S T E FA N B. L I N D S T R Ö M U P P L A G A 2 β F Ö R E L Ä S N I N G A R I S TAT I K

S T E FA N B. L I N D S T R Ö M U L A G A 2 β F Ö R E L Ä S N I N G A R I S TAT I K

Föreläsningar i statik Stefan B. Lindström upplaga 2 β Copyright c 2016 Stefan B. Lindström ublicerad av Stefan Lindström, Linköping. https://sites.google.com/site/lindstroemepublicering Detta verk är licensierat enligt Creative Commons Erkännande-IngaBearbetningar 2.5 Sverige licens. För att visa licensen, besök http://creativecommons.org/licenses/by-nd/2.5/se/ eller skicka ett brev till Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA. En lättläst, men ofullständig, sammanfattning av licenstexten lyder: Du har tillstånd: Att dela att kopiera, distribuera och sända verket samt använda verket för kommersiella ändamål. å följande villkor: Erkännande Du måste ange upphovsmannen och/eller licensgivaren på det sätt de anger. Inga bearbetningar Du får inte förändra, bearbeta eller bygga vidare på verket. Övriga förutsättningar: Undantag Undantag från villkoren ovan kan ges av upphovsrättsinnehavaren. ublic Domain Om verket eller någon av dess beståndsdelar är public domain enligt tillämplig lag påverkas denna status inte på något sätt av licensen. Notera Vid all återanvändning och distribution måste du informera om licensvillkoren som gäller för verket.

Innehåll 1 Inledning 7 1.1 Grundläggande begrepp 1.2 Newtons rörelselagar 1.3 Krafter i klassisk mekanik 2 Kraftsystem 11 2.1 Kraft 2.2 Moment 2.3 Kraftsystem 2.4 lana kraftsystem 3 Statisk jämvikt 19 3.1 Jämviktsekvationer 3.2 Friläggning 3.3 Flerkroppsproblem 4 Masscentrum och tyngdpunkt 25 4.1 Densitet 4.2 Masscentrum 4.3 Masscentrum för tunna kroppar 4.4 Tyngdpunkt 5 Friktion 31 5.1 Ett friktionsexperiment

4 5.2 Coulombfriktion 5.3 Friktion i ett system av kroppar 5.4 Remfriktion Bilagor A Geometri 39 A.1 lan geometri A.2 Trigonometri B Vektorer 43 B.1 Geometriska vektorer B.2 Vektorer i ortogonala koordinatsystem B.3 Skalärprodukt B.4 Kryssprodukt B.5 Vektorvärda funktioner C Differentialer 47 D Storhet, enhet och dimension 49 D.1 Dimension D.2 Enhet D.3 Mätetal D.4 Räkneregler för dimension D.5 Dimensionsriktighet Litteraturförteckning 53 Sakregister 55

5 Förord Denna skrift syftar till att ge en koncis beskrivning av den elementära statikens viktigaste definitioner och satser. Ansvaret för att levandegöra teorins innebörd, samt att demonstrera hur teorin kan användas vid problemlösning, åläggs pedagogen. Angående förkunskaper förutsätts läsaren vara förtrogen med elementär geometri (bilaga A), geometriska vektorer (bilaga B), linjära ekvationssystem samt bestämda integraler i flera dimensioner. Utöver matematiska kunskaper bör läsaren vara bekant med begreppen storhet, enhet och dimension, samt kunna avgöra fysikaliska uttrycks dimensionsriktighet (bilaga D). Tack Ett varmt tack till tekn. dr eter Schmidt vars undervisningsmaterial på ämnet kraftsystem varit en viktig inspirationskälla till kap. 2. Författaren vill också tacka docent Lars Johansson för värdefull återkoppling på skrivningarna i bilaga D.

1 Inledning Detta kapitel syftar till att ge fysikalisk förståelse för grundläggande begrepp i mekanik, bl.a. begreppet kraft, samt att avgränsa ämnesområdet statik. Förtrogenhet med geometriska vektorer (bilaga B) och räkneregler för dessa är nödvändigt för att kunna tillgodogöra sig framställningen. 1.1 Grundläggande begrepp Kropp och stelkropp En kropp har massa och uppfyller ett begränsat område i rummet och har alltså en volym. Inom klassisk mekanik antas massan vara kontinuerligt utbredd inom kroppens område. Alla kroppar kan deformeras ändra sin form genom att lägena för punkter i kroppen förskjuts i förhållande till varandra. I vissa problem är kroppens deformation försumbar. Analysen förenklas då av att man antar att kroppens form är oföränderlig, och en sådan kropp kallas stelkropp. Definition 1.1 (Stelkropp). En stelkropp är en kropp, sådana att avståndet mellan varje par av punkter i kroppen är konstant. artikel En partikel är ett hypotetiskt föremål med massa men utan volym. All dess massa är således koncentrerad till en punkt. Vid problemlösning kan man ibland använda en partikel som modell för en kropp vars form, rotation och deformation inte påverkar analysen i någon större utsträckning. Speciellt formulerar vi följande postulat 1 för kroppar eller delkroppar: 2 ostulat 1.2. En kropp eller en del av en kropp, vars utsträckning är tillräckligt liten för att försummas i en given situation, kan betraktas som en partikel. 1 postulat obevisat påstående med experimentellt stöd. 2 J. B. Griffiths. The theory of classical mechanics. Cambridge University ress, 1985. ISBN 0-521-23760-2 Om man t.ex. analyserar Jordens rörelse kring Solen kan Jorden betraktas som en partikel eftersom jordbanans medelradie är 23 000 gång-

8 föreläsningar i statik er större än Jordens egen radie, så att vare sig Jordens utsträckning eller dess rotation kring sin egen axel påverkar banrörelsen nämnvärt. Läge, hastighet och acceleration En punkts eller partikels läge i rummet anges av dess lägesvektor 3. Vi definierar en godtycklig punkt :s lägesvektor som r = O, där O betecknar origo för ett givet ortogonalt koordinatsystem med basvektorerna ē x, ē y och ē z. Om punkten :s läge ändras med tiden t kommer lägesvektorn att bli en vektorvärd funktion (jfr bilaga B.5) 3 Benämns även ortsvektor. r(t) = x(t)ē x + y(t)ē y + z(t)ē z, (1.1) vilket kan tolkas som en riktad bana i rummet (fig. 1.1a). Hastigheten hos punkten definieras som v(t) d r dt = ẋē x + ẏē y + żē z, (1.2) och är riktad i rörelsebanans tangentriktning. En prick över en skalär funktion betecknar tidsderivatan av funktionen. unktens acceleration ges av ā(t) d v dt = d2 r dt 2 = ẍē x + ÿē y + zē z, (1.3) och beskriver alltså hastighetsändringen per tidsenhet. Två prickar över en skalär funktion betecknar andra tidsderivatan av funktionen. Statik innefattar endast fallet ā = 0. Detta är liktydigt med att hastigheten är konstant, så att r(t) beskriver en rätlinjig bana om v 0 (fig. 1.1b), eller en fix punkt om v = 0. Kraft När två föremål placeras tillräckligt nära varandra, eller i direkt kontakt, kan de påverka varandras rörelse. Om man till exempel för en magnet mot en knappnål, kommer knappnålen att accelerera mot magneten. Magnetens närvaro har skapat rörelse hos knappnålen. Kroppars förmåga att att påverka varandras rörelse kallas växelverkan. För att beskriva hur starkt och i vilken riktning ett föremål växelverkar med omgivningen införs begreppet kraft. En kraft skapas alltså av växelverkan och förorsakar acceleration hos en kropp vars rörelse annars är obehindrad. Denna vaga beskrivning ev kraftbegreppet ges en precis innebörd i Newtons rörelselagar. z z O y O y (a) (b) r(t) x r(t) x v v(t) Figur 1.1: En punkt :s förflyttas längs en bana r(t) med (a) varierande hastighet v(t), eller med (b) konstant hastighet v och accelerationen ā = 0. 1.2 Newtons rörelselagar Isaac Newton postulerade följande tre rörelselagar för partiklar (ej ordagrant återgivna): 4 4 I. S. Newton. Naturvetenskapens matematiska principer, första boken. 1. Tröghetslagen En partikel förblir i vila eller i likformig, rätlinjig rörelse så länge inga yttre krafter verkar på partikeln. Svensk översättning C. V. L. Charlier, Liber Läromedel, Malmö, 1986a. ISBN 91-40-60433-0

inledning 9 2. Kraftlagen För en partikel med konstant massa m gäller Σ F = mā, (1.4) där Σ F är kraftsumman på partikeln och ā är partikelns acceleration. 3. Reaktionslagen Om en partikel påverkar en annan med en given kraft, återverkar den senare partikeln på den första med en lika stor men motsatt riktad kraft. Inom statik intresserar man sig för specialfallet då kraftsumman på varje partikel är noll, och således accelerationen för varje partikel är noll. Inertialsystem Att tala om rörelse är bara meningsfullt med avseende på ett givet koordinatsystem, och man måste specificera ett koordinatsystem för att kunna beskriva rörelse (se fig. 1.1ab). Newtons lagar gäller bara för vissa val av koordinatsystem som kallas inertialsystem. Om man valt ett koordinatsystem där tröghetslagen gäller, kommer även kraftlagen och reaktionslagen att gälla. I ett koordinatsystem där tröghetslagen inte gäller, t.ex. ett system som roteras eller accelereras relativt ett inertialsystem (fig. 1.2), gäller inte Newtons lagar. 1.3 Krafter i klassisk mekanik Krafter kan verka på en kropp om den står i fysisk kontakt med en annan kropp. Dessutom kan krafter uppstå över avstånd genom så kallade kraftfält. Kraft mäts i SI-enheten newton (N), och det gäller att z y z y x x z y x Figur 1.2: Givet ett inertialsystem xyz där tröghetslagen gäller, kommer koordinatsystem som roterar relativt inertialsystemet, t.ex. xyz, inte att vara några inertialsystem. Koordinatsystem vars origo accelererar relativt inertialsystemet, t.ex. x y z, är inte heller några inertialsystem. 1 N = 1 kg m/s 2. Gravitationskraft Enligt Newtons gravitationslag 5 påverkar varje par av partiklar varandra med gravitationskrafter. Gravitationskraften är en attraktiv centralkraft. Det vill säga, partiklarna dras mot varandra och dragningskraften verkar längs den räta linje som förbinder partiklarna (fig. 1.3). 5 I. S. Newton. Naturvetenskapens matematiska principer, andra och tredje boken. Svensk översättning C. V. L. Charlier, Liber Läromedel, Malmö, 1986b. ISBN 91-40-60437-3 m 1 F g partiklar tillämpad på Jordens växelverkan med Månen. F g m 2 Figur 1.3: Newtons gravitationslag för r ostulat 1.3 (Newtons gravitationslag). Mellan två partiklar med massorna m respektive m Q verkar en attraktiv kraft med beloppet F g = G g m m Q r 2, (1.5)

