MATEMATISK INTRODUKTION. Innehåll

MATEMATISK INTRODUKTION Innehåll - Räkneregler för bråk - Räkneregler för potenser - Procenträkning - Ekvationer o Ekvationer och tillvätförlopp - Nuvärdesberäkningar - Funktioner o Linjära funktioner o Inversfunktionen o Hur påverkas funktionssamband av ändrade förutsättningar? o Linjära ekvationssystem o Icke-linjära funktioner o De enklaste deriveringsreglerna o Marginella och totala samband - Optimering - Funktioner av två variabler o Partialderivator o Nivåkurvor o Optimering med två förklaringsvariabler, med och utan bivillkor 1

Räkneregler för bråk a b c d ac bd a / b c / d a b d c ad bc a c ad bc ad bc + + + b d bd bd bd för att kunna addera två bråk krävs att de har en gemensam nämnare! a + b b a b + b b a b +1 a + b a + 1 obs inte a + 1 b 1 FEL! Räkneregler för potenser m n m+ n m n m n n 1 0 n 1 ( 0) 1 1 n mn n ( m ) ( n ) 1 1 m m m m n y ( y) y m y n d.v.s. uttrycket kan inte skrivas om Eempel: 3 + 3 5 3 3 10 10 10 10 (10 ) 10 10 10 1,1 (10 1,1) 11 men 10 1,1 6 11

Procenträkning Eempel: p Priset på en vara stiger år 1 med 50% för att år sjunka med 50%. Med hur många procent har priset stigit eller sjunkit totalt? 100 p1 100 + 50% 100 100 + 0,5 100 150 0 p 150 50% 150 150 0,5 150 150 75 75 Sammanlagt har priset således sjunkit med 5/100 5% 5% av befolkningen har år 0 en inkomst >400 000:-. Andelen ökar med a) 10 procentenheter om året b) 10 procent om året Hur stor del av befolkningen har en inkomst > 400 000:- år? a) 5 +10 +10 45% b) år 1 : 5 + 0,1 5 7,5% år : 7,5 + 0,1 7,5 30,5% Hur många procent av bruttopriset utgör momsen om momspåslaget på nettopriset är 5%? Pris utan moms 100:- Pris med moms 15:- Momsens andel av bruttopriset 5/15 1/5 eller 0% 3

Ekvationer Lösningsprincip: Lös ut genom att addera eller subtrahera samma tal till båda sidor av ekvationen multiplicera, dividera eller upphöj båda sidor med samma tal (ej 0) a b Eempel: b a a + c b b c a Av en persons inkomstökning går 40% bort i skatt. Hur mycket måste hon öka sin inkomst med för att få behålla 1 000:- efter skatt? 1000 ( 1 0,4) 1000 0,6 1000 0000 0,6 När företaget höjde priset på sin vara med 0% steg försäljningsintäkterna med 8%. Med hur många procent sjönk antalet enheter som företaget sålde av varan? Vi kan godtyckligt anta att pris 100 och kvantitet 100 i utgångsläget pris kvantitet intäkter före 100 100 100 100 10000 efter 10 10 10800 10800 10 10800 90 10 Antalet enheter har sjunkit från 100 till 90, d.v.s. med 10% 4

Ekvationer och tillvätförlopp KPI (konsumentprisinde) är 1990 100. Antag att inflationen de följande 10 åren är 5% om året. Vad är KPI år 000? tidpunkt belopp 1990 100 1991 100 1,05 199 100 1,05 1,05 100 1,05 000 100 1,05 10 tillvätfaktor 1,05 10 100 1,05 100 1,69 16,9 En person kan sätta in ett belopp på ett bankkonto som ger 5% årlig ränta. Personen önskar kunna plocka ut 0 000:- om 10 år. Hur mycket måste han sätta in? tidpunkt belopp 0 1 1,05 1,05 1,05 1,05 10 1,05 10 0000 1,05 10 0000 0000 0,6139 178 0000 10 1,05 0000 1,05 10 5

En obligation kostar på marknaden 10 000:- idag och kan lösas in om 10 år till beloppet 0 000:-. Ingen årlig utdelning förekommer. Vad motsvarar detta för årlig ränta, (d.v.s. vad är marknadsräntan för obligationen)? tidpunkt belopp 0 10000 1 10000 10000 10 10000 10 0000 tillvätfaktor 10000 ( 10 ) 0,1 10 0000 0,1 10 0,1 10 0000 10000 1,071773 0,1 tillvätfaktor 1,071773 Den årliga räntan är knappt 7,18% Antag att marknadsaktörernas inflationsförväntningar stiger (d.v.s. man förväntar sig att den årliga inflationen skall bli högre än tidigare, varje år under 10-årsperioden). Marknadsräntan för obligationen stiger därför till 8%. Vad blir då kursen idag för ovanstående obligation? tidpunkt belopp 0 1 1,08 10 1,08 10 0000 tillvätfaktor 1,08 1,08 10 0000 0000 0,463 964 0000 1,08 10 6

