Mtemtik för sjöingenjörsprogrmmet Mtemtisk Vetenskper 29 ugusti 202 Innehåll Aritmetik och lger. Räkning med nturlig tl och heltl.................... Nturlig tl.......................... 2..2 Negtiv tl........................... 8..3 Räkneregler........................... 0..4 Övningr.............................2 Bråkräkning............................... 2.2. De rtionell tlen....................... 2.2.2 Räkning med rtionell tl................... 3.2.3 Räkneregler........................... 6.2.4 Övningr............................ 8.3 Potenser med heltlsexponent...................... 9.3. Potenser............................. 9.3.2 Potens med heltlsexponent.................. 20.3.3 Räkneregler........................... 20.3.4 Övningr............................ 22.4 Reell tl................................ 22.4. Olikheter för reell tl..................... 26.4.2 Räkneregler för olikheter.................... 27.4.3 Övningr............................ 28.5 Asolutelopp.............................. 29
.5. Övningr............................ 30.6 Kvdrtrötter.............................. 30.6. Kvdrtroten ur ett positivt reellt tl.............. 3.6.2 Räkneregler........................... 32.6.3 Övningr............................ 34.7 Potenser med rtionell exponent.................... 35.7. n-te roten ur reell tl..................... 35.7.2 Räkneregler........................... 36.7.3 Potenser med rtionell exponent................ 37.7.4 Räkneregler........................... 38.7.5 Övningr............................ 39.8 Algerisk omskrivningr....................... 40.8. Pscls tringel och (+) n.................. 42.8.2 Rtionell uttryck........................ 43.8.3 Uttryck som innehåller rötter.................. 45.8.4 Övningr............................ 45 Aritmetik och lger I dett kpitel skll vi först ret med grundläggnde ritmetik, lltså de fyr räknesätten, för olik typer v tl. I den senre delen v kpitlet ehndls hntering v lgerosk uttryck. Vi rekommenderr tt du inte nvänder räknre eller formelsmling då du löser uppgiftern. De kunskper du får genom tt dels räkn själv och tänk på vilk räkneregler du nvänder, och dels lär dig en del fkt istället för tt förlit dig på formelsmlingen, är oerhört värdefull för din fortstt studier. I mång mtemtikintensiv utildningr förvänts du klr dig utn hjälpmedel.. Räkning med nturlig tl och heltl De nturlig tlen är tlen 0,, 2, 3, 4,... (De tre vslutnde punktern i listn indikerr tt mönstret fortsätter utn slut.) De negtiv heltlen är, 2, 3, 4,... Ilnd skriver mn negtiv tl med en prentes: ( ), ( 2), ( 3), ( 4),... 2
De nturlig tlen och de negtiv tlen ildr tillsmmns heltlen..., 4, 3, 2,, 0,, 2, 3, 4,... Ett viktigt ord i det mtemtisk språket är egreppet mängd. I normlsvensk etyder ordet ett stort ntl eller en mätr nsmling. I mtemtik är en mängd en smling ojekt, element. Så hr t ex mängden v de nturlig tlen vrje nturligt tl som element. Tlet 3 är ett element i mängden, liksom vrje nnt nturligt tl. Mängden v ll nturlig tl eteckns oft N. Med symoler skriver vi tt 3 är ett nturligt tl som 3 N. Det fktum tt inte är ett nturligt tl skrivs N. På smm sätt tlr mn om mängden v ll heltl Z, mängden v ll negtiv heltl Z och mängden v ll positiv heltl Z +. Tlet 0 är vrken positivt eller negtivt. Om vrje element i en mängd A också är element i en nnn mängd B så säger vi tt A är en delmängd till B vilket skrivs A B. Vi hr t ex tt N Z, eftersom vrje nturligt tl även är ett heltl.... Nturlig tl Två nturlig tl kn dders, vilket v ll uppftts som närmst självklrt. Det fktum tt termern kn yt plts med vrndr utn tt resulttet ändrs, d v s tt opertionen ddition är kommuttiv, (+ = + för ll nturlig tl och ), är också något så självklrt tt mn sälln eller ldrig reflekterr över det. Opertionen är r definierd för pr v tl. Vid ddition v fler än två tl måste mn därför i princip mrker den ordning dditionern skll utförs i med prenteser, så 3+(6+3) = 3+9 = 22 och (3+6)+3 = 9+3 = 22. Vi vet dock tt det, precis som i exemplet ovn, inte spelr någon roll hur vi sätter prentesern. Summn v tlen 3, 6 och 3 är 22 i vilken ordning vi än räknr. Allmänt gäller tt + ( + c) = ( + ) + c för ll nturlig tl, och c, och vi säger tt dditionen är ssocitiv. Om ing prenteser skrivits ut gäller läsriktningsprioritet, d v s dditionern utförs från vänster till höger. Uttrycket 3+6+3+5 tolks lltså som ((3+6)+3)+5. Tlen som dders klls termer och resulttet v dditionen klls summ. Multipliktion v nturlig tl är upprepd ddition, så t ex 6 7 = 7+7+7+7+7+7 = 42. Även multipliktion är som eknt kommuttiv, d v s = för ll nturlig tl och. Dett är inte lik uppenrt som för ddition. Kommuttiviteten är Att 5 påsr med 3 kolor i vrje och 3 påsr med 5 kolor i vrje är lik mycket härligt godis är inte uppenrt för ett litet rn. 3 Figur : =
självklr om mn föreställer sig en inrutd rektngel med rutor i en riktningen och rutor i den ndr. Det totl ntlet rutor t är oeroende v ordningen i vilken mn räknr dem, och mn får tt t =, lterntivt t =, eroende på vilken sid mn utgår ifrån. Multipliktionen är också ssocitiv, d v s ( c) = ( ) c, för ll nturlig tl, och c. Ett rätlock med sidorn, och c kn nvänds för tt inse dett. Tlen som multiplicers klls fktorer och resulttet v multipliktionen klls produkt. Smmntget ehöver mn vrken ry sig om ordning eller prenteser när mn r hr en v opertio- nern ddition eller multipliktion. Då åde ddition Figur 2: ()c=(c) och multipliktion är inlndde, som i eräkningen v 3 + 4 7, kommer prioritetsregeln multipliktion före ddition in, så tt 3 + 4 7 = 3 + 28 = 3. Här gäller lltså inte läsriktningsprioritet. Vill vi tt dditionen skll utförs först måste vi mrker det med prenteser: (3 + 4) 7 = 7 7 = 49. Denn uträkning kn också görs med distriution som (3+4) 7 = 3 7+4 7 = 2+28 = 49. Allmänt gäller vid ddition följt v multipliktion den distriutiv lgen: (+) c = c+ c, för ll nturlig tl, och c. Dett övertygr mn sig om genom tt t två rektnglr som estår v c respektive c rutor och lägg dem redvid vrndr. Om, N så säger vi tt är större än, vi skriver >, om det finns c N, c 0, sådnt tt = +c. Vi säger tt är mindre än och skriver <, om >. Dett stämmer överens c c med den intuitiv uppfttningen om jämförelse melln tl (" är större än om är lik med + plus lite till"). Vi säger tt är större än eller lik med,, om > eller =, d v s om det Figur 3: (+)c=c+c finns c N sådnt tt = +c. (Noter tt, medn, d v s är större än eller lik med, men är inte större än.) För definierr vi sutrktion v med, = c, där c är smm som ovn, d v s = c, om = +c. I fllet < finns inget c N sådnt tt = +c. Sutrktion i det fllet kräver tt mn lämnr de nturlig tlen. Frågn diskuters i näst vsnitt. 4 c c