10 föreläsningar i statik olika platser på jorden. Ofta används det SI-standardiserade värdet g = 9,80665 N/kg vid problemlösning. 8 Kontaktkrafter Två kroppar som står i fysisk kontakt med varandra växelverkar med kontaktkrafter. Dessa kontaktkrafter är fördelade över kontaktytan på respektive kropp. Ett exempel är de krafter som uppstår då du trycker din hand mot en vägg (fig. 1.4ab). Din hand utövar då ett tryck mot väggen, vilket kan representeras av en kraft F på väggen. Omvänt kommer väggen, enligt reaktionslagen, att utöva en kraft F mot din hand, vilket du känner som ett tryck mot handflatan. där G g = 6,674 10 11 Nm 2 /kg 2 är gravitationskonstanten 6, och r 6. J. Mohr, B. N. Taylor, and D. B. betecknar avståndet mellan partiklarna. Newell. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2010. J. hys. Chem. Ref. Data, 41: En följd av gravitationslagen är att en kropp med massan m vid 043109, 2012 jordytan påverkas av en tyngdkraft, riktad ungefär mot jordens mittpunkt. Tyngdkraften är fördelad över det område som kroppen upptar, men i många tillämpningar kan dess verkan modelleras med en kraft som verkar i en enda punkt och har beloppet mg, där g är tyngdkraftskonstanten. 7 I Sverige är g 9,82 N/kg, men värdet varierar mellan 7 Benämns även oegentligt tyngdaccelerationen. 8 Bureau International des oids et Mesures. The International System of Units (SI). 8th edition, 2006 F F Figur 1.4: (a) En hand trycker mot en vägg. (b) Handen och väggen utsätts för lika stora motriktade kontaktkrafter. (a) (b) Elastisk kraft Elastiska krafter uppstår då kroppar deformeras, till exempel då en spiralfjäder förlängs eller förkortas. När en spiralfjäder inte påverkas av någon kraft antar den sin naturliga längd l 0 (fig. 1.5a). Om motriktade krafter, vardera med beloppet F e, angriper vid fjäderns ändpunkter kommer fjädern att ändra sin längd till l (fig. 1.5b). För en så kallad linjär fjäder gäller då sambandet F e k l 0 (a) k F e F e = k(l l 0 ), (1.6) där k benämns fjäderkonstanten. l (b) Figur 1.5: (a) Obelastad fjäder med naturlig längd. (b) Förlängd fjäder.

2 Kraftsystem 2.1 Kraft En kropp växelverkar med sin omgivning genom yttre krafter. Dessa kan vara volymskrafter som verkar över kroppens område i rummet. Gravitation och elektromagnetiska krafter är exempel på volymskrafter. Dessutom kan kroppen påverkas av kontaktkrafter, som är fördelade över kroppens yta (fig. 2.1). För stelkroppar kan volyms- och kontaktkrafters verkan beskrivas av koncentrerade krafter, som verkar i punkter på stelkroppen: ostulat 2.1. En kraft, som verkar på en stelkropp, är en vektorstorhet F, som tillordnats en angreppspunkt. kraftvektor angreppspunkt Figur 2.1: En kontaktkraft, som här består av ett tryck fördelat över en liten yta på en stelkropp, modelleras med en kraftvektor, som verkar i en angreppspunkt på stelkroppen. verkningslinje En krafts verkan på en kropp bestäms av kraftens storlek, riktning och angreppspunkt. Kraftvektorn och angreppspunkten definierar tillsammans en linje, som kallas kraftens verkningslinje (fig. 2.1). Som alla vektorer kan kraftvektorn skrivas som en summa av sina komposanter (fig. 2.2) F = F x ī + F y j + F z k, (2.1) eller som en skalär F gånger en riktningsvektor F = F ē F. (2.2) k j ī F y F z ē F F F x Figur 2.2: En kraft F angripande i punkten. ilar med öppet pilhuvud visar kraftens komposanter. I ekv. (2.2) tillåter man att F är negativ, så att F = F eller F = F. En kraftvektors projektion på en riktning med riktningsvektorn ē λ kallas kraftens komponent i λ-riktningen och ges av F λ = F ē λ = F cos ϕ, (2.3) F ϕ ē λ λ F λ = F ē λ där 0 ϕ 180 är vinkeln mellan F och ē λ (fig. 2.3). Figur 2.3: Kraftkomponenten för F m.a.p. en axel λ.

12 föreläsningar i statik 2.2 Moment Kraftmoment Om man vill åstadkomma en vridande verkan kring en axel, som när man drar åt en bult, låter man en kraft angripa i en punkt på ett avstånd från axeln (fig. 2.4). Kraftens vridande verkan kallas moment. Definition 2.2 (Kraftmoment). Låt F vara en kraft som angriper i punkten. Då är kraftmomentet av kraften F m.a.p. en godtycklig punkt A vektorn M A r F, (2.4) där r = A. Enligt def. B.11 av kryssprodukt ges momentvektorn M A :s riktning av högerhandsregeln (fig. 2.5). Kraftmomentet kommer därför att vara vinkelrätt mot det plan som r och F spänner upp. Beloppet av vektorn M A är M A = r F = { ekv. (B.12) } = r F sin ϕ = d F, (2.5) Figur 2.4: En kraft med angreppspunkt på ett avstånd från en axel λ kommer att ha en vridande verkan kring axeln. F r M A = r F A Figur 2.5: Högerhandsregeln för kraftmoment. Linjera höger hands handflata med hävarmen och vinkla fingrarna i kraftriktningen; kraftmomentvektorn M A ges då tummens riktning. där d = r sin ϕ kallas för hävarm och ϕ är vinkeln mellan r och F (fig. 2.6). Momentvektorer betecknas här med en pil vars huvud är en halvcirkel. Kraftmomentet m.a.p. en axel λ med riktningsvektorn ē λ, definieras som M λ M B ē λ, (2.6) där B är en godtycklig punkt på axeln λ. F ϕ r d A r F ϕ M A = r F Figur 2.6: En kraft med kraftvektor F och angreppspunkt ger ett kraftmoment MA m.a.p. A, som är vinkelrätt mot det plan som r och F spänner upp. Sats 2.3. Låt n krafter F 1,..., F n, verka i samma punkt. Summan av krafternas moment, m.a.p. en godtycklig punkt A, är då lika med momentet från kraftvektorernas summa m.a.p. A: n r F i = r i=1 där r = A. n F i, (2.7) i=1

kraftsystem 13 Bevis. Kraftmomentet av kraftvektorernas summa m.a.p. A ges av n r F i = r ( F 1 + F 2 + + F n ) = { ekv. (B.14b) } i=1 = r F 1 + r ( F 2 + + F n ) = { upprepa (B.14b) } = r F 1 + r F 2 + + r F n n = r F i i=1 F F y j F x ī r r Vid analys av statikproblem händer det ofta att problemet blir enklare att lösa om man först delar upp kraften i sina komposanter (fig. 2.7). Kraftens moment får man som summan av komposanternas respektive moment (sats 2.3). A A Figur 2.7: Momentet från en kraft är lika med summan av momenten från dess komposanter: r F = r F x ī+ r F x j (2D). Kraftparsmoment Definition 2.4 (Kraftpar). Ett kraftpar består av två krafter, F med angreppspunkt och F Q med angreppspunkt Q, sådana att F Q = F Q (fig. 2.8). Q En trivial men viktig egenskap hos kraftparet är att dess kraftsumma är F + F Q = 0, så att ett kraftpars verkan på en kropp endast är vridande. F Q = F Figur 2.8: Kraftpar. F Definition 2.5 (Kraftparsmoment). Ett kraftparsmoment C är summan av kraftmomenten från ett kraftpar m.a.p. en godtycklig punkt A. Sats 2.6. För ett godtyckligt kraftpar, F med angreppspunkt och F med angreppspunkt Q (fig. 2.9), är kraftparsmomentet C = r F, (2.8) där r = Q. Bevis. Från def. 2.5 följer att kraftparets kraftparsmomentet m.a.p. en godtycklig punkt A är F Q r F C = A F + AQ ( F ) = A F AQ F = { ekv. (B.14b) } = (A AQ) F = (QA + A) F = { parallellogramlagen } = Q F = r F A Figur 2.9: Kraftpar som bildar kraftparsmomentet C = r F. Ett typexempel på ett kraftpar är en skruvmejsels verkan på en spårskruv (fig. 2.8). Det finns två kontaktpunkter, och Q, mellan

