EFLEKTIONE PÅ LEDNINA Kapiel 8 i Kreselekronik av Eskil Johnson Eskil Johnson, öeborg. Innehålle får ej reproduceras eller spridas uan förfaarens medgivande. Dagens snabbase logikkresar har sigider och fallider av sorleksordningen ns. Efersom signalernas ubredningshasighe längs de ledningar som förbinder logikkresarna uppgår ill ungefär cm/ns kommer signalernas löpid längs ledningarna ofa a bli lika eller ill och med sörre än deras sigider och fallider. Om ine ledningarna är avsluade på e lämplig sä kan reflekerade signaler i hög grad förvränga signalernas useende. Dea medför a upprädande signaler måse behandlas som funkioner av såväl id som rum. Förbindningarna måse därför behandlas som s k ransmissions ledningar. I dea kapiel skall förs eorin för homogena, förlusfria ransmissionsledningar genomgås. Därefer skall vi sudera signalerna på en ransmissionsledning då denna är avsluad med linjära resisanser och kapacianser. De härvid erhållna resulaen är emellerid endas applicerbara så länge de drivande och belasande logikkresarna har linjära karakerisikor. Som framgår av de båda närmas föregående kapilen är i allmänhe karakerisikorna krafig olinjära. För a göra de möjlig a sudera sysem med ransmissionsledningar som kopplar samman icke linjära kresar behandlas en grafisk meod unyjande s k Bergerondiagram. Som avsluning preseneras egenskaperna för några vanliga ledningsyper som används för a förbinda logikkresar.
8 8. rundläggande eori för homogena, förlusfria ransmissionsledningar. Vid härledningen av den grundläggande eorin för ransmissionsledningar ugår vi från kopplingen i figur 8.. En generaor med omgångsspänningen v och inre impedansen Z är ansluen ill en ledning vid x =. Ledningens längd är l. I ledningens andra ända, x = l, är ansluen en belasning Z L. I e godycklig värsni på ledningen beecknas spänningen och srömmen med u(x, ) respekive i(x, ). eferensrikningar för u och i framgår av figuren. ~ v Z i ( x,) u ( x,) x l Figur 8. Koppling för sudium av ransmissionsledning. En infiniesimal del av ledningen karakeriseras av paramerarna dx där är serieresisansen per längdenhe Ldx där L är serieindukansen per längdenhe dx där är värkondukansen per längdenhe Cdx där C är värkapaciansen per längdenhe Z L x Dessa komponener kan arrangeras på olika sä i en modell av den infiniesimala delen av ledningen. De härledda sambanden blir emellerid de samma oberoende av val arrangemang. Vi väljer därför de enkla arrangemange enlig modellen i figur 8.. i ( x, ) dx Ldx i ( xdx, ) u ( x, ) dx Cdx u ( xdx, ) x xdx Figur 8. Modell av infiniesimal del av ransmissionsledning.
8 I forsäningen kommer vi a förusäa, a ledningen är förlusfri dvs a = och =. För de kora ledningar, som för de mesa är akuella i digiala sysem, är dea en full accepabel approximaion. Vi kommer också a förusäa, a ledningen är linjär och homogen vilke innebär, a L och C är konsana sorheer. Sluligen anages, a Z och Z L är linjära impedanser. Med dessa förusäningar kan superposiionsprincipen och Laplaceransformering appliceras på hela syseme enlig figur 8.. Med = och = erhålles ur figur 8. ux Ldx di x,, = u x dx, d du x dx, ix b, g b g Cdx = ibx dx, g d Sambanden ger differenialekvaionerna ux (, ) ix (, ) = L (8.) x ix (, ) C ux (, ) = (8.) x Efer derivering fås = ux, ux, LC x = ix, ix, LC x Dessa samband kallas för vågekvaionerna för en förlusfri ledning. De allmänna lösningarna ill vågekvaionerna kan skrivas som där b, g = b g b g ux, = u x v u x v (8.) i x i x v i x v (8.4) v = LC
84 Dea kan lä verifieras genom derivering och insäning i vågekvaionerna. Termerna u (xv) och i (xv) represenerar en spännings respekive en srömvåg som löper i posiiv xrikning med hasigheen v. Beraka spänningsvågen u (xv) vid en viss idpunk =. Vågen ugör då en rumsfunkion u (xv ) med ex de useende som visas i figur 8.. u ( xv ) = x = x Figur 8. Exempel på u (xv) vid vå olika idpunker. Välj en lä idenifierbar punk på denna funkion ex dess maximumpunk med funkionsvärde u x v b g Vid idpunken = där > har maximumpunken xkoordinaen x = x. Efersom och är noll är ledningen förlusfri, vilke medför a vågorna på ledningen ej dämpas. Dea leder ill a u ( x v ) = u x v b g Efersom funkionsvärdena är lika måse argumenen vara lika. Dea ger x x = v b g Maximumpunken förflyar sig därför i posiiv xrikning med hasigheen v. Desamma måse gälla för alla andra punker på spänningsvågen u (xv ). Hela spänningsvågen rör sig allså i posiiv xrikning med hasigheen v uan a förändra sin form. E hel analog resonemang leder ill a srömvågen i (xv ) också förflyar sig i posiiv xrikning med hasigheen v uan a förändra sin form. E mosvarande sudium av u (xv ) och i (xv ) leder ill a dessa ermer represenerar en spännings respekive en srömvåg som med oförändrad form rör sig i negaiv xrikning med hasigheen v. x