Nuvärdesberäkningar Vid (eempelvis) en beräkning av en investerings lönsamhet måste hänsyn tas till att kostnader och intäkter inträffar i olika tidpunkter. Normalt är en intäkt/kostnad mindre värd/kostsam ju längre fram i tiden den inträffar Eempel: Personen i tidigare eempel är indifferent mellan (tycker eakt lika bra om) att få 178:- idag eller 0000:- om 10 år, eftersom 178:- idag kan investeras till 5% ränta och väa till 0000:- om 10 år. Man säger då att nuvärdet av 0000:- om 10 år vid diskonteringsräntan 5% är 178:- Nuvärdet PV (present value) av beloppet :- om n år vid diskonteringsräntan i n PV (1 + i n ( 1+ i) ) Diskonteringstabell 1: ( 1+ i) n Nuvärdet av en krona som utfaller efter n år vid olika räntesatser år/ränta 0,0 0,03 0,05 0,07 0,10 1 0,9804 0,9709 0,954 0,9346 0,9091 0,961 0,946 0,9070 0,8734 0,864 3 0,943 0,9151 0,8638 0,8163 0,7513 4 0,938 0,8885 0,87 0,769 0,6830 5 0,9057 0,866 0,7835 0,7130 0,609 10 0,803 0,7441 0,6139 0,5083 0,3855 0 0,6730 0,5537 0,3769 0,584 0,1486 30 0,551 0,410 0,314 0,1314 0,0573 7

Ofta förekommer det att samma intäkts- eller kostnadspost återkommer flera år i rad: Nuvärdet av 10 000 kronor (i slutet av) varje år från år 1 till år 3 vid diskonteringsräntan 5% PV 10000 1,05 1 + 10000 1,05 + 10000 1,05 3 PV 0,954 0,9070 0,8638 10000 (0,954 + 0,9070 + 0,8638) 10000,73 73 PV Nuvärdet PV (present value) av beloppet :- (i slutet av) varje år i n år vid diskonteringsräntan i är n t 1 (1 + i) t (1 + i) 1 Diskonteringstabell : (1 + i) n t 1 + (1 + i) t... (1 + i) n 1 (1 + i) i Nuvärdet av en krona som utfaller i slutet av varje år i n år vid olika räntesatser år/ränta 0,0 0,03 0,05 0,07 0,10 1 0,980 0,971 0,95 0,935 0,909 1,94 1,913 1,859 1,808 1,736 3,884,89,73,64,487 4 3,808 3,717 3,546 3,387 3,170 5 4,713 4,580 4,39 4,100 3,791 10 8,983 8,530 7,7 7,04 6,145 0 16,351 14,877 1,46 10,594 8,514 30,396 19,600 15,37 1,409 9,47 n 8

PV Nuvärdet PV av beloppet :- (i slutet av) varje år i ett oändligt antal år vid diskonteringsräntan i är t 1 (1 + i) (1 + i) + (1 + i)... i all oändlighet i t 1 1 Nuvärdet av 10 000 kronor (i slutet av) varje år från år 4 till år 10 vid diskonteringsräntan 5% Beräknas som nuvärdet av 10 000 kronor varje år från år 1 till 10 minus nuvärdet av 10 000 kronor varje år från år 1 till 3 PV 10000 (7,7,73) 10000 4,999 49990 Diskonteringstabell : Nu även med oändlig tid år/ränta 0,0 0,03 0,05 0,07 0,10 1 0,980 0,971 0,95 0,935 0,909 1,94 1,913 1,859 1,808 1,736 3,884,89,73,64,487 4 3,808 3,717 3,546 3,387 3,170 5 4,713 4,580 4,39 4,100 3,791 10 8,983 8,530 7,7 7,04 6,145 0 16,351 14,877 1,46 10,594 8,514 30,396 19,600 15,37 1,409 9,47 50,000 33,333 0,000 14,86 10,000 9