14 föreläsningar i statik skruvhuvudet och mejseln, där två lika stora motriktade krafter verkar på skruven. Kraftparsmomentet är oberoende av valet av momentpunkt och är därmed en fri vektor som, med bibehållen storlek och riktning, kan förflyttas i rummet till en godtycklig punkt (fig. 2.10). F Q F Q Figur 2.10: En skruvmejsel ger en vridande verkan, vilken skapas av två lika stora motriktade krafter i skruvspåret. Kraftparsmomentet är en fri vektor, som inte verkar i någon specifik punkt på stelkroppen. C = Q F 2.3 Kraftsystem Flera krafter och kraftparsmoment, som verkar på en stelkropp, bildar tillsammans ett kraftsystem. Definition 2.7 (Kraftsystem). Ett kraftsystem Γ är ett antal n 0 krafter F 1, F 2,..., F n med givna angreppspunkter 1, 2,..., n, samt att antal m 0 kraftparsmoment C 1, C 2,..., C m (fig. 2.11). C 1 F 2 2 C m C2 Figur 2.11: Ett kraftsystem Γ med godtyckligt antal krafter och kraftparsmoment, verkande på en stelkropp. 1 Fn F 1 n Kraft- och momentsumma Definition 2.8 (Kraftsumma). För ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, är kraftsumman vektorn Σ F n F i. (2.9) i=1 Notera att kraftsumman, trots att den är en vektor med enheten newton, inte är någon kraft, eftersom den inte tillordnats någon angreppspunkt. Definition 2.9 (Momentsumma). För ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, är momentsumman m.a.p. en godtycklig punkt A vektorn Σ M A n A i F m i + C i. (2.10) i=1 i=1

kraftsystem 15 Momentsumman för ett kraftsystem m.a.p. en punkt A erhåller man alltså genom att summera alla systemets kraftmoment m.a.p. A och alla systemets kraftparsmoment. Sats 2.10 (Förflyttningssatsen för momentsumma). För ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, och två godtyckliga punkter A och B gäller Σ M B = Σ M A + BA Σ F, (2.11) där Σ M A och Σ M B är momentsummor m.a.p. A respektive B, och Σ F är systemets kraftsumma. Bevis. Definition 2.9 ger Σ M n B = B i F m i + C i = { parallellogramlagen } = = i=1 i=1 i=1 n ( ) m BA + Ai Fi + C i = { ekv. (B.14b) } n BA F i + i=1 i=1 = BA Σ F + Σ M A. i=1 n A i F m i + C i = { sats (2.3) } i=1 } {{ } =Σ M A Reducerade kraftsystem Definition 2.11 (Reducerat kraftsystem). Det reducerade kraftsystemet Γ A till ett kraftsystem Γ m.a.p. en reduceringspunkt A, består av Γ:s kraftsumma Σ F verkande i A samt ett kraftparsmoment Σ M A, som är Γ:s momentsumma m.a.p. A. C 1 F 2 F 1 1 2 n F n C m C 2 Σ F Σ M A Figur 2.12: Ett kraftsystem Γ, med godtyckligt antal krafter och kraftparsmoment, är ekvivalent med sitt reducerade kraftsystem Γ A m.a.p. en godtycklig punkt A. A Det reducerade kraftsystemet Γ A är ekvivalent med Γ ur kraft- och momentsynpunkt, och ger upphov till samma rörelse hos den stela kropp varpå Γ verkar. Definition 2.12 (Nollsystem). Om ett kraftsystem har kraftsumman Σ F = 0 och momentsumman Σ M A = 0 m.a.p. någon punkt A, sägs kraftsystemet vara ett nollsystem. Sats 2.13. Om ett kraftsystem är ett nollsystem så är dess momentsumma Σ M B = 0 för varje godtycklig punkt B.

16 föreläsningar i statik Bevis. För ett generellt kraftsystem, med beteckningar enligt def. 2.7, som är ett nollsystem gäller att Σ F = 0 samt att Σ M A = 0 för någon punkt A. Förflyttningssatsen för momentsumma (sats 2.10) från A till B ger Σ M B = Σ M A + BA Σ F = 0 + BA 0 = 0. Sats 2.13 innebär att ett nollsystem alltid är ett nollsystem oberoende av valet av momentpunkt. 2.4 lana kraftsystem Definition 2.14 (lant kraftsystem). Ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, sägs vara plant om det existerar ett plan, benämnt referensplanet, sådant att alla krafternas angreppspunkter i, i = 1,..., n ligger i referensplanet, och sådant att F i ē n, i = 1,..., n, Ci ē n, i = 1,..., m, där ē n är referensplanets enhetsnormal (fig. 2.13). C 2 ē n Figur 2.13: lant kraftsystem vars referensplan har enhetsnormalen ē n. C 1 F 2 2 Fn 1 n C m F 1 För ett plant kraftsystem, med beteckningar enligt def. 2.14, och en momentpunkt A i referensplanet, är alla kraftmoment och kraftparsmoment riktade i ±ē n -riktningen. Därmed kan alla kraftmoment och kraftparsmoment för ett plant kraftsystem beskrivas entydigt med ett skalärt värde: momentets komponent i referensplanets normalriktning. I fig. 2.14 illustreras ett plant kraftsystem med xy-planet som referensplan. Vektorrepresentationen av moment har ersatts med en skalär representation, vilket indikeras med krökta pilar för kraftparsmomenten C 1,..., C m i referensplanet. Låt F beteckna en kraft med angreppspunkt i ett plant kraftsystem (fig. 2.15). Dess kraftmoment MA = A F ligger i ±ē n - riktningen, så att M A = M A ē n där M A = ± M A = { def. 2.2 } = ± A F = { ekv. (B.12) } = ± A F sin ϕ. F 1 k F 2 j ī 1 2 C 1 C 2 n C m F n Figur 2.14: Ett plant kraftsystem med xy-planet som referensplan. Systemets kraftparsmoment kan därmed skrivas som skalärer.

kraftsystem 17 Här är ϕ vinkeln mellan A och F. Eftersom avståndet från A till kraftens verkningslinje är d = A sin ϕ följer det att M A = ±d F. (2.12) Kraftmomentets riktning ges som tidigare av högerhandsregeln. Det moturs vridande kraftmoment som avbildas i fig. 2.15 är riktat i kriktningen. Om vi väljer referensplanets normal som ē n = k kommer kraftmomentet M A, och alla moturs orienterade kraftmoment, att ha ett positivt tecken i sin skalära representation. Medurs orienterade kraftmoment får negativt tecken. Det omvända gäller om vi skulle välja ē n = k. F ϕ k j ī A d = A sin ϕ A Figur 2.15: Geometri för kraftmoment i ett plant kraftsystem med xy-planet som referensplan. Hävarmen betecknas d.

3 Statisk jämvikt 3.1 Jämviktsekvationer Definition 3.1 (Statisk jämvikt). En kropp är i statisk jämvikt om varje punkt på kroppen har samma hastighet i fortvarighet 9 relativt ett givet inertialsystem. Eftersom definition kräver att materiepunkternas hastigheter är lika och konstanta i fortvarighet följer det att alla punkter på kroppen rör sig längs räta parallella banor. Detta kallas translation (fig. 3.1). Att en stelkropp befinner sig i vila innebär att kroppen är i statisk jämvikt, samt att ett inertialsystem valts så att materiepunkternas hastighet är noll. Statisk jämvikt definieras utifrån kroppens rörelse, inte utifrån vilka krafter som verkar på kroppen. För att kunna avgöra vilka kraftsystem som ger statiskt jämvikt för en stelkropp krävs ett postulat. ostulat 3.2 (Jämviktsvillkor). En stelkropp i statisk jämvikt förblir i statisk jämvikt om kraftsystemet som verkar på stelkroppen är ett nollsystem 9 fortvarighet utan förändring under ett tidsintervall Figur 3.1: Vid statisk jämvikt beskriver en stelkropp translation, d.v.s. varje punkt rör sig med samma konstanta hastighet. v v v Σ F = 0 (3.1a) Σ M A = 0, (3.1b) där Σ F är kraftsystemets kraftsumma, och Σ M A är kraftsystemets momentsumma m.a.p. en godtycklig punkt A. Ekvation (3.1a) benämns kraftjämvikt och ekv. (3.1b) momentjämvikt. Enligt sats 2.13 kan momentpunkten i momentjämvikten väljas fritt. Kraft- och momentjämvikterna är vektorekvationer, som enligt ekv. (B.4) kan skrivas på komponentform. De bildar sex oberoende skalära ekvationer ΣF x = 0 ΣM Ax = 0 ΣF y = 0 ΣM Ay = 0 (3.2) ΣF z = 0 ΣM Az = 0, vilka tillsammans utgör ett ekvationssystem.