Mellan u (xv ) och i (xv ) respekive mellan u (xv ) och i (xv ) råder sambanden där b g= b g u x v = i x v u x v i x v L = C är ledningens karakerisiska impedans (resisans). Dessa samband kan enkel verifieras genom derivering och insäning i differenialekvaionerna (8.) och (8.). 85 Kombineras ovansående samband med sambanden (8.) och (8.4) erhålles ux b, g ubx vg u bx vg = (8.5) ix, u x v u x v Införes sorheen ρ enlig sambande u x v = ρ u x v (8.6) kan (8.5) skrivas på formen ux, ix b, g = ρ ρ Vid ledningens slu, x = l, gäller, a Uls, = Z s Ils, L bg (8.7) där U(l,s) och I(l,s) är de Laplaceransformerade mosvarigheerna ill u(l,) och i(l,). Kombineras dea samband med den Laplaceransformerade formen av (8.7) erhålles ZL s ρ L bsg = Z s L bg
86 Sorheen ρ L är reflekionskoefficienen vid ledningens belasningsände (x = l) och anger enlig (8.6) sambande mellan infallande våg u (lv) och reflekerad våg u (lv). För a förenkla den forsaa framsällningen införes beeckningarna b, g u x, = u x v u x = u x v Vi skall nu undersöka re specialfall Z L =, Z L = och Z L =. För Z L = blir ρ L =. Dea innebär enlig (8.6) a u (l,) = u (l,) och a den oala spänningen u(l,) =. u (l,). Den infallande vågen reflekeras så a den åergående vågen blir lika sor och har samma polarie. Den resulerande vågen vid x = l blir dubbel så sor som den infallande vågen. I figur 8.4 visas e exempel på hur en puls reflekeras då ρ L =. = = τ = τ = τ x=l x=l x=l = τ 4 = τ 5 = τ 6 x=l x=l x=l Figur 8.4 Exempel på resulerande våg vid reflekion av puls då ρ L =. För Z L = blir ρ L =. Dea innebär a u (l,) =. De bildas därför ingen reflekerad våg. Man säger a anpassning råder. I figur 8.5 visas e exempel på hur hela energin i en våg övergår ill Z L = då ρ L =. x=l = = τ = τ = τ x=l x=l = 4τ = 5τ x=l > τ 6 x=l x=l x=l x=l Figur 8.5 Exempel på usläckning av puls då ρ L =.
87 För Z L = blir ρ L =. Dea innebär. a u (l,) = u (l,) och a u(l,) =. Den infallande vågen reflekeras så a den åergående vågen blir lika sor men med mosa polarie. I figur 8.6 visas e exempel som visar hur en puls reflekeras då ρ L =. = = τ = τ τ = x=l x=l x=l = 4τ = 5τ = x=l x=l 6τ x=l x=l Figur 8.6 Exempel oal våg vid reflekion av puls då ρ L =. 8. Upprepade reflekioner. Då den åergående vågen u (x,) anländer ill generaoränden (x = ), uppsår en ny reflekion som ger upphov ill en ny u (x,) våg som vi beecknar med u (x,). Analog med ovansående framsällning erhålles U, s = ρ s U, s där U (,s) och U (,s) är de Laplaceransformerade formerna av u (x,) och u (x,) sam Z s ρ bsg = Z s bg är reflekionskoefficienen vid ledningens generaorände. Om såväl ρ L som ρ är skilda från noll kommer en våg som maas in i ledningen från generaorn a vandra fram och illbaka många gånger på grund av upprepade reflekioner i ledningens båda ändar. För a sudera dea fall anager vi a syseme enlig figur 8. från början är
88 i jämvik, dvs a inga vågor finns på ransmissionsledningen. Vid = appliceras generaorspänningen v (), som kommer a maa in en spänningsvåg i ledningen. För enkelhes skull kommer vi i forsäningen a anaga, a generaorimpedansen är resisiv, dvs Z =, vilke sämmer väl överens med de förhållanden som gäller för logikkresar. För spänningen u (,), dvs spänningen vid x =, som erhålles på grund av den inmaade spänningsvågen, erhålles sambande bg v i, = u, Samidig gäller enlig avsni 8. a u, = i, elimineras i (,) fås u, = v bg Dea innebär a generaorn upplever ledningen som en resisans. För den å höger löpande vågen u (x, ) fås urycke där för < T b Tg= S T för T u x, = u, x/ v σ x/ v σ Vågen u (x,) är en kopia av u (, ) och uppräder med en fördröjning uppgående ill löpiden x/v. Laplaceransformeras urycke för u (x,) erhålles U x, s = U, s e sx v / Vid ledningens andra ände ( x = l ) erhålles om ledningens löpid l = v införes s τ L U l s U s e V s e s τl b, g= b, g = bg
