Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst till ett intervll [,b]. I prktiken behöver mn dock utvidg integrlbegreppet till tt omftt även ickebegränsde funktioner och intervll. För tt övertyg oss kn vi nvänd följnde exempel: Exempel, Integrler i snnolikhetslärn Antg tt vi producerr glödlmpor. När vi kvlitétskontrollerr glödlmporn mäter vi blnd nnt lmpns brinntid. Som producent kn vi till konsumenten dock ldrig nge någon exkt brinntid utn kn genom försök och mtemtisk modeller endst nge snnolikheten för tt lmpn skll lys si och så länge. En vnlig mtemtisk modell är den s.k. normlfördelningen, vilken är en icke-negtiv funktion ψ definierd på R och som kn nvänds för tt beskriv snnolikhetstätheten vid mång typer v sttistisk försök. Snnolikheten tt utfllet v försöket, i vårt fll brinntiden, skll hmn inom något specifikt tidsintervll [t,t 2 ] får mn genom integrtion över intervllet, d.v.s. P (t t t 2 ) = t t ψ(t)dt Nturligtvis måste också gäll tt snnolikheten för någon uppmätt brinntid, kort eller lång, är (= %). Om funktionen är centrerd kring den mest snnolik brinntiden (väntevärdet) måste det betyd tt d.v.s. P ( < t < ) = ψ(t)dt = (Dett är ett krv som måste ställs på funktionen ψ.) Om vi nvänder retolkningen v den här integrlen kn mn vid först nblicken inges tt tro tt ren är oändligt
stor. Som vi nu inser så är dock ren, d.v.s. integrlens värde begränsd med ett bestämt värde. Exemplet visr på nödvändigheten v en utvidgd definition v integrlbegreppet. Vi behöver kombiner den gml definitionen med en gränsvärdesprocess. Vi börjr med tt studer fllet med ett obegränst integrtionsintervll Obegränst integrtionsintervll Definition Om gränsvärdet r lim f(x) dx () r existerr och är lik med K, sägs den generliserde integrlen f(x) dx (2) vr konvergent. Tlet K är den generliserde integrlens värde. Om gränsvärdet inte existerr säger mn tt den generliserde integrlen är divergent. Exempel 2: Avgör om den generliserde integrlen e x dx är konvergent. Bestäm i sådnt fll dess värde. Lösning: Eftersom r lim e x [ dx = lim e x ] r r r = lim r ( er + ) = (3) så är integrlen kovergent. Integrlens värde är lik med gränsvärdet, d.v.s. Exempel 3: Avgör om den generliserde integrlen x dx är konvergent. Bestäm i sådnt fll dess värde. e x dx = (4) 2
Lösning: Eftersom i dett fll r x dx = [ln(x)]r = ln(r) då r (5) så är integrlen divergent. Gränsvärdet existerr ej och integrlen kn inte bestämms. Obegränsd integrnd Exempel 4: Låt oss nu betrkt funktionen f(x) = x vilken inte är definierd för x =. I dett fllet växer funktionens värde obegränst då x går mot från den positiv sidn (x + ). Integrlen 4 sägs därför vr generliserd i ändpunkten. x dx Definition Om gränsvärdet lim r + b r f(x) dx (6) existerr då funktionen f är definierd på ett intervll < x b, så är den generliserde integrlen b f(x) dx (7) konvergent med värdet K. Om gränsvärdet inte existerr klls den divergent. 3
Exempel 4: forts. För tt vgör om integrlen ovn är konvergent går vi tillväg på smm sätt som tidigre. 4 r x dx = [ 2 x ] 4 r = 4 2 r 4 då r + (8) d.v.s. 4 Exempel 5: x dx = 4 (9) Betrkt 2 x dx Integrlen är generliserd i ändpunkten eftersom x då x + () och är konvergent med värdet 2 eftersom 2 r x dx = [ 2 x ] 2 r = 2 2 r 2 då r + () 4
Uppgifter. Bestäm om möjligt följnde integrler ) 3 x 4 dx b) x 2/3 dx c) 2 dx x + 2. Bestäm ) 4xe x2 dx b) x 2 e x3 dx c) x x dx 3. Vis tt följnde generliserde integrler är divergent ) dx x b) π/2 cos 2 (x) dx 4. Bestäm om möjligt sin(r)dr 5. En kropp som befinner sig i jordens tyngdkrftfält, påverks v krften F = mgr 2 r 2 där m är kroppens mss, g är tyngdccelertionen, R är jordens rdie och r är kroppens vstånd till jordens centrum. Den minst hstighet v som en kropp måste h vid jordytn för tt kunn frigör sig från jordens grvittionsfält, kn därför beräkns ur ekvtionen mv 2 2 = R mgr 2 r 2 dr vilken är ett uttryck för det rbete (W = F r) som krften F uträttr på kroppen. Beräkn flykthsigheten v, om mn vet tt R = 6, 37 6 m och 9, 82 m/s 2. 6. Integrlen x α dx är generliserd (i origo) om α > eftersom funktionen f(x) = då inte är xα begränsd i intervllet < x. För vilk värden på α är integrlen konvergent respektive divergent? 5
Fcit. ) b) divergent c) 2 3 2. ) 2 b) 3 c) divergent 3. Vis för respektive integrl tt b f(x) dx sknr gränsvärde i den ändpunkt där integrlen är generliserd. Kom ihåg! 4. ) Integrlen är divergent eftersom t sknr gränsvärde då t. 5. v = 2gR =, 2 km/s. Observer tt sin(x) cos 2 dx = tn(x) + C = (x) cos(x) + C sin(x) dx = [ cos(x)] t = cos(t) + R r 2 dr = R 6. x α dx är { konvergent om α < divergent om α 6