20 föreläsningar i statik Jämvikt i två dimensioner För ett plant kraftsystem förenklas jämviktsekvationerna genom att man väljer ett koordinatsystem så att två av koordinataxlarna ligger i referensplanet. Om vi placerar xy-planet i referensplanet (fig. 2.14), så att ē n = ē z i def. 2.14, erhåller vi F i ē z F iz = 0 ΣF z = 0. Vidare är alla kraftmoment och kraftparsmoment riktade i z-riktningen så att ΣM Ax = ΣM Ay = 0, där A betecknar en momentpunkt i referensplanet. Därmed återstår endast tre icketriviala jämviktsekvationer för det plana kraftsystemet: ΣF x = 0 ΣF y = 0 ΣM Az = 0. (3.3) 3.2 Friläggning Ett friläggningsdiagram är ett hjälpmedel för att identifiera alla yttre krafter och kraftparsmoment som verkar på ett mekaniskt system. Vid friläggning särskiljs kroppen från sin omgivning och omgivningens verkan på kroppen ersätts med krafter och kraftparsmoment. Arbetsgången vid friläggning är: 1. Bestäm vilken kropp som ska friläggas, här inom streckad linje. g G 2. Rita ett diagram, som endast innehåller den frilagda kroppen. G 3. Ersätt omgivningens verkan på kroppen med krafter och kraftparsmoment. G Omgivningens verkan på kroppen inbegriper krafter från kraftfält, t.ex. tyngdkraft, och kontaktkrafter som uppstår vid varje fysisk kontakt mellan den frilagda kroppens rand och omgivande föremål.

statisk jämvikt 21 Tyngdkraft g k Tyngdkraftens verkan på en stelkropp nära jordens yta modelleras med en kraft, tyngdkraften, verkande i kroppens tyngdpunkt G (fig. 3.2). Tyngdkraften är ungefärligen riktad mot jordens centrum och har beloppet mg, där m är kroppens massa och g är tyngdkraftskonstanten. Gravitationens verkan på stelkroppar kommer att studeras noggrannare i kap. 4. G mg k Figur 3.2: En stelkropp på vilken tyngdkraftsfältet vid jordens yta verkar. Tyngdkraften, som har beloppet mg, har sin angreppspunkt i tyngdpunkten G. ī j Tvångskrafter och -moment Om en stelkropp står i fysisk kontakt med omgivande föremål, så att den därför hindras från att fritt förflyttas eller rotera, kan tvångskrafter eller tvångsmoment uppstå vid kontakten. Vi studerar först en punktkontakt mellan två kroppar, Ω 1 och Ω 2. Kropparna är i kontakt med varandra i den gemensamma punkten. Denna kontakt ger i allmänhet upphov till en kraft F 1 verkande i på kroppen Ω 1, samt ett kraftparsmoment C 1 på Ω 1. Kontakten ger också upphov till en kraft F 2 verkande i på kroppen Ω 2, samt ett kraftparsmoment C 2 på Ω 2 (fig. 3.3). Enligt en utvidgning av reaktionslagen gäller F 2 = F 1, C2 = C 1. Ω 2 C 2 Figur 3.3: Två kroppar, Ω 1 och Ω 2, med en punktkontakt vid. Friläggningen illustrerar kontaktkrafterna mellan kropparna: F 2 = F 1 ; C2 = C 1. F 1 F 2 C 1 Ω 1 unktkontakt används som modell för olika typer av mekaniska infästningar och anordningar mellan kroppar, såsom svetsar, gångjärn, lager o.s.v. Infästningens typ påverkar riktningarna hos tvångskrafter och -moment, enligt följande två principer: 1. Om en infästning medger att Ω 1 kan förskjutas fritt relativt Ω 2 i en riktning ē λ, gäller F 1 ē λ = F 2 ē λ = 0. Ett exempel är y-riktningen i fig. 3.4d. 2. Om en infästning medger att Ω 1 kan vridas fritt relativt Ω 2 kring en axel med riktningsvektorn ē λ genom, gäller C 1 ē λ = C 2 ē λ = 0. Ett exempel är x-riktningen i fig. 3.4b.

22 föreläsningar i statik z C z z C z F z F z x y F x C x F y C y x y F x F y C y (a) (b) x z y (c) F x N Tvångskrafter kan alltså bara uppstå i de riktningar i vilka relativ rörelse är förhindrad. å samma sätt kan tvångsmoment bara uppstå i de riktningar kring vilka relativ vridning är förhindrad. Det finns ändlöst många typer av infästningar och i varje fall måste en lämplig punktkontaktmodell införas. Några exempel ges i fig. 3.4. När en ny typ av infästning påträffas är det lämpligt att utgå från att alla kraft- och kraftparsmomentkomposanter är nollskilda, och därefter metodiskt eliminera de komposanter som saknar tvång. F y x z y (d) F x N Figur 3.4: Friläggning för olika typer av kontakter. (a) Fast inspänning, t.ex. svetsar, skruvförband och limförband, där krafter och kraftparsmoment kan uppstå i varje riktning. (b) För en gångjärnsled, nitar och spikar, tillåter en sprint vridning kring x-axeln, varför C x = 0. (c) Friktionskontakt med rundad kropp; vridningar är tillåtna genom rullning mot underlaget, så att C x = C y = 0. Utan friktionsmoment kring normalaxeln har vi C z = 0. (d) Ett hjul eliminerar en av friktionskomposanterna, F y = 0, och vridning medges kring varje axel, C x = C y = C z = 0. Snören och trissor Ett snöre är en idealiserad lina, vajer eller liknande, vilken betraktas som masslös och otänjbar. Ett sträckt snöre belastas endast av en dragkraft S > 0 i snörets längsriktning. Ett frilagt sträckt snöre belastas av två krafter S och S, som verkar i vardera änden och är parallella med snöret (fig. 3.5a). När ett snöre löper kring en friktionsfritt lagrad masslös trissa, kommer dragkraften att vara densamma i var och en av de två utgående tamparna. Detta framgår om man tecknar momentjämvikt kring trissans lagringsaxel (fig. 3.5b). S r A Figur 3.5: (a) Ett sträckt snöre belastas av två motriktade krafter, parallella med snöret. (b) Snöre som löper över en friktionsfritt lagrad trissa. Momentjämvikt för trissan kring A visar att S 1 = S 2. S 1 S 2 S 1 S 2 S (a) (b) S 1 = S 2

statisk jämvikt 23 Tvåkraftsystem Ett viktigt specialfall för jämvikt i två eller tre dimensioner är när exakt två krafter, ett tvåkraftsystem, verkar på en stelkropp. F Sats 3.3 (Tvåkraftsystem). Om exakt två nollskilda krafter verkar på en stelkropp i statisk jämvikt, är dessa krafter lika stora motriktade och har sammanfallande verkningslinjer (fig. 3.6). Q Bevis. Låt två godtyckliga krafter, F med angreppspunkt och F Q med angreppspunkt Q, verka på en kropp i statisk jämvikt. Kraftjämvikt ger F + F Q = 0, så att F = F Q och krafterna är lika stora och motriktade. Därmed är också deras verkningslinjer parallella. Momentjämvikt m.a.p. ger (fig. 3.7) F + Q F Q = 0 Q F Q = 0 { ekv. (B.12) } Q F Q sin ϕ = 0 { FQ 0 } Q sin ϕ = 0, F Q = F Figur 3.6: Ett tvåkraftsystem i statisk jämvikt. Krafternas verkningslinjer sammanfaller. F Q Q Q d ϕ F Figur 3.7: Geometri för beviset till sats 3.3. där ϕ är vinkeln mellan Q och F Q. Enligt fig. 3.7 är det vinkelräta avståndet mellan verkningslinjerna just d = Q sin ϕ = 0, så att verkningslinjerna alltså måste sammanfalla. Masslösa stänger fästa i gångjärnsleder är typiska tvåkraftsystem (fig. 3.8). Analysen av flerkroppsproblem kan ibland förenklas avsevärt om man utnyttjar denna egenskap. Figur 3.8: Masslösa stänger som är momentfria i sina fästpunkter utgör tvåkraftsystem under drag och tryck. Även masslösa snören är tvåkraftsystem. 3.3 Flerkroppsproblem När en konstruktion innehåller flera delar, som alla är i statisk jämvikt, måste kraftsystemet på var och en av delarna vara ett nollsystem. Man kan visa att det är ett nödvändigt villkor för statisk jämvikt att hela systemet också påverkas av ett nollsystem av yttre krafter och kraftparsmoment.

24 föreläsningar i statik Vid problemlösning kan man välja att frilägga flera sammankopplade stelkroppar åt gången. Betrakta t.ex. schaktmaskinen i fig. 3.9a. Beroende på frågeställningen kan det vara lämpligt att antingen frilägga schaktmaskinen i sin helhet (fig. 3.9b), eller att frilägga varje del för sig (fig. 3.9c). Det senare alternativet är lämpligt om frågeställningen rör krafter mellan konstruktionens delar. A B G1 C G 2 g m 1 g m 2 g Figur 3.9: (a) Schaktmaskin bestående av fordon med masscentrum G 1 och massan m 1, en masslös hydraulcylinder och ett schaktblad på balk med masscentrum G 2 och massan m 2. (b) Friläggning av hela konstruktionen. (c) Friläggning av konstruktionens delar, där hydraulcylindern är en tvåkraftsdel. D E N D N E (a) (b) F Ay F h F h F Ax F Ax F h F Ay N D m 1 g N E F h m 2 g (c) Friläggningen av schaktmaskinens delar i fig. 3.9c visar på några viktiga principer: I kontaktpunkten mellan två delar uppstår krafter och reaktionskrafter, som enligt reaktionslagen är lika stora och motriktade. Hydraulcylindern antas vara masslös och är därför en tvåkraftsdel, varför krafterna som angriper i dess ändar är lika stora, motriktade och har sammanfallande verkningslinjer (sats 3.3). Kraft- och momentjämvikt kan tecknas för varje frilagd del.