Funktioner En funktion illustrerar ett samband mellan två (eller flera) variabler En variabel y är en funktion av en annan variabel, om det till varje värde som som får anta (definitionsmängden för ) är ordnat ett och endast ett värde på y y f() eller enbart y() Linjära funktioner y a + b y Antag 0 a+b a+b a Δ 1 Δy b 1 a interceptet, skärningen med y-aeln (där värdet för 0) b linjens lutning, definierad som kvoten Δy/Δ för två godtyckliga punkter på linjen b > 0 innebär positiv lutning b < 0 innebär negativ lutning b 0 innebär att y-värdet är konstant, oberoende av f( 0 ) betyder funktionens värde för 0 För funktionen ovan är eempelvis f() a+b 10

Ekonomiskt eempel: c dp Efterfrågad kvantitet () är beroende av priset (p). När priset ökar sjunker efterfrågad kvantitet (d > 0 -d < 0) c dp c För att 0 krävs att c-dp 0 dp c p c/d f(c/d) 0, medan f(0) c c/d Inversfunktionen Om y() är strikt stigande eller sjunkande eisterar inversfunktionen (y). (Obs y() behöver inte vara linjär) p c dp p c d 1 d linjens lutning -1/d p c/d D p c d 1 d OBS: I ekonomiska modeller är det vanligt att man beskriver sambandet mellan pris och kvantitet med p på yaeln och på -aeln oavsett om (p) eller p() efterfrågekurvan ofta betecknad D (demand) c 11

Hur påverkas funktionssamband av ändrade förutsättningar? Eempel: Efterfrågesamband p 600 500 1000 p p 500 0, 5 D 0 D 1 00 D 1000 100 1500 Utgångsläget D 0 D 1 visar vad som händer om efterfrågad kvantitet ökar med 50 % vid alla priser 1 1,5(1000 p) 1500 3p p 500 3 D visar vad som händer om efterfrågad kvantitet stiger med en given storlek (00) vid alla priser 100 p p 600 0, 5 1

p 750 700 1000 p p 500 0, 5 500 00 D 0 D 1 D 1000 1400 Utgångsläget D 0 D 1 visar vad som händer om samtliga konsumenter är beredda att betala 50 % mer för varan 4 p 1,5(500 0,5) 750 0,75 1000 3 p D visar vad som inträffar om samtliga konsumenter är beredda att betala ett givet belopp (00 kronor) mer för varan p 700 0,5 1400 p 13

Linjära ekvationssystem Låt såväl efterfrågad kvantitet som utbjuden kvantitet vara linjära funktioner av priset Efterfrågesambandet (D) visas av p 500 Utbudssambandet (S) visas av p 15 + 0,5 p 500 S p* jämviktspris * jämviktskvantitet p* 15 D -50 500 * Ekvationssystemet löses lämpligen med substitutionsmetoden, vilket innebär att man först löser ut den ena variabeln som en funktion av den andra (vilket i detta eempel redan är gjort) och sen sätter in denna lösning i den återstående ekvationen 500 15+ 0,5 * 50 500 15 0,5 + 1,5 375 I nästa steg: p 500 * p* 50 14

Icke-linjära funktioner Icke-linjära funktioner kan matematiskt se ut på väldigt många olika sätt. 0,5 1 3 y y y y y a + b + är eempel på potensfunktioner, d.v.s. funktioner där förklaringsvariabeln () förekommer upphöjt till ett positivt eller negativt tal. Den sista utgör en generell kvadratisk funktion c Ekonomiskt eempel: Antag att efterfrågesambandet ett visst företags produkt p 500 gäller efterfrågan på Företagets totala intäkter (TR) som en funktion av den kvantitet som företaget säljer () är då en kvadratisk funktion TR p ( 500 ) 500 Observera att konstanten 0 eftersom 0 TR 0 TR 6500 60000 40000 TR (tusen) 0 0 40 100 60 00 6,5 50 60 300 40 400 0 500 100 00 50 500 15

Lutningen på en icke-linjär funktion varierar längs kurvan och definieras för en viss punkt på kurvan som lutningen för tangenten till punkten derivatan till funktionen i denna punkt Derivatan av y f() är i sin tur en funktion av och skrivs vanligen som dy f ( ), eller y d dtr I vårt eempel där TR f() skriver vi f ( ), eller TR d Genom att utnyttja deriveringsreglerna får vi i vårt eempel: f ( ) 500 f ( ) 500 TR 6500 60000 40000 dtr/d 500 0 300 100 100 00 0 50-100 300-300 400-500 500 100 00 50 500 16