För den reflekerande vågen u (x,) fås de Laplaceransformerade urycke s l x v L c h/ U x, s = ρ s U l, s e För den oala spänningen u(l,) = u (l,) u (l,) vid belasningen fås de Laplaceransformerade urycke Lbg U l, s = U l, s U l, s = ρ s U l, s 89 Insäning av urycke för U (l,s) ger Uls V s s e sτ b, g= L bg ρlbg Vid idpunken = L anländer u (x,) ill generaoränden och reflekeras där med reflekionskoefficienen ρ. För den reflekerade vågen u (x,) fås de Laplaceransformerade urycke U x, s = ρ U, s e sx / v För den oala spänningen u(,) = u (,) u (,) u (,) vid generaoränden fås de Laplaceransformerade urycke U, s = U, s U, s U, s Insäning av de framagna urycken för ermerna i högerlede ger U s V s s e s b, g= L bg b ρg ρlbg Den oala spänningen u(x,) och den oala srömmen i(x,) på ransmissionsledningen kommer a byggas upp av all fler framågående och åergående vågor. Summeras bidragen som erhålles vid de successiva reflekionerna erhålles s L s 4 L U s V s s e L s e b, g bg b g Lbg L ρ ρbg = M OU S ρ ρ P s 6 V L ρ ρ s e... Uls, = bg bg T NM L bg L L V s s e ρρ Ls e ρl s 5τ L ρ ρ s e... L NM I rumid diagramme (eng. laice diagram) i figur 8.7 ges en åskådlig bild av de upprädande vågorna. sτ L bg s τ O QP QP W
8 = = = V IN =. VIN ρ L. V = = 4. V IN ρ L ρ. ρ ρ L V IN. ρ ρ L V IN = = 5 l x Figur 8.7 umid diagram för ransmissionsledning. 8. Exempel på upprepade reflekioner vid resisiv belasning. Exempel 8. Besäm u(,) och u(l,) för kopplingen i figur 8. för < < 6. om = 5 ohm, = ohm och L = kohm sam vbg= S T vol för vol för > Ovansående daa ger ρ = =, ρ L L = L 9 = 8,
u, = = vol 8 Då har vågorna på ransmissionsledningen dämpas u efersom deras energin övergår i värmeenergi i och L. Transmissionsledningen uppräder som en korsluning, vilke ger L lim ub, g= lim ubl, g= 86, vol Med hjälp av de förenklade rumiddiagramme i figur 8.8 erhålles de i samma figur uppriade kurvorna för u(,) och u(l,). L x = x = l = = =,64 =,55 =,45 = 4,5 =5, u (, ) 4 5 u( l, ) vol, =,45,5 vol,9 =,64,55,86 =,55,45,86,7 =,5,,64 =,64 4 5 Figur 8.8 umid diagram och spänningid diagram ill exempel 8.. Exempel 8. Besäm u(,) och u(l,) för kopplingen i figur 8. för < < 6. om = 5 ohm, = ohm och L = 45 ohm sam vbg= S T 4 vol för vol för >
8 I dea exempel är L ub, g= ubl,g= 4= vol L Då gäller, a L lim ub, g= lim ubl, g= =,75 vol L Den i syseme upprädande ransienen förorsakas av de negaiva språnge 4 = vol i v (). För ransienen gäller, a L ρ = =, och ρ L = L u, = =, vol,66 sam a umid diagram för ransienen och spänningid diagram för resulerande u(,) och u(l,) framgår av figur 8.9. x = x = l = =, =,76 =,5 =,97 = 4,9 =5, u (, ) u( l, ) vol, 4 5 vol,96,9,6,47 4 5,75,75 Figur 8.9 umid diagram och spänningid diagram för exempel 8..
Exempel 8. 8 Besäm u(,) och u(l,) för kopplingen i figur 8. för < < 6. om = 5 ohm, = 5 ohm och L = sam vbg= S T 4 vol för vol för > L I dea exempel är ub, g= ubl,g= 4= 4vol L L Då gäller, a lim ub, g= lim ubl, g= = vol L Den i syseme upprädande ransienen förorsakas av de negaiva språnge L i v (). För ransienen gäller, a ρ = = 5, och ρ L = = L sam a u b, g= b 4g= vol umid diagram för ransienen och spänningid diagram för resulerande u(,) och u(l,) framgår av figur 8.. u (, ) vol x = x = l = = = =,5 =,5 = 4,75 =5,75 u( l, ) vol 4 5 4 Figur 8. umid diagram och spänningid diagram för exempel 8.
84 8.4 Sammankoppling av ransmissionsledningar. I en punk där flera ransmissionsledningar sammankopplas kan reflekioner uppså. För a belysa dea ugås från figur 8. som visar en sammankoppling av re ransmissionsledningar med de karakerisiska resisanserna, och. A Figur 8. Sammankoppling av re ransmissionsledningar. Vi anager, a en våg u rör sig på ledning nr mo sammanbindningspunken A. Den resisans L som belasar ledning nr i punken A ugöres av parallellkopplingen av och. Dea ger L = eflekionskoefficienen ρ A för ledning nr i punken A är L ρ A = L För den reflekerade vågen u på ledning nr gäller i punken A, a u bg A = ρa u bg A För den oala spänningen u(a) i punken A fås ubgb A = ρa g u bg A Denna spänning maas in i ledningarna och som framågående våg, vilke ger u A = u A = ρ u A A
Exempel 8.4 85 Tre sycken lika långa ledningar med samma karakerisiska resisans och samma löpid är sammankopplade enlig figur 8. i punken A. Besäm u(, ), u(b, ) och u(c, ) om vbg= S T vol för 4vol för > v u (), A,, B u(b) C u (C) Figur 8. Koppling ill uppgif 8.4. För samliga ledningar gäller, a 5, ρ A = = och 5, ρ A = För ledningsändarna, B och C fås ρ =, ρ B = och ρ C =. Då > är u b, g= 4= vol Då fås u bg= ubg B = ubg C = 4 = vol Efersom ledningen AC är avsluad med sin karakerisiska resisans erhålles inga reflekioner vid C. Dea medför a inga vågor löper från C ill A. I figur 8. visas de sammansaa rumid diagramme som erhålles för ledningarna A och AB.
