FÖRNYELSEBARA RESURSER ETT RÄKNEEXEMPEL. Utgå från en logistisk tillväxtfunktion: = f ( x) = rx 1, där x är populationen, r är den

Transkript

1 FÖRNYELSEBARA RESURSER ETT RÄNEEXEMPEL dx x Utgå från en logistisk tillväxtfunktion: = f ( x) = rx, där x är populationen, r är den dt inneboende tillväxttakten (alltid ett tal mellan noll och ett), och är den bärkraftiga populationen. Anta följande värden: r =, 38 (motsvarar ungefär den inneboende tillväxttakten hos ansjovis) och = följande vis: x f x =,38 x som ser ut på. Då erhåller vi: ( ),9,8,7,6 Tillväxt,4,3,2, Population En enkel linjär teknik (konstant skalavkastning) innebär att skördeekvationen är: h = q E x, där h är skörden, q kallas fångstbarhetskoefficienten (en konstant som beror på den skördade arten och skördetekniken), och E är arbetsinsatsen. Om q =, 93 blir ekvationen h =, 93 E x.

2 Härledning av skörde-arbetsinsatsfunktion grafisk variant (Metod ): Pröva att anta att E = och plotta skördeekvationen i samma figur som tillväxtfunktionen. Pröva därefter med E = 2, E = 2, 5 och E =, 5 (och andra värden om ni vill). Då erhålls följande diagram: 2,5 2 Tillväxt, Skörd, Population Tillväxt Skördeekvation(E=) Skördeekvation(E=2) Skördeekvation(E=2,5) Skördeekvation(E=) Bioekonomisk jämvikt kräver att skörd = tillväxt (om skörden är större än tillväxten minskar populationen och vice versa). Detta gör att vi kan spåra ut sambandet mellan arbetsinsats, E, och skörd, h, i bioekonomisk jämvikt genom att räkna ut vad skörden är när skördeekvationen skär tillväxtfunktionen. Ett sätt är att titta på diagrammet och pröva sig fram med olika värden på x och se var skörd = tillväxt. Ett annat, mer direkt sätt är att sätta q E x = r x och lösa för x. Detta ger efter några algebraiska manipulationer x = ( r q E). Detta ger r populationen i bioekonomisk jämvikt, med det var skörden vi ville ha. Pröva att plugga in det värde som erhölls för x och det värde på E som användes i skördeekvationen h =, 93 E x. Detta ger skörden givet arbetsinsatsen. x

3 Härledning av skörde-arbetsinsatsfunktion matematisk variant (Metod 2, OBS! ej nödvändigt att kunna): Ovanstående metod ger bara punkter som kan användas för att plotta skördearbetsinsatsfunktionen, inte ett exakt matematiskt uttryck. För de som önskar ett sådant = för r uttryck är det bara att använda uttrycket för x i bioekonomisk jämvikt, x ( r q E) att substituera bort x i skördeekvationen h = q E x, vilket efter ytterligare några algebraiska q,93 manipulationer ger: h( E) = q E E, eller h( E) =,93 E E om vi r,38 använder de antagna värdena på q, och r. Denna funktion har följande utseende:,9,8,7,6 h(e),4,3,2,,5 2 2,5 3 3,5 Effort, Arbetsinsats

4 Vinstmaximering ensam ägare, ingen ränta Under dessa restriktiva förutsättningar ges vinstmaximum av funktionen π ( E ) = p h E w E 4243 ( ) (vi ekonomer älskar att använda pi, π, som symbol för vinst), där INTÄTER { OSTNADER w är de rörliga styckkostnaderna (detta enkla exempel har inga fasta kostnader). Anta att p = och w =, 3. Oavsett om Metod eller 2 ovan använts kan vi plotta intäkter och kostnader i samma diagram med arbetsinsatsen, effort på x-axeln: ronor,9,8,7,6,4,3,2,,5 2 2,5 3 Effort, Arbetsinsats Intäkter=p*h(E) ostnader=w*e Vinstmaximum kräver (rent grafiskt) att det horisontella avståndet (vilket är vinsten) mellan intäkter och kostnader är så stort som möjligt, vilket är detsamma som att säga att derivatan intäkterna med avseende på beslutsvariabeln E skall vara lika med derivatan av kostnaderna π ( E) h( E) h( E) med avseende på samma variabel, = p w =, eller p = w. Grafiskt kan vi finna denna optimala arbetsinsats, E genom att söka den punkt på intäktskurvan där lutningen är lika stor som lutningen på kostnadskurvan (t.ex. genom att parallellförskjuta kostnadskurvan). Denna metod ger att E, 4, vilket är ett fullt godtagbart svar. Om vi,93 använt Metod 2 kan vi derivera vinstfunktionen π ( E) =,93 E E, 3 E,38

5 π ( E) 2 direkt med avseende på E, vilket ger: =,93 2,93 E,3 =. Detta kan,38 sedan lösas för,93,3 E =, vilket ger E =, 384, en liten förbättring av 2,93 2,38 exaktheten. Att fundera på: Hur stor är arbetsinsatsen under open-access, alltså allmänningarnas tragedi i detta exempel?