Division är i någon mening den motstt opertionen till multipliktion, d v s eftersom 6 7 = 42 så är 42 = 6. I det här vsnittet hndlr det endst om division v nturlig 7 tl. Multipliktion v nturlig tl är som vi nämnde tidigre smm som upprepd ddition och division är därför upprepd sutrktion. Vi får lltså 42 7 = 6 eftersom 42 7 7 7 7 7 7 = 0. (De gml meknisk räknemskinern yggde helt på denn princip.) Förutom vnligt råkstreck nvänder vi i texten ilnd som divisionstecken 2. Antlet gånger mn kn utför sutrktionen klls kvot. Om mn så småningom, som i exemplet ovn, kommer till 0, säger mn tt divisionen går jämnt ut. Om divisionen inte går jämnt ut får mn en rest, d v s ett tl som inte är 0, men som är för litet för tt mn sk kunn sutrher vidre. T ex får vi d v s 45 7 = 6+ 3 7. 45 7 7 7 7 7 7 = 3, Vid division v 45 med 7 får mn lltså kvoten 6 och resten 3. Att mn vid division v n med m får kvot q och rest r, är smm sk som tt n kn skrivs som n = mq+r, där resten r är ett nturligt tl mindre än m, d v s 0 r < m. I exemplet ovn hr vi tt 45 = 7 6+3. Det är värdefullt tt kunn utför så klld lång division v nturlig tl för hnd, inte minst för tt underlätt polynomdivision längre frm. Algoritmen mn nvänder är lltid densmm, men uppställningen kn vrier, t ex liggnde stolen eller trppn. Vilken mn väljer är helt oviktigt. Här nedn nvänds liggnde stolen. Schemtiskt ser den ut så här: Kvot Täljre Nämnre Exempel. Vi önskr eräkn 8476 23. Lösning. För tt det skll vr enklre tt följ klkylern redoviss vrje steg i en ny stol. En förklring ges efter exemplet. Kvot 8476 23 3 8476 69 5 23 36 8476 69 57 38 9 23 368 8476 23 69 57 38 96 84 2 Rest 2 Det finns mång tecken som nvänds för tt eteckn division,, :, /, eller ett vnligt råkstreck. 5
Vi ser här tt 8476 23 = 368 med rest 2, d v s 8476 23 = 368+2 23, eller, som vi är mer vn vid tt skriv, 8476 2 = 368+. Vi kn också skriv om resulttet utn 23 23 något divisionstecken som 8476 = 23 368 + 2. Om du tycker tt lgoritmen är svåregriplig eller krånglig kn du knske h hjälp v följnde förklring: Det är väldigt oprktiskt tt sutrher tlet 23 från tlet 8476 mer än 300 gånger. Därför effektiviserr mn genom tt först räkn ut hur mång hundr gånger 23 går i 8476. Eftersom 84 23 = 3 med rest 5 går 23 minst 300 gånger i 8476, men inte 400 gånger. Vi kn därmed skriv hundrtlssiffrn 3 i kvoten och sutrher 300 23 från 8476. Vi hr tt 84 3 23 = 5 och 8476 300 23 = 500+76 = 576. I den ndr stolen är inte nollorn utskrivn, de är underförstådd. I den tredje stolen ts inte siffrn 6 med i resten 576. Det etyder inget, men mn rukr gör så eftersom den inte kommer in i klkylern i dett steg. I tredje stolen får vi 57 23 = 6 med rest 9. Alltså går 23 minst 60 gånger i 576, men inte 70 gånger. Vi får 57 6 23 = 9 och 576 60 23 = 90+6 = 96. Vi kn nu skriv tiotlssiffrn 6 i kvoten. Slutligen får vi 96 23 = 8 med rest 2. Alltså är 96 = 8 23 + 2 och kvotens entlssiffr är 8. Klkylern ovn kn smmnförs som 8476 = 300 23+576 = 300 23+60 23+96 = 360 23+96 = 360 23+8 23+2 = 368 23+2. Alltså 8476 23 = 368 med rest 2, eller 8476 2 = 368+ 23 23. Fllet då divisionen går jämnt ut, lltså fllet r = 0, är speciellt intressnt. I dett fll är = c där c också är ett nturligt tl. Tlet är lltså produkten v de två fktorern och c. Det finns mång synonymer för dett. Om divisionen går jämnt ut så säger mn tt är delrt med, eller dels v, eller delr, eller är divisor till, eller är delre till, eller är en fktor i, eller 6
är en multipel v. T ex hr vi tt 8464 23 = 368 med rest 0. Dett inneär tt 8464 23 = 368 så med ndr ord är 8464 delrt med 23 och 23 en fktor i 8464. Eftersom =, så hr lltid delrn och ( är med ndr ord delre till ll tl). Om är delre till där och så klls äkt delre till. Definition: Tl som är större än och som sknr äkt delre klls primtl. Tl som hr äkt delre klls smmnstt tl. Tlet är en enhet och klls vrken primtl eller smmnstt tl. All tl som är delr med två klls jämn, övrig nturlig tl klls udd. Att ett tl n är jämnt etyder tt det ger rest 0 vid division med 2, d v s n = 2k för något nturligt tl k. Att n är udd etyder tt det ger rest vid division med 2 (den end möjlig resten förutom 0), d v s n = 2k + för något nturligt tl k. De fem minst primtlen är 2, 3, 5, 7 och. All jämn tl större än 2 hr ju 2 som en äkt delre, så primtl större än 2 måste därför vr udd tl. Tlet 5 kn skrivs som produkt v primtlen 3 och 5, 5 = 3 5, och 5 hr lltså 3 och 5 som äkt delre. I denn produkt kn fktorerns ordning vriers, d v s 5 = 3 5 = 5 3. Bortsett från det är fktoruppdelningen unik. För tt övertyg oss om dett i det konkret fllet kn vi resoner som följer: Om 5 =, där och är nturlig tl större än, så är åde och mindre än 5. Nu kn vi ntingen test ll möjlig produkter v tl melln och 5, eller också reducer ntlet försök genom tt inse tt 4 4 > 5 och tt minst ett v tlen och därför måste vr mindre än 4. Vi ser då lätt tt end möjligheten tt skriv 5 som produkt v primtl, om vi ortser från ordningen, är 5 = 3 5. Resonemnget ovn om möjlig fktorer gäller generellt: Om tlet c inte är ett primtl så hr c en primtlsfktor p, < p c. Det är lltså reltivt enkelt tt vgör om ett visst tl är ett primtl under förutsättning tt tlet inte är särskilt stort. Tg som exempel tlet 97. Om 97 inte är ett primtl så hr det en primtlsfktor p som uppfyller p 97 < 00 = 0. Det räcker då tt konstter tt 97 inte finns i någon v multipliktionstellern för primtl mindre än 0 för tt dr slutstsen tt 97 är ett primtl. För stor tl är det däremot tidsödnde tt vgör om tlet är ett primtl eller ej på dett sätt, till och med om det är ett dtorprogrm som genomför undersökningen. Det finns dock mer sofistikerde och snre sätt tt undersök riktigt stor tl om mn hr tillgång till en dtor. Det fktum tt 5 r kunde fktorisers i primtlsfktorer på ett end sätt gäller generellt. Redn under ntiken evisde Euklides i Element (ok 9) följnde centrl sts om uppdelning i primtlsfktorer. 7