86 A B = = = = 4 4 = = 4 8 9 4 9 = 4 = 6 8 7 = 5 4 9 4 7 4 7 = 6 Figur 8. Sammansa rumid diagram ill exempel 8.4. Med hjälp av rumiddiagrammme fås följande Laplaceransformerade uryck för u(, ), u(b, ) och u(c, ) F H s 8 L s4 8 L s6 L Ub, sg= e τ e τ e τ... s 9 7 F H F H 8 UBs e s τ 8 L e s 4τ 8 L e s 6τL b, g=... s 9 7 4 UCs e s τ 8 L e s 4τ 8 L e s 6τL b, g=... s 9 7 I K J I K J I K J I figur 8.4 visas mosvarande spänningid diagram.
87 u (, ) vol 4 5 6 u (B, ) vol 4 5 6 u (C, ) vol 4 5 6 Figur 8.4 Spänningid diagram ill uppgif 8.4 8.5 Inkoppling av en impedans parallell med en ransmissionsledning. Inkopplas en impedans mellan ledarna på en ransmissionsledning uppkommer reflekioner. Den maemaiska behandlingen av dea fall är i princip idenisk med behandlingen av sammankoppling av ransmissionsledare i föregående avsni. I figur 8.5 visas hur en impedans Z A är inkopplad mellan ransmissionsledningens båda ledare i snie A. Transmissionsledning ill vänser om snie A har den karakerisiska resisansen och ransmissionsledning ill höger om snie A har den karakerisiska resisansen.
88 A Z A Figur 8.5 Impedans inkopplad parallell med ransmissionsledning. Vi anar, a en våg u rör sig på ledning nr mo snie A. Impedansen Z L, som belasar ledning nr i punken A ugörs av parallellkopplingen av Z A och. Dea ger Z L Z = Z A A eflekionskoefficienen ρ A för ledning nr i snie A är ZL ρ A = Z L För den reflekerade vågen u på ledning nr gäller i snie A, a u A = ρ u A A För den oala spänningen u(a) i snie A fås bg d A i bg ua= ρ u A Denna spänning maas in i ledningen nr som en framågående våg, vilke ger bg d i bg u A = ρ u A A Exempel 8.5 Beräkna u(, ), u(a, ) och u(b, ) för kopplingen i figur 8.6 om ledningrna är lika långa och har samma karakerisiska resisans och löpid. S vbg= T vol för vol för >
89 v A B,, Figur 8.6 Koppling ill exempel 8.5. För båda ledningarna gäller, a 5, ρ A = 5, = För ledningsändarna fås ρ = ρ B =. För > gäller, a u bg = 5, vol = Då fås bg bg bg u = u A = u B = 5, 5, = vol Följande sammansaa rumid diagram erhålles för de båda ledningarna A B,5,5 Med hjälp av ovansående diagram fås τl c h U s 5 5 e s, =,, s U A s s e s τl b, g=
8 UBs s e b, g= s τl I figur 8.7 visas mosvarande spänningid diagram. u (, ) vol u (A, ) vol u (B, ) vol τ L Figur 8.7 Spänningid diagram ill uppgif 8.5. 8.6 Transmissionsledning avsluad med en kapacians parallellkopplad med en resisans. I dea avsni skall vi sudera en ransmissionsledning avsluad med en kapacians C L parallellkopplad med en resisans enlig figur 8.8. För a förenkla framsällningen har specialfalle = L = vals. = ger ρ =. För belasningsimpedansen Z L och reflekionskoefficienen ρ L fås urycken Z ρ L L bg= s s C L bg L ZL s bsg = Z s s CL = s C L v ( ) l u (, ), u ( l, ) C L Figur 8.8 Transmissionsledning avsluad med en kapacians parallellkopplad med en resisans.
