Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR KOMPLEXA TAL a + b, där a, b R (rektangulär form r(cosθ + snθ (polär form θ re (potensform Om a + b och a, b R då gäller: a kallas realdelen av och betecknas Re( b kallas magnärdelen av och betecknas Im( a b kallas konjugatet av och betecknas a + b kallas absolutbeloppet av och betecknas Räknelagar för absolutbelopp w w w n w + w + w n (w 0 (trangelolkheten Raden r och vnkeln θ för komplexa tal polär form och potensform: Om a + b då gäller: r a + b Om 0 då gäller: a r cosθ b r snθ En sådan vnkel kallas för argument av och betecknas arg( Talet 0 tlldelas nget argument Argument av är nte entydgt bestämd Om θär ett argument av talet då är också θ + k, talets argument för varje k 0 ±, ±,
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Låt a + b Ett värde av arg ( kan bestämmas enlgt följande: b arctan( om a > 0 a b arctan( + om a < 0 a arg om a 0, b > 0 om a 0, b < 0 ej defnerad om a 0, b 0 Om och w är två komplexa tal då gäller: arg( w arg( + arg( w ( + k arg( arg( arg( arg( w w n n arg( ( + k ( + k Uppgft a Bestäm Re w om + w + 000 b Bestäm alla lösnngar tll ekvatonen 00 + 6 0 ( är ett komplext tal c Rta det komplexa tal planet mängden av alla komplexa tal som satsferar ( betecknar - konjugat d Bestäm samtlga (reella och komplexa lösnngar tll ekvatonen x x + 0 e ( Komp upp Bestäm samtlga (reella och komplexa lösnngar tll ekvatonen + + 0 Lösnng: a
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR + 000 + + + w + + + + Re( w Svar a Re( w + + + b 00 00 + 6 0 00 e ( + k 00 00 00 ( + k 00 e k 0,,,,99 00 00 Svar b e k 0,,,, 99 c Svar c Lösnng d Kvadratkompletterng ger ( x + 0 ( x + Om v betecknar x då har v + V substtuerar a + b och får ekv: a b ekv ab Eftersom + får v även ekv: a + b Från ekv och ekv har v a ekv ger då b Alltså +, x x + Därför har v två lösnngar: x, x +
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Lösnng e Substtuton x (* ger x + x + 0 Kvadratkompletterng ger ( x + + 0 ( x + ( x + ± x + ± x ± x och x A x Från (* har v V substtuerar a + b och får a b + ab och ekv: a b 0 ekv ab Eftersom får v även ekv: a + b Från ekv och ekv har v a a och a ekv ger då b och b Alltså +, B x På lknande sätt som A får v, Svar e: +, +,, + Uppgft a Bestäm w om + w b I ekvatonen
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR u + u 6 är u ett komplex tal och u talets konjugat Lös ekvatonen med avseende på u c (p Ekvatonen beskrver en rät lnje det komplexa tal planet Sätt x + y och skrv ekvatonen på formen y kx + m d ( Jämför Kompletterngskompendum upp Ekvatonen + 7 + 0 0 har en rent magnär rot Lös ekvatonen fullständgt Lösnng: a + w b ( x + y + ( x y 6 x + y + ( x + y 6 x + y 6 x + y 0 x, y u c x + y x + y x + ( y x + y x + x + + ( y ( x y (V kvadrerar båda leden ekvatonen + ( y ( x y x + y x y x + y y + x x + y Svar: a w b u c y x Lösnng d: Låt p, ( p reellt tal vara en rent magnär lösnng Eftersom ekvatonen har reella koeffcenter är p också en lösnng Därför är polynomet P ( + 7 + 0 delbart med ( ( ( p( + p ( + p
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR 6 V betecknar p a och P ( + a För att beräkna kvoten P ( / P ( P ( v kan använda polynom dvson eller ansätta P ( + b + c och studera uttrycket P ( P ( P ( dvs + 7 + 0 ( + a( + b + c + 7 + 0 + b + ( a + c + ab + ac Jämför v koeffcenter får v b, a+c 7, ab, ac 0 och a, b, c V har att ( + ( + 0,,, Svar:,,, Uppgft a Bestäm det reella talet a så att + a blr reellt b Bestäm absolutbeloppet av w då w 9 9 ( e ( + 8 c Bestäm ur ekvatonen + 0 Lösnng: a + a + a + ( a + (a + + 9 Om detta tal skall vara reellt måste magnärdelen vara 0, vlket ger a + 0 d v s a / b 9 9 8 w e + 9 9 ( 8 8 0976 c V substtuerar a + b, a b ekvatonen + 0 och får 6