Aritmetikens fundmentlsts: Vrje nturligt tl som är större än kn skrivs som en produkt v primtl. Bortsett från ordningsföljden är primtlsfktorern entydigt estämd. (Här utvidgr vi egreppet produkt något och kllr även ett ensmt primtl för en produkt v primtl.) Som exempel på hur mn kommer frm till en primtlsfktorisering sk vi skriv tlet 8464 som en produkt v primtlsfktorer. Vi vet redn tt 8464 = 23 368, men här gerr vi som om vi inte visste det. Tlet är jämnt, så vi kn skriv 8464 = 2 4232. Nu sk 4232 fktorisers; det är också ett jämnt tl. Vi fortsätter ryt ut tvåor så länge det går och får 8464 = 2 4232 = 2 2 26 = 2 2 2 058 = 2 2 2 2 529. Tlet 529 är udd, så vi får nu let efter primtlsfktorer större än två. Undesökning visr tt 529 inte är delrt med vre sig 3,5,7,,3,7 eller 9, men väl med 23, 529 = 23 23, och vi får slutligen 8464 = 2 2 2 2 23 23 = 2 4 23 2, en produkt v primtl. (Här nvänder vi potenser med heltlsexponenter som ett kort skrivsätt för upprepd multipliktion v ett tl med sig självt, = 4. Potensräkning diskuters ingående senre i kursen.) Ett evis för tt vrje tl kn skrivs som en produkt v primtl ygger på tt ett tl som inte är ett primtl kn skrivs som produkt v två mindre tl. Antingen är dess primtl, eller så kn de skrivs som produkt v ännu mindre tl, vilk i sin tur ntingen är primtl eller kn skrivs som produkt v ännu mindre tl o s v. Processen är ändlig, eftersom mängden v nturlig tl, skild från noll, hr ett minst element, nämligen. Vi vstår här från tt vis tt fktorern är entydigt estämd, vilket är etydligt knivigre. En nnn v Euklides viktig stser är: Sts: Det finns oändligt mång primtl. Bevis. Antg motstsen, d v s ntg tt det r finns ändligt mång primtl, p, p 2,..., p n. Bild produkten M v ll dess och lägg till. Enligt ritmetikens fundmentlsts måste då M + = p p 2 p n + vr en produkt v primtl, men det är inte möjligt eftersom tlet ger rest vid division med vilket primtl p k som helst. Motsägelsen visr tt vårt ntgnde om tt primtlen är ändligt mång är felktigt, lltså finns det oändligt mång primtl. En list över ll primtl skulle lltså li oändligt lång, men mn kn nturligtvis ge en ändlig list över ll primtl upp till ett visst tl. Denn list kn sedn nvänds vid primtlsfktorisering v större tl. Vill mn på ett systemtiskt sätt plock frm ll primtl upp till ett givet tl kn mn nvänd Erthostenes primtlssåll från c 230 fvt. Dett eskrivs i mång läroöcker och kn säkert hitts på Internet. Idén är tt utgå från ll nturlig tl från 2 t o m den önskde övre gränsen. Successivt stryker mn ll äkt multipler v primtlen med örjn från 2, sedn 3, 5 o s v. Det minst överhoppde tlet som är större än de hittills funn primtlen måste vr näst primtl 8
i listn. Då mn strukit multiplern v 2, 3 och 5 är minst överhoppde tlet 7, därefter o s v. Testövning. Bestäm kvot och rest vid division v 937 med 3. 2. Bestäm kvot och rest vid division v 427 med 23. Svr:. kvot 30 och rest 7, d v s 937 = 3 30+7 2. kvot 8 och rest 3, d v s 427 = 23 8+3..2 Negtiv tl De nturlig tlen och dditionen v sådn är direkt smmnkopplde med ntlsräkning och därmed något som även mycket små rn förstår. Eftersom de övrig räknesätten för nturlig tl ygger på ddition, så finns det en lättegriplig tolkning också för dess. Nmnet nturlig speglr just det sätt på vilket vi uppfttr tlen i N och ders egenskper. Då det gäller negtiv heltl är situtionen lite nnorlund, även om också dess hr nturlig tolkningr. Vi är sedn rnsen vn vid minusgrder på vintern och vet tt om det är fem grder vrmt (+5 ) och temperturen sjunker tio grder, så lir det fem grder kllt ( 5 ). Ett nnt egrepp som oft dyker upp i vrdgslivet är skuld, om mn är skyldig någon 00 kronor ehöver mn en hundrlpp för tt nollställ sin ekonomi. Medn egreppet nturlig tl är ett v de egrepp som ligger i grunden för ll mtemtik och som inte definiers, måste mn definier de negtiv heltlen med hjälp v de nturlig tlen. De nturlig tlen och de negtiv heltlen ildr tillsmmns mängden v ll heltl, Z. Mn definierr sedn de fyr räknesätten inom den ny tlmängden och visr tt de hr smm egenskper som räknesätten för nturlig tl (med den väsentlig skillnden tt det i Z går tt sutrher vilket tl som helst från vilket tl som helst utn tt lämn mängden). Vi kommer här dock tt nöj oss med den intuitiv uppfttningen om negtiv tl illustrerd ovn och repeter hur mn räknr med negtiv tl utn tt ge formell definitioner och evis. Vi utgår lltså från tt vi, givet det nturlig tlet n, hr en uppfttning om vd ( n) 9
är, smt tt vi vet hur mn dderr och sutrherr i N. Om, N, så gäller Exempel: ( ) = ( )+ = för, ( )+ = ( ) för <, ( )+ = +( ), ( )+( ) = (+) ( ) ( ) ( ) = ( )+. Multipliktion definiers som följer = ( )+( ) ( ) = + 3+( 7) = (7 3) = 4 ( 3)+7 = 7 3 = 4 ( 3)+( 7) = (7+3) = 0. ( ) ( ) ( ) =, = ( ) = ( ), för ll nturlig tl och. Den ndr likheten ovn är den känd regeln minus minus är plus. Dett är en definition och lltså inget som kn härleds. Dock är det så tt det inte är slumpen som vgör hur mn väljer tt definier en opertion. Multipliktion v heltl definiers på ett sätt som grnterr tt räknereglern för nturlig tl fortsätter gäll i Z. Mn kn ändå ge en intuitiv förklring: om mn tolkr minustecknet som yte v sid med vssende på 0 på tllinjen, så måste två successiv yten inneär tt mn hmnr på smm sid nolln som mn utgick från. Likså, om mn säljer en skuldsedel resulterr det i tt mn får intäkter. Exempel: 4 ( 7) = (4 7) = 28 ( 4) ( 7) = 4 7 = 28. För tt illustrer hur mn går till väg när mn evisr tt de önskde räknereglern fortfrnde gäller visr vi tt en trippel v negtiv tl uppfyller den distriutiv lgen. Vi hr nämligen för ll nturlig tl, och c tt ( ) (( )+( c)) = ( ) ( (+c)) = (+c), och ( ) ( )+( ) ( c) = ( )+( c) = (+c), 0
där vi i sist likheten utnyttjr den distriutiv lgen för nturlig tl. Därmed hr vi vist ( ) (( )+( c)) = ( ) ( )+( ) ( c), som är den distriutiv lgen för en trippel negtiv tl. Delrhet fungerr på smm sätt i Z som i N. Tl som är delr med 2 klls jämn och hr formen n = 2k, k Z, tl som inte är delr med 2 klls udd och kn skrivs som n = 2k ±, k Z (± etyder tt mn kn välj melln + och ). Olikheten > för, Z definiers på smm sätt som för nturlig,, d v s > om det finns ett positivt tl c sådnt tt = +c. Övrig olikheter definiers nlogt. Testövning. Beräkn 5 (( 4) 7) 2. Beräkn 5 ( 4 3) 3. Beräkn 5 ( 4) 3 Svr:. 6 2. 35 3. 7..3 Räkneregler I örjn v kpitlet diskuterdes räknereglern för nturlig tl. Vi utvidgde sedn tlområdet till tt även omftt negtiv tl Utvidgningen gjordes på ett sådnt sätt tt såväl priorits- som räknereglern fortstte tt gäll. Nedn smmnftts de prioritetsregler och räkneregler som ehndlts i kpitlet. Oserver tt om är ett heltl så kn tlet ( ) vr negtivt (om är positivt) eller positivt (om är negtivt). Prioriteringsordning. Opertion inom prenteser 2. Multipliktion och division 3. Addition och sutrktion 4. Vid lik prioritet gäller läsriktningsprioritet