eneraorspänningen v () anas vara en segfunkion enlig vbg= S T vol för U vol för > För > fås U u b, g= Då erhålles U ub, g= ubl, g= För spänningarna U(,s) och U(l,s) fås urycken U s τl Ub, sg= ρlbg s e s Uls, bg U = ρl s e s s τl Insäning av urycke för ρ L och övergång ill idsplane ger b Lg u, U L T e τ / = σ τ U L / T ul b, g e b = g b Lg τ σ τ där C T = L I figur 8.9 visas u(,) och u(l,). 8 Då u och i anländer ill x = l uppräder C L som en korsluning i försa ögonblicke vilke ger ρ L =. All efersom C L laddas upp närmar sig ρ L värde noll. Uppladdningen av C L sker med idskonsanen T enlig ovan. Tidskonsanen besäms av produken av C L och den resisans som ugöres av parallellkopplingen av ledningens karakerisiska resisans och belasningsresisansen. För den reflekerade vågen u erhålles urycke U u l e L / T b, g= b τ g σb τlg
8 u (, ) U 4 5 u ( l, ) U 4 5 Figur 8.9 Spänningid diagram för kopplingen i figur 8.8. Segfördröjningen mellan u(,) och u(l,) uppgår ill T. ln,7. T. Om v () i sälle hade ugjors av en rampfunkion hade mosvarande segfördröjning blivi T. Denna siuaion mosvarar falle då en CMOSgrind kopplas ill en ledning som sedan forsäer. Belasningsresisansen mosvarar den karakerisiska resisansen för den forsäande ledningen. Kapaciansen C L mosvarar grindens inkapacians C in som ypisk uppgår ill,5 pf. Mo varje grind som kopplas in på ledningen erhålles e illsko i segfördröjningen uppgående ill C in /. 8.7 Kora och långa ransmissionsledningar En ransmissionsledning sägs vara kor om ledningens löpid = l/v är kor i jämförelse med applicerade signalers sig och fallider. Vid mosa förhållande alar man om en lång ledning. Dea språkbruk som är anpassa ill applicerade signalers flankider är meningsfull efersom löpidseffekerna kan försummas vid kora ledningar men är yers beydelsefulla vid långa ledningar. Då ledningen är kor åerkommer den reflekerade signalen u (, ) ill generaoränden medan generaorsignalen v () forfarande ändras. esulae blir en förändring av fronen hos insignalen u(, ) ill ransmissionsledningen. I figur 8. visas e exempel på upprädande signaler för en kor ransmissionsledning med ρ = och ρ L =.
8 l v ( ) ~ u (, ), u ( ),5 v ( ) u (, ) u (, ) u(, ) T Figur 8. Exempel på spänningid diagram för kor ransmissionsledning. Då ledningen däremo är lång så har generaorsignalen v () hunni avslua si omslag lång före den reflekerade signalen u (, ) åerkommer ill generaoränden. Dea innebär, a då ransmissionsledningen är lång så kan upprädande signaler approximeras med rekangelformade signaler med försumbara sig och fallider. I figur 8. ges e exempel på upprädande signaler på en lång ransmissionsledning med ρ = och ρ L =. l v ( ) ~ u (, ), u ( ) v ( ) u (, ) u (, ),5 u(, ) T Figur 8. Exempel på spänningid diagram för lång ransmissionsledning.
84 I figurerna 8. och 8.4 visas signalen u(l,) för en ransmissionsledning enlig figur 8. med = och L = (de mes ogynnsamma falle) för olika värden på kvoen T/. v ( ) l u ( l,), v ( ) Figur 8. Transmissionsledning och generaorsignal för spänningid diagrammen i figurerna 8. och 8.4. T u (, ) l T= 4 5 6 u ( l, ) 7 8 9 4 5 u ( l, ) 6 7 8 9 u ( l, ) 4 5 6 7 8 9 T= T= T= 4 5 6 7 8 9 v ( ) v ( ) v ( ) v ( ) Figur 8. Spänningid diagram för kopplingen i figur 8..
85 u (, ) l T= 4 4 5 u ( l, ) 6 7 8 9 T= 6 v ( ) v ( ) 4 5 u ( l, ) 6 7 8 9 4 5 u ( l, ) 6 7 8 9 T= 8 T= 4 5 6 7 8 9 4 5 4 5 4 5 v ( ) v ( ) Figur 8.4 Spänningid diagram för kopplingen i figur 8.. För de översa exemplen i figur 8. är flankiden T så lien i förhållande ill löpiden a ledningen måse behandlas som en lång ledning. För a undvika de krafiga ransienerna måse lämpliga och/eller L ansluas. All efersom flankiden T blir lång i förhållande ill löpiden minskar ransienernas sorlek. Dea beror på a de upprädande delvågorna mer och mer kommer a släcka u varandra. För T 8 kan ledningen behandlas som en kor ledning. Upprädande ransiener är mindre än %. De här suderade falle kan direk appliceras på ECLkresar. Dessa har låg uresisans, ca Ω, och hög inresisans, ca 5 kω. Vid direk sammankopp
86 ling av ugången hos en kres med ingången hos en annan kres måse den använda ledningen vara kor för a ej allför sora ransiener skall uppräda. Med T = ns och T 8 erhålles.5 ns. Med ubredningshasigheen cm/ns fås a ledningslängden måse vara korare än,5 cm. Om ledningar som är längre än,5 cm skall användas måse dessa behandlas som ransmissionsledningar och förses med lämplig valda och/eller L. 8.8 Bergerondiagram i linjära illämpningar. I avsnien 8. och 8. har visas hur man analyisk kan behandla probleme med upprepade reflekioner på en lång ledning då ledningens avsluningar ugöres av linjära impedanser. Denna eknik kan med framgång unyjas vid analys av ledningar som förbinder ECLkresar så länge dessa arbear så a ugångsemierföljaren har I E >. Vid analys av ledningar förbindande TTLkresar måse emellerid andra meoder illgripas efersom TTLkresarnas ingångs och ugångskarakerisikor är sark olinjära. Vanligvis använder man sig av en grafisk meod som unyjar s k Bergerondiagram. För a belysa denna meod skall vi i dea avsni använda Bergerondiagram för a analysera de i avsni 8. analyisk behandlade exemplen 8. och 8.. Exempel 8.6 I dea exempel gäller samma förusäningar som i exempel 8., dvs = 5 Ω, = Ω, L = kω sam vbg= S T vol för vol för > Ugående från kopplingen i figur 8.5 kan generaorns ugångskarakerisik beskrivas med sambande i, bg v u, = (8.8)
87 i (, ) i ( l, ) v, ( ) u (, ) u ( l, ) L Figur 8.5 Koppling ill exempel 8.6 och 8.7. För ledningens belasning gäller sambande il, ul, = (8.8) L I Bergerondiagramme i figur 8.6 har generaorns ugångskarakerisik enlig (8.8) för v = och v = vol sam belasningens karakerisik enlig (8.8) lags in. i ma i = u A E P B D i = u L u vol P 4 C i = u Figur 8.6 Bergerondiagram ill exempel 8.6. Skärningspunkerna P och P mellan generaorkarakerisikorna och belasningskarakerisiken ger kopplingens sabila illsånd u =, i=, som gäller för och u,85 vol, i,85 ma som gäller då. Vid unyjande av Bergerondiagramme sarar man från punken P och riar en linje med luningen / ill punken A på generaorkarakerisiken.
