Arbesmaerial, Signaler&Sysem I, VT04/E.P.. Geomerisk om grafer En av den här kursens syfen är a ge de vikigase maemaiska meoderna som man använder för a bearbea signaler av olika slag. Ofa är de så a den signal som man iakar ine är den egenliga, uan de man ser är någon slags deformaion, förvrängning eller sympning av den rikiga. De är därför vikig a på olika sä kunna manipulera grafiska bilder av signaler. Varje sådan manipulaion har en analyisk (d.v.s. formelmässig ) mosvarighe. Vi går igenom några enkla men vikiga sådana fall. Signalen själv änker vi oss beskriven av en funkion (), där ofa har (men ine måse ha) dimensionen id. Grafisk låer vi -aeln vara verikal och -aeln horisonell.. Translaion i horisonell led, ( a) Om () förskjus a enheer i -aelrikningen, så får man grafen för ( a).. Translaion i verikal led, () + a () ( a) a () + a Om grafen för () förskjus a enheer i -aelrikningen, så får man grafen för () + a.3 Spegling i verikala aeln, ( ) a () Om grafen för () speglas i -aeln, så får man grafen för ( ). Funkioner vars grafer övergår i sig själva vid en sådan spegling kallas jämna funkioner. Analyisk: () jämn () = ( ). Eempel på jämna fukioner:,, n där n e jämn helal, cos, sin, och sin. () ( ).4 Spegling i horisonella aeln, () Om grafen för () speglas i -aeln, så får man grafen för (). () () I själva verke räcker funkionsbegreppe, så som de brukar definieras.e. i :ans grundkurser, ine rikig för signaleorins behov, men de probleme ar vi upp förs i arbesmaerial nr.
.5 Vridning e halv varv kring origo, ( ) Om grafen för () vrids e halv varv kring punken (0,0) i plane, så får man grafen för ( ). Funkioner vars grafer övergår i sig själva vid en sådan vridning kallas udda funkioner. Analyisk: () udda () = ( ). Eempel på udda fukioner:, 3, n där n e udda helal, sin, an, sgn = Vridning π rad () ().6 Skalning i horisonell led, (a) Om grafen för () rycks ihop (resp. öjs) så a avsånden ill - aeln blir a ggr mindre (a >) resp. sörre (0< a <), så får man grafen för (a), (a) () a a >.7 Skalning i verikal led, a () Om grafen för () öjs (resp. rycks ihop) så a avsånden ill - aeln blir a ggr sörre (a >) resp. mindre (0<a <), så får man grafen för a (). a () () a >.8 Areabevarande skalning, a (a) Grafen för a (a), a >, erhålls genom a grafen för () rycks ihop i -led och öjs i -led. Areorna mellan graferna och -aeln är då densamma i båda fallen, y a (a) d = Subs a = () d. (Desamma gäller om 0 < a <, men då är de fråga om öjning i - led och hopryckning -led.) a (a) () a > a Samma area
.9 Trunkering. Rekangelfunkioner Om en signal iakas under e korare idsinervall än sin oala varakighe, så har man a göra med en runkerad signal. I figuren här bredvid har man skuri u den del (fe linje) av signalgrafen () (unn linje) som ligger i inervalle a b och glöm den del som ligger uanför inervalle. Analyisk kan man beskriva dea genom a införa den runkerade funkionen: T () = (), då a < < b, (3 0, då > b eller < a. Ofa vill man dock så lång möjlig undvika a använda klammersymbolen. Man kan få en mera koncis beskrivning av den runkerade funkionen genom a ill menagerie av sandardformler foga s.k. rekangelfunkioner: () a b Om a < b rec [a,b] () =, då a < < b, 0, då > b eller < a. Den runkerade funkionen ges då av T () = () rec [a,b] (). a rec [a, b] b () Rekangelfunkionerna hör ill de sräckvis konsana funkionerna och är nära släk med vå andra sådana funkioner, som också få någo så när vederagna namn: Signumfunkionen: sgn () =, då 0 <,, då < 0. sgn() Enhessprånge, ( he uni-sep-funcion, Heavisides funkion 4 ) u() =, då 0 <, 0, då < 0. Man har a och om a < b (Konrollera dea!) sgn () + sgn () = u(), u() =, rec [a,b] () = u( a) u( b) = u( a) u(b ). u() Orde beyder avhuggning och kommer ursprungligen från de lainska verbe för hugga av, runco. På engelska heer de runcaion. 3 Den nogranne undrar kanske vad som händer med :s värden för = a och b. De probleme (som egenligen ine är någo problem) kommeneras närmare längre fram ( 3..4). 4 Efer Oliver Heaviside, briisk fysiker och ingenjör, 850 95. Införde funkionen ifråga vid sina kalkyler inom elläran. Beeckningen för den är yvär ine sandardiserad (än?). I amerikansk lieraur (som Oppenheim -Willsky) skrivs ofa u. En annan vanlig beeckning är H, medan uppslagsverke β använder sig av θ! 3