4 Masscentrum och tyngdpunkt 4.1 Densitet Densiteten ϱ hos ett material är ett mått på materialets täthet, och definieras som massa per volymsenhet, med SI-enheten kg/m 3. Vilket material en kropp består av kan variera över det område kroppen upptar i rummet, och således varierar även densiteten: ϱ = ϱ( r). En kropp Ω har därmed massan m = Ω dm = Ω ϱ( r)dv, (4.1) där dv är ett infinitesimalt volymselement, dm = ϱdv är ett masselement och r är integrationsvariabeln (fig. 4.1). 4.2 Masscentrum dv r Ω Figur 4.1: Geometri för definition av massa. z y x Betrakta en stelkropp nära jordens yta. Om kroppen hängs upp i ett snöre anslutet till en punkt 1 på kroppens yta, kommer snörets förlängning vid statisk jämvikt definiera en lodlinje genom kroppen. Om förfarandet upprepas för flera olika punkter, 1, 2,..., på kroppens yta är det ett experimentellt faktum att samtliga motsvarande lodlinjer med god noggrannhet skär en gemensam kroppsfix punkt, som kallas kroppens tyngdpunkt (fig. 4.2). g 1 1 2 2 3 tyngdpunkt Figur 4.2: En stelkropp på vilket tyngdkraftsfältet vid jordens yta verkar. Lodlinjerna för olika upphängningspunkter 1, 2,... på kroppen skär en gemensam punkt benämnd tyngdpunkten. 1 I det följande ges en formell definition av en kropps masscentrum G, och senare visas att masscentrum sammanfaller med kroppens tyngdpunkt.

26 föreläsningar i statik Definition 4.1 (Masscentrum). För en kropp Ω med densiteten ϱ( r) definieras kroppens masscentrum G av lägesvektorn r G 1 rdm = 1 rϱ( r)dv, (4.2) m m Ω där m betecknar kroppens massa. Ω Detta betyder att om r G = x G ī + y G j + z G k så ges masscentrums x-koordinat av x G = 1 xϱ(x, y, z)dxdydz, (4.3) m Ω med analoga uttryck för y G och z G. Sats 4.2 (Masscentrum för sammansatt kropp). Om en kropp Ω med massan m är sammansatt av n delkroppar Ω 1,..., Ω n, ges den sammansatta kroppens masscentrum av r G = 1 n m i r Gi, (4.4) m i=1 där m i är massan och r Gi är masscentrums lägesvektor för den i:te delkroppen (fig. 4.3). Bevis. Enligt def. 4.1 för masscentrum har vi r G = 1 rdm = { En integral för varje delområde } m Ω = 1 [ ] rdm + + rdm m Ω 1 Ω n = 1 [ ] 1 1 m 1 rdm + + m n rdm m m 1 Ω }{{ 1 m n Ω }}{{ n } = r G1 = r Gn = 1 n m i r Gi. m i=1 m 1 r G1 z r Gn y m n Figur 4.3: En kropp sammansatt av delkroppar Ω i, i = 1,..., n, vardera med massan m i och masscentrum G i. x Definition 4.3 (Geometriskt centrum). För en kropp Ω definieras kroppens geometriska centrum C av lägesvektorn r C 1 rdv, (4.5) V Ω där V betecknar kroppens volym. Det är vanligt att en kropp Ω består av ett och samma material, så att densiteten är oberoende av läget i kroppen, d.v.s. ϱ är konstant. I sådana fall är kroppens massa m = ϱdv = ϱ dv = ϱv. Ω Ω Kroppens masscentrum blir då, enligt ekv. (4.2), r G = 1 rϱdv = 1 m ϱv ϱ rdv = 1 rdv = r C. V Ω Ω Vid konstant densitet sammanfaller alltså masscentrum med geometriskt centrum. Ω

masscentrum och tyngdpunkt 27 4.3 Masscentrum för tunna kroppar För ett tunt skal definieras ytdensiteten ϱ A som skalets massa per areaenhet. Ytdensiteten kan variera över skalet, varför vi skriver ϱ A = ϱ A ( r), där r är lägesvektorn för en punkt på skalet. Vi låter Ω beteckna den yta i rymden, som skalet upptar. Låt da vara ett infinitesimalt ytelement på Ω. Motsvarande masselement blir dm = ϱ A da, så att lägesvektorn för skalets masscentrum G blir r G = 1 rdm = 1 rϱ A da, (4.6) m m Ω Ω enligt ekv. (4.2) (fig. 4.4). å motsvarande sätt generaliseras ekv. (4.5) för geometriskt centrum till r C = 1 rda, (4.7) A Ω där A = da är skalets area. Ω För en krökt tunn stång, som följer kurvan K från till Q, definieras linjedensiteten ϱ l som stångens massa per längdenhet. Låt ds beteckna ett infinitesimalt längdelement på kurvan K, så att motsvarande masselement är dm = ϱ l ds. Stångens masscentrum G ges då av r G = 1 m K rdm = 1 m K rϱ l ds, (4.8) enligt ekv. (4.2) (fig. 4.5). Ekvation (4.5) generaliseras här till r C 1 rds, (4.9) l K där l = ds betecknar kurvan K:s längd. K z y Ω x r da Figur 4.4: Geometri för definition av masscentrum för ett tunt skal Ω. z K y r x ds Q Figur 4.5: Geometri för definition av masscentrum för en tunn stång längs kurvan K. 4.4 Tyngdpunkt Gravitationen är en volymskraft, som verkar över en kropps hela område i rummet. Betrakta en kropp Ω med densiteten ϱ = ϱ( r). Kroppen påverkas då av en volymskraft, f g ( r) = ϱ( r)ḡ( r), där ḡ betecknar det tyngdkraftsfält som skapas av gravitationen. Man kan ofta med tillräckligt god noggrannhet anta att tyngdkraftsfältet ḡ( r) = ḡ är ett konstant vektorfält inom ett begränsat område. Sats 4.4 (Tyngdkraft och tyngdpunkt). För en stelkropp Ω med massan m och densiteten ϱ = ϱ( r) i ett rumskonstant tyngdkraftsfält ḡ ges kraftsumman av volymskraften ϱ( r)ḡ av tyngdkraften F g = mḡ, (4.10) och momentsumman för ϱ( r)ḡ m.a.p. kroppens masscentrum G är Σ M G = 0.

28 föreläsningar i statik Bevis. Betrakta ett godtyckligt volymselement dv med massan dm = ϱdv och lägesvektorn r. Kraften på volymselementet är (fig. 4.6) d F = ḡdm. Kraftsumman över alla volymselement ges av F g = d F Ω = ḡdm = { ḡ konstant } Ω [ ] = dm ḡ Ω }{{} =m = mḡ. z y ḡ r G x r G Ω dv z y x r G r r G d F = ḡdm Figur 4.6: Geometri för tyngkraftens verkan på en stelkropp, med en friläggning av ett volymselement. Volymselementet betraktas som en partikel (postulat 1.2) varför kraftparsmomentet på dm antas vara 0. 10 Momentsumman m.a.p. masscentrum G ges av Σ M G = ( r r G ) d F Ω = ( r r G ) ḡdm = { ḡ konstant } Ω [ ] = ( r r G )dm ḡ Ω [ ] = rdm r G dm ḡ = { r G konstant } Ω Ω [ = m 1 ] rdm r G dm ḡ m Ω Ω }{{}}{{} = r G =m = (m r G r G m) ḡ = 0 ḡ = 0. 10 Detta är i sig ett postulat. Tack vare den egenskap som påvisas i sats 4.4 är det möjligt att representera tyngdkraftens verkan på en stelkropp med en enda kraft mḡ som verkar i kroppens masscentrum.

masscentrum och tyngdpunkt 29 Ett typiskt exempel, där tyngdkraftsfältet är ḡ = g k, finns avbildat i fig. 4.7. I ett rumskonstant tyngdkraftsfält är masscentrum identiskt med tyngdpunkten, som alltså avser den punkt G där tyngdkraften mḡ anses verka. Om tyngdkraftsfältet varierar med läget, ḡ = ḡ( r), existerar ingen tyngdpunkt eftersom lodlinjerna som bildas vid förfarandet i fig. 4.2 inte nödvändigtvis kommer att ha någon gemensam skärningspunkt. ḡ = g k k j m G Figur 4.7: En stelkropp på vilket tyngdkraftsfältet vid jordens yta verkar. Tyngdkraften, som har beloppet mg, har sin angreppspunkt i tyngdpunkten G. ī mg k

5 Friktion Vid en kontakt mellan två kroppar uppstår friktionskrafter på respektive kropp, som motverkar glidning. 11 Betrakta två kroppar Ω 1 och Ω 2, som står i fysisk kontakt vid den för kropparna gemensamma punkten (fig. 5.1). Vid kontaktpunkten definieras ett tangentplan till kropparna, med normalvektorn ē n. å kropp Ω 1 verkar en normalkraft N = Nē n och en friktionskraft F f ē n. å kropp Ω 2 verkar N och F f enligt reaktionslagen. 11 Även kraftparsmoment kan uppstå för att motverka vridning kring en normal genom kontaktytan. Ω 1 Ω 1 N F f ē n Figur 5.1: Två stelkroppar i kontakt vid punkten. Tangentplanet för kontakten har indikerats. Kroppen Ω 1 har frilagts, med friktionskraften F f i tangentplanet, och normalkraften N i planets normalriktning. Ω 2 tangentplan normal Alla material uppvisar friktion mot varandra, men när friktionen mellan två kroppar bedöms vara försumbar, t.ex. p.g.a. smörjning, sägs kontaktstället vara friktionsfritt. För en friktionsfri kontakt är friktionskraften F f = 0. Med en friktionsfri yta, 12 menas att alla ytans kontaktställen är friktionsfria. 12 Benämningen glatt yta förekommer också. 5.1 Ett friktionsexperiment Betrakta experimentuppställningen i fig. 5.2. En låda vilar mot en plan vagn som i sin tur vilar mot ett plant underlag. Vagnen hålls på plats av en anordning som mäter beloppet F f av den horisontella kraften på vagnen. Lådan påverkas av en variabel horisontell kraft vars belopp mäts med en givare. En friläggning av lådan återfinns också i fig. 5.2. Kraftjämvikt i horisontell riktning visar att det kraftbelopp F f som uppmäts på vagnen är identiskt med friktionskraftens belopp. I ett experiment låter man först kraften = 0 verka på lådan, därefter ökas långsamt. I ett första skede glider inte lådan mot vagnen; den hålls på plats av statisk friktion. Så länge ingen glidning uppstår råder kraftjämvikt, vilket ger F f =. När man ökat tillräckligt

