för oädlig måg löigr vriler (e fri vriel) Movrde em: vå ledde eor re 9 8 EXEMPEL ) Lö eme
v Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem Guelimiio 9 ) Age eme löigmägd Löig: ) ( ) ( 9 ekv ek ekv ek Vi hr få rppeg form löer u de ledde vriler Vi örjr frå de i ekvioe: dv Preci e löig: ( dv ig fri vriler) Löigmägde eår v preci e puk () Vi k äve kriv löigmägde {()} Svr: ) Preci e löig: ( dv ig fri vriler) ) Löigmägde {()} ------------------------------------------------------------------------------ Löig med hjälp v eme olmri: 9 ~ ) ( ) ( rd rd rd rd rppegform När vi får rppegform kriver vi movrdeekvio em Härv Svr: ) Preci e löig: ( dv ig fri vriler) ) Löigmägde {()} ) Lö eme ) Age eme löigmägd Löig:
v Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem Guelimiio Svr: Seme hr ige löig ------------------------------------------------------------------------ Löig med hjälp v eme olmri: ~ (rppegform) Ige löig eferom e ledde e fi i dr dele v olmrie Svr: ) Seme hr ige löig ) Löigmägde (" de omm mägde") ) Lö eme 8 ) Age eme löigmägd Löig: 8 Svr: Oädlig måg löigr: där är godcklig l Vi k eeck ekriv löige med hjälp v vå prmerr: där är godcklig l ------------------------------------------------------------------------ Löig med hjälp v eme olmri: 8 ~ ( rppegform) Lör em ( ige ledde e i dr dele) E ledde e me re vriler Vi k lö u e vriel ( ledde ) Två dr vrierr fri Oädlig måg löigr: Movrde em på rppegform där är godcklig l Vi k eeck ekriv löige med hjälp v vå prmerr: där är godcklig l Svr: ) Oädlig måg löigr:
v Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem Guelimiio ) Löigmägde är mägde v ll puker ) ( där är (vilk om hel) reell l Vi k formell kriv löigmägde { R ) : ( } Lö följde em med veede på ) ) c) Löig: ) Ige löig Svr ) Ige löig ) Svr ) Ek e löig c) där är e godcklig l ( oädlig måg löigr) Svr c) Oädlig måg löigr Lö följde em med veede på ) ) Löig: ) Svr )
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR 8 v Lijär ekvioem Guelimiio ) Svr ) Ige löig Ige löig Lö följde em med veede på för ll värde på prmerr Löig: ( ) Vi hr följde fll: A) Seme hr ek e löig: B) dv Seme hr följde form: där Allå kr eme löig i de fll B) dv Seme hr följde form: Vi löer u frå de för ekvioe får: där är e godcklig l (oädlig måg löigr) eller Svr : A) Seme hr ek e löig: B) Seme hr INGEN löig B) Seme hr oädlig måg löigr: där ä e godcklig l 8
9 v Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem Guelimiio Lö följde em med veede på för ll värde på prmerr Löig: ) ( ) ( Vi hr följde fll: A) Seme hr ek e löig: B) dv Seme hr följde form: där Allå kr eme löig i de fll B) dv Seme hr följde form: Vi löer u ledde vriler får: där är e godcklig l (oädlig måg löigr) eller där är e godcklig l Svr : A) Seme hr ek e löig: B) Seme hr INGEN löig B) Seme hr oädlig måg löigr: 9
v Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem Guelimiio där ä e godcklig l SKÄRNINGSPUNKTER MELLAN GEOMETRISKA PUNKTMÄNGDER ( LINJER OCH PLAN) 8 Beäm eveuell kärigpuker mell lije L: lije L: Löig: E puk P ligger på L om de fi e prmeervärde å Smm puk P ligger på L om de fi e prmeervärde å Oerver vi måe h olik eeckigr på prmerr eferom e kärigpuk k vr mo kild prmeervärde För fi eveuell kärigpuker löer vi dv Härv om gör e kärigpuk Aleriv
v Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem Guelimiio Svr: E kärigpuk 9 Beäm eveuell kärigpuker mell lije L om går geom puker A () B() lije L om går geom puker C() D() Löig: AB är e rikigvekor för lije L om därmed hr ekvioe eller L: (*) På mm ä får vi ekvioe för L: eller L: (**) Lijer (*) (**) kär vrdr om de fi åd De gör eme Ige löig Seme kr löig med dr ord L L hr ige gemem puk Beäm eveuell kärigpuker mell följde vå pl ) ) c) Löig: ) Vi löer eme
v Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem Guelimiio Sme kr löig Ige kärigpuk (De vå ple är prllell) ) Två ledde vriler m e fri vriel Vi eeckr får Oädlig måg löigr Löigmägde iehåller e prmeer Skärigpuker ildr rä lije c) De är upper åd ekvioe ekriver mm pl (eferom ekv är * ekv) Amärkig: Om vi löer eme om ger (vå fri vriel) får vi mm pl på prmeerforme Svr: ) Ige kärigpuk ) Skärigpuker ildr rä lije c) De vå pl mmfller Beäm eveuell gememm puker för följde re pl: ) ) c) Svr: ) Ig gememm puker (för ll re pl) ) Puke ( ) ligger i ll re pl c) Gememm puker är ll puker på lije