Man har också inför beeckningen rec p () för rec [ p/,p/] (), d.v.s. för rekangelfunkionen som är = i e inervall av längd p, symmerisk beläge kring origo. Funkionen i fråga är jämn. rec () p p/ p/ Övningar:. Skissera i samma diagram graferna ill: a. sin, sin och sin, b. sin, sin och sin.. a. Skissera grafen ill () =, då 0, 0, då > eller < 0 och skissera sedan graferna för b. y() = ( ), c. y() = () d. y() = ( ), e. y() = (), f. y() = (/), g. y() = ( + ), h. y() = 0 (0 ), i. y() = (()) 00. j. Ge en formelbeskrivning i samma sil som (*) för funkionen y() = ()..3 a. Verifiera a y() = () + ( ) är en jämn och a z() = () ( ) är en udda funkion. () + ( ) () ( ) b. Efersom () = +, så kan ydligen varje funkion skrivas som en summa av en jämn och en udda funkion. Visa a de bara finns en sådan omskrivning, d.v.s. om () = j () + u (), där j är jämn och u udda, så är () + ( ) () ( ) j () = och u () =. Funkionerna j och u i uppgif.3b. brukar kallas den jämna respekive udda delen av funkionen..4 Vilka är de jämna respekive udda delarna ill a. e, b. e j, c...5 Verifiera a a. rec P () = rec (/P), b. rec [a, b] () = rec a b (b a). Fler övningar: Oppenheim-Willsky.,, (3, 4) (*). Om periodiska funkioner och periodisk forsäning Man säger a en funkion () är periodisk med periodlängd P (eller korare P-periodisk) om P 0 och ( + P) = () för alla. Graferna för sådana funkioner karakeriseras ydligen (jämför. ovan) av a de övergår i sig själva då de förskjus P, P, 3P, längdenheer i å vänser eller höger. 4
() P + P Välkända eempel på periodiska funkioner är de rigonomeriska funkionerna cos och sin (πperiodiska), sam an och co (π-periodiska). Mera udda eempel ugör konsanerna, () = C, som ydligen är P-periodiska för vilke P som hels. Om en funkion är P-periodisk så är den auomaisk också P-periodisk, 3P-periodisk, 4P-periodisk o.s.v. eempelvis är an också π-periodisk. Borse från de konsana funkionerna, så kan man visa a de i alla i prakiken inressana fall allid finns en minsa posiiv period ill varje periodisk funkion. 5 Den periodlängden kallas fundamenalperioden. För de rigonomeriska funkionerna i de föregående sycke angavs jus deras fundamenalperioder. Konsanerna har ingen fundamenalperiod. Övningar:. Besäm fundamenalperioderna ill a. cos sin, b. cos, c. an π.. Verfiera a () =, där = sörsa helale, är periodisk och ange dess fundamenalperiod. Om man från grafen ill en P-periodisk funkion ersäer all som ligger uanför e -inervall med längden P,.e. inervalle P/ < P/, med mosvarande del av -aeln så kan man säga a man har skuri u en period av grafen, () P P/ P/ Analyisk kan man beskriva denna sympning med, a man bildar funkionen P () = (), om P/ < P/, 0, för alla övriga. = () rec P (). Man säger a () är den P-periodiska forsäningen ill P (). Funkionen () kan åerskapas från P () genom a man adderar funkionerna P ( np), n = 0, ±, ±, : () = P ( np). (Pf) n = Lägg märke ill a en funkion () som är definierad av e samband av ypen (Pf) allid är P-periodisk och dea alldeles oavse vilken funkion P man ugår ifrån bara den oändliga serien konvergerar. Mera generell har man kommi överens om: 5 Mera precis gäller: Om en icke-konsan funkion () är periodisk och koninuerlig i åminsone en punk så har funkionen en minsa posiiv period som alla andra är helalsmulipler av. Bevise för dea är ine alldeles enkel och uelämnas. 5
Definiion: (Periodisk forsäning av funkion) Funkionen () = y( np) n = sägs vara den P-periodiska forsäningen av funkionen y() förusa a serien är konvergen. y( + 3P) y( + P) y( + P) y() y( P) y( P) y( 3P) () 3P P P P P 3P Eempel. Grafen av funkionen y() =, då, 0, då >, y () har skissas i figuren här bredvid. De P-periodiska forsäningarna ill denna för P = 3,, 3/, och har då följande grafer: (Konrollera dea som en övning!) 3-periodisk forsäning y 5 4 3 3 4 5 6 -periodisk forsäning y 5 4 3 3 4 5 6,5-periodisk forsäning y 5 4 3 3 4 5 6 -periodisk forsäning y 5 4 3 3 4 5 6 6
Övningar:.3 Skriv upp analyiska uryck för de 3-, - och,5-periodiska forsäningarna i eemple ovan. Välj a göra dea för inervall symmeriska kring origo och med respekive fundamenalperiods längd..4 Skissera den 3-periodiska forsäningen ill () =, då, 0, då >., då <,.5 Vilken är den -periodiska forsäningen av () =, då > 0, 0, då 0, i fundamenalinervalle 0 <? Ledning: + k + k + + k n + = /( k) om k <. Fler övningar: OW,5, 6. 7
Svar ill övningarna:. a, sin π π π π sin / sin b. sin sin π π / sin π π. a. d. ( ) () ( ) () S:
a., e. g. a., h. 0 ( +) () () (/) 0 (0 ) 3 4 a., i. () () 3 4 (()) 00 /0.3 b. () = j () + u () ( ) = j ( ) + u ( ) = j () u (). Summaion och subrakion av dessa likheer ger () + ( ) = j () och () ( ) = u ()..4 a. cosh och sinh, b. cos och sin, c. och..5 a. Obs. a man får grafen för rec P om man öjer (drar ihop) grafen för rec med en fakor P. b. Obs. a man får grafen för rec [a, b] om man förskjuer rec P där P = b a med (a + b)/ å höger (om dea al > 0, annars å vänser).. a. π, b. π, c... Fundamenalperioden är =..3 3-periodiska forsäningen: y 3 () =, då, 0, då,5, y 3 () = y 3 ( 3). -periodiska forsäningen: y () =, då, y () = y ( ).,5-periodiska forsäningen: y 3/ () =, då 0,5, 0,5, då 0,5 0,75, y,5 () = y,5 (,5). S:
.4 5 4 3.5 () = ( ), då 0 <. 3 4 5 6 S:3