32 föreläsningar i statik G m g mg Figur 5.2: Experimentuppställning för friktionsmätning, och friläggning av rörlig del. Kraftgivare har indikerats med dubbelcirkelsymbol. N F f börjar dock lådan glida mot vagnen och accelerera. I samma ögonblick sjunker friktionskraften plötsligt och behåller ett konstant värde även µ s N om vi ökar ytterligare under rörelsen (fig. 5.3). Friktionskraften vid µ k N glidning benämns kinetisk friktion. 1 Beteendet som skildras i tankeexperimentet ovan är typiskt för så kallad torr friktion, där kontaktstället utgörs av rena torra ytor. Fukt, partiklar och oxidlager med mera på kropparnas ytor påverkar annars friktionskraftens belopp. Även temperaturen och kropparnas mekaniska egenskaper påverkar friktionen. 5.2 Coulombfriktion F f 1 statisk kinetisk Figur 5.3: Friktionskraft ritad som funktion av pålagd kraft för experimentet i fig. 5.2. Om vi begränsar oss till torr friktion mellan rena ytor under konstant temperatur, gäller följande empiriska samband 13 approximativt. Empiriskt samband 5.1 (Coulombs friktionslag). Om glidning föreligger vid ett kontaktställe gäller 13 empiriskt samband ekvation eller lag som påvisats experimentellt. F f = µ k N. (5.1) Om glidning ej föreligger, består denna statiska friktion så länge F f N < µ s. (5.2) Här är F f friktionskraften, N normalkraftens belopp, µ k den kinetiska friktionskoefficienten och µ s den statiska friktionskoefficienten, där 0 µ k µ s. Vid glidning verkar F f rakt motsatt glidhastigheten vid kontaktstället. Tankeexperimentet från stycke 5.1 (fig. 5.2 och 5.3) exemplifierar Coulombfriktion. Om glidning ej föreligger i utgångsläget kan man undersöka gränsfallet för begynnande glidning. För detta sätter man friktionskraften till det instabila gränsfall där glidning är förestående: F f = µ s N. (5.3) Detta motsvarar friktionskraftens maximum i fig. 5.3. Vid problemlösning är det ibland inte känt huruvida glidning föreligger vid kontaktstället. I sådana fall antar man först att friktionen är statisk och använder jämviktsekvationerna, ekv. (3.1a) och (3.1b), för att bestämma friktionskraftens belopp F f och normalkraftens belopp N. Om detta leder till att ekv. (5.2) ej är uppfylld måste glidning föreligga, och friktionskraften ges i stället av ekv. (5.1).

friktion 33 5.3 Friktion i ett system av kroppar Om det finns flera kontaktställen med Coulumbfriktion i ett flerkroppsproblem gäller det konstitutiva sambandet 5.1 vid varje kontaktställe. Om vi t.ex. har två kontaktställen, vid punkterna och Q, är följande fall tänkbara: Ingen glidning vid något av kontaktställena eller Q. Glidning vid men ej vid Q. Glidning vid Q men ej vid. Glidning vid både och Q. Dessa fall är avbildade i fig. 5.4. Om ett flerkroppsproblem innehåller n kontaktställen finns det maximalt 2 n tänkbara kombinationer av glidning och statisk friktion. F Q (a) m 1 m 2 F Q (b) m 1 v 1 m 2 Figur 5.4: Exempel på friktion vid flera kontaktställen. Tänkbara utfall är (a) ingen glidning, (b) endast glidning vid, (c) endast glidning vid Q, och (d) glidning vid både och Q. Det sista fallet kan åstadkommas genom att, efter att glidning uppstått vid Q, hastigt öka F. m 1 F v F m 1 v 1 m 2 v m2 Q Q v 2 (c) (d) Ibland medför problemets geometri att vissa kombinationer av glidning och statisk friktion kan uteslutas. En kil har t.ex. två kontaktställen (fig. 5.5). Glidning måste uppstå vid båda kontaktställena för att kilen ska kunna förflyttas. Således existerar bara två tänkbara fall: antingen glidning vid båda kontaktställena, eller ingen glidning vid något kontaktställe. 5.4 Remfriktion Då en rem lindas kring en cylindrisk yta motverkas glidning av friktionen mellan remmen och cylinderytan. Detta gör att spänningen i remmen kan vara olika vid den ingående respektive utgående remänden (fig. 5.6). Sats 5.2 (Remfriktion). En rem ligger an mot en cylindrisk yta med radien R, så att kontaktstället, där Coulombfriktion (samband 5.1) råder, beskriver en cirkelbåge med mittpunktsvinkeln β. Remmen är belastad med dragkrafterna S 1 och S 2 i sina respektive ändar, så att 0 < S 1 S 2 (fig. 5.7). Figur 5.5: För att en kil ska drivas in krävs glidning vid båda dess kontaktställen. S 2 S 1 Figur 5.6: Om en rem lindas kring en påle, gör friktionen att spännkraften på respektive remände skiljer sig åt.

34 föreläsningar i statik Om glidning föreligger vid kontaktstället gäller S 2 = S 1 e µ kβ, (5.4) där µ k är den kinetiska friktionskoefficienten. Om glidning ej föreligger, är gränsfallet för begynnande glidning S 2 = S 1 e µsβ, (5.5) där µ s är den statisk friktionskoefficienten. y S + S Figur 5.7: En rem är lindad kring en cirkulär cylinder med total anläggningsvinkel β. Ett litet stycke,, av snöret har frilagts. S 2 β R θ O θ S 1 x θ/2 N ē t ē n θ/2 F f S Bevis. En vinkelkoordinat θ definieras enligt fig. 5.7, så att 0 θ β över anläggningsytan. Dragkraften är en funktion S(θ), och vi inför beteckningen S = S(θ + θ) S(θ). Kraftjämvikt för det frilagda remstycket i fig. 5.7 ger : (S + S) sin θ 2 : (S + S) cos θ 2 Dessa ekvationer förenklas till S sin θ 2 + N = 0. S cos θ 2 F f = 0 N = (2S + S) sin θ 2. (5.6a) F f = S cos θ (5.6b) 2 Låt µ beteckna µ k då glidning föreligger, alternativt låt µ beteckna µ s i gränsfallet för begynnande glidning. I båda fallen gäller F f = µn. Insättning av F f = µn i ekv. (5.6b), samt division av ekv. (5.6a) med ekv. (5.6b) ger 1 µ θ (2S + S) sin 2 = S cos θ 2 = (2S + S) S tan θ 2 (5.7) Multiplicera ekv. (5.7) med µ S/ θ för att få S θ = µ(2s + S) θ tan θ 2.

friktion 35 Enligt definitionen för derivata har vi ds dθ S = lim θ 0 θ [ (2S + S) = lim µ tan θ ] θ 0 θ 2 [ ( ] µ = lim θ 0 = µs. S + S 2 }{{} 0 ) tan θ 2 θ 2 }{{} 1 Detta samband kan ekvivalent skrivas som en differential ds/s = µdθ, på vilken vi tillämpar sats C.2: S(β) S(0) ds S = µ β 0 dθ ln S 2 ln S 1 = µβ { S 1 > 0, S 2 > 0 } ln S 2 S 1 = µβ S 2 S 1 = e µβ S 2 = S 1 e µβ.