88 Punken A med u vol och i ma represenerar illsånde vid ledningens generaorände omedelbar efer de a v ändras från ill vol. Dea följer av a för ledningen gäller, a i c, h u = c, h Från punken A drar man en linje med luningen / ill punken B på belasningskarakerisiken. Punken B med u,65 vol och i,65 ma represenerar illsånde vid belasningsänden vid iden =. Dea följer av, a ul, τ = u l, τ u l, τ b Lg b Lg b Lg L ul, τl b Lg = L u l, τl u l, τ il, τl = i l, τl i l, τl = il, τ Därefer forsäer man från punken B ill punkerna C, D, E osv genom a ria linjer med luningarna /, /, / osv. Punken C represenerar illsånde vid ledningens generaorände vid =, punken D represenerar illsånde vid ledningens belasningsände vid idpunken = osv. I figur 8.7 visas de spänningid diagram som erhålles ur figur 8.6 för u(,) och u(l,). Diagrammen överenssämmer med de i figur 8.8 visade diagrammen för exempel 8.. u(, ) vol A C E,85 u( l, ) vol B D,85 P τ 4 5 L 4 5 Figur 8.7 Spänningid diagram ill exempel 8.6.
Exempel 8.7 89 Kopplingen för dea exempel visas i figur 8.5. Samma förusäningar gäller som i exempel 8., dvs = 5 Ω, = Ω, L = 45 Ω sam vbg= S T 4 vol för vol för > Bergerondiagramme för denna koppling visas i figur 8.8. Skärningspunkerna P och P ger sysemes sabila illsånd. Punken P, med u = vol och i 6,7 ma represenerar illsånde för. Skärningspunken P med u,75 vol och i,7 ma represenerar illsånde då. i ma i = 4 u P i = u L P B C 4 A i = u u vol Figur 8.8 Bergerondiagram ill exempel 8.7. De ur Bergerondiagramme i figur 8.8 erhållna spänningid diagrammen för u(, ) och u(l,) visas i figur 8.9. Diagrammen överenssämmer med de i figur 8.9 visade diagrammen för exempel 8.. u(, ) vol u( l, ) vol A C B P P,75,75 τ 4 L τ 4 L Figur 8.9 Spänningid diagram för exempel 8.7. P
8 8.9 Bergerondiagram i icke linjära illämpningar För a belysa användningen av Bergerondiagram då kresar med icke linjära karakerisikor anslues ill en ransmissionslednings båda ändar skall vi förs sudera kopplingen enlig figur 8.. Ugången på en LSTTL grind anslues via en lång ransmissionsledning ill ingången på en annan LSTTL grind. Transmissionsledningens karakerisiska resisans = Ω och dess löpid är mycke sörre än grindarnas sig och fallider. rindarnas ukarakerisikor och inkarakerisik framgår av figurerna 6., 6. och 6.. V I i (, ) i( l, ) u(, ) u( l, ), Figur 8. Koppling ill exempel 8.8 och 8.9. Exempel 8.8 Besäm och ria upp u(, ) och u(l,) för kopplingen i figur 8. då V I slår om från låg nivå ill hög nivå. Tiden = då den försa förändringen i u(, ) uppräder. Bergerondiagramme för LSTTL visas i figur 8.. Punkerna P = (,6 V,, ma) och P = (4, V, ma) svarar mo låg nivå respekive hög nivå. För är därför u(, ) = u(l,) = 4 V. Med P som sarpunk drages en linje med luningen / mo ugångskarakerisiken för låg usignal. Dea ger punken A, som ger u(, ),6 V. Från punken A drages en linje med luningen / mo ingångskarakerisiken. Dea ger punken B, som ger u(l, ),6V. Från punken B dras en linje med luningen / mo ugångskarakerisiken för låg usignal, vilke ger punken C osv. Efer e anal reflekioner mellan ugångskarakerisiken för låg usignal och ingångskarakerisiken vardera med mycke små spänningsseg sluar insvängningsförloppe i punken P. Ugående från Bergerondiagramme i figur 8. har spänningid diagrammen för u(, ) och u(l,) upprias i figur 8..
8 i ma Hög usignal C P P 4 B 5 u vol A Låg usignal Figur 8. Bergerondiagram ill exempel 8.8. u(, ) u( l, ) 4 4 P A=,6 V P =,6 V C=,4 V B=,6 V P =,6 V τl Figur 8. Spänningid diagram ill exempel 8.8.