De enklaste deriveringsreglerna y f ( ) a f '( ) 0 n y f ( ) a f '( ) na Eempel: y 5 f '( ) 1 5 0 1 y 3 f '( ) 3 6 y 1 y f '( ) 1 3 f '( ) 3 6 1 1 5 n 1 y f ( ) h( ) + g( ) f '( ) h ( ) + g ( ) Eempel: 3 y 10 + 5 + f '( ) 5 + 6 TR f ( ) 500 f ( ) 500 Marginella och totala samband Derivatan till en funktion visar funktionens förändringstakt i en viss given punkt på kurvan, d.v.s. i vilken takt funktionens värde förändras om man marginellt ändrar värdet för förklaringsvariabeln Om den ursprungliga funktionen visar ett totalsamband visar derivatan motsvarande marginella samband Eempel: Derivatan av totalintäktsfunktionen (TR) visar marginalintäktsfunktionen (MR) TR f ( ) 500 MR f ( ) 500 MR visar alltså i vilken takt totalintäkten förändras om man förändrar den kvantitet man säljer marginellt 17

Eempel: Ett företag säljer en vara till ett konstant pris 10:-, respektive 0:- per enhet. Företagets totala intäkt är en funktion av kvantiteten TR TR 0 0000 TR 10 10000 1000 Företagets marginalintäkt är här konstant och lika med priset för varan MR 0 MR dtr/d 0 10 MR dtr/d 10 1000 18

Från ytan under den funktion som visar det marginella sambandet kan man också härleda det totala sambandet Hur mycket ökar företagets totala intäkter om ökar från 500 till 1000? Antag här att priset 0:- TR TR 0 Intäktsökning 0000 10000 10000 0000 10000 500 1000 MR Intäktsökning 0 500 10000 0 MR 0 500 1000 19

Antag att företagets totala kostnader (TC) visas av funktionen TC 4000 + 0,01 TC TC 4000 + 0,01 6500 kostnadsökning 14000 6500 7500 14000 6500 4000 500 1000 1500 TC 4000 0 6500 500 14000 1000 6500 1500 44000 000 Marginalkostnaden (MC) visas av derivatan till TC- funktionen, MC 0,0 MC MC 0,0 30 kostnadsökning 10 500+ 10 500/7500 0 10 MC 0 0 10 500 0 1000 30 1500 40 000 500 1000 1500 0

Optimering Att söka en funktions högsta eller lägsta värden (maimum eller minimum) Eempel: Att bestämma den kvantitet som maimerar företagets vinst Att bestämma den kombination av olika produktionsfaktorer som minimerar företagets produktionskostnad för en given kvantitet En funktions maimum och minimum finner man antingen där funktionen vänder eller i någon ändpunkt (om sådana finns) y f() Antag att funktionerna är definierade endast för o g() 0 1 Lokalt och globalt maimum och minimum f() har ett lokalt maimum där 0. Detta utgör även ett globalt maimum. g() har lokala maimum där 0 och 1. Den har sitt globala maimum där 0. g() har ett lokalt minimum där 0, men såväl g() som f() verkar saknar globala minimum (så vitt man kan se av grafen) 1

Där funktionen vänder är derivatan (normalt) 0, vilket ger oss följande metod för att finna ett globalt maimum eller minimum Bestäm för vilket/vilka värden på som derivatan 0 och huruvida det rör sig om lokala maimum eller minimum y y f() f() 0 0 Undersök derivatan stra före 0 ( 0 - Δ) respektive stra efter 0 ( 0 + Δ) f ( 0 - Δ) f ( 0 ) f ( 0 + Δ) typ av etremvärde positiv noll negativ lokalt maimum negativ noll positiv lokalt minimum Bestäm funktionens värde (d.v.s. värdet för variabeln y) för de värden på man hittat och jämför med eventuella ändpunkter för att avgöra vad som utgör globalt maimum eller minimum

Eempel 1: Bestäm den kvantitet som maimerar intäkterna om TR f ( ) 500 MR f ( ) 500 0 * 50 f ( 49) 500 49 > 0 f (51) 500 51 < 0 Funktionen har således ett lokalt maimum för 50 f (50) 500 50 50 6500 f ( 0) 0 En jämförelse med ändpunkten visar att 50 även är ett globalt maimum Eempel : Bestäm den kvantitet som maimerar vinsten Företagets vinst π () TR() TC() TR 0 TC 4000 + 0,01 π() 0 (4000 + 0,01 ) π ( ) 0 0,0 0 * 1000 π ( 999) 0 0,0 999 > 0 π '(1001) 0 0,0 1001< 0 Vinstfunktionen har således ett lokalt maimum för 1000 π (1000) 0 1000 (4000 + 0,01 1000 π ( 0) 4000 ) 6000 En jämförelse med ändpunkten visar att 1000 även är ett globalt maimum Alternativt sätt att bestämma lokalt maimum för vinstfunktionen: π ( ) TR ( ) TC ( ) 0 MR MC 0 MR MC MR 0 MC 0,0 MR MC 0 0,0 * 1000 För lokalt maimum önskar vi sedan att: MR MC > 0 för något mindre än * MR > MC MR MC < 0 för något större än * MR < MC 3