Bilagor

A Geometri A.1 lan geometri Vertikalvinklar α = β β α Tabell A.1: Terminologi för vinklar vid skärande linjer. Linjer som ej skär varandra i tabellens bilder är parallella. β Likbelägna vinklar α = β α Alternatvinklar α = β β α Komplementvinklar α + β = 90 β α Supplementvinklar α + β = 180 β α Topptriangelsatsen Likformiga trianglar uppstår när man genom en triangel ritar en linje parallell med triangelns bas (fig. A.1). För likformiga trianglar gäller a a = b b = c c. (A.1) a b Figur A.1: Geometri för topptriangelsatsen. a b c c A.2 Trigonometri Definitioner För en rätvinklig triangel med hypotenusan c och en vinkel θ, med närliggande katet b och motstående katet a, gäller (fig. A.2) θ c b Figur A.2: Geometri för definitioner av trigonometriska funktioner. a

40 föreläsningar i statik sin θ = a c cos θ = b c tan θ = sin θ cos θ = a b cot θ = cos θ sin θ = b a (A.2a) (A.2b) (A.2c) (A.2d) θ sin θ cos θ tan θ Tabell A.2: Trigonometrisk värdetabell. 0 0 1 0 ±30 ±1/2 3/2 ±1/ 3 ±45 ±1/ 2 1/ 2 ±1 ±60 ± 3/2 1/2 ± 3 ±90 ±1 0 odefinierat ±120 ± 3/2 1/2 3 ±135 ±1/ 2 1/ 2 1 ±150 ±1/2 3/2 1/ 3 ±180 0 1 0 Trigonometriska identiteter sin 2 θ + cos 2 θ = 1 (A.3a) 1 + tan 2 θ = 1 cos 2 θ (A.3b) sin(θ ± ϕ) = sin θ cos ϕ ± cos θ sin ϕ (A.3c) cos(θ ± ϕ) = cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ (A.3d) sin(2θ) = 2 sin θ cos θ (A.3e) cos(2θ) = cos 2 θ sin 2 θ (A.3f) Sinussatsen För en triangel med sidorna a, b och c, vars motstående vinklar är α, β respektive γ (fig. A.3), gäller sin α a = sin β b = sin γ. (A.4) a c Cosinussatsen För en triangel med sidorna a, b och c, där γ är motstående vinkel till c (fig. A.3), gäller γ Figur A.3: Geometri för sinus- och cosinussatsen. b β α c c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ. (A.5)

geometri 41 Amplitud och fasvinkel Det gäller att A cos θ + B sin θ = C sin(θ + ψ), (A.6) där amplituden C och fasvinkeln ψ ges av C = arctan B A, A > 0 A 2 + B 2, ψ = arctan B A + πsgn(b), A < 0 (A.7) π 2 sgn(b), A = 0, där sgn( ) betecknar teckenfunktionen.

B Vektorer Detta kapitel ger en kortfattad repetition av vektorbegreppet. En mer detaljerad framställning återfinns annorstädes. 14 B.1 Geometriska vektorer Vektorer kan representeras geometriskt som ett riktat linjesegment i planet eller i rummet, och ritas som en pil. Speciellt ritas vektorer som är riktade ut ur papperets plan som (pilspets) och de som är riktade in i papperets plan som (pilfjädrar). I detta kompendium betecknas vektorstorheter med en pil ovanför variabelnamnet, t.ex. ū. En vektors belopp betecknas ū och är längden av det linjesegment som representerar vektorn (fig. B.1a). Två vektorer ū och w är lika, ū = w, om deras belopp (längd) och rikting är lika, oberoende av deras lägen i rummet (fig. B.1b). En vektor kan bildas av ett linjesegment, som förbinder två punkter A och B. En sådan vektor betecknas AB (fig. B.1c). Vi inför den särskilda nollvektorn 0 = AA, som har beloppet 0 och en odefinierad riktning. En negerad vektor ū har samma belopp som ū, men omvänd riktning (fig. B.1d). Vidare definieras summan av två vektorer i parallellogramlagen: lacera w:s startpunkt vid ū:s slutpunkt. Då är ū + w vektorn från ū:s startpunkt till w:s slutpunkt (fig. B.1e). Vektorsubtraktion definieras ū w ū + ( w). Om ett reellt tal c multipliceras med en vektor ū blir resultaten en ny vektor cū. Om c > 0 har ū och cū samma riktning, men om c < 0 har ū och cū motsatta riktningar. Det gäller att cū är c gånger längre än ū. Följande räkneregler gäller för vektorer i både två och tre dimensioner: 14 H. Anton and C. Rorres. Elementary linear algebra. John Wiley & Sons, Inc., 8th edition, 2000. ISBN 0-471-17052-6 ū A ū (a) (c) w (e) ū B AB ū + w 1 (b) ū (d) (f) ē u Figur B.1: (a) Vektor ū med beloppet ū. (b) Ekvivalenta vektorer. (c) Vektor som förbinder två punkter. (d) Negering omkastar en vektors riktning. (e) Vektoraddition med parallellogramlagen. (f) Riktningsvektorn ē u till ū har samma riktning som ū och beloppet 1. ū ū ū + w = w + ū (B.1a) c(dū) = (cd)ū (B.1b) c(ū + w) = cū + c w (B.1c) (c + d)ū = cū + dū. (B.1d) Här betecknar c och d godtyckliga reella tal.

44 föreläsningar i statik En vektor med längden 1 kallas enhetsvektor. En godtycklig vektor ū 0 har en så kallad riktningsvektor ē u, som är en enhetsvektor med samma riktning som ū (fig. B.1f). Man kan således skriva ū = uē u ē u = ū u, (B.2) där u 0 är ett reellt tal, en så kallad skalär. Denna skalär tillåts vara såväl positiv som negativ. Denna teknik att skriva vektorer som produkten av dess storlek och riktning används flitigt vid problemlösning. B.2 Vektorer i ortogonala koordinatsystem Vi inför ett ortogonalt högerorienterat koordinatsystem med origo O och koordinaterna x, y och z i rummet. Att ett koordinatsystem är ortogonalt betyder att dess axlar är vinkelräta mot varandra. Huruvida det är högerorienterat bestäms av högerhandsregeln (fig. B.2). I detta kompendium används endast ortogonala högerorienterade koordinatsystem. Varje koordinataxel x, y och z definierar en riktningsvektor ī, j respektive k i koordinatens positiva riktning (fig. B.3a). Vektorerna ī, j och k bildar en ortogonal bas, vilket innebär att en godtycklig vektor ū kan representeras entydigt som ū = u x ī + u y j + u z k, (B.3) där u x, u y och u z är skalärer (reella tal) och kallas vektorn ū:s komponenter. Termerna u x ī, u y j och u z k är ū:s komposanter (fig. B.3b). Av bekvämlighetsskäl används ibland ett ekvivalent beteckningssätt, där vektorn skrivs som en kolumnmatris: u x ī + u y j + u z k = u x u y u z. Att en vektors representation i en ortogonal bas är unik är särskilt viktigt. Tack vare denna egenskap gäller det att u x = w x ū = w u y = w y (B.4) u z = w z. En ekvation på vektorform kan alltså skrivas om till ett ekvationssystem med reella koefficienter och variabler. z Figur B.2: Högerhandregeln: Då högerhandens tre första fingrar hålls i vinkelrätt läge mot varandra pekar de ut x-, y- och z-axelns riktningar. k z j z k ī y j u z (a) u y (b) y ī y ū u x Figur B.3: (a) Ortogonalt högerorienterat koordinatsystem med ortogonala basvektorer ī, j och k. (b) En vektor ū med sina tre komposanter u x ī, u y j och u z k ritade met öppna pilhuvuden. x x x B.3 Skalärprodukt Skalärprodukten mellan två godtyckliga vektorer ū = u x ī + u y j + u z k och w = w x ī + w y j + w z k definieras som ū w ū w cos ϕ, (B.5)

vektorer 45 där ϕ är vinkeln mellan ū och w, så att 0 ϕ 180. Man kan visa att ū w = u x w x + u y w y + u z w z. (B.6) Resultatet av en skalärprodukt är, som synes, en skalär. En följd av ekv. (B.5) är att skalärprodukten för nollskilda vinkelräta vektorer (ϕ = 90 ) är 0: ū w ū w = 0. (B.7) Enligt ekv. (B.5) gäller också att ū ū = ū 2, eftersom cos 0 = 1. Ur detta samband får vi en formel för en godtycklig vektors belopp ū = ū ū = u 2 x + u 2 y + u 2 z. (B.8) Följande räkneregler gäller för skalärprodukt i både två och tre dimensioner: ū w = w ū (B.9a) ū ( v + w) = ū v + ū w (B.9b) c(ū w) = (cū) w, (B.9c) där c är en skalär. Räknereglerna för skalärprodukt ger att ū ī = u x (ī ī) + u y ( j ī) + u z ( k ī) = u x 1 + u y 0 + u z 0 = u x. Detta kan generaliseras till en godtycklig axel λ med riktningen ē λ ; vi har att ū ē λ är vektorn ū:s komponent i λ-riktningen. Skalärprodukten med en enhetsvektor ē λ kan tolkas som en ortogonal projektion på λ- axeln: λ u λ = ū ē λ = ū cos ϕ, där ϕ är vinkeln mellan ū och ē λ (fig. B.4). (B.10) ū ϕ ē λ ū ēλ B.4 Kryssprodukt Kryssprodukten ū w mellan två vektorer definieras med determinantnotation som ī j k ū w u x u y u z = w x w y w z Figur B.4: rojektion av en vektor på en godtycklig axel λ genom skalärmultiplikation med riktningsvektorn. = (u y w z u z w y )ī + (u z w x u x w z ) j + (u x w y u y w x ) k. (B.11) Resultatet från en kryssprodukt är alltså en vektor. En konsekvens av definitionen är att resultatvektorns belopp ges av ū w = ū w sin ϕ, (B.12)