8 Man observerar, a efersom u(, ) ligger mellan V ILmax =,8 vol och V IHmin = vol för < < så kommer en grind som är direk ansluen ill den drivande grinden a erhålla en odefinierad logisk insignal under dea idsinervall. Man bör därför ej anslua grindar ill ugången på en grind som driver en ransmissionsledning. Exempel 8.9 Besäm och ria upp u(, ) och u(l,) för kopplingen i figur 8. då V I slår om från hög nivå ill låg nivå. Tiden = då den försa förändringen i u(, ) uppräder. Bergerondiagramme visas i figur 8.. I dea fall sarar man från punken P och drager en linje med luningen / mo ugångskarakerisiken för hög usignal. Dea ger punken A. Från punken A forsäer man med en linje med luningen / mo ingångskarakerisiken vilke ger punken B osv. Efersom ugångskarakerisiken för hög usignal och ingångskarakerisiken ligger mycke nära varandra för u >,5 vol kommer punken B och de eferföljande punkerna a ligga mycke nära varandra. i ma Hög usignal A P B 4 5 P u vol Låg usignal Figur 8. Bergerondiagram ill exempel 8.9.
8 Efer e sor anal reflekioner mellan ugångskarakerisiken för hög usignal och ingångskarakerisiken vardera med mycke små spänningsseg sluar insvängningsförloppe i punken P. Ugående från Bergerondiagramme i figur 8. har spänningsdiagramme i figur 8.4 upprias. u(, ) u( l, ) 4 C=,5 V P 4 B=,5 V P A=,9 V 4 P 4 Figur 8.4 Spänningid diagram ill uppgif 8.9. Observera, a liksom var falle i föregående exempel så ligger u(, ) mellan V ILmax =,8 vol och V IHmin = vol för < <. En grind som anslus direk ill den drivande grindens ugång får därför en odefinierad logisk insignal under dea idsinervall. Exempel 8. Besäm Bergerondiagramme för kopplingen i figur 8.5 då insignalen V I slår om från låg nivå ill hög nivå och omvän. Logikkresarna är ECLK grindar enlig figur 6.8. Deras ukarakerisikor visas i figur 8.6. Transmissionsledningens karakerisiska resisans = 5 ohm. För mosånden gäller, a = 75 ohm och = 5 ohm. i (, ) i( l, ) V u(, ) u( l, ),τ I L 5, vol Figur 8.5 Koppling ill exempel 8..
84 Transmissionsledningens belasning besår av mosånden och, vilka kan ersäas med Theveninekvivalenen = = 5 ohm E = 5, =,7 vol Observera, a =, vilke innebär a ransmissionsledningens reflekionskoefficien ρ L =. Belasningslinjen besäms av sambande u E u i = =,7,5 ma Denna belasningslinje är inlagd i Bergerondiagramme i figur 8.6. i ma 8 6 4 8 6 4 Låg usignal P Belasningslinje Hög usignal P,,8,6,4,,,8,6,4, u vol,7 Figur 8.6 Bergerondiagram ill uppgif 8.. Efersom belasningslinjen har luningen / kommer alla övergångar mellan de saionära punkerna P och P a ske längs belasningslinjen uan reflekioner. För punkerna P och P fås koordinaerna P = (,7 vol,,6 ma) och P = (,94 vol, 5,8 ma).
Exempel 8. 85 Besäm Bergerondiagramme för kopplingen i figur 8.7 då insignalen V I slår om från låg nivå ill hög nivå och omvän. Logikkresarna är ECLK grindar enlig figur 6.8. Deras ukarakerisikor visas i figur 8.6. Transmissionsledningens karakerisiska resisans = 5 ohm. För mosånden gäller, a = ohm och = 9 ohm. i (, ) i( l, ) V u(, ) u( l, ) I, 5, vol Figur 8.7 Koppling ill exempel 8.. Transmissionsledningens reflekionskoefficien vid belasningsänden ρ L =. Vid generaorsidan har näe, infogas för a åsadkomma, a ρ. Av figur 8.6 framgår, a grindens dynamiska uresisans är ca ohm då usrömmen är sörre än några ma. För a erhålla anpassning väljs därför = 9 ohm. För a kunna ria upp Bergerondiagramme måse förs grindens ukarakerisikor modifieras med hänsyn ill inverkan av mosånden och. Mosånde åsadkommer, a usrömmen i vid give värde på uspänningen u minskas med srömmen i genom. För i gäller urycke u 5 i=, För ugångskarakerisikorna innebär dea, a de sänks med värde på i. Spänningsfalle. i över mosånde medför, a insignalen u ill ransmissionsledningen ligger. i vol lägre än grindens usignal. För a korrigera för denna effek måse de ovan med hänsyn ill inverkan av korrigerade ukarakerisikorna flyas å vänser. i vol (om i < flyas karakerisikan å höger). De enlig ovan modifierade ukarakerisikorna visas i figur 8.8. Skärningspunkerna mellan ukarakerisikorna och belasningslinjen i = ger de sabila punkerna P och P.