Räkneregler för heltl För ll heltl, och c gäller det tt + = + kommuttivitet +(+c) = (+)+c ssocitivitet +0 = identitet = kommuttivitet ( ) c = ( c) ssocitivitet = identitet (+) c = c+ c distriutivitet +( ) = 0 +( ) = ( ) = minus minus är plus ( ) = ( ) ( ) ( ) = minus minus är plus ( c) = +c minus minus är plus (+c) = c..4 Övningr.. Bestäm kvot och rest vid divisionern nedn. Ange svret vid divisionen n m på formen n = m q+r, där q är kvoten och r är resten. ) 7956 2 ) 7497 2 c) Är något v tlen 7956 eller 7497 delrt med 2?..2 Skriv tlen nedn som produkt v primtl. 2
) 495 ) 47502 c) 249..3 Beräkn ) 7 ( 2) (3 9) ((2+( 5) 8) ( 3 ( 5)) 4) ) ( 4 2) (( 6 ( 9)) ((6 ( 7)+3) (( 2) 3)+( ) (7 ( 4))))..4 Skriv om följnde uttryck utn prenteser. ) ( ) (+) ( +) ) ( ) ( )+ ( 2 ( ))) ( +)..5 Ordn tlen i listorn nedn i stignde ordning. ) 5,, 2,4 ),, c,d, där = 9, = 20,c = 8,d = 00.2 Bråkräkning När mn inför de negtiv tlen så får uttrycket med < mening som ett (negtivt) tl. På smm sätt ger mn genom tt inför rtionell tl eller råktl mening åt som ett tl även då resten inte är 0. Både de rtionell tlen och de fyr räknesätten för dess definiers på ett sätt som grnterr tt räknereglern som listts tidigre fortfrnde gäller..2. De rtionell tlen Rtionell tl eller råktl skrivs p, där p och q är heltl och q 0. Mängden v ll q rtionell tl eteckns med Q. Utn tt ge en formell definition kn vi säg tt p q är det tl som multiplicert med q ger p. Därmed kn ett heltl p identifiers med det rtionell tlet p. Det etyder tt ll heltl kn uppftts som rtionell tl. Mängden v ll heltl, Z, är lltså en delmängd till mängden v ll rtionell tl, d v s Z Q. Tlet 0 kn skrivs som 0 q för godtycklig nämnre q 0. Allmänt gäller tt p q = 0 om och endst om p = 0. Oserver tt villkoret q 0 fortfrnde måste vr uppfyllt! Ett rtionellt tl kn lltid skrivs på (oändligt) mång olik sätt, för om s 0 är ett heltl så är p q = s p s q. 3
För tt övertyg sig om det sk mn inse tt om mn multiplicerr tlet till vänster med högerledets nämnre, så får mn precis högerledets täljre: s q p ( q = s q p ) = s p. q (Här hr vi nvänt den ssocitiv lgen för en produkt v två heltl och ett rtionellt tl.) Mn säger tt råktlet p s p s p förlängts med (fktorn) s 0 till, eller tt q s q s q förkortts med s till p q. Till exempel är 7 4 och lik eftersom 22 7 = 2 7 2 = 4 22. I llmänhet försöker mn nge råktl på enklste formen så tt täljren p och nämnren q inte hr någon gemensm fktor utom ± (sådn tl p och q klls reltivt prim). Mn säger då tt tlet är skrivet på enklste råkform. Ett systemtiskt sätt tt hitt den enklste råkformen är tt primtlsfktoriser täljre och nämnre och förkort med ll gemensmm primtlsfktorer. Vi hr t ex tt 84 30 = 22 3 7 2 3 5 = 2 7 5 = 4 5. Mn kn förläng/förkort med negtiv fktorer också och speciellt kn mn lltid se till tt nämnren är positiv: 7 = ( ) 7 ( ) = 7 och 7 = ( ) 7 ( ) ( ) = 7..2.2 Räkning med rtionell tl Addition (och sutrktion) v råktl med smm nämnre ges v ddition (respektive sutrktion) v täljrn med smm nämnre: 3 + 5 3 = +5 = 6 3 3 och 3 5 3 = 5 = 6 3 3. I llmänhet måste termern skrivs om så tt de får smm nämnre innn mn kn dder eller sutrher råken. Korsvis förlängning v de två nämnrn fungerr lltid: + c d = d d + c d = d + c. d Det är dock en god vn tt inte förläng med mer än nödvändigt, eftersom det är joigre tt räkn med stor tl och risken tt räkn fel ökr. Då mn retr med rtionell funktioner, se vsnitt??, lir dett extr viktigt. För tt förläng med så lite 4
som möjligt letr mn upp den den minst gemensmm nämnren, d v s den minst gemensmm multipeln v nämnrn. Ett systemtiskt sätt tt gör dett är tt primtlsfktoriser nämnrn och let upp den minst produkt v primtl som innehåller ll fktorer för nämnrn. Om vi t ex vill räkn ut 7 2 + 37 30, där åd tlen är på enklste råkform, så nvänder vi tt 2 = 2 2 3 och 30 = 2 3 5. De primtl som ingår är lltså 2 (med potensen 2), 3 och 5. Den minst möjlig gemensmm nämnren är lltså 2 2 3 5 = 60. För tt få denn nämnre så får vi förläng med 5 respektive 2: 7 2 + 37 30 = 5 7 5 2 + 2 37 2 30 = 35 60 + 74 60 = 09 60. Om mn slviskt följer den llmänn principen med korsvis multipliktion får mn istället 7 2 + 37 30 = 30 7 2 37 + 30 2 2 30 = 20 360 + 444 360 = 654 360 = 09 60, vilket ger joigre räkningr. Ovsett hur mn väljer tt utför eräkningrn sk mn i svret lltid nge resulttets enklste råkform. Sutrktion v råktl görs på motsvrnde sätt som ddition: c d = d c, d Här, som för ddition, ör mn hitt den minst gemensmm nämnren 7 2 39 5 = 5 7 5 2 4 39 4 5 = 35 60 56 35 56 = = 2 60 60 60 = 2 60. Här hde vi 2 = 2 2 3 och 5 = 3 5, och minst gemensmm nämnren vr lltså åter 2 2 3 5 = 60. Multipliktion v rtionell tl sk definiers så tt räknelgrn för heltlsmultipliktion fortfrnde gäller. Det etyder tt: Multipliktion med heltl skll motsvr upprepd ddition. Alltså gäller t ex n c d = c d + c d + + c = n c }{{ d} d. n termer 5
Vidre skll multipliktion vr ssocitiv. Alltså gäller c d = c d = n n c ( d = n ) c n d = n Men dett är möjligt endst om Smmntget ger dett c d = n c d = c n d. ( c ) = d ( n c d c d = c d. Vi fick lltså tt den end rimlig definitionen för multipliktion v rtionell tl är Division v rtionell tl ges v Dett motivers v tt kvoten ser tt A = d c c d c d = c d. = c d = / c d / c d = d c. är det tl som uppfyller krvet, eftersom ). c måste vr ett tl A sådnt tt A d =, och vi ( d ) c c d = ( d c c ) = d. Bråket q p klls ilnd för det inverterde råket till p (här förutsätts tt p,q 0). Vi q skulle då kunn säg tt mn dividerr ett råk med ett nnt genom tt multiplicer det först med det inverterde till det ndr. Vid närmre eftertnke är dett intuitivt självklrt. Om mn hr en tolvitrstårt och ll sk få en it vr så räcker den till tolv personer, men om mn r ger en hlv it till vr och en så kn duelt så mång få, lltså 2 2 = 2 2 = 24. I kpitel.. då vi räknde med enrt heltl skulle vi sgt tt 3 4 ger kvoten 3 och resten, medn vi nu kllr 3 4 kvot. Då hndlde det om heltlsdivision som speglr 6