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR 7 ( a + b + ( a b 0 a b 0 Re : a 0 a Im : b b 8 Svar: a a b 0976 c + Uppgft a Bestäm magnärdelen av 89 + ( + 8 ( e ( + b Bestäm absolutbeloppet av w då w 0 c Rta det komplexa tal planet de punkter som satsferar och arg( Lösnng: 89 a + + ( + + 7 Svar a Im( ( + + + + 7 8 ( e ( + b w 0 Svar b w 8 Svar c 8 0 e + 8 ( 8 8 0 7
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR 8 Uppgft a Bestäm magnärdelen av + + 7 6 ( e ( + b Bestäm argumentet av w då w 9 c Ekvatonen beskrver en rät lnje det komplexa talplanet Sätt y kx + m x + y och skrv ekvatonen på formen Lösnng: a + Svar a Im( Im( 6 b arg( w + ( + k Svar b arg( w 0 ( + k c Substtutonen x + y ekvatonen ger x + y x + y ( x + ( y ( x + ( y ( efter kvadrerng ( x + ( y ( x + ( y x x + + y y + x 6x + 9 + y 6y + 9 y x + 6 y x + Svar c y x + Uppgft 6 a Bestäm Re(w om w + 0 ( + b I ekvatonen u + u 8 + är u ett komplex tal Lös ekvatonen med avseende på u c Bestäm och arg ( (som en reell funkton av parameter s då + ( s + 8
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR 9 Lösnng a 0 w ( + + e + e Re( w 0 + + b ( x y + ( x y 8 + x + y + x + y 8 + ( x y + (x + y 8 + + + x + y 8 x + y x + y 8 9x y 6 8x x / y x y + y x /, y / u + c + ( s + + ( s + 9 + ( s + s + s + + s + s arg( arg( arg( + ( + s 0 arctan( arctan( Svar: a Re( w b + s u + c arctan( Uppgft 7 a Skssera det komplexa talplanet området som består av alla som satsferar både och arg( b Bestäm och arg ( (som en reell funkton av parameter s då + ( s +, där s år ett reellt tal Lösnng: a Svar: 9
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR 0 b + ( s + + ( s + arg( arg( arg( + ( + s [eftersom Re( + ( + s > 0] + s (0 arctan( + s arctan( + s Svar: b arctan( + ( s + s + 6s + Uppgft 8 Det komplexa talet + är en lösnng tll ekvatonen + 0 Bestäm alla lösnngar Lösnng: (Ekvatonen har reella koeffcenter och + är en lösnng är också en lösnng tll ekvatonen och därför är ekvatonen delbart med ( ( ( ( + ( + Polynomdvsonen ger ( + /( + ( + dvs ( + ( + ( + Den tredje lösnngen får v ur ( + 0 Svar: +, / 0
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Uppgft 9 Det komplexa talet + är en lösnng tll ekvatonen + 6 0 Bestäm alla lösnngar Lösnng: (Ekvatonen har reella koeffcenter och en komplex lösnng + är också en lösnng tll ekvatonen Därför är ekvatonen delbart med ( ( ( ( + ( + + ( + 6 /( + Den tredje roten får v ur 0 Svar: +,, Uppgft 0 Bestäm alla (fyra lösnngar tll ekvatonen + 6 0 Svara på formen a + b Lösnng: + 6 0 6 6e ( + k 6 e, k 0,,, 0 e (cos + sn ( + + e (cos + sn ( + +
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR e (cos + sn ( 7 7 7 e (cos + sn ( Uppgft Betrakta ekvatonen + 8 0 a Lös ekvatonen och ange alla lösnngar( st på formen b Ange alla lösnngar på formen a + b c Prcka n lösnngarna det komplexa talplanet ϕ re Lösnng: a + 8 0 8 8e k ( + k e, k 0,,, Svar a k ( + k e, k 0,,, b (cos sn 0 e + (cos sn e + (cos sn e + + + 7 7 (cos sn e 7 + Svar b ± ± Svar c
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Uppgft + a (p Bestäm w om w b (p Bestäm alla lösnngar med avseende på tll ekvatonen 00 +, där är ett komplex tal c (p Lös följande ekvaton med avseende på ( där x+y är ett komplext tal + + d (p Skssera det komplexa talplanet området som består av alla som satsferar ( + Lösnng: + + a w + Svar a: w ( + k 00 00 b e e k 0,,,, 99 ( + k 00 Svar b: e k 0,,,, 99 c V substtuerar x+y ekvatonen + + och får ( x + y + ( x y + x + y + x, y
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Svar c: + d Svar d: Uppgft är en lösnng tll ekvatonen + + + + 0 Bestäm alla lösnngar Lösnng: (Ekvatonen har reella koeffcenter och är en lösnng är också en lösnng tll ekvatonen och därför är ekvatonen delbart med ( ( ( ( + + Polynomdvsonen ger ( + + + + /( + + + Två lösnngar tll får v ur Svar: + + 0,,,,