SAMMANFATTNING OM GRADIENT, DIVERGENS, ROTATION, NABLAOPERATOR

Relevanta dokument
1 av 12. Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

sluten, ej enkel Sammanhängande område

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

GRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA GRADIENT. Gradienten till en funktion f = f x, x, K, innehåller alla partiella derivator: def. Viktig egenskaper:

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN

Tentamen 1 i Matematik 1, HF sep 2015, kl. 8:15-12:15

Inversa matriser och determinanter.

saknar reella lösningar. Om vi försöker formellt lösa ekvationen x 1 skriver vi x 1

Tentamen i FEM för ingenjörstillämpningar (SE1025) den 5 juni 2009 kl

=============================================== Plan: Låt π vara planet genom punkten P = ( x1,

Förklaring:

I ett område utan elektriska laddningar satisfierar potentialen Laplace ekvation. 2 V(r) = 0

Föreläsning 1. Elektrisk laddning. Coulombs lag. Motsvarar avsnitten i Griths.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Följande begrepp används ofta vid beskrivning av ett statistiskt material:

på två sätt och därför resultat måste vara lika: ) eller ekvivalent

Stelkroppsdynamik i tre dimensioner Ulf Torkelsson. 1 Tröghetsmoment, rörelsemängdsmoment och kinetisk energi

Trafikljus stresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom livförsäkring

Thomas Macks beräkning av standardfelet för reservavsättningar

KONFIDENSINTERVALL FÖR MEDIANEN (=TECKENINTERVALL )

Radien r och vinkeln θ för komplexa tal i polär form och potensform: KOMPLEXA TAL. ) (polär form) (potensform)

Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic

14. Potentialer och fält

===================================================

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

===================================================

Föreläsningar i Mekanik (FMEA30) Del1: Statik och partikeldynamik. Läsvecka 6

Trafikljus utvidgat med stresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom livförsäkring

Relationsalgebra. Relationsalgebra består av en mängd operatorer som tar en eller två relationer som input och producerar en ny relation som resultat.

Magnetiskt fält kring strömförande ledare Kraften på en av de två ledarna ges av

1 av 13. Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

KPI-KS (KPI med konstant skatt) och KPIF-KS (KPI med fast ränta och konstant skatt)

1 Två stationära lösningar i cylindergeometri

Faradays lag. ger. Låt oss nu bestämma den magnetiska energin för N st kopplade kretsar. Arbetet som kretsarnas batterier utför är

a) B är oberoende av A. (1p) b) P (A B) = 1 2. (1p) c) P (A B) = 1 och P (A B) = 1 6. (1p) Lösningar: = P (A) P (A B) = 1

TENTAMEN Datum: 11 feb 08

2012 Tid: läsningar. Uppgift. 1. (3p) (1p) 2. (3p) B = och. då A. Uppgift. 3. (3p) Beräkna a) dx. (1p) x 6x + 8. b) x c) ln. (1p) (1p)

KINESISKA RESTSATSEN OCH STRUKTURSATSER

om X har följande sannolikhetsfunktion λ λ . Då gäller a) väntevärdet E(X) = λ b) variansen σ = λ och därmed c) standardavvikelsen σ = λ

Potentialteori Mats Persson

1 Materiell derivata. i beräkningen och så att säga följa med elementet: φ δy + δz. (1) φ y Den materiella derivatan av φ definierar vi som.

x=konstant V 1 TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

Använd Maple (eller Mathematica) för att lösa dina uppgifter. INLÄMNINGSUPPGIFT 2 Linjär algebra och analys Del2: ANALYS Kurskod: HF1006

1 av 9. vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e r ett koordinataxel.

Tentamen i El- och vågrörelselära,

2 S. 1. ˆn E 1 ˆn E 2 = 0 (tangentialkomponenten av den elektriska fältstyrkan är alltid kontinuerlig)

Vi börjar med att dela upp konen i ett antal skivor enligt figuren. Tvärsnittsareorna är då cirklar.

Lösningsförslag till exempel på: Deltentamen i Uthållig energiteknik 15 hp och Energikällor 15 hp Delmoment: Vindkraft

Övervakad inlärning Översikt. Exempel. Återblick. Testning av nätet. Styrning av aktivering i nätet

( ik MATRISER ELEMENTÄRA RÄKNEOPERATIONER. Definition 1. Inom matematiken är en matris ett rektangulärt schema... a1

TNA004 Analys II Sixten Nilsson. FÖ 1 Kap Inledning

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, 22 september 2011, kl

Lösningsförslag till tentamen i 5B1107 Differential- och integralkalkyl II för F1, (x, y) = (0, 0)

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN

Värt att memorera:e-fältet från en punktladdning

Tentamen i MATEMATISK STATISTIK Datum: 8 Juni 07

Konstruktionsuppgift 1 G7006B. Sofi Isaksson Lea-Friederike Koss Henrik Silfvernagel

Strömning och varmetransport/ varmeoverføring

Surveysektionens årsmöte 20 oktober 2004.