t ex en fördelning: om tretton ägg skll fördels på krtonger som rymmer fyr ägg vrder så får mn tre full krtonger och ett ägg över. I dett kpitel hndlr det om division för rtionell tl. All rtionell tl kn dividers, kvoten är lltid ett rtionellt tl. Ilnd kn nvändningen v råkstreck som divisionssymol li nledning till felläsning/feltolkning: Vi hr tt c = c = c men = c c = c. Därför är det viktigt tt vet vd som vses då mn nvänder duelråk. Att c och inte är smm sk, syns lätt i tryckt text, men inte lik lätt i hndskriven text. Speciellt viktigt är det tt skriv likhetstecknet på rätt nivå. Tänk också på tt ett duelråk oft innehåller osynlig prenteser, vilket illustrers i näst exempel. Exempel. Vi skll skriv 7 3 2 63 + 8 som ett råktl på enklste råkform. Lösning. Vi sutrherr i täljre och och dderr i nämnre och utför sedn divisionen vilket ger 7 3 2 63 + 8 = = = ( 7 3 ) ( 2 63 + ) 8 ( 7 3 7 ) ( 2 2 7 7 9 2 + 7 ) 2 9 7 ( ) ( ) 2 4+77 = 0 2 9 7 7 2 9 7 7 8 = 20 99, c efter förenkling. Mn sk inte vr sn med tt multiplicer ihop fktorern i nämnren. Om mn ehåller fktoriseringen änd till sist steget är det mycket lättre tt se vd mn eventuellt kn förkort med för tt få svret på enklste råkform..2.3 Räkneregler De prioritets- och räkneregler som gällde för heltlen gäller även för rtionell tl. Här smmnftts de räkneregler som tillkommer för de rtionell tlen. Oserver tt nämnren d kn vr onödigt stor och tt mn lltid ör hitt den minst gemensmm nämnren istället. 7
Räkneregler För ll rtionell tl, och c, där,, c och d är heltl, gäller det tt d + c d = d d + c d = d + c d c d = d c d c d = c d c d = d c Sist i vsnittet sk vi titt närmre på likhet och olikheter melln rtionell tl. Likheten = c d äger rum om och endst om (d v s precis när) c d = d c = d c =, lltså om och endst om d = c. Båd uttrycken om och endst om och precis när etyder tt påståenden före och efter är ekvivlent, d v s tt de är snn eller flsk smtidigt. Ekvivlens melln påståenden skrivs oft med en duelpil,. Noter tt det måste stå påståenden på åd sidor, ekvivlenspilen kn inte nvänds som likhetstecken. Olikheter och räkneregler för olikheter diskuters något i vsnittet om reell tl och mer ingående i kursens ndr del. Här går vi händelsern i förväg för tt komm till insikt om hur mn jämför positiv rtionell tl. Antg tt,,c,d är positiv heltl. Det är rimligt tt h smm definition för olikhet som tidigre, d v s vi utgår från tt > c d om och endst om c d > 0. Nu kn vi skriv de två råktlen på gemensm nämnre, sutrher, och får c d c > 0 > 0. d d Minus minus är plus -regeln säger tt dett inträffr om och endst om täljren och nämnren hr smm tecken. Eftersom,d > 0, hr vi tt d > 0 och får slutligen c > 0 d c > 0 d > c. d 8
Vi smmnfttr För ll rtionell tl, och c, där,, c och d är heltl, gäller det tt d = c d om och endst om d = c. Om dessutom,, c och d är positiv heltl, gäller det tt > c om och endst om d > c. d Vi vslutr med tt konstter en v de rtionell tlens viktigste egenskper som skiljer dem från heltlen: givet två olik rtionell tl finns lltid ett tredje rtionellt tl melln dem, d v s om r,r 2 Q, r < r 2, så finns r Q sådnt tt r < r < r 2. Även om det låter strkt är det i själv verket oerhört lätt tt vis, välj helt enkelt r = r + r 2 (tlet mittemelln de två givn). Mn knske hr svårt tt omedelrt inse konsekvensern v dett fktum. En konsekvens är tt det, givet ett rtionellt tl, 2 inte finns ett näst rtionellt tl. En nnn är tt mn kn tl om gränsvärden v rtionell tlföljder på ett meningsfullt sätt..2.4 Övningr.2. Skriv följnde rtionell tl på enklste råkform ) 5040 40320 ) 682 66 c) ( 42) 308 230 ( 60) 2 ( 69) d) 4 + 3 5 e) 3+ 4 + 7 6 + 35 8 f) 49 7 5 + 5 3 3.2.2 Skriv följnde rtionell tl på enklste råkform ) ) 4 ( 4 3 3 6 9 4 6 5 ) ( 2 26 7 + 4 ) ( 6 + 5 22 ) 5 9
.2.3 Skriv följnde rtionell tl på enklste råkform ) c) e) g) 7 4 7 3 6 5 4 55 2 ( 2 5 3 ) ( 9 20 00 5 ) 9 ( 77 8 4 ) ( 24 3 3 6 ) ) 6 24 3 9 38 7 d) 34 3 2 ( 5 7 ) 5 f) h) 2 5 3 20 9 00 5 9 77 8 4 3 24 3 6.2.4 Skriv följnde rtionell tl på enklste råkform ) ( 2 + ) ( 3 4 2 ) 3 ) 23 6 23 8 49 9 6 c) 3 4 2 3 3 6 5 7 2 8 9 23 99 46 4.2.5 Skriv tlen,, c, d i vtgnde ordning. ) = 2 3, = 5 6, c = 7 8, d = 4 5 ) = 5, = 2, c = 3 4, d = 5 9.3 Potenser med heltlsexponent.3. Potenser I dett vsnitt introducers egreppet potens för rtionell tl, och därmed nturligtvis för ll heltl. Exponenten är här heltl men längre frm (i vsnitt.7) kommer exponenten tt vr ett rtionellt tl och slutligen ett reellt tl. De räknelgr som presenters i vsnittet är llmängiltig, de gäller även med reell exponenter. 20
.3.2 Potens med heltlsexponent Potenser med heltlsexponenter definiers v 0 =, för 0, =, 2 =, 3 = 2 =, n = n = } {{}, då n är ett positivt heltl, n fktorer n = n = ( ) n, då n är ett positivt heltl och 0. I definitionen ovn kn n r vr ett heltl medn kn vr såväl ett heltl som ett rtionellt tl. Vid eräkning v potenser v negtiv tl måste mn vr extr uppmärksm. De eräkns nturligtvis på smm sätt som potenser v positiv tl, så t ex ( 3) 4 = ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) = 8. Mn måste skriv prentes runt tlet, eftersom 3 4 = 8 ( 3) 4 = 8. Eftersom ( ) 2 =, så gäller tt: ( ) =, ( ) 2 = 2, ( ) 3 = 3 = ( 3 ) och llmänt { ( ) n n om n är ett jämnt heltl = n om n är ett udd heltl. Definitionen v multipliktion för rtionell tl p q p q = p p q q = p2 ger för potenser v q2 ( ) p n rtionell tl tt = pn. I dett fll är det nödvändigt tt nvänd förtydlignde q qn ) prenteser, eftersom mn nnrs får ( pn pn q q n..3.3 Räkneregler Vi smmnfttr här de regler som gäller vid räkning med potenser. De kn härleds om mn skriver ut vd de olik potensern är. T ex är (2 3 ) 4 = (2 2 2) 4 = (2 2 2) (2 2 2) (2 2 2) (2 2 2) = 2 3 4 = 2 2. 2
Potenslgr För, 0 och m,n heltl gäller det tt 0 = n = n m n = m+n () n = n n ( n = ) n n. ( n ) m = n m m n = m n. Vid räkning med potenser gäller prioritetsregeln tt potenser eräkns före multipliktion eller division och även före ddition eller sutrktion, så t ex 2 3 2 = 2 9 = 8 och 2+3 2 = 2+9 =. Som tidigre skll opertion inom prenteser eräkns först så t ex (2 3) 2 = 6 2 = 36 och (2+3) 2 = 5 2 = 25. Vid upprepd potenseräkning, som i 2 33, gäller tt exponenten eräkns först så vi får 2 33 = 2 (33) = 2 27 = 3427728 och 2 5+3 = 2 (5+3) = 2 8 = 256. Också här ger prenteser förtur så (2 3 ) 3 = 8 3 = 52 En liten vrning! Det finns ingen stndrdprioritet för upprepd potenseräkning på räknre. Viss klkyltorer hr exponenten först prioritet, ndr hr läsriktningsprioritet. Uttrycket 2 33 kn li ntingen 3427728 eller 52 eroende på räknrfriktet och ilnd t o m på modellen. Använd lltid prenteser för säkerhets skull. Här smmnfttr vi de prioritetsregler som ehndlts hittills. 22