86 i ma Hög usignal P P Belasningslinje Låg usignal,,8,6,4,,,8,6,4, u vol Figur 8.8 Bergerondiagram ill uppgif 8.. Av Bergerondiagramme framgår a omslagen mellan låg nivå P =,8 vol och hög nivå P =,9 vol och omvän sker näsan hel ideal vid belasningssidan. Vid generaorsidan ligger insignalen ill ransmissionsledningen ungefär mi emellan hög nivå och låg nivå under iden < < för a därefer ana si sluvärde. Observera, a grindens usignal under iden < < på grund av spänningsfalle över mosånde endas ligger ca, vol från sluvärde. 8. Olika ledningsyper. E fleral skilda yper av ledningar unyjas för a förbinda logikkresar. Vanlig förekommande är den enkla ledningen som används vid wirewrapeknik, vinnad parledning, koaxialkabel sam microsripline. Vid vale av ledningsyp måse hänsyn agas ill flera fakorer som ex ledningslängd, logikkresarnas snabbhe, krav på skydd mo sörsignaler, kosnad ec.
87 emensam för alla ledningar är a signalernas ubredningshasighe längs ledningen är hel oberoende av ledningarnas geomeriska uformning. För ubredningshasigheen gäller v = µµεε r r där 7 µ = 4 H/m 9 ε = F/m 6π µ r = den relaiva permeabilieen ε r = den relaiva dielekricieskonsanen Efersom ljushasigheen c =. 8 m/s ges av urycke = µε c och efersom µ r = i de flesa prakiska sammanhang kan ubredningshasigheen v skrivas på formen v c ε = r Uryckes ljushasigheen c i cm/ns fås v = ε r cm /ns Som exempel på värden på ε r kan nämnas a de ofa unyjade isoleringsmaeriale polyeen har ε r =, och a epoxiglasfiber som unyjas för mönserkor har ε r 4. E ypisk värde på ubredningshasigheen längs isolerade enkla ledningar eller vinnade parledningar är därför cm/ns. Efersom ledningarnas karakerisiska impedans Z och ubredningshasigheen v ges ur urycken Z = v = L C LC
88 där L = längsindukansen per längdenhe C = värkapaciansen per längdenhe kan L och C uryckas som Z L = v C = v Z E ypisk värde på Z = Ω. Dea ger med v = cm/ns L = 5 nh/cm och C =,5 pf/cm. För en enkel ledare ovanför e jordplan enlig figur 8.9 gäller följande uryck för Z. Z 6 h 6 F h F h = = r d r d H I I arcosh ln d K J ε ε H KJ För h >> d kan Z approximeras med urycke Z 6 4h ln ε d r Ledare d h Jordplan Figur 8.9 eomeriska dimensioner för enkel ledare över jordplan. För wireråd är e ypisk värde på diameern d =.6 mm. Med h =5 mm och ε r =, fås Z 7 Ω. Efersom Z varierar som ln 4h/d påverkas Z ine så krafig av variaioner i h. Ökas h från 5 mm ill mm ökas Z ill Ω. Minskas i sälle h ill mm fås Z 5 Ω.
89 D d Figur 8.4 Beeckningar för en dubbellednings geomeriska dimensioner. För en dubbelledning enlig figur 8.4 gäller, a Z D F D F D = = d d H I I arcosh ln d r r K J ε ε H KJ Dea innebär a den karakerisiska impedansen för en dubbelledning är dubbel så sor som den karakerisiska impedansen för en enkel ledare som befinner sig på avsånde h = D/ från e jordplan. För en vinnad parledning med D =,5 d (isoleringen kräver urymme) och ε r =, fås Z = Ω. En vinnad dubbelledning ger jämför med en enkelledning föruom e lägre värde på Z också e mer väldefiniera värde. För en enkelledare kan nämligen höjden över jordplane variera avsevär vid den prakiska uppbyggnaden. Den vinnade parledningen är dessuom mycke mindre känslig för yre sörningar. Då sora krav sälls på förbindningen unyjas koaxialkablar enlig figur 8.4. Koaxialkablar ger e låg väldefiniera värde på Z och är mycke okänsliga för yre sörningar. Nackdelar är a de jämför med enkelledare och dubbelledare är beydlig dyrare, kräver sörre urymme och är mycke svårare a monera. d D Figur 8.4 eomeriska dimensioner för koaxialkabel.
84 För en koaxialkabel enlig figur 8.4 fås den karakerisiska impedansen Z 6 = ln ε r D d Med D =,6 d (e vanlig värde, som ger lägs förluser) och ε r =, fås Z 5 Ω. Då mönserkor unyjas i digiala konsrukioner uformas ledarna ofa som s k microsriplines enlig figur 8.4. w Ledare Lamina h Jordplan Figur 8.4 eomeriska dimensioner för microsripline. Den karakerisiska impedansen för en ledare uförd i microsriplineeknik ges av de approximaiva urycke Z 87,4 ε r 6h ln 8, w E ypisk värde på kopparskikes jocklek är =,5 mm. En vanlig jocklek på laminae är,5 mm. Med ε r = 4 (glasfiberepoxi) och linjebredden w = mm fås Z 9 Ω. Då s k mulilayer mönserkor unyjas kommer microsriplineledaren a ligga mellan vå jordplan enlig figur 8.4. w h Figur 8.4 eomeriska dimensioner för microsripline vid mulilayereknik.
I dea fall erhålles följande uryck för den karakerisiska impedansen 84 Z 6, 9h = ln ε 8, w r