Lastbilstrafik Inrikes och utrikes trafik med svenska lastbilar

V.g. vänd! Tentamen i SG1140 Mekanik II, OBS! Inga hjälpmedel. Lycka till! Problem

på fråga 6 i tävlingen för matematiklärare. 'l.

EKVATIONER MED KOMPLEXA TAL A) Ekvationer som innehåller både ett obekant komplext tal z och dess konjugat z B) Binomiska ekvationer.

2 Jämvikt. snitt. R f. R n. Yttre krafter. Inre krafter. F =mg. F =mg

Karlstads Universitet Maskinteknik /HJo

FYSIKTÄVLINGEN KVALIFICERINGS- OCH LAGTÄVLING LÖSNINGSFÖRSLAG. = fn s = fmgs 2. mv 2. s = v 2. π d är kilogrammets.

Stela kroppars rörelse i ett plan Ulf Torkelsson

Tentamen (TEN2) Maskininlärning (ML) 5hp 21IS1C Systemarkitekturutbildningen. Tentamenskod: Inga hjälpmedel är tillåtna

Tentamen i SG1140 Mekanik II, OBS! Inga hjälpmedel. Lycka till! Problem

Matematisk statistik

Tentamen i Tillämpad matematisk statistik för MI3 och EPI2 den 15 december 2010

Datum: xxxxxx. Betygsgränser: För. Komplettering sker. Skriv endast på en. finns på omslaget) Denna. Uppgift Låt u och w. Uppgift 2x. Uppgift.

Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med r

KURVOR OCH PÅ PARAMETER FORM KURVOR I R 3. En kurva i R 3 beskrivs anges oftast på parameter form med tre skalära ekvationer:

Tvillingcirklar. Christer Bergsten Linköpings universitet. Figur 1. Två fall av en öppen arbelos. given med diametern BC.

1282/2016. Den kalkylmässiga ålderspensionsåldern är 65 år.

Stresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom skadeförsäkring

i) oändligt många lösningar ii) exakt en lösning iii) ingen lösning?

21. Boltzmanngasens fria energi

KVALITETSDEKLARATION

Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C är lika med q ( t)

Tillämpningar av dekomposition: Flervaruflödesproblemet. Flervaruflödesproblemet: Lagrangeheuristik

1.15 Uppgifter UPPGIFTER 21. Uppgift 1.1 a) Visa att transformationen x i = a ikx k med. (a ik ) =

Förra föreläsningen. Reglerteknik AK F6. Repetition frekvensanalys. Exempel: experiment på ögats pupill. Frekvenssvar.

Övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.

Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN1 (Linjär Algebra) Datum: 28 augusti 2015 Skrivtid 8:15 12:15

1. Kraftekvationens projektion i plattans normalriktning ger att

TNK049 Optimeringslära

2B1115 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 2004 Omtentamen Måndagen den 23:e aug, 2005, kl. 9:00-14:00

Tentamen i Dataanalys och statistik för I den 5 jan 2016

Stresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom skadeförsäkring

Test av anpassning, homogenitet och oberoende med χ 2 - metod

Lösningar till övningsuppgifter. Impuls och rörelsemängd

Uppgift 4. (1p) Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna. ) vara två krafter som har samma startpunkt

Chalmers, Data- och informationsteknik DAI2 samt EI3. Peter Lundin. Godkänd räknedosa

Beställningsintervall i periodbeställningssystem

Partikeldynamik. Fjädervåg. Balansvåg. Dynamik är läran om rörelsers orsak.

BILAGA 1. GRUNDER ENLIGT 7 5 mom. I LAGEN OM PENSION FÖR KONSTNÄRER OCH SÄRSKILDA GRUPPER AV ARBETSTAGARE

Transkript:

Amn Hallovc: EXTA ÖVNINGA Nablaopeato SAMMANATTNING OM GADIENT DIVEGENS OTATION NABLAOEATO Ofta föeomande uttc och opeatoe 3 : GADIENT DIVEGENS OTATION V betata funtone med etanguläa oodnate Låt f vaa en deveba saläfunton elle saläfält och en deveba vetofunton elle vetofält Nedan defnea v gadent dvegens och otaton som ä ofta föeommande uttc nom matematen och dess tllämpnnga GADIENT Gadenten av f ä vetofunton vetofält som betecnas gad f och defneas enlgt fölande: f f f gad f f f f Anmänng: Om f 1 n så defneas gad f 1 n DIVEGENS Dvegensen av dv och defneas av ä en saläfunton som betecnas dv Anmänng: å lnande sätt använde v dvegensen på n-dmensonella vetofält OTATION otatonen av ot elle cul och defneas av ä en vetofunton som betecnas 1 av 6