Prioriteringsordning. Opertion inom prenteser 2. Exponent 3. Potens 4. Multipliktion och division 5. Addition och sutrktion 6. Vid lik prioritet gäller läsriktningsprioritet.3.4 Övningr.3. Beräkn ) 5 2 ) 2 5 c) ( 3) 4 d) ( 4) 3 e) 00 f) 00 g) 3 0 h) ( 3) 0.3.2 Skriv följnde som ett råktl på enklste form, utn potenser. ) 2 2 ) ( 3) 3 c) 5.3.3 Skriv som potenser v 2 ) /64 ) 6 3 /2 0 c) 28 3 /32 5.3.4 Skriv följnde som ett tl på enklste råkform, utn potenser. ) 2 5 3 7 05 ( 7 2 ) 2 3 3 5 5 ) ( 25 ) 3 ( 3 7 ) ( 30 ) 3 56 0 6.4 Reell tl Vår önskn tt kunn sutrher oehindrt ledde oss till definitionen v negtiv tl (och därmed heltl), medn ehovet v rtionell tl (råktl) ottnde i tt vi ville 23
kunn divider oehindrt. Låt oss nu, givet Q, 0, försök hitt ett tl Q, 0, sådnt tt 2 =. Det är lätt för viss tl, men inte för ndr. För = 4 får vi = 2, för = 0 får vi = 0, = 9 ger =. Men, kn mn lös prolemet för 3 = 2? Det visr sig tt svret är nej. Sts: Det finns inget rtionellt tl vrs kvdrt är lik med 2. Bevis. Antg motstsen, d v s ntg tt det finns ett rtionellt tl r sådnt tt r 2 = 2. Tlet r kn då skrivs på enklste råkform r = p, där p och q är reltivt prim heltl, q d v s p och q hr ing gemensmm delre ndr än ±. Eftersom p 2 = 2q 2 måste p vr ett jämnt tl, p = 2s. Det medför tt 4s 2 = 2q 2, och lltså tt q 2 = 2s 2. Därmed måste även q vr jämnt. Vi fick tt p och q åd är delr med 2, vilket strider mot tt de är reltivt prim. Motsägelsen eror på det felktig ntgndet tt det finns ett tl r Q sådnt tt r 2 = 2, lltså finns inget rtionellt tl vrs kvdrt är lik med 2. Givet ett icke-negtivt tl, definiers kvdrtroten ur som det icke-negtiv tl, vrs kvdrt är lik med, d v s = är smm sk som 0, 2 =. Stsen vi visde ovn säger tt kvdrtroten ur 2 inte finns så länge vi med tl menr rtionell tl. Dett ntyder tt det är på sin plts tt utför ytterligre en utvidgning v egreppet tl vi hr kommit frm till de reell tlen. Det är mycket svårt tt definier vd som mens med ett reellt tl. Vi måste därför håll oss till en reltivt intuitiv och förenkld ild v egreppet. Den frmställning vi vlt tt presenter här (om än något viftnde) ygger på tlens decimlutvecklingr. Vi är vn vid tt skriv ll tl i ett s k positionssystem med sen 0. Positionssystem etyder tt en siffrs värde eror på dels vilken denn siffr är, dels vd den hr för plts (position) i tlets frmställning. Att ett nturligt tl n skrivs som n = c 4 c 3 c 2 c c 0 i sen 0 etyder tt n = c 4 0 4 + c 3 0 3 + c 2 0 2 + c 0 + c 0, där 0 c k 9. (Strecket mrkerr tt det inte hndlr om en produkt.) På liknnde sätt kn mn skriv rtionell tl, r = n,d d 2 är smm sk som r = n + d 0 + d 2 0 2. I prktiken hittr mn ett rtionellt tls decimlutveckling genom tt utför divisionen i r = p q. Tlet n är kvoten vid heltlsdivisionen p q, p = nq+r ; den först decimlen d är kvoten vid heltlsdivisionen 0r q, 0r = d q + r 2, etc. Det är inte svårt tt inse tt ll rtionell tls decimlutvecklingr ntingen är ändlig, eller vsluts periodiskt. Decimlutvecklingen lir ändlig om mn i något skede kommer frm till rest 0. Den lir oändlig med periodiskt vslut om mn ldrig kommer frm till rest 0. Periodiciteten eror på tt det endst finns q möjlig rester som inte är noll, så tt mn förr eller senre kommer frm till en rest som vrit frmme tidigre, vrpå decimlern uppreps. Det omvänd är också snt, ll ändlig decimlutvecklingr och ll decimlutvecklingr med periodiskt vslut ger rtionell tl. Exempel. Tlet 8 hr den ändlig decimlutvecklingen 0,25. 24
Exempel. Tlet 5 6 hr den periodisk decimlutvecklingen 0,8333... Exempel. Tlet 29 hr decimlutvecklingen 7 29 7 =,7058823529476470588235294764... De vslutnde punktern inneär som vnligt tt mönstret fortsätter orutet. Sifferkomimtionen som uppreps periodiskt hr mximl längd (6). Exempel. Skriv tlet r = 0,3535353535... på enklste råkform r = p q. Lösning. Vi hr tt 00r = 35 + r, så tt r = 35, vilket är den enklste råkformen 99 eftersom tlen 35 och 99 är reltivt prim. Med ett reellt tl mens ett tl r som ges v en decimlutveckling, ändlig eller oändlig. Mängden v ll reell tl eteckns R. De rtionell tlen är också reell tl, mängden v ll rtionell tl är en delmängd v mängden v ll reell tl. Vi hr lltså tt N Z Q R. Vrje positivt reellt tl hr en heltlsdel n, som är ett nturligt tl, och en decimldel (råkdel) r = n,d d 2 d 3 d 4 d 5..., där ll tlen d i är siffror i tlsystemet med s 0, d v s nturlig tl melln 0 och 9. Dett sk tolks som tt r = n+ d 0 + d 2 00 + d 3 000 + d 4 0000 + d 5 00000 +. Till vrje positivt reellt tl finns ett motstt, negtivt tl ( r = n,d d 2 d 3 d 4 d 5... = n+ d 0 + d 2 00 + d 3 000 + d 4 0000 + d ) 5 00000 +. De decimlutvecklingr som är oändlig och som inte vsluts periodiskt sägs vr irrtionell tl. Genom tt r t med ändligt mång decimler får vi ett rtionellt tl som pproximerr det reell tlet, t ex 3,45927 = 345927 0000000 π. 25
Ju fler decimler vi tr med dess ättre pproximtion får vi. Mn skulle kunn tro tt olik tl måste representers v olik decimlutvecklingr. Så är det inte. Betrkt tlet r = 0,9999... Det måste vr ett rtionellt tl, eftersom dess utveckling vsluts periodiskt. Vi resonerr som i det tidigre exemplet och får 0r = 9+r, d v s r =. (Det korrekt förfrndet vore tt summer en oändlig geometrisk serie, i det här fllet 9 0 + 9 00 + 9 +.) Två decimlutvecklingr representerr smm reell tl om ders differens är 0, d v s om skillnden melln ders 000 pproximtioner närmr sig 0 när mn ökr ntlet decimler. Dett inneär tt t ex 3,25300000... = 3,25299999... Reell tl kn dders, sutrhers, multiplicers och dividers, genom tt mn utför opertionern på ders rtionell pproximtioner. Genom tt t med fler och fler decimler får mn en följd v rtionell tl som närmr sig (hr gränsvärdet) de reell tlens summ, differens, produkt eller kvot. All räkneregler och prioritetsregler som gäller för rtionell tl gäller även för reell. Oft är det önskvärt tt h en så enkel nämnre som möjligt. Mn förlänger därför med ett lämpligt tl så tt nämnren lir ett t ex ett positivt heltl (om det låter sig görs). Exempel. = 2 = 2 2 2 2 2. En fördel är tt det är svårt tt vgör hur stort tlet 2 är, medn det är etydligt 2 lättre tt se tt 2 0,7. Oserver tt inte kn modifiers på liknnde sätt. π Exempel. Förenkl 2 + 3. 2 Lösning. Vi hr 2 + 3 = 2 ( 2 + 3 3 3 = 2 6 + 2 ) 3 6 2 = 3 2+2 6. 6 För tt åskådliggör de reell tlen nvänder mn oft punkter på tllinjen. De rtionell tlen ligger som det heter tätt på linjen, d v s hur liten sträck vi än tr kommer den lltid tt innehåll rtionell tl. Ändå fyller de inte ut linjen, vi insåg tidigre tt det finns ett hål i punkten som motsvrr 2 som vi nu fyllt igen med ett reellt tl. 26
