Amn Hallovc: EXTA ÖVNINGA Nablaopeato SAMMANATTNING OM GADIENT DIVEGENS OTATION NABLAOEATO Ofta föeomande uttc och opeatoe 3 : GADIENT DIVEGENS OTATION V betata funtone med etanguläa oodnate Låt f vaa en deveba saläfunton elle saläfält och en deveba vetofunton elle vetofält Nedan defnea v gadent dvegens och otaton som ä ofta föeommande uttc nom matematen och dess tllämpnnga GADIENT Gadenten av f ä vetofunton vetofält som betecnas gad f och defneas enlgt fölande: f f f gad f f f f Anmänng: Om f 1 n så defneas gad f 1 n DIVEGENS Dvegensen av dv och defneas av ä en saläfunton som betecnas dv Anmänng: å lnande sätt använde v dvegensen på n-dmensonella vetofält OTATION otatonen av ot elle cul och defneas av ä en vetofunton som betecnas 1 av 6
Amn Hallovc: EXTA ÖVNINGA Nablaopeato av 6 ot Anmänng: Tll sllnad fån dvegensen ä otatonen defnead endast på tedmensonella vetofält Om v vll använda otatonen på tvådmensonella poblem planet måste v sva om fältet som tedmensonellt genom att lägga tll 0 som den tede oodnaten V sammanfatta standadtllämpnng av gad dv och ot 3 : Gadenten tllämpas på ett saläfält esultat ä ett veto fält Dvegensen tllämpas på ett vetofält esultat ä ett saläfält fält; otatonen tllämpas på ett vetofält esultat ä ett veto fält Anmänng: Inom stömnngsläa och anda tensa tllämpnnga används dvegensen även på matsfuntone genom att tllämpa dv på vae olonnveto DEL NABLA OEATO ölande smbolsa veto vetoell dffeental opeato allas nablaopeaton elle delopeato Med hälp av nablaopeaton an v besva gad dv och ot på fölande sätt: f gad f dv ot
Amn Hallovc: EXTA ÖVNINGA Nablaopeato LALACEOEATON Δ dvgad an ocså svas med hälp av nablaopeaton Δ Laplaceopeaton tllämpad på ett saläfält ge f f f Δ f f och an ocså tllämpas på ett vetofält tllämpa Δ på vae oodnatfunton Δ Δ Δ Δ genom att Uppgft 1 Bestäm a Lösnng: f och b Δ f om f e f f f a f gad f e e b Δ f f f f f 0 e e Uppgft Bestäm a dv b gad dv Lösnng och c ot då a Eftesom dv ha v dv 0 0 Sva a dv Answe a dv ϕ ϕ ϕ b ån gad ϕ ha v fö ϕ dv gad dv 00 3 av 6
Amn Hallovc: EXTA ÖVNINGA Nablaopeato 4 av 6 Sva b 00 dv gad c ot def 1 1 1 Sva c 1 1 ot Uppgft 3 Bestäm ot dv gad om Lösnng ot 1 1 1 1 1 0 1 Alltså 0 cul dv och dämed cul dv gad 0 000 Sva: ot dv gad 0 000 Uppgft 4 Låt vaa ett C 1 fält defneat ett öppet omåde Ω 3 Bevsa att 0 ot dv Lösnng: Enlgt defntonen ä ot Däfö ot dv 0 vad sulle bevsas V utnttade att eftesom fältet ä ett C 1 -fält dvs ontnuelga patella devato blandade patella devato ä la t e Uppgft 5 Bestäm f f Δ om f 3
Amn Hallovc: EXTA ÖVNINGA Nablaopeato Sva: Δ f f Δ f dv ot gadf 6 3 Uppgft 6 Låt f Bestäm vlet vla av fölande uttc ä defnead på oet sätt och beäna det a gadgadf b dvotf c gad dvgadf Lösnng: a Gadent tllämpas på saläfunton och esultat ä en vetofunton Uttcet ä nte defnead eftesom gadf ä vetofunton och dämed ä gadgadf INTE defnead b otatonen tllämpas på vetofält och nte på saläfält Dämed ä otf INTE defnead c Uttcet ä oet defnead: gad f 1 3 dv gad f 6 och slutlgen gad dv gad f 006 Sva c gad dv gad f 006 Defnton1 V säge att ett vetofält defnead en öppen mängd Ω ä potentalfält om det fnns en salä funton U så att gad U Defnton V säge att ett vetofält defnead en öppen mängd Ω ä vvelftt om ot 0 Uppgft 7 Låt vaa ett potentalfält med ontnuelga patella devato otae C 1 fält Vsa att ä vvelftt Lösnng: Enlgt antagande U U U gad U Däfö def ot U U U U U U U U U 000 5 av 6
Amn Hallovc: EXTA ÖVNINGA Nablaopeato V utnttade att eftesom fältet ä ett C 1 -fält dvs ontnuelga patella devato U blandade patella devato ä la t e Uppgft 8 U A I nedanstående evaton eq 1 ä U u v w untone ρ ϕ Γ S u v w ä eella funtone av t and Sv evatonen ρϕ ρϕu Γ ϕ S t ev 1 utan opeatoe dv Δ dv ot o gad B Låt ρ Γ 3 U 1 4 Bestäm uttcet S ev 1 om v vet att ϕ 3 satsfea evatonen Lösnng:A ρϕ ρϕu Γ ϕ S t ρϕ dv ρϕu dv Γgadϕ S t ρϕ ϕ ϕ ϕ dv ρϕu ρϕv ρϕw dv Γ Γ Γ S t ρϕ ρϕu ρϕv ρϕw ϕ ϕ ϕ Γ Γ Γ S t ev B V substtuea ρ Γ 3 U 1 4 och 3 ϕ ev : ϕ 4ϕ 8φ ϕ ϕ 0 3 3 ϕ 3 S 0 8 4 0 6 18 S Däfö S 4 8 18 4 Sva: S 4 8 18 4 6 av 6