Grafisk illustration TC TR TC π 0 4000-4000 0 10000 6500 3500 500 0000 14000 6000 1000 30000 6500 3500 1500 40000 44000-4000 000 TC TR 0000 14000 6000 3500-4000 500 1000 1500 π Vinsten maimeras där MR MC, d.v.s. där lutningen på TR lutningen på TC. MR > MC för stra under 1000 och MR < MC för stra över 1000 lokalt maimum MC 30 0 10 MC MR MR MC 0 0 0 0 10 500 0 0 1000 0 30 1500 0 40 000 500 1000 1500 4

Funktioner av två variabler Eempel: En produktionsfunktion, där den producerade kvantiteten () antas vara en funktion av mängden kapital (K) och arbetskraft (L) f(k,l) Även nu visar derivatan funktionens förändringstakt i en viss given punkt på kurvan, d.v.s. i vilken takt funktionens värde förändras om man marginellt ändrar värdet för förklaringsvariabeln, men nu finns det två förklaringsvariabler Partialderivator K L partialderivatan med avseende på K. Visar hur förändras om K förändras samtidigt som L hålls konstant partialderivatan med avseende på L. Visar hur förändras om L förändras samtidigt som K hålls konstant När man deriverar partiellt skall man behandla den andra variabeln som en konstant Eempel 1: f(k,l) K + 0K+ L 3 K + 0 3L K L Eempel : f(k,l) K + LK + 5L K + L K + 5 K L 5

Nivåkurvor För att undvika tredimensionella figurer åskådliggörs en funktion av två variabler grafiskt vanligen med hjälp av nivåkurvor, som sammanbinder olika kombinationer av förklaringsvariablerna som ger ett visst värde för funktionen Eempel f(k,l) KL Nivåkurvan för 100: 100 KL 100 K L På motsvarande sätt härleds andra nivåkurvor K 5 K100/L K L KL 4 5 100 5 0 100 8 1,5 100 10 10 100 1,5 8 100 0 5 100 5 4 100 0 1,5 10 8 5 4 150 10 100 4 5 8 10 1,5 0 5 L 6

Optimering med två förklaringsvariabler, med och utan bivillkor Antag ett företag som tillverkar två olika varor. Producerad och såld kvantitet betecknas X och Y vinstfunktionen: π(x, Y) Y X + Y 100 100 Y 0 Y 1. π 1000 π 000 π 3000 π 6000 π 5000 π 4000 X 1 X 0 100 X Antag att företaget kan välja kvantiteter fritt Vinsten maimeras med kombinationen X 0, Y 0, där båda partialderivatorna 0 (OBS, generellt krävs att man går vidare för att avgöra huruvida detta är π π 0 0 X Y maimum, minimum eller något annat) Antag att företaget inte kan välja kvantiteter fritt Vi har ett bivillkor som säger att företaget totalt måste producera och sälja 100 enheter, d.v.s. X + Y 100 (se den streckade linjen i figuren, som visar nivåkurvan för kvantiteten 100) Vinsten maimeras med kombinationen X 1, Y 1, där den nivåkurva som visar bivillkoret tangerar en nivåkurva för den funktion som skall optimeras, d.v.s. där de har eakt samma lutning 7

Eempel: Ett minimeringsproblem med bivillkor Säg att företaget i tidigare eempel vill producera 100 så billigt som möjligt. Kombinera nivåkurvan för 100 med nivåkurvor som binder ihop olika kombinationer av K och L som kostar företaget lika mycket Antag att varje enhet K kostar 50:- och varje enhet L kostar 1000:- TC f(k,l) 50K + 1000L K 40 TC 10000:- TC 5000:- K 0-4L K L TC 0 0 5000 10,5 5000 4 4 5000 4,5 5000 0 5 5000 5 0 1,5 10 8 5 4 Företagets val 100 (bivillkor) K 40-4L K L TC 40 0 10000 0 5 10000 8 8 10000 4 9 10000 0 10 10000 4 5 8 10 1,5 0 5 L Lösningen till företagets problem (K 0, L 5) finner vi där nivåkurvan som visar den önskade kvantiteten tangerar en nivåkurva som visar kostnaden, d.v.s. där nivåkurvorna har samma lutning 8