I prktiken räknr vi r med rtionell pproximtioner till de reell tlen, eller med symoler, som 2 3, som representerr specifik reell tl. Redn de gml grekern visste tt det inte finns rtionell tl x sådn tt x 2 = 2, 3, 5, 6 m fl, med ndr ord tt 2, 3, 5, 6 m fl inte är rtionell tl. Mn kn numer vis tt det däremot finns sådn reell tl..4. Olikheter för reell tl I likhet med heltlen och de rtionell tlen finns det tre typer v reell tl, de positiv, de negtiv och tlet 0. Dett gör det möjligt tt definier olikhet, större än och mindre än för reell tl. Definition v olikhet: Det reell tlet är större än tlet, skrivs >, om och endst om är positivt. Tlet är mindre än tlet, skrivs <, om och endst om är negtivt. För ll reell tl och finns därmed tre möjligheter: =, > eller <. I dett smmnhng hr mn oft nvändning v en prktisk mängdeskrivning. Säg till exempel tt vi, v någon nledning, är intresserde v ll reell tl x som uppfyller villkoret x < 5. Ett prktiskt sätt tt eskriv denn mängd v tl är {x R : x < 5}, som tolks och utläses på följnde sätt. De speciell prentesern { och } är mängdprenteser, (vrdgligt krullprenteser). De inrmr eskrivningen v ojekten i mängden. Det inlednde x R inneär tt ll ojekten skll tillhör mängden v ll reell tl, kort sgt tt ll ojekt är reell tl. Kolon : läses sådn tt. Efter kolontecknet kommer villkoret som skll vr uppfyllt för tt ett reellt tl x skll få vr med i mängden. I ord läser mn lltså: mängden v ll reell tl x sådn tt x är mindre än 5. Vi hr tt 3 {x R : x < 5} och 2 / {x R : x < 5}. Tlet 3 tillhör mängden medn tlet 2 inte tillhör mängden. Mängden v ll positiv reell tl kn skrivs som {x R : x > 0}, mängden v de negtiv reell tlen som {x R : x < 0} och v de icke-negtiv reell tlen som {x R : x 0}. är 2. 3 Noter tt 2 endst är en symol, det är eteckningen för det icke-negtiv reell tl vrs kvdrt 27
Mängdeteckningen kommer vi också tt nvänd för ndr grundmängder än de reell tlen. Mn kn t ex skriv {x Z : x 2 < 5} vilket etyder mängden v ll heltl vrs kvdrt är mindre än 5, d v s { 2,,0,,2}. Mn inför de två s k oändlighetern, symolern och som uppfyller < x < för ll reell tl x. Oserver tt oändlighetern inte är reell tl. [, ] (, ) (, ] [, ) (, ] (, ) Viss mängder, så kllde intervll, förekommer mycket oft. Därför är det prktiskt tt h speciell eteck- Figur 4: Olik typer v intervll ningr för sådn. Noter tt grundmängden här lltid är de reell tlen. [,] = {x R : x } (,) = {x R : < x < } (,] = {x R : < x } [,) = {x R : x < } (,] = {x R : x } [, ) = {x R : x } Lägg märke till tt ( respektive ) etyder tt ändpunkten inte är med och tt [ respektive ] etyder tt ändpunkten är med..4.2 Räkneregler för olikheter Också för olikheter gäller viss räkneregler. De kn ll härleds från definitionen v olikhet. Vi ger här ett exempel på regel och härledning. Exempel. Vi skll evis olikhetsregeln: Om och är reell tl sådn tt < så gäller det tt +c < +c för ll reell tl c. Lösning. Vi eräknr differensen (+c) (+c) och skll vis tt denn är positiv om <. Men (+c) (+c) = +c c =, som är positiv eftersom <. Vi hr därmed vist tt +c < +c om <. Exempel. Vi skll evis olikhetsregeln: Om och är reell tl sådn tt < och c < 0 så gäller det tt c > c. (Det är den olikhetsregeln mn i särklss oftst gör fel på.) 28
Lösning. Vi eräknr differensen c c och skll vis tt denn är positiv om < och c < 0. Men c c = ( ) c. Eftersom <, d v s < 0, och c < 0 hr vi tt åd fktorern i den sist produkten är negtiv. Alltså är produkten ( ) c positiv, vilket inneär tt c > c. Vi återkommer till olikheter i del 2. Räkneregler För ll reell tl,, c och d, gäller det tt Om < och < c så gäller < c Om < så gäller +c < +c Om < och c < d så gäller +c < +d Om < och 0 < c så gäller c < c Om < och c < 0 så gäller c > c Om 0 < < så gäller 2 < < 2 Om < < 0 så gäller 2 > > 2 Om, > 0 och 2 < 2 så gäller < Om, < 0 och 2 < 2 så gäller >.4.3 Övningr.4. Gäller det tt ) 2 {x R : x 3}? ) 2 3? (Symolen utläses mindre än eller lik med. Tlet 3 är med i mängden.) c) Är det någon skillnd på utsgorn i () och () ovn?.4.2 Vis tt räknereglern för olikheter i vsnitt.4.2 gäller genom tt nvänd metoden som presenters i exemplet i smm vsnitt. 29
.4.3 Ge exempel på reell tl,, c och d sådn tt < och c < d men där c < d inte gäller..4.4 Skriv tlen nedn på decimlform. ) 7 8 ) 7 6 c) 3 4.4.5 Skriv tlen nedn på enklste råkform. ) 2,33333... ) 0,852852852... c),2399999....5 Asolutelopp I dett vsnitt introducers ett viktigt egrepp, nämligen soluteloppet v ett reellt tl. Asoluteloppet är i grund och otten ett vstånd, och därför lltid ett icke-negtivt tl. Begreppet återkommer i längre frm då vi studerr funktioner smt i kursens ndr del då vi studerr komplex tl. Definition: Om är ett reellt tl så är soluteloppet v { om 0, = om < 0. Tänk på tt är det motstt tlet till. Om är negtivt så är positivt, så t ex är 3 = ( 3) = 3. Av definitionen följer direkt tt = 0 för ll reell tl. En geometrisk tolkning v = = soluteloppet är tt tlr om hur långt från 0 punkten 0 som punkten ligger på tllinjen, d v s är lik med vståndet melln och 0. Om och är två reell tl så är vståndet melln och på tllinjen. Vi hr t ex tt 7 och = Figur 5: Olik vstånd 3 ligger på vståndet 0 från vrndr, eftersom 7 3 = 0 = 0. Exempel. Vi söker de tl x som uppfyller 3 x = 5. Lösning. Vi söker de punkter på tllinjen, som ligger på vståndet 5 från 3. Det är två punkter, en till höger om 3, nämligen 3+ 5 = 8, och en till vänster, 3 5 = 2. 30