Amn Hallovc: EXTA ÖVNINGA Nablaopeato av 6 ot Anmänng: Tll sllnad fån dvegensen ä otatonen defnead endast på tedmensonella vetofält Om v vll använda otatonen på tvådmensonella poblem planet måste v sva om fältet som tedmensonellt genom att lägga tll 0 som den tede oodnaten V sammanfatta standadtllämpnng av gad dv och ot 3 : Gadenten tllämpas på ett saläfält esultat ä ett veto fält Dvegensen tllämpas på ett vetofält esultat ä ett saläfält fält; otatonen tllämpas på ett vetofält esultat ä ett veto fält Anmänng: Inom stömnngsläa och anda tensa tllämpnnga används dvegensen även på matsfuntone genom att tllämpa dv på vae olonnveto DEL NABLA OEATO ölande smbolsa veto vetoell dffeental opeato allas nablaopeaton elle delopeato Med hälp av nablaopeaton an v besva gad dv och ot på fölande sätt: f gad f dv ot

Amn Hallovc: EXTA ÖVNINGA Nablaopeato LALACEOEATON Δ dvgad an ocså svas med hälp av nablaopeaton Δ Laplaceopeaton tllämpad på ett saläfält ge f f f Δ f f och an ocså tllämpas på ett vetofält tllämpa Δ på vae oodnatfunton Δ Δ Δ Δ genom att Uppgft 1 Bestäm a Lösnng: f och b Δ f om f e f f f a f gad f e e b Δ f f f f f 0 e e Uppgft Bestäm a dv b gad dv Lösnng och c ot då a Eftesom dv ha v dv 0 0 Sva a dv Answe a dv ϕ ϕ ϕ b ån gad ϕ ha v fö ϕ dv gad dv 00 3 av 6

Amn Hallovc: EXTA ÖVNINGA Nablaopeato 4 av 6 Sva b 00 dv gad c ot def 1 1 1 Sva c 1 1 ot Uppgft 3 Bestäm ot dv gad om Lösnng ot 1 1 1 1 1 0 1 Alltså 0 cul dv och dämed cul dv gad 0 000 Sva: ot dv gad 0 000 Uppgft 4 Låt vaa ett C 1 fält defneat ett öppet omåde Ω 3 Bevsa att 0 ot dv Lösnng: Enlgt defntonen ä ot Däfö ot dv 0 vad sulle bevsas V utnttade att eftesom fältet ä ett C 1 -fält dvs ontnuelga patella devato blandade patella devato ä la t e Uppgft 5 Bestäm f f Δ om f 3

Amn Hallovc: EXTA ÖVNINGA Nablaopeato Sva: Δ f f Δ f dv ot gadf 6 3 Uppgft 6 Låt f Bestäm vlet vla av fölande uttc ä defnead på oet sätt och beäna det a gadgadf b dvotf c gad dvgadf Lösnng: a Gadent tllämpas på saläfunton och esultat ä en vetofunton Uttcet ä nte defnead eftesom gadf ä vetofunton och dämed ä gadgadf INTE defnead b otatonen tllämpas på vetofält och nte på saläfält Dämed ä otf INTE defnead c Uttcet ä oet defnead: gad f 1 3 dv gad f 6 och slutlgen gad dv gad f 006 Sva c gad dv gad f 006 Defnton1 V säge att ett vetofält defnead en öppen mängd Ω ä potentalfält om det fnns en salä funton U så att gad U Defnton V säge att ett vetofält defnead en öppen mängd Ω ä vvelftt om ot 0 Uppgft 7 Låt vaa ett potentalfält med ontnuelga patella devato otae C 1 fält Vsa att ä vvelftt Lösnng: Enlgt antagande U U U gad U Däfö def ot U U U U U U U U U 000 5 av 6

Amn Hallovc: EXTA ÖVNINGA Nablaopeato V utnttade att eftesom fältet ä ett C 1 -fält dvs ontnuelga patella devato U blandade patella devato ä la t e Uppgft 8 U A I nedanstående evaton eq 1 ä U u v w untone ρ ϕ Γ S u v w ä eella funtone av t and Sv evatonen ρϕ ρϕu Γ ϕ S t ev 1 utan opeatoe dv Δ dv ot o gad B Låt ρ Γ 3 U 1 4 Bestäm uttcet S ev 1 om v vet att ϕ 3 satsfea evatonen Lösnng:A ρϕ ρϕu Γ ϕ S t ρϕ dv ρϕu dv Γgadϕ S t ρϕ ϕ ϕ ϕ dv ρϕu ρϕv ρϕw dv Γ Γ Γ S t ρϕ ρϕu ρϕv ρϕw ϕ ϕ ϕ Γ Γ Γ S t ev B V substtuea ρ Γ 3 U 1 4 och 3 ϕ ev : ϕ 4ϕ 8φ ϕ ϕ 0 3 3 ϕ 3 S 0 8 4 0 6 18 S Däfö S 4 8 18 4 Sva: S 4 8 18 4 6 av 6