46 föreläsningar i statik ū där ϕ är vinkeln mellan ū och w. Dessutom är ū w vinkelrät mot både ū och w, och dess orientering följer högerhandsregeln (fig. B.5). Vidare gäller enligt ekv. (B.12) att om ϕ = 0 eller ϕ = 180 blir kryssprodukten 0: w ū w ū w ū w = 0. (B.13) Följande räkneregler gäller för kryssprodukt: Figur B.5: För kryssprodukt ges resultatvektorns riktning av högerhandsregeln. ū w = ( w ū) (B.14a) ū ( v + w) = ū v + ū w (B.14b) c(ū w) = (cū) w = ū (c w), (B.14c) ū ū = 0, (B.14d) där c är en skalär. Notera särskilt ekv. (B.14a): kryssprodukten byter tecken när multiplikanderna kastas om. Det finns också räkneregler som inbegriper både skalär- och kryssprodukt: ū ( v w) = (ū w) v (ū v) w (B.15a) ū ( v w) = w (ū v) = v ( w ū). (B.15b) B.5 Vektorvärda funktioner Om en vektor ū:s värde beror av en parameter t, som inte nödvändigtvis behöver vara tid, bildas en vektorvärd funktion ū(t). Denna kan skrivas ū(t) = u x (t)ī + u y (t) j + u z (t) k, (B.16) där u x (t), u y (t) och u z (t) är vanliga skalära funktioner, och ī, j och k är konstanta basvektorer. 15 Derivatan av den vektorvärda funktionen i ekv. (B.16) definieras dū dt lim ū(t + t) ū(t) = du x t 0 t dt ī + du y dt j + du z dt k. (B.17) roduktregeln gäller både för produkt med en skalär funktion, skalärprodukt mellan vektorvärda funktioner och kryssprodukt mellan vektorvärda funktioner. Det gäller alltså att d dc (cū) = dt dt ū + cdū dt, d dū d w (ū w) = w + ū dt dt dt, d dū d w (ū w) = w + ū dt dt dt, (B.18a) (B.18b) (B.18c) där c, ū och w alla är funktioner av t. Den bestämda integralen av den vektorvärda funktionen ū(t) i ekv. (B.16) är 15 Allmänt kan vektorvärda funktioner flera parametrar och andra värdemängder än R 3. t2 t2 t2 t2 ūdt = u x dtī + u y dt j + u z dt k. (B.19) t 1 t 1 t 1 t 1

C Differentialer För en funktion y(t) betecknar dy/dt derivatan av y m.a.p. t, vilken definieras som ett gränsvärde. Denna beteckning skall inte uppfattas som en kvot mellan en täljare dy och en nämnare dt, eftersom denna kvot i så fall skulle vara 0/0, vilket är odefinierat. Istället skall dy/dt betraktas som en symbol för derivata. Inom fysik är det ändå vanligt att man behandlar dt som en oberoende variabel, vilken benämns differentialen av t, och tillåts ha ett ändligt reellt värde. Dessutom betraktar man dy som en beroende variabel, vilken benämns differentialen av y. 16 16 R. A. Adams. Calculus: A complete course. Addison Wesley Longman, Definition C.1 (Differential). Om y(t) är en deriverbar funktion definieras differentialen av y som Ltd., 4th edition, 1999. ISBN 978-0- 201-39607-2 dy = dy dt dt, (C.1) där dt är en oberoende variabel som kallas differentialen av t. I ekv. (C.1) betecknar dy/dt som vanligt derivatan av y m.a.p. t. Vi kan konstatera att dy = dy(t, dt) är en funktion av variablerna t och dt. För en given funktion f(t) gäller enligt definitionen, ekv. (C.1), att dy = f(t)dt dy dt = f(t). (C.2) Detta betyder att differentialuttrycket kan ses som en alternativ notation för derivata. Eftersom de båda leden i ekv. (C.1) är reella tal, erbjuder differentialnotationen nya möjligheter; alla algebraiska operationer, som är tillåtna för vanliga skalära ekvationer, är även tillåtna för ekvationer som innehåller differentialer. Sats C.2 (Separabla differentialekvationer). Om y(t) är en deriverbar funktion, och f(t) och g(y) är givna funktioner, gäller det att g[y(t)]dy = f(t)dt y2 t2 g(y)dy = f(t)dt, (C.3) y 1 t 1 där y 1 = y(t 1 ) och y 2 = y(t 2 ).

48 föreläsningar i statik Bevis. Vi har g[y(t)]dy = f(t)dt f(t) dy = g[y(t)] dt { def. C.1 } dy f(t) = dt g[y(t)] g[y(t)] dy = f(t). dt Detta utgör en separabel differentialekvation. Integration av dess båda led m.a.p. t ger t2 g[y(t)] dy dt dt = t 1 y(t2) y(t 1) g(y)dy = t2 t 1 f(t)dt { subst. y = y(t) } t2 t 1 f(t)dt. Sats C.3 (Differentialekvation med två parametriserade funktioner). Om x(t) och y(t) är deriverbara funktioner, och g(y) och h(x) är givna funktioner, gäller det att g[y(t)]dy = h[x(t)]dx y2 x2 g(y)dy = h(x)dx, (C.4) y 1 x 1 där y 1 = y(t 1 ), y 2 = y(t 2 ), x 1 = x(t 1 ) och x 2 = x(t 2 ). Bevis. Vi har g[y(t)]dy = h[x(t)]dx { def. C.1 } g[y(t)] dy dt dt = h[x(t)]dx dt dt { div. med dt } g[y(t)] dy dt = h[x(t)] dx dt. Integration av båda led m.a.p. t ger t2 g[y(t)] dy dt dt = t 1 y(t2) y(t 1) g(y)dy = t2 t 1 x(t2) x(t 1) h[x(t)] dx dt dt h(x)dx. { } subst. y = y(t) x = x(t)

D Storhet, enhet och dimension En storhet är en mätbar egenskap hos ett föremål eller en företeelse. Varje storhet besitter en fysikalisk dimension och en storlek. Med dimension avses vilken typ av storhet det är frågan om, t.ex. längd, tid, fart, massa eller kraft. Med storlek avses relativ storlek jämfört med någon annan storhet med samma dimension. D.1 Dimension De grundläggande dimensionerna inom mekanik är tid (T), längd (L) och massa (M). 17 Från dimensionerna T, L och M kan härledda dimensioner bildas. Eftersom fart definieras som en sträcka (L) per tidsenhet (T), skrivs dimensionen för fart L/T. å motsvarande sätt har acceleration dimensionen L/T 2. Ett därutöver nämnvärt fall är dimensionen för vinklar. En vinkel definieras som kvoten mellan en cirkelbåges längd (L) och cirkelradien (L). Vinkelns dimension är därför L/L = 1. Vi säger att en storhet är dimensionslös när den har dimensionen 1. 18 D.2 Enhet En enhet är en välbestämd storhet, som används som referens vid beskrivning av andra storheter av samma dimension. Enligt SI-systemet 19 används följande enheter för dimensionerna tid, längd och massa: En sekund (s) har dimensionen T och definieras som varaktigheten hos 9 192 631 770 perioder av strålningen från övergången mellan de två hyperfina energinivåerna hos Cesium-133-isotopen i sitt grundtillstånd vid absoluta nollpunkten. 17 Det är även möjligt att välja tre andra grundläggande dimensioner, t.ex. tid, längd och kraft. 18 Storheter har alltid en dimension, så begreppet dimensionslös är oegentligt. 19 Bureau International des oids et Mesures. The International System of Units (SI). 8th edition, 2006 En meter (m) har dimensionen L och definieras som den sträcka ljuset färdas i vakuum under 1/299 792 458 sekunder. Ett kilogram (kg) har dimensionen M och definieras som massan hos arkivkilogrammet: ett cylinderformat metallföremål (fig. D.1). 20 Härledda enheter kan bildas från produkten eller kvoten av fördefinierade enheter. Till exempel kan vi bilda enheten meter per sekund 20 R. Davis. The SI unit of mass. Metrologia, 40(6):299 305, 2003

50 föreläsningar i statik (m/s), som får dimensionen L/T och alltså kan användas för att beskriva fart. Dessutom kan prefix användas för att beteckna multiplar eller andelar av en enhet, t.ex. betyder mikrosekund (µs) en miljondels sekund, där mikro- (µ) är prefixet för en miljondel. Några vanliga prefix återfinns i tabell D.1. Det finns även enheter med dimensionen 1, t.ex. procent [%] och enheter för vinklar som radianer [rad] och grader [ ]. Gemensamt för dessa enheter är att de definieras matematiskt, utan hänvisning till något fysikaliskt fenomen. D.3 Mätetal Värdet hos en storhet X, med avseende på en enhet E, uttrycks som en produkt av ett mätetal n och enheten: X = ne, (D.1) där n är en reell koefficient som inte påverkar uttryckets dimension. En vektorstorhet X kan skrivas X = ne, (D.2) där n är en vektor med reella komponenter. Om hastigheten v är 5,0 m/s i z-riktningen är det således korrekt att skriva: v = 5,0 k m/s. D.4 Räkneregler för dimension Figur D.1: Kopia av arkivkilogrammet, som förvaras hos National Institute of Standards and Technology i USA. refix Symbol Faktor tera- T 10 12 giga- G 10 9 mega- M 10 6 kilo- k 10 3 hekto- h 10 2 deci- d 10 1 centi- c 10 2 milli- m 10 3 mikro- µ 10 6 nano- n 10 9 pico- p 10 12 Tabell D.1: Några prefix som används inom SI-systemet. Vi använder beteckningssättet [X] för dimensionen hos en storhet X. Till exempel betyder [l] = L att l har dimensionen längd. Om X och Y är storheter gäller det att X = Y [X] = [Y ]. (D.3) Dimensionen hos de båda leden av en ekvation måste alltså vara lika. För dimensioner gäller följande räkneregler [nx] = [X] { (D.4a) [X + Y ] = [X], om [X] = [Y ] odefinierat, annars (D.4b) [XY ] = [X] [Y ] (D.4c) [X n ] = [X] n (D.4d) där n är ett reell tal. En dimensionsbetraktelse av kraftlagen, ekv. (1.4), ger [ Σ F ] = [mā] = { ekv. (D.4c) } = [m] [ā] = M L T 2, så att dimensionen för kraft ges av en kombination av de grundläggande dimensionerna.