Exempel. Vi söker de tl x som uppfyller 3 x 5. Lösning. Nu söker vi de punkter på tllinjen, som ligger på vstånd högst 5 från 3. Det är ll punkter som ligger melln 3 och 3+5 = 8, eller melln 3 och 3 5 = 2, lltså ll punkter melln 2 och 8, och vi får {x R : 3 x 5} = {x R : 2 x och x 8} = {x R : 2 x 8} = [ 2,8]. Tidigre definierdes x, för x 0 som det (end) icke-negtiv tl vrs kvdrt är x. Det etyder tt 4 = 2, och därmed tt 2 2 = ( 2) 2 = 4 = 2. Generellt gäller tt 2 = för ll reell tl..5. Övningr.5. Bestäm ) 7 ) 7 c) 0.5.2 Bestäm ll reell tl x sådn tt ) x+ = ) 3 x = 7,5 c) x+4 = 0 d) 3 2x = 5 e) x 2 = 2.5.3 Ange (utn eloppstecken) de x, som stisfierr ) x 2 ) x+3 < 5 c) x+3 > 5 d) x+2 0 e) 2 < x 2 3 f) x+ > 0.6 Kvdrtrötter Vi hr redn tidigre hft nledning tt definier och kommenter kvdrtrötter. Här gör vi det något mer systemtiskt. Vi återkommer till ämnet i kpitlet om funktioner. 3
.6. Kvdrtroten ur ett positivt reellt tl Eftersom produkten v såväl två positiv tl, som två negtiv tl, är positiv så gäller det tt x 2 = x x 0 för ll reell tl x. Alltså hr ekvtionen x 2 = ingen reell lösning om < 0. I vsnitt.4 ehndldes svårighetern med tt vgör huruvid en viss ekvtion hr lösningr i det tlsystem mn retr med. Där påpekdes tt ekvtionen x 2 = lltid hr en (d v s minst en) reell lösning om > 0. I själv verket hr den lltid två, t ex hr ekvtionen x 2 = 9 lösningrn 3 och 3. Definition: Med kvdrtroten ur,, där 0, mens det icke-negtiv, reell tl, vrs kvdrt är. Noter tt 0. Alltså är 9 = 3 och inte 3 eller ±3. Det gäller också tt 0 = 0. Enligt definitionen hr vi lltså tt ( ) 2 =. Men det gäller också tt Alltså gäller det tt: ( ) 2 ( = ) ( ) ( ) 2 = =. Ekvtionen x 2 = hr för > 0 två olik reell lösningr (ilnd även kllde rötter): och Mn skriver ilnd x 2 = x,2 = ±, för 0. Med dett mens lltså tt ekvtionen hr lösningrn x = och x 2 = Exempel. Ekvtionen x 2 = 9 hr således lösningrn (röttern) x,2 = ± 9 = ±3, d v s x = 3 och x 2 = 3. Exempel. Ekvtionen x 2 = 20 hr lösningrn (röttern) x,2 = ± 20 = ±2 5, eftersom direkt kontroll ger tt (2 5) 2 = 2 2 5 5 = 4( 5) 2 = 4 5 = 20. 32
.6.2 Räkneregler Av definitionen v kvdrtrot får vi följnde räkneregler: ( ) 2 = för 0. Räkneregler för kvdrtrot = och =, för 0 och > 0. 2 = för ll reell, d v s 2 = om 0 och 2 = om < 0. 2 = för 0 och ll, d v s 2 = om 0 och 2 = om < 0. =, om > 0. + = och =,,, > 0. + Den först punkten följer direkt v definitionen v kvdrtrot eftersom är det ickenegtiv tl vrs kvdrt är. Punkt två kn eviss genom tt vi konstterr tt 0 och tt ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 = =. Alltså är = enligt definitionen v kvdrtrot. På liknnde sätt eviss regeln för roten ur en kvot och de två efterföljnde reglern. Den femte regeln följer v = = ( ) 2 =. Metoden som nvänds i sist punkten klls förlängning med konjugtuttryck. Uttrycken och + klls konjugerde, eller vrndrs konjugt. Om mn 33
multiplicerr de med vrndr så får mn (se vsnitt.8 för den s k konjugtregeln) ( + )( ) = ( ) 2 + ( ) 2 = ( ) 2 ( ) 2 =. De två sist reglern kn nu viss genom tt mn förlänger med konjugtet, så t ex för den först likheten hr vi = + ( + )( ) = för,, > 0. Anmärkning. I llmänhet, lltså för de flest tl och, är + +. Till exempel ger = = tt + = 2, medn + = 2. På smm sätt är i llmänhet. Exempel. Här kommer ett ntl exempel på hur mn kn nvänd räknereglern. () Ekvtionen 4x 2 3 = 0 får vi till x 2 = 3/4 genom tt dder 3 till åd leden och sedn divider dem med 4. Den hr därmed lösningrn 3 3 x,2 = ± 4 = ± 2. () Den tredje punkten ger ( 3) 2 = 3 2 = 3 = 3. (c) Den fjärde punkten hndlr om tt ryt ut ur eller multiplicer in fktorer i rotuttryck och vi hr t ex 2 = 22 3 = 2 3 och 2 ( ) 3 3 2 = 22 3 2 = = 6. 2 2 (d) Den fjärde punkten ger ilnd möjlighet till förenkling om mn hr fler rötter sådn tt tlen under rottecknen hr gemensmm fktorer. Här kommer ett exempel 3+ 2+ 27+ 48 = 3+2 3+3 3+4 3 = 0 3. 34
(e) Den näst sist punkten ger t ex 6 6 = ( 6 6 ) 2 = ( 0,4). 6 (f) Förlängning med konjugt (sist punkten) ger tt mn kn skriv om uttryck som 5+ 6 på följnde sätt 5+ 6 = 5 6 (5+ 6)(5 6) = 5 6 5 2 ( 6) = 5 6 2 25 6 = 5 6 9 så tt mn får heltlsnämnre. (g) Vi kn jämför storleksordningen melln tl som innehåller kvdrtrötter utn tt nvänd räknre. Låt oss jämför tlen 2+ och 5. Eftersom vi inte vet vilket v dem som är störst, skriver vi frågetecken melln dem. Vi nvänder räknereglern för olikheter. Både vänster- och högerledet är positiv, lltså får vi smm olikhetstecken efter kvdrering 2+? 5 ( 2+) 2? ( 5) 2 4+2 2+? 5 2? 0. Eftersom 2 > 0, gäller 2+ > 5. (h) Här visr vi tt 3( 3 >. Enligt räknereglern för olikheter kn vi förläng med 3 och istället vis tt > 3 = 3, eftersom 3 > 0. Vänster- 2) 3 2 ledet kn nu skrivs om 3 2 = 3+ 2 = 3+ 2. 3 2 Vi nvänder återigen räknereglern för olikheter: 3 + 2 > 3 ( 3 + 2) 2 > 9 3 + 2 6 + 2 > 9 6 > 2 6 > 4, vilket är uppenrt, lltså är det snt tt 3( 3 2) >..6.3 Övningr.6. Förenkl 35
) 0,49 ) 90000 c) 6 75 d) 0/ 25 e) 2 3 f) 2 4 + 8 + 6 32 + 64..6.2 Lös ekvtionen ) x 2 25 = 0 ) 5 x 2 = 0 c) 9x 2 4 = 0 d) 6 6x 2 = 0 e) x 2 = 0.6.3 Skriv med heltlsnämnre ) 2/ 6 ) 3/ 2 c) /( 3+ 2) d) 2/( 3) e) /(2 5) f) ( 6 3)/( 6+ 3).7 Potenser med rtionell exponent.7. n-te roten ur reell tl Mn kn vis tt, om 0 och n är ett positivt heltl, så finns, i likhet med specilfllet n = 2, precis ett icke-negtivt tl sådnt tt n =. Om n är ett jämnt tl så gäller också tt ( ) n =. Om n är ett udd tl så gäller istället tt ( ) n =. Dett leder till följnde definition v n-te roten ur ett icke-negtivt tl. Definition: Om n är ett positivt heltl och 0 är ett reellt tl, så mens med n-te roten ur, n, det icke-negtiv reell tl vrs n-te potens är, d v s som uppfyller ( n ) n =. Om är ett negtivt tl och n är ett positivt, udd heltl så mens med n det negtiv reell tl vrs n-te potens är, d v s som uppfyller ( n ) n =. 36
Ekvtionen x n =, där reellt tl och n är ett positivt heltl, hr då följnde reell lösningr (rötter): y = x 2 y = x 3 3. x = n, om n är ett udd (positivt) heltl, 2. x = ± n, om 0 och n är ett jämnt (positivt) heltl, 3. sknr reell rötter om n är jämnt och < 0 (roten n är i dett fll inte definierd). 3 Figur 6: Grfen till x 2 och x 3 För udd n =,3,5,... gäller tt: n = n. Definitionen v n gäller även för n =, vi hr då tt = för ll reell tl. Exempel. Eftersom 2 4 = 6 och 5 3 = 25 så får vi 4 3 6 = 2, 25 = 5 och 3 25 = 5. direkt från definitionen..7.2 Räkneregler Följnde räkneregler för n-te rötter eviss på smm sätt som motsvrnde regler för kvdrtroten. Räkneregler för n-te rötter ( n ) n =, för 0 om n är jämnt, för ll om n är udd. n n = för ll om n är udd. n n = om n är jämnt. n n = n och n n = n, för 0 och > 0. 37